【步步高】2014届高三数学一轮 9.7 抛物线课时检测 理 （含解析）北师大版

1 9 79 7 抛物线抛物线 一 选择题 1 抛物线x2 2a 1 y的准线方程是y 1 则实数a A B C D 5 2 3 2 1 2 3 2 解析 根据分析把抛物线方程化为x2 2y 则焦参数p a 1 2 a 1 2 故抛物线的准线方程是y 则 1 解得a p 2 1 2 a 2 1 2 a 2 3 2 答案 D 2 若抛物线y2 2px p 0 的焦点在圆x2 y2 2x 3 0 上 则p A B 1 1 2 C 2 D 3 解析 抛物线y2 2px p 0 的焦点为 0 在圆x2 y2 2x 3 0 上 p 3 0 p 2 p2 4 解得p 2 或p 6 舍去 答案答案 C C 3 已知抛物线y2 2px p 0 的准线与圆x2 y2 6x 7 0 相切 则p的值为 A B 1 C 2 D 4 1 2 解析 抛物线y2 2px p 0 的准线为x 圆x2 y2 6x 7 0 即 x 3 p 2 2 y2 16 则圆心为 3 0 半径为 4 又因抛物线y2 2px p 0 的准线与圆 x2 y2 6x 7 0 相切 所以 3 4 解得p 2 p 2 答案 C 4 已知直线l过抛物线C的焦点 且与C的对称轴垂直 l与C交于A B两点 AB 12 P为C的准线上一点 则 ABP的面积为 A 18 B 24 C 36 D 48 解析 如图 设抛物线方程为 y2 2px p 0 当x 时 y p p 2 p 6 AB 2 12 2 又P到AB的距离始终为p 2 S ABP 12 6 36 1 2 答案 C 5 过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点 点是原点 若 则 2 4yx F A BO3AF 的面积为 AOB A B C D 2 2 2 3 2 2 2 2 答案 C 6 将两个顶点在抛物线y2 2px p 0 上 另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记 为n 则 A n 0 B n 1 C n 2 D n 3 解析 结合图象可知 过焦点斜率为和 的直线与抛物线各有两个交点 所以能够构 3 3 3 3 成两组正三角形 本题也可以利用代数的方法求解 但显得有些麻烦 答案 C 7 已知点P是抛物线y2 2x上的一个动点 则点P到点 0 2 的距离与P到该抛物线准线 的距离之和的最小值为 A B 3 C D 17 25 9 2 解析 依题设P在抛物线准线的投影为P 抛物线的焦点为F 则F 依抛物线的定 1 2 0 义知P到该抛物线准线的距离为 PP PF 则点P到点A 0 2 的距离与P到该抛物线 准线的距离之和d PF PA AF 1 2 2 22 17 2 答案 A 二 填空题 8 设抛物线y2 2px p 0 的焦点为F 点A 0 2 若线段FA的中点B在抛物线上 则B 到该抛物线准线的距离为 解析 设抛物线的焦点F 由B为线段FA的中点 所以B 代入抛物线方程得 p 2 0 p 4 1 p 则B到该抛物线准线的距离为 2 p 4 p 2 3p 4 3 2 4 3 答案 3 2 4 9 已知动圆过点 1 0 且与直线x 1 相切 则动圆的圆心的轨迹方程为 解析 设动圆的圆心坐标为 x y 则圆心到点 1 0 的距离与其到直线x 1 的距离相 等 根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2 4x 答案 y2 4x 10 已知抛物线y2 4x的焦点为F 准线与x轴的交点为M N为抛物线上的一点 且满 足 NF MN 则 NMF 3 2 解析 过N作准线的垂线 垂足是P 则有PN NF PN MN NMF MNP 又 3 2 cos MNP 3 2 MNP 即 NMF 6 6 答案 6 