人教版2015年-一次函数--典型例题精讲分析(解析归纳)

1 人教版人教版 20152015 年年 一次函数一次函数 典型例题精讲分析 解析归纳 典型例题精讲分析 解析归纳 类型一 正比例函数与一次函数定义类型一 正比例函数与一次函数定义 1 当 m 为何值时 函数 y m 2 x m 4 是一次函数 思路点拨 思路点拨 某函数是一次函数 除应符合 y kx b 外 还要注意条件 k 0 解 解 函数 y m 2 x m 4 是一次函数 m 2 当 m 2 时 函数 y m 2 x m 4 是一次函数 举一反三 举一反三 变式变式 1 1 如果函数是正比例函数 那么 A m 2 或 m 0 B m 2 C m 0 D m 1 答案答案 考虑到 x 的指数为 1 正比例系数 k 0 即 m 1 1 m 2 0 求得 m 0 选 C 变式变式 2 2 已知 y 3 与 x 成正比例 且 x 2 时 y 7 1 写出 y 与 x 之间的函数关系式 2 当 x 4 时 求 y 的值 3 当 y 4 时 求 x 的值 解析 解析 1 由于 y 3 与 x 成正比例 所以设 y 3 kx 把 x 2 y 7 代入 y 3 kx 中 得 7 3 2k k 2 y 与 x 之间的函数关系式为 y 3 2x 即 y 2x 3 2 当 x 4 时 y 2 4 3 11 3 当 y 4 时 4 2x 3 x 类型二 待定系数法求函数解析式类型二 待定系数法求函数解析式 2 求图象经过点 2 1 且与直线 y 2x 1 平行的一次函数的表达式 思路点拨 思路点拨 图象与 y 2x 1 平行的函数的表达式的一次项系数为 2 则可设此表达式为 y 2x b 再将点 2 1 代入 求出 b 即可 解析 解析 由题意可设所求函数表达式为 y 2x b 图象经过点 2 1 l 2 2 b b 5 所求一次函数的表达式为 y 2x 5 总结升华 总结升华 求函数的解析式常用的方法是待定系数法 具体怎样求出其中的待定系数 的值 要根据具体的题设条件求出 2 举一反三 举一反三 变式变式 1 1 已知弹簧的长度 y cm 在一定的弹性限度内是所挂重物的质量 x kg 的一次函数 现已测得不挂重物时 弹簧的长度为 6cm 挂 4kg 的重物时 弹簧的长度是 7 2cm 求这个一次函数的表达式 分析分析 题中并没给出一次函数的表达式 因此应先设一次函数的表达式 y kx b 再由 已知条件可知 当 x 0 时 y 6 当 x 4 时 y 7 2 求出 k b 即可 解 解 设这个一次函数的表达式为 y kx b 由题意可知 当 x 0 时 y 6 当 x 4 时 y 7 2 把它们代入 y kx b 中得 这个一次函数的表达式为 y 0 3x 6 变式变式 2 2 已知直线 y 2x 1 1 求已知直线与 y 轴交点 M 的坐标 2 若直线 y kx b 与已知直线关于 y 轴对称 求 k b 的值 解析 解析 直线 y kx b 与 y 2x l 关于 y 轴对称 两直线上的点关于 y 轴对称 又 直线 y 2x 1 与 x 轴 y 轴的交点分别为 A 0 B 0 1 A 0 B 0 1 关于 y 轴的对称点为 A 0 B 0 1 直线 y kx b 必经过点 A 0 B 0 1 把 A 0 B 0 1 代入 y kx b 中得 k 2 b 1 所以 1 点 M 0 1 2 k 2 b 1 变式变式 3 3 判断三点 A 3 1 B 0 2 C 4 2 是否在同一条直线上 分析 分析 由于两点确定一条直线 故选取其中两点 求经过这两点的函数表达式 再把 第三个点的坐标代入表达式中 若成立 说明第三点在此直线上 若不成立 说明不在此 直线上 解 解 设过 A B 