全国卷文科2009-2015历年空间几何分类解析试题

2014 本小题满分 12 分 如图 四凌锥 P ABCD 中 底面 ABCD 为矩形 PA 上面 ABCD E 为 PD 的点 I I 证明 PB 平面 AEC IIII 设置AP 1 AD 3 三凌锥 P ABD 的体积 V 4 3 求点 A 到平面 PBD 的距离 2013 课标全国 文 19 本小题满分 12 分 如图 三棱柱ABC A1B1C1中 CA CB AB AA1 BAA1 60 1 证明 AB A1C 2 若AB CB 2 A1C 求三棱柱ABC A1B1C1的体积 6 1 证明 取AB的中点O 连结OC OA1 A1B 因为CA CB 所以OC AB 由于AB AA1 BAA1 60 故 AA1B为等边三角形 所以OA1 AB 因为OC OA1 O 所以 AB 平面OA1C 又A1C 平面OA1C 故AB A1C 2 解 由题设知 ABC与 AA1B都是边长为 2 的等边三角形 所以OC OA1 3 又A1C 则A1C2 OC2 6 2 1 OA 故OA1 OC 因为OC AB O 所以OA1 平面ABC OA1为三棱柱ABC A1B1C1的高 又 ABC的面积S ABC 故三棱柱ABC A1B1C1的体积V S ABC OA1 3 3 2012 如图 三棱柱 ABC A1B1C1中 侧棱垂直底面 ACB 90 AC BC AA1 D 是棱 AA1的中点 1 2 证明 平面 BDC1 平面 BDC 平面 BDC1分此棱柱为两部分 求这两部分体积的比 2011 如图 四棱锥中 SABCD ABCD 侧面为等边三角形 BCCD SAB 2 1ABBCCDSD I 证明 SDSAB 平平 II 求 AB 与平面 SBC 所成角的大小 分析 第 I 问的证明的突破口是利用等边三角形 SAB 这个条件 找出 AB 的中点 E B1 C B A D C1 A1 D C A S B 连结 SE DE 就做出了解决这个问题的关键辅助线 II 本题直接找线面角不易找出 要找到与 AB 平行的其它线进行转移求解 命题意图 以四棱锥为载体考查线面垂直证明和线面角的计算 注重与平面 几何的综合 解法一 取中点 连结 则四边形为矩形 ABEDEBCDE 连结 则 2DECB SESEAB 3SE 又 故 1SD 222 EDSESD 所以为直角 3 分DSE 由 得ABDE ABSE DESEE I 平面 所以 AB SDEABSD 与两条相交直线 都垂直 SDABSE 所以平面 6 分SD SAB 另解 由已知易求得 于是 可知 1 5 2SDADSA 2 22 SASDAD SDSA 同理可得 又 所以平面 6 分SDSB SASBS ISD SAB 由平面知 平面平面 AB SDEABCD SDE 作 垂足为 则平面 ABCD SFDE FSF 3 2 SDSE SF DE 作 垂足为 则 FGBC G1FGDC 连结 则 SGSGBC 又 故平面 平面平面 9 分 BCFG SGFGG IBC SFGSBC SFG 作 为垂足 则平面 FHSG HFH SBC 即到平面的距离为 3 7 SFFG FH SG FSBC 21 7 由于 所以平面 到平面的距离也为 EDBC EDSBCESBCd 21 7 设与平面所成的角为 则 12 分ABSBC 21 sin 7 d EB 21 arcsin 7 2010 本小题满分 12 分 如图 已知四棱锥的底面为等腰梯形 垂足为PABCD ABCDACBD 是四棱锥的高 HPH 证明 平面 平面 PAC PBD 若 60 求四棱锥的体积 6AB APBADB PABCD 18 解 因为是四棱锥的高 PHPABCD 所以都在平 面内 且 ACPHACBDPH BD 又 PBD PHBDH 所以 来源 Zxxk Com ACPBD 平面 故平面PACPBD 平面 因为为等腰梯形 ABCD ABCD ACBD AB A6 所以 3HAHB 因为60APBADB 所以 6PAPB 1HDHC 可得 3PH 等腰梯形的面积为 S 9 分ABCD23 1 2 ACBD 所 以四棱锥的体积为 12 分 1 23 3 3 32 3 3 V 2009 本小题满