直线与圆锥曲线的位置关系教案

1 课题 课题 直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系 高考要求高考要求 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 1 头 头 头 头头 头 头头 头 头头 头 头 头头 wxckt wxckt 头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头头 头 头掌握直线与圆锥曲线公共点问题 相交弦问题以及它们的综合应用 头 头 头 头头 头 头头 头 头头 头 头 头头 wxckt wxckt 头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头头 头 头解决 这些问题经常转化为它们所对应的方程构成的方程组是否有解或解的个数问题 头 头 头 头头 头 头头 头 头头 头 头 头头 wxckt wxckt 头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头头 头 头 2 头 头 头 头头 头 头头 头 头头 头 头 头头 wxckt wxckt 头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头头 头 头会运用 设而不求 解决相交弦长问题及中点弦问题 3 头 头 头 头头 头 头头 头 头头 头 头 头头 wxckt wxckt 头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头头 头 头会利用圆锥曲线的焦半径公式解决焦点弦的问题 头 头 头 头头 头 头头 头 头头 头 头 头头 wxckt wxckt 头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头头 头 头 掌握求焦半径以及利用 焦半径解题的方法 头 头 头 头头 头 头头 头 头头 头 头 头头 wxckt wxckt 头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头头 头 头 4 头 头 头 头头 头 头头 头 头头 头 头 头头 wxckt wxckt 头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头头 头 头会用弦长公式 AB x2 x1 求弦的长 2 1k 5 头 头 头 头头 头 头头 头 头头 头 头 头头 wxckt wxckt 头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头头 头 头会利用 设点代点 设而不求 的方法求弦所在直线的方程 如中点弦 相交弦等 弦的中点的轨迹等 头 头 头 头头 头 头头 头 头头 头 头 头头 wxckt wxckt 头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头头 头 头 一 一 复习目标复习目标 一 知识目标 1 掌握用坐标法判断直线与圆锥曲线的位置关系 进一步体会曲线方 程的解与曲线上点的坐标之间的关系 2 领会中点坐标公式和弦长公式及韦达定理在解题中的灵活应用 3 理解 点差法 在解决直线与圆锥曲线位置关系中的解题技巧 二 能力目标 1 通过多媒体课件的演示 培养学生发现运动规律 认识规律的能力 2 培养学生运用方程思想 分类讨论 数形结合思想解决问题的能 力 三 情感目标 1 通过课件的演示获得培养学生探索数学的兴趣 2 通过师生 生生的合作学习 树立竞争意识与合作精神 感受学习 交流带来的成功感 激发提出问题和解决问题的勇气 树立自信心 二 二 教学重点与难点教学重点与难点 重点 直线与圆锥曲线的位置关系的判定及方程思想 分类讨论思想 数形结合思想运用 难点 等价转换 点差法 设而不求在解题中的灵活应用 三 方法指导方法指导 1 在研究直线与圆锥曲线的交点个数问题时 不要仅由判别式进行判 断 一定要注意二次项的系数对交点个数的影响 2 涉及弦长问题时 利用弦长公式及韦达定理求解 涉及弦的中点及 中点弦问题 利用点差法较为简便 3 要注意判别式和韦达定理在解题中的作用 应用判别式 可以确定 直线和圆锥曲线的位置关系 确定曲线中的参数取值范围 求几何极 2 值等 应用韦达定理 可以解先相交时的弦长问题 弦的中点问题或 最值问题 4 要重视方程思想 等价转换思想 分类讨论 数形结合等数学思想 的运用 四 教具准备教具准备 多面体课件 五 五 教学过程教学过程 一 基础整合 一 基础整合 1 直线与圆的位置关系的判断 由圆心到直线的距离 d 与圆半径 r 比较 大小判断位置关系 1 当 时 直线与圆相交 2 当 时 直 线与圆相切 3 当 时 直线与圆 相离 2 直线与圆锥曲线的位置关系的判断 注意 当 a 0 时 即得到一个一次方程 则直线与 C 相交 且 只有一个交点 此时 若曲线 C 为双曲线 则直线平行与渐近线 若曲线 C 为抛物线 则直线平行与抛物线的对称轴 直线与抛物线 双曲线有一个 公共点是直线与抛物线 双曲线相切的必要条件 但不是充分条件 3 直线与圆锥曲线相交的弦长公式 设直线l y kx n 圆锥曲线 F x y 0 它们的交点为 A x1 y1 B x2 y2 且由 消去 y ax2 bx c 0 a 0 b2 nkxy yxF0 4ac 则弦长公式为 AB 2 21 2 21 yyxx 2 