两点的直线的表达式为 y kx b 由题意可知 过 A B 两点的直线的表达式为 y x 2 当 x 4 时 y 4 2 2 点 C 4 2 在直线 y x 2 上 3 三点 A 3 1 B 0 2 C 4 2 在同一条直线上 类型三 函数图象的应用类型三 函数图象的应用 3 图中的图象 折线 ABCDE 描述了一汽车在某一直线上的行驶过程中 汽车离 出发地的距离 s km 和行驶时间 t h 之间的函数关系 根据图中提供的信息 回答下列问 题 1 汽车共行驶了 km 2 汽车在行驶途中停留了 h 3 汽车在整个行驶过程中的平均速度为 km h 4 汽车自出发后 3h 至 4 5h 之间行驶的方向是 思路点拨 思路点拨 读懂图象所表达的信息 弄懂并熟悉图象语言 图中给出的信息反映了行驶 过程中时间和汽车位置的变化过程 横轴代表行驶时间 纵轴代表汽车的位置 图象上的最 高点就是汽车离出发点最远的距离 汽车来回一次 共行驶了 120 2 240 千米 整个过 程用时 4 5 小时 平均速度为 240 4 5 千米 时 行驶途中 1 5 时 2 时之间汽车 没有行驶 解析 解析 1 240 2 0 5 3 4 从目的地返回出发点 总结升华 总结升华 这类题是课本例题的变式 来源于生活 贴近实际 是中考中常见题型 应注意行驶路程与两地之间的距离之间的区别 本题图象上点的纵坐标表示的是汽车离出发 地的距离 横坐标表示汽车的行驶时间 举一反三 举一反三 变式变式 1 1 图中 射线 l甲 l乙分别表示甲 乙两运动员在自行车比赛中所走的路程 s 与时间 t 的函数关系 求它们行进的速度关系 解析 解析 比较相同时间内 路程 s 的大小 在横轴的正方向上任取一点 过该点作纵轴的 平行线 比较该平行线与两直线的交点的纵坐标的大小 所以 甲比乙快 变式变式 2 2 小高从家骑自行车去学校上学 先走上坡路到达点 A 再走下坡路到达点 B 最后走平路到达学校 所用的时间与路程的关系如图所示 放学后 如果他沿原路返回 且走平路 上坡路 下坡路的速度分别保持和去上学时一致 那么他从学校到家需要的时 间是 A 14 分钟 B 17 分钟 C 18 分钟 D 20 分钟 4 答案答案 D 分析 由图象可知 上坡速度为 80 米 分 下坡速度为 200 米 分 走平 路速度为 100 米 分 原路返回 走平路需要 8 分钟 上坡路需要 10 分钟 下坡路需要 2 分钟 一共 20 分钟 变式变式 3 3 某种洗衣机在洗涤衣服时 经历了进水 清洗 排水 脱水四个连续的过程 其中进水 清洗 排水时洗衣机中的水量 y 升 与时间 x 分钟 之间的关系如图所示 根据图象解答下列问题 1 洗衣机的进水时间是多少分钟 清洗时洗衣机中的水量是多少升 2 已知洗衣机的排水速度为每分钟 19 升 求排水时 y 与 x 之间的关系式 如果排水时间为 2 分钟 求排水结束时洗衣机中剩下的水量 分析 分析 依题意解读图象可知 从 0 4 分钟在进水 4 15 分钟在清洗 此时 洗衣机 内有水 40 升 15 分钟后开始放水 解 解 1 洗衣机的进水时间是 4 分钟 清洗时洗衣机中的水量是 40 升 2 排水时 y 与 x 之间的关系式为 y 40 19 x 15 即 y 19x 325 如果排水时间为 2 分钟 则 x 15 2 即 x 17 此时 y 40 19 2 2 所以 排水结束时洗衣机中剩下的水量为 2 升 类型四 一次函数的性质类型四 一次函数的性质 4 己知一次函数 y kx 十 b 的图象交 x 轴于点 A 一 6 0 交 y 轴于点 B 且 AOB 的面积为 12 y 随 x 的增大而增大 求 k b 的值 思路点拨 思路点拨 设函数的图象与 y 轴交于点 B 0 