1992考研数二真题及解析

BornBorn toto winwin 19921992 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一 填空题一 填空题 本题共本题共 5 5 小题小题 每小题每小题 3 3 分分 满分满分 1515 分分 把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上 1 设其中可导 且 则 3 1 t xf t yf e f 0 0 f 0t dy dx 2 函数在上的最大值为 2cosyxx 0 2 3 2 0 11 lim cos x x x ex 4 2 1 1 dx x x 5 由曲线与直线所围成的图形的面积 x yxe yex S 二 选择题二 选择题 本题共本题共 5 5 小题小题 每小题每小题 3 3 分分 满分满分 1515 分分 在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中 只有一项只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的 把所选项前的字母填在题后的括号内把所选项前的字母填在题后的括号内 1 当时 是的 0 x sinxx 2 x A 低阶无穷小 B 高阶无穷小 C 等价无穷小 D 同阶但非等价的无穷小 2 设 则 2 2 0 0 xx f x xx x A B 2 2 0 0 xx fx xx x 2 2 0 0 xx x fx xx C D 2 2 0 0 xx fx xx x 2 2 0 0 xx x fx xx 3 当时 函数的极限 1x 12 1 1 1 x x e x A 等于 2 B 等于 0 C 为 D 不存在但不为 4 设连续 则等于 f x 2 2 0 x F xf tdt F x A B 4 f x 24 x f x C D 4 2 xf x 2 2 xf x BornBorn toto winwin 5 若的导函数是 则有一个原函数为 f xsin x f x A B 1 sin x 1 sin x C D 1 cosx 1 cosx 三 三 本题共本题共 5 5 小题小题 每小题每小题 5 5 分分 满分满分 2525 分分 1 求 1 2 3 lim 6 x x x x 2 设函数由方程所确定 求的值 yy x 1 y yxe 2 2 0 x d y dx 3 求 3 2 1 x dx x 4 求 0 1 sin xdx 5 求微分方程的通解 3 20yx dxxdy 四 四 本题满分本题满分 9 9 分分 设 求 2 1 0 0 x xx f x ex 3 1 2 f xdx 五 五 本题满分本题满分 9 9 分分 求微分方程的通解 32 x yyyxe 六 六 本题满分本题满分 9 9 分分 计算曲线上相应于的一段弧的长度 2 ln 1 yx 1 0 2 x 七 七 本题满分本题满分 9 9 分分 求曲线的一条切线 使该曲线与切线 及直线所围成的平面图形yx ll0 2xx 面积最小 八 八 本题满分本题满分 9 9 分分 已知 试证 对任意的二正数和 恒有 0 0 0fxf 1 x 2 x 1212 f xxf xf x 成立 BornBorn toto winwin 19921992 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析 一 填空题一 填空题 本题共本题共 5 5 小题小题 每小题每小题 3 3 分分 满分满分 1515 分分 1 答案 3 解析 由复合函数求导法则可得 于是 33 3 1 tt dydy dte fe dxdx dtf t 0 3 t dy dx 相关知识点 复合函数求导法则 如果在点可导 而在点 ug x x yf x 可导 则复合函数在点可导 且其导数为 ug x yf g x x 或 dy f ug x dx dydy du dxdu dx 2 答案 3 6 解析 令 得内驻点 1 2sin0yx 0 2 6 x 因为只有一个驻点 所以此驻点必为极大值点 与端点值进行比较 求出最大值 又 0 2y 3 66 y 22 y 可见最大值为 3 66 y 3 答案 0 解析 由等价无穷小 有时 故0 x 222 11 11 22 xxx 2 2 00 1 11 2 limlim coscos xx xx x x exex 上式为 型的极限未定式 又分子分母在点处导数都存在 由洛必达法则 有 0 0 0 原式 0 lim0 sin x x x ex 4 答案 1 ln2 2 解析 令 b 原式 分项法 22 22 11 1 limlim 1 1 bb bb dxxx dx x xx x 2 1 1 lim 1 b b x dx xx 凑微分法 2 21 1 11 lim lnlim 21 b b bb xdx x 2 1 1 1 lim lnlimln 1 2 b b bb xx 2 1 lim lnln2 