1k 21 xx 21 2 1 1yy k 焦点弦长 点是圆锥曲线上的任意一点 是焦点 是 PF e d PFd 到相应于焦点的准线的距离 是离心率 PFe 二 例题讲解 二 例题讲解 例 1 曲线x2 y2 1 的左焦点为F P为双曲线在第三象限内的任一点 则kPF的取值范围是 演示 A k 0 或k 1 B k 0 或k 1 C k 1 或k 1 D k 1 或k 1 例 2 中心在原点 一个焦点为 F1 0 的椭圆截直线所得5023 xy 3 弦的中点横坐标为 求椭圆的方程 2 1 解析 设椭圆的标准方程为 由 F1 0 得 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 50 50 22 ba 把直线方程代入椭圆方程整理得 23 xy0 4 12 9 222222 abxbxba 设弦的两个端点为 则由根与系数的关系得 2211 yxByxA 又 AB 的中点横坐标为 22 2 21 9 12 ba b xx 2 1 2 1 9 6 2 22 2 21 ba bxx 与方程联立可解出 22 3ba 50 22 ba25 75 22 ba 故所求椭圆的方程为 1 2575 22 yx 点评 根据题意 可设椭圆的标准方程 与直线方程联立解方程组 利用韦达定理及中点坐标公式 求出中点的横坐标 再由 F1 0 知 c 最后解关于 a b 的方程组即505050 22 ba 可 例 3 已知抛物线与直线 2 1 2 yxax 2yx 求证 抛物线与直线相交 求当抛物线的顶点在直线的下方时 的取值范围 a 当 在的取值范围内时 求抛物线截直线所得弦长的最小值 头 头 头 头头 头 头头 头 头头 头 头 头头 wxckt wxckt 头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头头 头 头 a 2 分析 熟练掌握综合运用判别式 不等式讨论直线与圆锥曲线的位置 关系 直线与曲线相交弦长等问题 解 1 由 2 2 1 2 yx yxax 2 2 42 10 xa x 2 42 80 a 直线与抛物线总相交 头 头 头 头头 头 头头 头 头头 头 头 头头 wxckt wxckt 头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头头 头 头 2 2 22 12 224 aa yxaxx 其顶点为 且顶点在直线 的下方 2 2 24 a a 2yx 2 2 2 42 aa 即 头 头 头 头头 头 头头 头 头头 头 头 头头 wxckt wxckt 头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头头 头 头 2 4202222aaa 设直线与抛物线的交点为 1122 A x yB xy 12 12 24 2 2 1 2 a xxa xx 4 2 22 12 2 2522 ABaa 2222 a 当 头 头 头 头头 头 头头 头 头头 头 头 头头 wxckt wxckt 头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头头 头 头 min 210aAB 时 点评 直线与圆锥曲线相交的问题经常转化为它们所对应的方程构 成的 方程组是否有解的问题 头 头 头 头头 头 头头 头 头头 头 头 头头 wxckt wxckt 头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头头 头 头 运用 设而不求 求弦长 头 头 头 头头 头 头头 头 头头 头 头 头头 wxckt wxckt 头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头头 头 头 例 4 已知双曲线和定点 2 2 1 4 x y 1 2 2 P I 过点可以做几条直线与双曲线只有一个公共点 PC II 双曲线的弦中 以点为中点的弦是否存在 并说明理由 头 头 头 头头 头 头头 头 头头 头 头 头头 wxckt wxckt 头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头头 头 头 CP 12 PP 分析 能够综合运用直线方程 双曲线方程及对称性等几何性质来研究 直线与双曲线的位置关系 头 头 头 头头 头 头头 头 头头 头 头 头头 wxckt wxckt 头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头头 头 头 解 I 设过定点的直线 的方程为 1 2 2 Pl 1 2 2 yk x 则 2 2 1 2 2 1 4 yk x x y 222 1 4 4 16 1685 0kxkk xkk 当时 即 2 1 40k 1 2 k 解得或与双曲线分别交于和 5 2 x 13 6 xl C 5 3 2 4 13 5 6 6 当时 由得 2 1 40k 0 850k 即得切线切点为 5 8 k 15 2 28 yx 10 4 33 另一切线为 切点为2x 2 0 过点有 4 条直线与双曲线只有一个公共点 头 头 头 头头 头 头头 头 头头 头 头 头头 wxckt wxckt 头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头头 头 头 P II 设点为中点 111222 P x yP xyP 则 1212 4 1xxyy 