b 则 OB 由 AOB 的面积 可求出 b 又由点 A 在直线上 可求出 k 并由函数的性质确定 k 的取值 解析 解析 直线 y kx 十 b 与 y 轴交于点 B 0 b 点 A 在直线上 则 由 即 解得代入 可得 由于 y 随 x 的增大而增大 则 k 0 取则 总结升华 总结升华 该题考查的是待定系数法和函数值 仔细观察所画图象 找出隐含条件 5 举一反三 举一反三 变式变式 1 1 已知关于 x 的一次函数 1 m 为何值时 函数的图象经过原点 2 m 为何值时 函数的图象经过点 0 2 3 m 为何值时 函数的图象和直线 y x 平行 4 m 为何值时 y 随 x 的增大而减小 解析 解析 1 由题意 m 需满足 故 m 3 时 函数的图象经过原点 2 由题意得 m 需满足 故 时 函数的图象经过点 0 2 3 由题意 m 需满足 故 m 4 时 函数的图象平行于直线 y x 4 当 3 m 0 时 即 m 3 时 y 随 x 的增大而减小 变式变式 2 2 若直线 不经过第一象限 则k b的取值范围是 答案答案 k 0 b 0 分析 直线不经过第一象限 有可能是经过二 四象限或经 过二 三 四象限 注意不要漏掉经过原点的情况 变式变式 3 3 直线 l1 与直线 l2 在同一坐标系中的大致位置是 A B C D 答案答案 C 分析 对于 A 从 l1看 k 0 b 0 从 l2看 b 0 k 0 所以 k b 的取值自相矛盾 排除掉 A 对于 B 从 l1看 k 0 b 0 从 l2看 b 0 k 0 所以 k b 的取值自相矛盾 排除掉 B D 答案同样是矛盾的 只有 C 答案才符合要求 变式变式 4 4 函数在直角坐标系中的图象可能是 答案答案 B 分析 不论 k 为正还是为负 都大于 0 图象应该交于 x 轴上方 故 选 B 类型五 一次函数综合类型五 一次函数综合 6 5 已知 如图 平面直角坐标系中 A 1 0 B 0 1 C 1 0 过点 C 的直线绕 C 旋转 交 y 轴于点 D 交线段 AB 于点 E 1 求 OAB 的度数及直线 AB 的解析式 2 若 OCD 与 BDE 的面积相等 求直线 CE 的解析式 若 y 轴上的一点 P 满足 APE 45 请直接 写出点 P 的坐标 思路点拨 思路点拨 1 由 A B 两点的坐标知 AOB 为等腰直角三角形 所以 OAB 45 2 OCD 与 BDE 的面积相等 等价于 ACE 与 AOB 面积相等 故可求 E 点坐标 从而得到 CE 的解析式 因为 E 为 AB 中点 故 P 为 0 0 时 APE 45 解析 解析 1 A 1 0 B 0 1 OA OB 1 AOB 为等腰直角三角形 OAB 45 设直线 AB 的解析式为 y kx b 将 A 1 0 B 0 1 代入 解得 k 1 b 1 直线 AB 的解析式为 y x 1 2 即 将其代入 y x 1 得 E 点坐标 设直线 CE 为 y kx b 将点 C 1 0 点 E 代入 解得 k b 直线 CE 的解析式 点 E 为等腰直角三角形斜边的中点 当点 P 0 0 时 APE 45 总结升华 总结升华 考虑面积相等这个条件时 直接算比较困难 往往采取补全成一个容易计 算的面积来解决问题 举一反三 举一反三 变式变式 1 1 在长方形 ABCD 中 AB 3cm BC 4cm 点 P 沿边按 A B C D 的方向向点 7 D 运动 但不与 A D 两点重合 求 APD 的面积 y 与点 P 所行的路程 x cm 之间的 函数关系式及自变量的取值范围 答案答案 当 P 点在 AB 上运动时 当 P 点在 BC 上运动时 当 P 点在 CD 上运动是 变式变式 2 2 如图 直线与 x