【赢在高考】2013届高考数学一轮复习 9.9直线与圆锥曲线的位置关配套练习

1 第第 9 9 讲讲 直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系 随堂演练巩固 1 已知直线x y 1 0 与抛物线相切 则a等于 2 yax A B C D 4 1 2 1 3 1 4 答案 C 解析 由 消去y得所以 解得 2 10 xy yax 2 10axx 0 1 40 a a 1 4 a 2 已知双曲线过点M m 0 作垂直于双曲线实轴的直线与双曲线交于两点 A B 若 AOB是锐角 2 2 1 34 y x 三角形 O为坐标原点 则实数m的取值范围是 A 2 3 2 3 B 2 3 0 0 2 3 C 2 3 2 3 D 2 33 3 2 3 答案 D 解析 依题意可得 22 21 21 33 mm A mB m 22 21 21 33 mm OAmOBm AOB是锐角三角形 必有是锐角 即与的夹角为锐角 由AOB OA OB 0OA OB 得 2 24 40 3 m m 但根据双曲线的范围知 应有m1 时 直线y ax a恒在抛物线的下方 则a的取值范围是 2 yx 答案 4 解析 由题意联立 整理可得由解得a 0 或a 4 此时直线 2 yx yaxa 2 0 xaxa 2 40aa 与抛物线相切 因为直线横过定点 1 0 结合图形可知当时直线y ax a恒在抛物线 4 1ax 的下方 2 yx 8 已知直线l与椭圆交于 两点 线段的中点为P 设直线l的斜率为直线 22 22xy 1 P 2 P 12 PP 11 0 k k OP的斜率为则的值等于 2 k 12 k k 答案 1 2 解析 设 111222 P x yP xy 则 1212 22 xxyy P 2 k 22 122121 11222 1221 21 yyyyyy kk k xxxx xx 由 相减得 22 11 22 22 22 22 xy xy 2222 2121 1 2 yyxx 6 故 12 1 2 k k 9 已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点 焦点在x轴上 左 右焦点分别为 且它们在第一象限 1 F 2 F 的交点为P 是以为底边的等腰三角形 若 10 双曲线的离心率的取值范围为 1 2 则 12 PFF 1 PF 1 PF 该椭圆的离心率的取值范围是 答案 1 2 3 5 解析 设它们的焦距为 2c 则 2c 双曲线的离心率由得 2 PF 12 FF 1 2 1025 cc e cc 1 2 5 c c 510 23 c 所以椭圆的离心率 2 21 2 10253 5 cc e cc 10 过抛物线的焦点作斜率为 1 的直线与该抛物线交于 A B 两点 A B 在x轴上的正射影分 2 2 0 xpy p 别为 D C 若梯形ABCD的面积为 则 p 12 2 答案 2 解析 抛物线的焦点为设直线AB的方程为即y x 0 2 p 11 A x y 22 B xy 2 p yx 2 p 联立 消去y 得 2 2 2 p yx xpy 22 20 xpxp 12 12 12 xp xp CD 1212 23 22 pp yyxxppp 1 x 2 x2 2p 由 AD BC 1 2 ABCD S 梯形 1 3 2 CDp 2 2p 12 2 解得 2 4p 2p p 0 p 2 11 已知点 A 0 2 和抛物线 C 求过点 A 且与抛物线 C 相切的直线l的方程 2 6yx 7 解 设直线l的方程为y kx 2 这个方程与抛物线 C 的方程联立 得方程组 2 2 6 ykx yx 当k 0 时 由方程组得可知此时直线l与抛物线相交于点 2 64 3 xx 2 2 3 当时 由方程组消去x 得方程 0k 2 6120kyy 关于y的二次方程 的判别式 由0 得可知此时直线l与抛物线 C 有一个公共点 3648k 3 4 k 即它们相切 