2 1 b b b BornBorn toto winwin 2 2 1 lim lnln2 12 b b b 1 ln1ln2 2 1 ln2 2 5 答案 1 2 e 解析 联立曲线和直线的方程 解得两曲线的交点为 则所围图形面积为 0 0 1 e 再利用分部积分法求解 得 1 0 x Sexxe dx 1 1 2 0 0 1 22 xx ee Sxxee dx 注 分部积分法的关键是要选好谁先进入积分号的问题 如果选择不当可能引起更繁杂的计 算 最后甚至算不出结果来 在做题的时候应该好好总结 积累经验 相关知识点 分部积分公式 假定与均具有连续的导函数 则 uu x vv x 或者 uv dxuvu vdx udvuvvdu 二 选择题二 选择题 本题共本题共 5 5 小题小题 每小题每小题 3 3 分分 满分满分 1515 分分 1 答案 B 解析 为 型的极限未定式 又分子分母在点处导数都存在 连续 2 0 sin lim x xx x 0 0 0 运用两次洛必达法则 有 故选 B 2 000 sin1 cossin limlimlim0 22 xxx xxxx xx 相关知识点 无穷小的比较 设在同一个极限过程中 为无穷小且存在极限 xx lim x l x 1 若称在该极限过程中为同阶无穷小 0 l xx 2 若称在该极限过程中为等价无穷小 记为 1 l xx xx 3 若称在该极限过程中是的高阶无穷小 记为 0 l x x xox 若不存在 不为 称不可比较 lim x x xx 2 答案 D 解析 直接按复合函数的定义计算 2 2 0 0 xx fx xxx 2 2 0 0 xx x xx 所以应选 D BornBorn toto winwin 3 答案 D 解析 对于函数在给定点的极限是否存在 需要判定左极限和右极限 0 x 0 xx 是否存在且相等 若相等 则函数在点的极限是存在的 0 xx 0 x 112 11 11 1 limlim 1 0 1 xx xx x exe x 112 11 11 1 limlim 1 1 xx xx x exe x 故当时函数没有极限 也不是 故应选 D 0 1x 4 答案 C 解析 2 22224 0 2 x F xf tdtfxxxf x 故选 C 相关知识点 对积分上限的函数的求导公式 若 均一阶可导 则 t t F tf x dx t t F ttfttft 5 答案 B 解析 由的导函数是 即 得 f xsin x sinfxx 其中为任意常数 sincosf xfx dxxdxxC C 所以的原函数 f x 其中为任意常数 12 cos sinF xf x dxxC dxxC xC 12 C C 令 得 故选 B 1 0C 2 1C 1 sinF xx 三 三 本题共本题共 5 5 小题小题 每小题每小题 5 5 分分 满分满分 2525 分分 1 答案 3 2 e 解析 此题考查重要极限 1 lim 1 x x e x 将函数式变形 有 6311 3 622 33 lim lim 1 66 xxx x xx x xx 3131 lim 6262 lim x xx xx x ee 3 2 e BornBorn toto winwin 2 答案 2 2e 解析 函数是一个隐函数 即它是由一个方程确定 写不出具体的解析式 yy x 方法方法 1 1 在方程两边对求导 将看做的函数 得xyx 即 0 yy yexey 1 y y e y xe 把代入可得 0 1xy 0 ye 两边再次求导 得 2 1 1 yyyyy y e yxeeexe y y xe 把 代入得 0 1xy 0 ye 0 y 2 2 2 0 2 x d y e dx 方法方法 2 2 方程两边对求导 得 x0 yy yexe y 再次求导可得 2 0 yyyy ye ye yxe yxe y 把代入上面两式 解得 0 1xy 0 ye 0 y 2 2 2 0 2 x d y e dx 相关知识点 1 复合函数求导法则 如果在点可导 而在点 ug x x yf x 可导 则复合函数在点可导 且其导数为 ug x yf g x x 或 dy f ug x dx dydy du dxdu dx 2 两函数乘积的求导公式 f xg xfxg xf xg x 3 分式求导公式 2 uu vuv vv 3 答案 其中为任意常数 3 22 2 1 1xxC C 解析 方法方法 1 1 积分的凑分法结合分项法 有 322 22 222 11 1 1 1 1 22 111 xxx dxdxdx xxx BornBorn toto winwin 22 2 11 1 1 2 1 xdx x 222 2 111 1 1 1 22 1 x dxdx x 其中为任意常数 3 22 2 1 1 1 3 xxC C 方法方法 2 2 令 则 tanxt 2 secdxtdt 3 322 2 tansectan sec sec1 sec 1 x dxttdttdttdt x 其中为任意常数 3 322 2 11 secsec 