人教版高中数学必修一教案

第 1 页 共 58 页 课题 1 1 集合 教材分析 集合概念及其基本理论 称为集合论 是近 现代数学的一个重要的基础 许 多重要的数学分支 都是建立在集合理论的基础上 此外 集合理论的应用也 变得更加广泛 课 型 新授课 课 时 1 课时 教学目标 1 知识与技能 1 通过实例 了解集合的含义 体会元素与集合的理解集合 属于 关系 2 牢记常用的数集及其专用的记号 3 理解集合中的元素具有确定性 互异性 无序性 4 能选择自然语言 图形语言 集合语言 列举法或描述法 描述不同的 问题 2 过程与方法 1 学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程 深入理解集合 的含义 2 学生自己归纳本节所学的知识点 3 情感态度价值观 使学生感受学习集合的必要性和重要性 增加学生对数学学习的兴趣 教学重点 集合的概念与表示方法 教学难点 对待不同问题 表示法的恰当选择 教学过程 一 引入课题 军训前学校通知 8 月 15 日 8 点 高一年段在体育馆集合进行军训动员 试问这个通 知的对象是全体的高一学生还是个别学生 在这里 集合是我们常用的一个词语 我们感兴趣的是问题中某些特定 是高一而不 是高二 高三 对象的总体 而不是个别的对象 为此 我们将学习一个新的概念 集 合 宣布课题 即是一些研究对象的总体 阅读课本 P2 P3内容 二 新课教学 一 集合的有关概念 1 集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的 不同的东西的全体 人们能意识到 这些东西 并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体 2 一般地 我们把研究对象统称为元素 element 把一些元素组成的总体叫做集 合 set 简称为集 3 关于集合的元素的特征 1 确定性 设 A 是一个给定的集合 x 是某一个具体对象 则或者是 A 的元素 或者不是 A 的元素 两种情况必有一种且只有一种成立 例 2 互异性 一个给定集合中的元素 指属于这个集合的互不相同的个体 对象 因此 同一集合中不应重复出现同一元素 例 3 无序性 只要构成两个集合的元素一样 我们称这两个集合是相等的 第 2 页 共 58 页 例 4 思考 1 课本 P3的思考题 并再列举一些集合例子和不能构成集合的例子 对学 生的例子予以讨论 点评 进而讲解下面的问题 答案 1 把 3 11 内的每一个偶数作为元数 这些偶数全体就构成一个集合 2 不能组成集合 因为组成它的元素是不确定的 5 元素与集合的关系 1 如果 a 是集合 A 的元素 就说 a 属于 belong to A 记作 a A 2 如果 a 不是集合 A 的元素 就说 a 不属于 not belong to A 记作 aA 例 我们用 A 表示 1 20 以内所有的素数 组成的集合 则3 4AA 6 常用数集及其记法 非负整数集 或自然数集 记作 N 正整数集 记作 N 或 N 整数集 记作 Z 有理数集 记作 Q 实数集 记作 R 二 集合的表示方法 我们可以用自然语言来描述一个集合 但这将给我们带来很多不便 除此之外还 常用列举法和描述法来表示集合 1 列举法 把集合中的元素一一列举出来 并用花括号 括起来表示集 合的方法叫做列表法 如 1 2 3 4 5 x2 3x 2 5y3 x x2 y2 例 1 课本例 1 思考 2 引入描述法 答案 1 1 9 内所有偶数组成 的集合 2 不能 因为集合中元素的个数是无 穷多个 说明 集合中的元素具有无序性 所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序 2 描述法 用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法 具体方法 在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值 或变化 范 围 再画一条竖线 在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征 如 x x 3 2 x y y x2 1 直角三角形 例 2 课本例 2 说明 课本 