2013高考数学一轮复习 几何证明选讲第1讲平行截割定理与相似三角形教案 理 选修4-1

1 第第 1 1 讲讲 平行截割定理与相似三角形平行截割定理与相似三角形 2013 年高考会这样考 考查相似三角形的判定和性质定理的应用及直角三角形的射影定理的应用 复习指导 复习本讲时 只要掌握好教材上的内容 熟练教材上的习题即可达到高考的要求 该部分的 复习以基础知识 基本方法为主 掌握好解决问题的基本技能即可 基础梳理 1 平行截割定理 1 平行线等分线段定理及其推论 定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等 那么在任一条 与这组平行线相交 的 直线上截得的线段也相等 推论 经过梯形一腰的中点而且平行于底边的直线平分另一腰 2 平行截割定理及其推论 定理 两条直线与一组平行线相交 它们被这组平行线截得的对应线段成比例 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边 或两边的延长线 截得的三角形与原三角形 的对应边成比例 3 三角形角平分线的性质 三角形的内角平分线分对边成两段的长度比等于夹角两边长度的比 4 梯形的中位线定理 梯形的中位线平行于两底 并且等于两底和的一半 2 相似三角形 1 相似三角形的判定 判定定理 a 两角对应相等的两个三角形相似 b 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似 c 三边对应成比例的两个三角形相似 推论 平行于三角形一边的直线和其他两边相交 所构成的三角形与原三角形相似 直角三角形相似的特殊判定 斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似 2 相似三角形的性质 相似三角形的对应线段的比等于相似比 面积比等于相似比的平方 3 直角三角形射影定理 2 直角三角形一条直角边的平方等于该直角边在斜边上射影与斜边的乘积 斜边上的高的平方 等于两条直角边在斜边上射影的乘积 双基自测 1 如图所示 已知a b c 直线m n分别与a b c交于点A B C和 A B C 如果AB BC 1 A B 则B C 3 2 解析 由平行线等分线段定理可直接得到答案 答案 3 2 2 如图所示 BD CE是 ABC的高 BD CE交于F 写出图中所有与 ACE相似的三角形 解析 由 Rt ACE与 Rt FCD和 Rt ABD各共一个锐角 因而它们均相似 又易知 BFE A 故 Rt ACE Rt FBE 答案 FCD FBE ABD 3 2011 西安模拟 如图 在 ABC中 M N分别是AB BC的中点 AN CM交于点O 那 么 MON与 AOC面积的比是 解析 M N分别是AB BC中点 故MN綉AC 1 2 MON COA S MON S AOC MN2 AC2 1 4 答案 1 4 4 如图所示 已知DE BC BF EF 3 2 则AC AE AD DB 3 解析 DE BC AE AC DE BC EF BF BF EF 3 2 AC AE 3 2 AE AC EF BF 2 3 同理DE BC 得AB AD 3 2 即 AB AD 3 2 即 2 AD AB 2 3 AD AB AD 2 3 2 即 2 AD BD 2 1 AD BD 答案 3 2 2 1 5 2010 广东 如图 在直角梯形ABCD中 DC AB CB AB AB AD a CD 点 a 2 E F分别为线段AB AD的中点 则EF 解析 连接DE和BD 依题知 EB DC EB DC EBCD为平行四边形 a 2 CB AB DE AB 又E是AB的中点 故AD DB a E F分别是AD AB的中点 EF DB a 1 2 1 2 答案 a 2 考向一 平行截割定理的应用 例 1 2011 广州测试 二 在梯形ABCD中 AD BC AD 2 BC 5 点E F分别在 AB CD上 且EF AD 若 则EF的长为 AE EB 3 4 审题视点 把梯形的两腰BA CD分别延长交于一点 利用平行截割定理可求解 解析 如图所示 延长BA CD交于点P AD BC PA PB AD BC 2 5 又 AD EF 又 PA AB 2 3 AE EB 3 4 AE AB 3 7 PA AE 14 9 PA PE 14 23 AD EF PA PE 14 23 4 AD 2 EF 23 7 答案 23 7 在解题时要注意添加辅助线 训练 1 如图 在 ABC中 DE BC EF CD 若BC 3 DE 2 DF 1 则AB的长为 解析 由Error 又DF 1 故可解得AF 2 AD 3 AE AC AF AD DE BC 2 3 又 AB AD AB 2 3 9 2 答案 9 2 考向二 相似三角形的判定和性质的应用 例 2 已知 如图 在 ABC中 AB AC BD AC 点D是垂足 求证 BC2 2CD AC 审题视点 作AE BC 证明 AEC和 BDC相似即可 证明 过点A作AE BC 垂足为E CE BE BC 由BD AC AE BC 1 2 又 C C AEC BDC EC DC AC BC 1 2BC CD AC BC 即BC2 2CD AC 判定两个三角形相似要注意结合图形的性质特点灵活选择判定定理 在一个题目 中 相似三角形的判定定理和性质定理可能多次用到 训练 2 2011 惠州调研 如图 在 ABC中 5 DE BC DF AC AE AC 3 5 DE 6 则BF 解析 因为DE BC 所以 ADE ABC 所以 即 所以BC 10 又DF AC AE AC DE BC 3 5 6 BC 所以四边形DECF是平行四边形 故BF BC FC BC DE 10 6 4 答案 4 考向三 直角三角形射影定理的应用 例 3 已知圆的直径AB 13 C为圆上一点 过C作CD AB于D AD BD 若CD 6 则AD 审题视点 ACB为直角三角形 可直接利用射影定理求解 解析 如图 连接AC CB AB是 O的直径 ACB 90 设AD x CD AB于D 由射影定理得CD2 AD DB 即 62 x 13 x x2 13x 36 0 解得x1 4 x2 9 AD BD AD 9 答案 9 注意射影定理的应用条件 训练 3 在 ABC中 ACB 90 CD AB于D AD BD 2 3 则 ACD与 CBD的相 似比为 解析 如 图所示 在 Rt ACB中 CD AB 由射影定理得 CD2 AD BD 又 AD BD 2 3 令AD 2x BD 3x x 0 6 CD2 6x2 CD x 6 又 ADC BDC 90 ACD CBD 易知 ACD与 CBD的相似比为 AD CD 2x 6x 6 3 即相似比为 3 6 答案 3 6 高考中几何证明选讲问题 一 从近两年新课标高考试题可以看出 高考主要以填空题的形式考查平行截割定理和相似三角 形判定定理的应用 难度不大