因为满足双曲线方程 111222 P x yP xy 所以 2 2 1 1 1 4 x y 2 2 2 2 1 4 x y 相减得 1 2 1212 1212 1 4 PP yyxx k xxyy 若弦存在 则必为 12 P P 1 2 2 yx 代入双曲线方程得 2 312130 xx 方程的判别式 说明中点弦不存在 头 头 头 头头 头 头头 头 头头 头 头 头头 wxckt wxckt 头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头头 头 头 2 1212 130 12 PP 点评 要明确判断直线与双曲线仅有一个公共点的方法步骤 用 点差法 和 设而不求 的方法处理中点弦 头 头 头 头头 头 头头 头 头头 头 头 头头 wxckt wxckt 头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头头 头 头 例 5 在抛物线y2 4x上恒有两点关于直线y kx 3 对称 求k的取值范 5 围 分析 设B C两点关于直线y kx 3 对称 易得直线 BC x ky m 由B C两点关于直线y kx 3 对称可得m与k的关系 式 而直线BC与抛物线有两交点 0 即可求得k的范围 头 头 头 头头 头 头头 头 头头 头 头 头头 wxckt wxckt 头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头头 头 头 解法一 设B C关于直线y kx 3 对称 直线BC方程为x ky m 代 入y2 4x 得y2 4ky 4m 0 设B x1 y1 C x2 y2 BC中点M x0 y0 则y0 2k x0 2k2 m 头 头 头 头头 头 头头 头 头头 头 头 头头 wxckt wxckt 头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头头 头 头 2 21 yy 点M x0 y0 在直线l上 2k k 2k2 m 3 头 头 头 头头 头 头头 头 头头 头 头 头头 wxckt wxckt 头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头头 头 头 m 头 头 头 头头 头 头头 头 头头 头 头 头头 wxckt wxckt 头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头头 头 头 k kk322 3 又 BC与抛物线交于不同两点 16k2 16m 0 头 头 头 头头 头 头头 头 头头 头 头 头头 wxckt wxckt 头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头头 头 头 把m代入化简得 0 k kk32 3 即 0 解得 1 k 0 头 头 头 头头 头 头头 头 头头 头 头 头头 wxckt wxckt 头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头头 头 头 k kkk 3 1 2 解法二 点差法 设B x1 y1 C x2 y2 BC中点 M x0 y0 必在曲线内部且x1 x2 2 x0 y1 y2 2y0 由 22 12 1122 12120 42 4 4 yy yx yx xxyyy 00 0 2123 2 k yk x ykk 即BC中点M 的坐标为必在曲线y2 4x内部 头 头 头 头头 头 头头 头 头头 头 头 头头 wxckt wxckt 头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头头 头 头 23 2 k k k 2 23 2 4 k k k 头 头 头 头头 头 头头 头 头头 头 头 头头 wxckt wxckt 头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头头 头 头 32 23 1 3 0010 kkkkk k kk 评述 对称问题是高考的热点之一 由对称易得两个关系式 头 头 头 头头 头 头头 头 头头 头 头 头头 wxckt wxckt 头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头头 头 头本题运 用了 设而不求 解决本题的关键是由B C两点在抛物线上得 0 头 头 头 头头 头 头头 头 头头 头 头 头头 wxckt wxckt 头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头头 头 头 三 三 课堂小结课堂小结 1 由于直线与圆锥曲线的位置关系一直为高考的热点 这类问题常涉 及到圆锥曲线的性质和直线的基本知识点 线段的中点 弦长 垂直问题 因此分析问题时常利用数形结合思想 设而不求法与弦长公式及韦达定理 联系去解决 这样就加强了对数学各种能力的考查 2 直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题 实际上是研究 它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题 对消元后的 一元二次方程 此时要注意必须讨论二次项的系数和判别式 有时借助 6 图形的几何性质更方便 用好分类讨论和数形结合的思想方法 3 当直线与圆锥曲线相交时 