牛吃草类型应用题解题方法

例例 1 牧场上一片青草 每天牧草都匀速生长 这片牧草可供牧场上一片青草 每天牧草都匀速生长 这片牧草可供 10 头头 牛吃牛吃 20 天 或者可供天 或者可供 15 头牛吃头牛吃 10 天 问 可供天 问 可供 25 头牛吃几天 头牛吃几天 分析与解 这类题难就难在牧场上草的数量每天都在发生变化 我们要想办法 从变化当中找到 不变的量 总草量可以分为牧场上原有的草和新生长出来的草两部分 牧场上 原有的草是不变的 新长出的草虽然在变化 因为是匀速生长 所以这片草地每天新长出的草的数 量相同 即每天新 长出的草是不变的 下面 就要设法计算出原有的草量和每天新长出的草量这 两个不变量 设 1 头牛一天吃的草为 1 份 那么 10 头牛 20 天吃 200 份 草被吃完 15 头牛 10 天吃 150 份 草 也被吃完 前者的总草量是 200 份 后者的总草量是 150 份 前者是原有的草 加 20 天新长出的草 后者是原有的草加 10 天新长出的草 200 150 50 份 20 10 10 天 说明牧场 10 天长草 50 份 1 天长草 5 份 也就是说 5 头牛专吃新长出来的 草刚好吃完 5 头牛以 外的牛吃的草就是牧场上原有的草 由此得出 牧场上原有草 10 5 20 100 份 或 15 5 10 100 份 现在已经知道原有草 100 份 每天新长出草 5 份 当有 25 头牛时 其中的 5 头专吃新长出来的草 剩下的 20 头吃原有的草 吃完需 100 20 5 天 所以 这片草地可供 25 头牛吃 5 天 在例 1 的解法中要注意三点 1 每天新长出的草量是通过已知的两种不同情况吃掉的总草量的差及吃的天数 的差计算出来的 2 在已知的两种情况中 任选一种 假定其中几头牛专吃新长出的草 由剩下 的牛吃原有的草 根据吃的天数可以计算出原有的草量 3 在所求的问题中 让几头牛专吃新长出的草 其余的牛吃原有的草 根据 原有的草量可以计算出能吃几天 例例 2 一个水池装一个进水管和三个同样的出水管 先打开进水管 一个水池装一个进水管和三个同样的出水管 先打开进水管 等水池存了一些水后 再打开出水管 如果同时打开等水池存了一些水后 再打开出水管 如果同时打开 2 个出水管 个出水管 那么那么 8 分钟后水池空 如果同时打开分钟后水池空 如果同时打开 3 个出水管 那么个出水管 那么 5 分钟后水分钟后水 池空 那么出水管比进水管晚开多少分钟 池空 那么出水管比进水管晚开多少分钟 分析 虽然表面上没有 牛吃草 但因为总的水量在均匀变化 水 相当于 草 进水管进的 水相当于新长出的草 出水管排的水相当于牛在吃草 所以也是牛吃草问题 解法自然也与例 1 相似 出水管所排出的水可以分为两部分 一部分是出水管打开之前原有的水量 另 一部分是开始排 水至排空这段时间内进水管放进的水 因为原有的水量是不变的 所以可以从 比较两次排水所用 的时间及排水量入手解决问题 设出水管每分钟排出水池的水为 1 份 则 2 个出水管 8 分钟所排的水是 2 8 16 份 3 个出水管 5 分钟所排的水是 3 5 15 份 这两次排出的水量都包括原有水量和从开始排 水至排空这段时间 内的进水量 两者相减就是在 8 5 3 分 内所放进的水量 所以每分钟的进水 量是 水管排原有的水 可以求出原有水的水量为 解 设出水管每分钟排出的水为 1 份 每分钟进水量 答 出水管比进水管晚开 40 分钟 例例 3 由于天气逐渐冷起来 牧场上的草不仅不长大 反而以固定的由于天气逐渐冷起来 牧场上的草不仅不长大 反而以固定的 速度在减少 已知某块草地上的草可供速度在减少 已知某块草地上的草可供 20 头牛吃头牛吃 5 天 或可供天 或可供 15 头牛吃头牛吃 6 天 照此计算 可供多少头牛吃天 照此计算 可供多少头牛吃 10 天 天 分析与解 与例 1 不同的是 不仅没有新长出的草 而且原有的草还在减 少 但是 我们同样 可以利用例 1 的方法 求出每天减少的草量和原有的草量 设 1 头牛 1 天吃的草为 1 份 20 头牛 5 天吃 100 份 15 头牛 6 天吃 90 份 100 90 10 份 说明寒 冷使牧场 1 天减少青草 10 份 也就是说 寒冷相当于 10 头牛在吃草 由 草 地上的草可供 20 头牛 吃 5 天 再加上 寒冷 代表的 10 头牛同时在吃草 所以牧场原有草 20 10 5 150 份 由 150 10 15 知 牧场原有草可供 15 头牛吃 10 天 寒冷占去 10 头牛 所 以 可供 5 头牛吃 10 