1 1 33 ttCxxC C 方法方法 3 3 令 则 2 tx 1 2 xt dx t 此后方法同方法 1 积分的凑分法结合分项法 3 2 1 21 1 xt dxdt t x 其中为任意常数 3 22 2 111 1 1 1 231 tdtxxC t C 4 答案 4 21 解析 注意不要轻易丢掉绝对值符号 绝对值函数的积分 2 f xf xf x 实际上是分段函数的积分 由二倍角公式 则有sin2sincos 22 2 22 1 sinsincos2sincossincos 222222 所以 2 000 1 sinsincossincos 2222 xxxx xdxdxdx 2 0 2 cossinsincos 2222 xxxx dxdx BornBorn toto winwin 2 0 2 2 sincos2cossin 2222 xxxx 4 21 5 答案 其中为任意常数 3 1 5 yCxx C 解析 所给方程为一阶线性非齐次方程 其标准形式为 2 11 22 yyx x 由一阶线性微分方程的通解公式 得 11 2 22 1 2 dxdx xx yex edxC 其中为任意常数 3 1 5 Cxx C 相关知识点 一阶线性非齐次方程的通解为 yP x yQ x 其中为任意常数 P x dxP x dx yeQ x edxC C 四 四 本题满分本题满分 9 9 分分 解析 分段函数的积分应根据积分可加性分段分别求积分 另外 被积函数的中间变量非 积分变量 若先作变量代换 往往会简化计算 令 则当时 当时 于是2xt dxdt 1x 1t 3x 1t 3101 2 1110 2 1 t f xdxf t dttdte dt 分段 0 1 3 0 1 171 33 t tte e 五 五 本题满分本题满分 9 9 分分 解析 所给方程为常系数的二阶线性非齐次方程 对应的齐次方程的特征方程 有两个根为 而非齐次项为单特征根 因而非齐 2 320rr 12 1 2rr 1 1 x xer 次方程有如下形式的特解 x Yx axb e 代入方程可得 所求解为 1 1 2 ab 其中为任意常数 2 12 2 2 xxx x yC eC exe 12 C C 相关知识点 1 二阶线性非齐次方程解的结构 设是二阶线性非齐次方程 yx BornBorn toto winwin 的一个特解 是与之对应的齐次方程 yP x yQ x yf x Y x 的通解 则是非齐次方程的通解 0yP x yQ x y yY xyx 2 二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法 对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解 可用特征方程法求解 即中的 均是常数 方 Y x 0yP x yQ x y P x Q x 程变为 其特征方程写为 在复数域内解出两个特征根0ypyqy 2 0rprq 12 r r 分三种情况 1 两个不相等的实数根 则通解为 12 r r 12 12 rxr x yC eC e 2 两个相等的实数根 则通解为 12 rr 1 12 rx yCC x e 3 一对共轭复根 则通解为其中 1 2 ri 12 cossin x yeCxCx 为常数 12 C C 3 对于求解二阶线性非齐次方程的一个特解 可用待定 yP x yQ x yf x yx 系数法 有结论如下 如果则二阶常系数线性非齐次方程具有形如 x m f xP x e kx m yxx Qx e 的特解 其中是与相同次数的多项式 而按不是特征方程的根 是特征方 m Qx m P xk 程的单根或是特征方程的重根依次取 0 1 或 2 如果 则二阶常系数非齐次线性微分方程 cos sin x ln f xeP xxP xx 的特解可设为 yp x yq x yf x 1 2 cos sin kx mm yx eRxxRxx 其中与是次多项式 而按 或 不是特征 1 m Rx 2 m Rxm max ml n ki i 方程的根 或是特征方程的单根依次取为或 01 六 六 本题满分本题满分 9 9 分分 解析 由于 2 ln 1 yx 22 2 222 2 1 1 1 1 xx yy xx 2 2 2 11 1 0 12 x dsy dxdxx x BornBorn toto winwin 所以 22 1 21 2 22 00 12 1 11 xx sdxdx xx 1 21 21 2 2 000 2111 1 1112 dxdxdx xxx 1 2 0 111 lnln3 122 x x 相关知识点 平面曲线弧长计算 已知平面曲线的显式表示为 则 AB yf x axb 弧微分为 弧长 其中在有连续的导 2 1 dsfx dx 2 1 b a sfx dx f x a b 数 七 七 本题满分本题满分 9 9 分分 解析 过曲线上已知点的切线方程为 其中当存在时 00 xy 00 yyk xx 0 y x 0 ky x 如