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 涉及弦长问题 常用 韦达定理法 设 而不求计算弦长 即应用弦长公式 涉及弦长的中点问题 常用 点差法 设而不求 将弦所在直线的斜率 弦的中点坐标联系起来 相互转化 同 时还应充分挖掘题目的隐含条件 寻找量与量间的关系灵活转化 往往就 能事半功倍 四 随堂练习 四 随堂练习 1 过点 2 4 作直线与抛物线y2 8x只有一个公共点 这样的直线有 A 头 头 头 头头 头 头头 头 头头 头 头 头头 wxckt wxckt 头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头头 头 头1 条 B 头 头 头 头头 头 头头 头 头头 头 头 头头 wxckt wxckt 头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头头 头 头2 条 C 头 头 头 头头 头 头头 头 头头 头 头 头头 wxckt wxckt 头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头头 头 头3 条 D 头 头 头 头头 头 头头 头 头头 头 头 头头 wxckt wxckt 头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头头 头 头4 条 答案 B 解析 数形结合法 同时注意点在曲线上的情况 头 头 头 头头 头 头头 头 头头 头 头 头头 wxckt wxckt 头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头头 头 头 2 已知双曲线C x2 1 过点P 1 1 作直线l 使l与C有且 4 2 y 只有一个公共点 则满足上述条件的直线l共有 A 头 头 头 头头 头 头头 头 头头 头 头 头头 wxckt wxckt 头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头头 头 头1 条 B 头 头 头 头头 头 头头 头 头头 头 头 头头 wxckt wxckt 头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头头 头 头2 条 C 头 头 头 头头 头 头头 头 头头 头 头 头头 wxckt wxckt 头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头头 头 头3 条 D 头 头 头 头头 头 头头 头 头头 头 头 头头 wxckt wxckt 头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头头 头 头4 条 答案 D 解析 数形结合法 与渐近线平行 相切 头 头 头 头头 头 头头 头 头头 头 头 头头 wxckt wxckt 头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头头 头 头 3 已知对 直线与椭圆恒有公共点 则实数kR 10ykx 22 1 5 xy m 的取值范围是 m A 头 头 头 头头 头 头头 头 头头 头 头 头头 wxckt wxckt 头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头头 头 头 B 头 头 头 头头 头 头头 头 头头 头 头 头头 wxckt wxckt 头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头头 头 头 C 头 头 头 头头 头 头头 头 头头 头 头 头头 wxckt wxckt 头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头头 头 头 D 头 头 头 头头 头 头头 头 头头 头 头 头头 wxckt wxckt 头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头头 头 头 0 1 0 5 1 1 5 答案 C 头 头 头 头头 头 头头 头 头头 头 头 头头 wxckt wxckt 头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头头 头 头 解析 直线 恒过点 当点在椭圆上或椭圆10ykx 0 1 0 1 内时此直线恒与椭圆有公共点 1 且m 0 得m 1 头 头 头 头头 头 头头 头 头头 头 头 头头 wxckt wxckt 头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头头 头 头 m 1 4 已知双曲线中心在原点且一个焦点为 F 0 直线 y x 1 与其相7 交于 M N 两点 MN 中点的横坐标为 则此双曲线的方程是 3 2 A 头 头 头 头头 头 头头 头 头头 头 头 头头 wxckt wxckt 头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头头 头 头 B 头 头 头 头头 头 头头 头 头头 头 头 头头 wxckt wxckt 头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头头 头 头 C 头 头 头 头头 头 头头 头