天 例例 4 自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着 两位性急的孩子要从扶自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着 两位性急的孩子要从扶 梯上楼 已知男孩每分钟走梯上楼 已知男孩每分钟走 20 级梯级 女孩每分钟走级梯级 女孩每分钟走 15 级梯级 级梯级 结果男孩用了结果男孩用了 5 分钟到达楼上 女孩用了分钟到达楼上 女孩用了 6 分钟到达楼上 问 分钟到达楼上 问 该扶梯共有多少级 该扶梯共有多少级 分析 与例 3 比较 总的草量 变成了 扶梯的梯级总数 草 变成了 梯级 牛 变成了 速度 也可以看成牛吃草问题 上楼的速度可以分为两部分 一部分是男 女孩自己的速度 另一部分是自动 扶梯的速度 男 孩 5 分钟走了 20 5 100 级 女孩 6 分钟走了 15 6 90 级 女孩比男孩 少走了 100 90 10 级 多用了 6 5 1 分 说明电梯 1 分钟走 10 级 由男孩 5 分钟到达楼上 他上楼的速度是自 己的速度与扶梯的速度之和 所以扶梯共有 20 10 5 150 级 解 自动扶梯每分钟走 20 5 15 6 6 5 10 级 自动扶梯共有 20 10 5 150 级 答 扶梯共有 150 级 例例 5 某车站在检票前若干分钟就开始排队 每分钟来的旅客人数一某车站在检票前若干分钟就开始排队 每分钟来的旅客人数一 样多 从开始检票到等候检票的队伍消失 同时开样多 从开始检票到等候检票的队伍消失 同时开 4 个检票口需个检票口需 30 分钟 同时开分钟 同时开 5 个检票口需个检票口需 20 分钟 如果同时打开分钟 如果同时打开 7 个检票口 个检票口 那么需多少分钟 那么需多少分钟 分析与解 等候检票的旅客人数在变化 旅客 相当于 草 检票口 相当于 牛 可以用牛 吃草问题的解法求解 旅客总数由两部分组成 一部分是开始检票前已经在排队的原有旅客 另一部 分是开始检票后 新来的旅客 设 1 个检票口 1 分钟检票的人数为 1 份 因为 4 个检票口 30 分钟通过 4 30 份 5 个检票口 20 分 钟通过 5 20 份 说明在 30 20 分钟内新来旅客 4 30 5 20 份 所以每分 钟新来旅客 4 30 5 20 30 20 2 份 假设让 2 个检票口专门通过新来的旅客 两相抵消 其余的检票口通过原来的 旅客 可以求出 原有旅客为 4 2 30 60 份 或 5 2 20 60 份 同时打开 7 个检票口时 让 2 个检票口专门通过新来的旅客 其余的检票口通 过原来的旅客 需 要 60 7 2 12 分 例例 6 有三块草地 面积分别为有三块草地 面积分别为 5 6 和和 8 公顷 草地上的草一样厚 公顷 草地上的草一样厚 而且长得一样快 第一块草地可供而且长得一样快 第一块草地可供 11 头牛吃头牛吃 10 天 第二块草地可天 第二块草地可 供供 12 头牛吃头牛吃 14 天 问 第三块草地可供天 问 第三块草地可供 19 头牛吃多少天 头牛吃多少天 分析与解 例 1 是在同一块草地上 现在是三块面积不同的草地 为了解决这 个问题 只需将 三块草地的面积统一起来 5 6 8 120 因为 5 公顷草地可供 11 头牛吃 10 天 120 5 24 所以 120 公顷草地可供 11 24 264 头 牛吃 10 天 因为 6 公顷草地可供 12 头牛吃 14 天 120 6 20 所以 120 公顷草地可供 12 20 240 头 牛吃 14 天 120 8 15 问题变为 120 公顷草地可供 19 15 285 头 牛吃几天 因为草地面积相同 可忽略具体公顷数 所以原题可变为 一块匀速生长的草地 可供 264 头牛吃 10 天 或供 240 头牛吃 14 天 那么 可供 285 头牛吃几天 这与例 1 完全一样 设 1 头牛 1 天吃的草为 1 份 每天新长出的草有 240 14 264 10 14 10 180 份 草地原有草 264 180 10 840 份 可供 285 头牛吃 840 285 180 8 天 所以 第三块草地可供 19 头牛吃 8 天 我将我将 牛吃草牛吃草 归纳为两大类 用下面两个例题来说明归纳为两大类 用下面两个例题来说明 例例 1 牧场上有一片均匀生长的牧草 可供牧场上有一片均匀生长的牧草 可供 27 头牛吃头牛吃 6 天 或供天 或供 23 头牛吃头牛吃 9 天 那么它可供天 那么它可供 21 头牛吃几天 头牛吃几天 