【赢在课堂】高考数学一轮复习 9.9直线与圆锥曲线的位置关系配套训练 理 新人教A版VIP

1 第第 9 9 讲讲 直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系 基础巩固 1 1 AB为过椭圆 1 中心的弦 F c 0 为该椭圆的焦点 则 FAB的最大面积为 A b2B abC acD bc 答案 D 解析 设A B两点的坐标为 x1 y1 x1 y1 则S FAB OF 2y1 c y1 bc 2 2 过双曲线x2 y2 4 上任一点M作它的一条渐近线的垂线段 垂足为N O是坐标原点 则 OMN的面 积是 A 1B 2C 3D 不确定 答案 A 解析 过双曲线上任一点M x0 y0 作渐近线y x的垂线 垂足分别为N N MN MN 2 故S OMN 1 3 3 双曲线x2 y2 1 的左焦点为F 点P为其左支下半支上任意一点 异于顶点 则直线PF的斜率的变 化范围是 A 0 B 1 C 0 1 D 1 1 答案 C 解析 数形结合法 与渐近线斜率比较 可得答案为 C 4 4 抛物线的顶点在原点 焦点在x轴上 而且被直线 2x y 1 0 所截得的弦长等于 则抛物线的方程 是 A y2 12x或y2 4x B y2 4x或y2 12x C y2 10 x或y2 4x D y2 6x或y2 10 x 答案 B 解析 设所求抛物线为y2 ax a R R 且a 0 由得 2y2 ay a 0 若弦两端点纵坐标分别为y1和y2 则 y1 y2 于是弦长 解得a 12 或a 4 5 5 已知椭圆 1 若在此椭圆上存在不同的两点A B关于直线y 4x m对称 则实数m的取值范围是 A B C D 答案 B 解析 设A x1 y1 B x2 y2 AB的中点为M x y 由题意知kAB x1 x2 2x y1 y2 2y 3 4 12 3 4 12 两式相减得 3 4 0 即y1 y2 3 x1 x2 即y 3x 与y 4x m联立得x m y 3m 而M x y 在椭圆的内部 则 1 即 m1 时 直线y ax a恒在抛物线y x2的下方 则a的取值范围是 答案 4 解析 由题意联立整理可得x2 ax a 0 由 a2 4a 0 解得a 0 或a 4 此时直线与抛物线相切 因为直线横过定点 1 0 结合图形可知当a 4 x 1 时直线y ax a恒在抛物线y x2的下方 8 8 已知直线l与椭圆x2 2y2 2 交于P1 P2两点 线段P1P2的中点为P 设直线l的斜率为k1 k1 0 直线OP的斜率为k2 则k1k2的值等于 答案 解析 设P1 x1 y1 P2 x2 y2 则P k2 k1 k1k2 由相减得 故k1k2 9 9 过抛物线x2 2py p 0 的焦点作斜率为 1 的直线与该抛物线交于A B两点 A B在x轴上的正射影 分别为D C 若梯形ABCD的面积为 12 则p 答案 2 解析 抛物线的焦点为 设A x1 y1 B x2 y2 直线AB的方程为y x 即y x 联立消去y 得x2 2px p2 0 x1 1 p x2 1 p y1 y2 x1 x2 2p p 3p CD x1 x2 2p 由S梯形ABCD AD BC CD 3p 2p 12 解得p2 4 p 2 p 0 p 2 1010 已知双曲线方程 x2 1 则以A 2 1 为中点的弦所在直线l的方程是 答案 6x y 11 0 解析 设l与双曲线交于P x1 y1 和Q x2 y2 则 得 x2 x1 x2 x1 y2 y1 y2 y1 0 而x1 x2 4 y1 y2 2 4 x2 x1 y2 y1 0 6 即kl 6 点A 2 1 在双曲线的内部 直线l的方程为y 1 6 x 2 即 6x y 11 0 1111 已知点A 0 2 和抛物线C y2 6x 求过点A且与抛物线C相切的直线l的方程 解 设直线l的方程为y kx 2 这个方程与抛物线C的方程联立 得方程组 当k 0 时 由方程组得 6x 4 x 可知此时直线l与抛物线相交于点 当k 0 时 由方程组消去x 得方程 ky2 6y 12 0 关于y的二次方程 的判别式 36 48k 由 0 得k 可知此时直线l与抛物线C有一个 公共点 即它们相切 直线l的方程为 3x 4y 8 0 当直线l的斜率不存在时 直线l就是y轴 其方程为x 0 所以 直线l的方程为 3x 4y 8 0 或x 0 1212 已知椭圆 1 a b 0 的一个焦点在直线l x 1 上 其离心率e 设P Q为椭圆上不同的两点 且弦 PQ的中点T在直线l上 点R 1 求椭圆的方程 2 试证 对于所有满足条件的P Q 恒有 RP RQ 解 1 椭圆的一个焦点在直线l x 1 上 所以c 1 3 又因为离心率e 即 所以a 2 从而b2 3 所以椭圆的方程为 1 2 证明 设T 1 y0 P x1 y1 Q x2 y2 则 x2 x1 y2 y1 x2 x1 y0 y2 y1 又因为P Q都在椭圆 1 上 所以 1 1 两式相减得 x1 x2 x1 x2 y1 y2 y1 y2 0 因为点T是PQ的中点 所以x1 x2 2 y1 y2 2y0 于是 x1 x2 y0 y1 y2 0 所以 x1 x2 y0 y1 y2 0 即 0 所以 即RT是线段PQ的垂直平分线 所以恒有 RP RQ 1313 已知椭圆C1 1 a b 0 的右顶点为A 1 0 过C1的焦点且垂直长轴的弦长为 1 1 求椭圆C1的方程 2 设点P在抛物线C2 y x2 h h R R 上 C2在点P处的切线与C1交于点M N 当线段AP的中点与MN 的中点的横坐标相等时 求h的最小值 解 1 由题意 得 从而 因此 所求的椭圆方程为 x2 1 2 设M x1 y1 N x2 y2 P t t2 h 则抛物线C2在点P处的切线斜率为y x t 2t 直线MN的方程为y 2tx t2 h 将上式代入椭圆C1的方程中 得 4x2 2tx t2 h 2 4 0 即 4 1 t2 x2 4t t2 h x t2 h 2 4 0 因为直线MN与椭圆C1有两个不同的交点 所以 式中的 1 16 t4 2 h 2 t2 h2 4 0 设线段MN的中点的横坐标是x3 则 x3 设线段PA的中点的横坐标是x4 则x4 由题意 得x3 x4 即t2 1 h t 1 0 由 式中的 2 1 h 2 4 0 得h 1 或h 3 当h 3 时 h 2 0 4 h2 0 则不等式 不成立 所以h 1 当h 1 时 代入方程 得t 1 将h 1 t 1 代入不等式 检验成立 所以 h的最小值为 1 拓展延伸 1414 2012 2012 辽宁卷 2020 如图 动圆C1 x2 y2 t2 1 t 3 与椭圆C2 y2 1 相交于A B C D四点 点 A1 A2分别为C2的左 右顶点 4 1 当t为何值时 矩形ABCD的面积取得最大值 并求出其最大面积 2 求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程 解 1 设A x0 y0 则矩形ABCD的面积S 4 x0 y0 由 1 得 1 从而 当时 Smax 6 从而t 时 矩形ABCD的面