11 设圆C位于抛物线y2 2x与直线x 3 所围成的封闭区域 包含边界 内 则圆C的半 径能取到的最大值为 解析 依题意 结合图形的对称性可知 要使满足题目约束条件的圆的半径最大 圆心位 于x轴上时才有可能 可设圆心坐标是 a 0 0 a 3 则由条件知圆的方程是 x a 2 y2 3 a 2 由Error 消去y得x2 2 1 a x 6a 9 0 结合图形分析可知 当 2 1 a 2 4 6a 9 0 且 0 a 3 即a 4 时 相应的圆满足题目约束条件 6 因此所求圆的最大半径是 3 a 1 6 答案 1 6 12 过抛物线 2 2yx 的焦点F作直线交抛物线于 A B两点 若 25 12 ABAFBF 则AF 答案 5 6 三 解答题 4 13 在平面直角坐标系xOy中 抛物线C的顶点在原点 经过点A 2 2 其焦点F在x轴 上 1 求抛物线C的标准方程 2 设直线l是抛物线的准线 求证 以AB为直径的圆与准线l相切 解析 1 设抛物线y2 2px p 0 将点 2 2 代入得p 1 y2 2x为所求抛物线的方程 2 证明 设lAB的方程为 x ty 代入y2 2x得 y2 2ty 1 0 设AB的中点为 1 2 M x0 y0 则y0 t x0 1 2t2 2 点M到准线l的距离d x0 1 t2 又 1 2 1 2t2 2 1 2 AB 2x0 p 1 2t2 1 2 2 2t t2 2 d AB 故以AB为直径的圆与准线l相切 1 2 14 抛物线的顶点在原点 以x轴为对称轴 经过焦点且倾斜角为 135 的直线 被抛物 线所截得的弦长为 8 试求该抛物线的方程 解析 依题意 设抛物线方程为y2 2px p 0 则直线方程为y x p 1 2 设直线交抛物线于A x1 y1 B x2 y2 两点 过A B分别作准线的垂线 垂足分别为C D 则由抛物线定义得 AB AF FB AC BD x1 x2 p 2 p 2 即x1 x2 p 8 又A x1 y1 B x2 y2 是抛物线和直线的交点 由Error 消去y 得x2 3px 0 所以x1 x2 3p p2 4 将其代入 得p 2 所以所求抛物线方程为y2 4x 当抛物线方程设为y2 2px p 0 时 同理可求得抛物线方程为y2 4x 综上 所求抛物线方程为y2 4x或y2 4x 点评 1 根据问题的条件 抛物线方程可能是y2 2px p 0 也可能是 y2 2px p 0 任何一种情况都不要漏掉 5 2 要由定 性 和 量 两个方面来确定抛物线的方程 定 性 即确定开口方向 便于 设抛物线的方程 定 量 即求所设方程中的参数p 15 设抛物线y2 2px p 0 的焦点F Q是抛物线上除顶点外的任意一点 直线QO交准 线于P点 过Q且平行于抛物线对称轴的直线交准线于R点 求证 0 PF RF 证明 y2 2px p 0 的焦点F准线为x p 2 0 p 2 设Q x0 y0 x0 0 则R p 2 y0 直线OQ的方程为y x 此直线交准线x 于P点 y0 x0 p 2 易求得P y 2px0 p 2 py0 2x0 2 0 p y0 p2 p2 p2 0 PF RF p py0 2x0 py2 0 2x0 16 如图所示 抛物线关于x轴对称 它的顶点在坐标原点 点P 1 2 A x1 y1 B x2 y2 均在抛物线上 1 写出该抛物线的方程及其准线方程 2 当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时 求y1 y2的值及直线AB的斜率 解析 1 由已知条件 可设抛物线的方程为y2 2px p 0 点P 1 2 在抛物线上 22 2p 1 解得p 2 故所求抛物线的方程是y2 4x 准线方程是x 1 2 设直线PA的斜率为kPA 直线PB的斜率为kPB 则kPA x1 1 kPB x2 1 y1 2 x1 1 y2 2 x2 1 PA与PB的斜率存