例例 2 有三块草地 面积分别为有三块草地 面积分别为 5 6 和和 8 公顷 草地上的草一样厚 公顷 草地上的草一样厚 而且长得一样快 第一块草地可供而且长得一样快 第一块草地可供 11 头牛吃头牛吃 10 天 第二块草地可天 第二块草地可 供供 12 头牛吃头牛吃 14 天 问 第三块草地可供天 问 第三块草地可供 19 头牛吃多少天 头牛吃多少天 分析与解 例 1 是在同一块草地上 例 2 是三块面积不同的草地 这就两者 本质的区别 第一章 核心思路 普通解法请参考上面三位前辈的帖子 我没把链接做好 不好意思 现在来说我的核心思路 例 1 牧场上有一片均匀生长的牧草 可供 27 头牛吃 6 天 或供 23 头牛吃 9 天 那么它可供 21 头牛吃几天 将它想象成一个非常理想化的数学模型 假设 27 头牛中有 X 头是 剪草工 这 X 头牛只负责吃 每天新长出的草 并且把它们吃完 这样以来草场相当 于不长草 永远维持原来的草量 而剩下的 27 X 头牛是真正的 顾客 它们负责把草场 原来的草吃 完 请慢慢理解 这是关键 例 1 解 设每天新增加草量恰可供 X 头牛吃一天 21 牛可吃 Y 天 后面所有 X 均为 此意 可供 27 头牛吃 6 天 列式 27 X 6 注 27 X 头牛 6 天把草场吃完 可供 23 头牛吃 9 天 列式 23 X 9 注 23 X 头牛 9 天把草场吃完 可供 21 头牛吃几天 列式 21 X Y 注 21 X 头牛 Y 天把草场吃 完 因为草场草量已被 清洁工 修理过 总草量相同 所以 联立上面 1 2 3 27 X 6 23 X 9 21 X Y 27 X 6 23 X 9 1 23 X 9 21 X Y 2 解这个方程组 得 X 15 头 Y 12 天 例 2 有三块草地 面积分别为 5 6 和 8 公顷 草地上的草一样厚 而且长得 一样快 第一 块草地可供 11 头牛吃 10 天 第二块草地可供 12 头牛吃 14 天 问 第三块草 地可供 19 头牛吃 多少天 解析 现在是三块面积不同的草地 为了解决这个问题 需要将三块草地的面 积统一起 来 这是面积不同时得解题关键 求 5 6 8 得最小公倍数为 120 1 因为 5 公顷草地可供 11 头牛吃 10 天 120 5 24 所以 120 公顷草地可 供 11 24 264 头 牛吃 10 天 2 因为 6 公顷草地可供 12 头牛吃 14 天 120 6 20 所以 120 公顷草地可 供 12 20 240 头 牛吃 14 天 3 1208 15 问题变为 120 公顷草地可供 19 15 285 头 牛吃几天 这样一来 例 2 就转化为例 1 同理可得 264 X 10 240 X 14 285 X Y 264 X 10 240 X 14 1 240 X 14 285 X Y 2 解方程组 X 180 头 Y 8 天 典型例题 牛吃草 已介绍完毕 第二章 牛吃草 变型 以下几道题目都是 牛吃草 的变型 解法和上面我讲的一摸一样 因为我在前 边写的很详细 了 所以下面的例题不再给出详解 略作说明即可 请大家自行验证 例 3 由于天气逐渐冷起来 牧场上的草不仅不长大 反而以固定的速度在减 少 已知某块 草地上的草可供 20 头牛吃 5 天 或可供 15 头牛吃 6 天 照此计算 可供多少 头牛吃 10 天 解析 本题的不同点在草匀速减少 不管它 和前边设 X Y 一样来理想化 解出的 X 为负 数 无所谓 因为 X 是我们理想化的产物 没有实际意义 解出 Y 为我们 所求 例 4 自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着 两位性急的孩子要从扶梯上楼 已 知男孩每分 钟走 20 级梯级 女孩每分钟走 15 级梯级 结果男孩用了 5 分钟到达楼上 女 孩用了 6 分钟到 达楼上 问 该扶梯共有多少级 解析 总楼梯数即总草量 设略 列式 20 X 5 15 X 6 X 10 级 例 3 已说过 X 是理想化的产物 没有实际意义 将 X 10 代入 20 X 5 得 150 级楼梯 例 5 某车站在检票前若干分钟就开始排队 每分钟来的旅客人数一样多 从开 始检票到等 候检票的队伍消失 同时开 4 个检票口需 30 分钟 同时开 5 个检票口需 20 分 钟 如果同时打 开 7 个检票口 那么需多少分钟 解析 原有旅客即原有草量 新来排队得旅客即每天新长出得草量 其它不用 我多说了吧 例 6 现欲将一池塘水全部抽干 但同时有水匀速流入池塘 若用 8 台抽水