直线l的方程为 3x 4y 8 0 当直线l的斜率不存在时 直线l就是y轴 其方程为x 0 所以 直线l的方程为 3x 4y 8 0 或x 0 12 已知椭圆0 的 一个焦点在直线l x 1 上 其离心率 设P Q为椭圆上不同的两 2 2 22 1 y x ab ab 1 2 e 点 且弦PQ的中点T在直线l上 点 1 0 4 R 1 求椭圆的方程 2 试证 对于所有满足条件的P Q 恒有 RP RQ 解 1 椭圆的一个焦点在直线l x 1 上 所以c 1 又因为离心率即所以a 2 从而 1 2 e 1 2 c a 2 3b 所以椭圆的方程为 2 2 1 43 y x 2 证明 设 01122 1 TyP x yQ xy 则 RT 0 3 4 yPQ 2121 xx yy RT PQ 21021 3 4 xxyyy 又因为P Q都在椭圆上 2 2 1 43 y x 所以两式相减得 2222 1122 11 4343 xyxy 12121212 11 0 43 xxxxyyyy 因为点T是PQ的中点 所以 12120 22xxyyy 于是 12012 12 0 23 xxyyy 所以 12012 3 0 4 xxyyy 即 0 所以 即 RT是线段PQ的垂直平分线 所以恒有 RP RQ RT PQ RT PQ 8 13 已知椭圆 0 的右顶点为 A 1 0 过的焦点且垂直长轴的弦长为 1 1 C 2 2 22 1 y x ab ab 1 C 1 求椭圆的方程 1 C 2 设点P在抛物线 R R 上在点P处的切线与交于点M N 当线段AP的中点与MN的 2 C 2 yxh h 2 C 1 C 中点的横坐标相等时 求 h 的最小值 解 1 由题意 得 1 21 b b a 从而 2 1 a b 因此 所求的椭圆方程为 2 2 1 4 y x 2 设 11 M x y 2 N x 2 2 yP t th 则抛物线在点P处的切线斜率为y 2 C2 x t t 直线MN的方程为y 2tx 2 th 将上式代入椭圆的方程中 得 1 C 222 4 2 40 xtxth 即4 0 22222 4 1 4 txt th xth 因为直线MN与椭圆有两个不同的交点 1 C 所以 式中的 422 1 16 2 2 4 0thth 设线段MN的中点的横坐标是则 3 x 9 2 12 32 2 2 1 xxt th x t 设线段PA的中点的横坐标是则 4 x 4 1 2 t x 由题意 得 34 xx 即1 0 2 1 th t 由 式中的得或 2 2 1 40h 1h 3h 当时 h 3h 2 20 40h 则不等式 不成立 所以 1h 当 h 1 时 代入方程 得 t 1 将 h 1 t 1 代入不等式 检验成立 所以 h 的最小值为 1 拓展延伸 14 2012 江西宜春三校联考 已知椭圆E的中心在坐标原点 焦点在x轴上 离心率为且椭圆E上一点到 1 2 两个焦点距离之和为是过点P 0 2 且互相垂直的两条直线交E于 A B 两点交E于 C D 两点 12 4 l l 1 l 2 l AB CD的中点分别为M N 1 求椭圆E的方程 2 求的斜率k的取值范围 1 l 3 求的取值范围 OM ON 解 1 设椭圆方程为0 2 2 22 1 y x ab ab 由 得 222 1 2 24 c a a abc 2 3 a b 椭圆方程为 2 2 1 43 y x 2 由题意知 直线的斜率存在且不为零 1 l y kx 2 1 l 2 l 1 2yx k 10 由 消去y并化简整理 2 2 1 43 2 y x ykx 得 22 34 1640kxkx 根据题意解得 22 16 16 34 0kk 21 4 k 同理得 2211 4 4 k k 2111 4 2 2 422 kk 3 设 112200 A x yB xyM xy 那么 122 16 34 k xx k 12 02 8 2 34 xx k x k 002 6 2 34 ykx k 22 86 3434 k M k