P5最后一段 思考 3 课本 P6思考 强调 描述法表示集合应注意集合的代表元素 x y y x2 3x 2 与 y y x2 3x 2 不同 只要不引起误解 集合的代表元素也可省 略 例如 整数 即代表整数集 Z 辨析 这里的 已包含 所有 的意思 所以不必写 全体整数 下列写法 实数集 R 也是错误的 如果写 实数 是正确的 说明 列举法与描述法各有优点 应该根据具体问题确定采用哪种表示法 要注 意 一般集合中元素较多或有无限个元素时 不宜采用列举法 三 课堂练习 课本 P6练习 三 归纳小结 第 3 页 共 58 页 本节课从实例入手 非常自然贴切地引出集合与集合的概念 并且结合实例对集合的 概念作了说明 然后介绍了集合的常用表示方法 包括列举法 描述法 四 作业布置 书面作业 习题 1 1 第 1 4 题 课题 1 2 集合间的基本关系 教材分析 类比实数的大小关系引入集合的包含与相等关系 了解空集的含义 课 型 新授课 课 时 1 课时 教学目标 1 知识与技能 1 了解集合之间的包含与相等的含义 2 能用 venn 图表达集合之间的关系 3 理解子集 真子集和空集的概念 2 过程与方法 1 通过对照实数的相等与不相等的关系 类比出集合之间的包含和相等关 系 2 体会使用集合语言 发展运用数学语言进行交流的能力 3 情感态度价值观 感受集合语言在描述客观现实和数学问题中的意义 教学重点 子集与真子集的概念 用 Venn 图表达集合间的关系 教学难点 弄清楚元素与集合 集合与集合间的关系 教学过程 四 引入课题 1 复习元素与集合的关系 属于与不属于的关系 填以下空白 1 0 N 2 Q 3 1 5 R 2 2 类比实数的大小关系 如 52 B x x5 并表示 A B 的关系 一一一课堂练习 一一一归纳小结 强化思想 两个集合之间的基本关系只有 包含 与 相等 两种 可类比两个实数间的大 小关系 同时还要注意区别 属于 与 包含 两种关系及其表示方法 一一一作业布置 1 书面作业 习题 1 1 第 5 题 2 提高作业 已知集合 且满足 求实数 1 5 xaxAxxB 2BA 的取值范围 a 设集合 2 矩形平行四边形四边形 C BA 试用 Venn 图表示它们之间的关系 正方形 D 第 5 页 共 58 页 课题 1 3 集合的基本运算 课 型 新授课 课 时 1 课时 教学目标 1 知识与技能 1 理解两个集合的并集与交集的的含义 会求两个简单集合的并集与交集 2 理解在给定集合中一个子集的补集的含义 会求给定子集的补集 3 能用 Venn 图表达集合的关系及运算 体会直观图示对理解抽象概念的 作用 2 过程与方法 学生通过观察和类比 借助 Veen 图理解集合的基本运算 3 情感态度价值观 进一步树立属性数形结合的思想 体会类比的作用 感受集合作为一种 语言 在表示数学内容时的简洁与准确 教学重点 交集与并集 全集与补集的概念 教学难点 理解交接与并集的概念和符号之间的区别与联系 教学过程 六 引入课题 我们两个实数除了可以比较大小外 还可以进行加法运算 类比实数的加法运算 两 个集合是否也可以 相加 呢 思考 P9思考题 引入并集概念 答案 A 和 B 都是 C 的子集 A 中的元素和 B 中的元素合在一起组成的集合正好 是集合 C 七 新课教学 1 并集 一般地 由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合 称为集合 A 与 B 的 并集 并集 Union 记作 A B读作 A 并 B 即 A B x x A 或 x B Venn 图表示 说明 两个集合求并集 结果还是一个集合 是由集合 A 与 B 的所有元素组成的集合 重复元素只看成一个元素 例题 P9 10例 4 例 5 说明 连续的 用不等式表示的 实数集合可以用数轴上的一段封闭曲线来表示 A B A B A 第 6 页 共 58 页 集合并的运算性质 思考 AAA AA 问题 在上图中我们除了研究集合 A 与 B 的并集外 它们的公共部分 即问号部分 还应是我们所关心的 我们称其为集合 A 与 B 的交集 2 交集 一般地 由属于集合 A 且属于集合 B 的元素所组成的集合 叫做集合 A 与 B 的交集交集 intersection 记作 A B读作 A 交 B 即 A B x A 且 x B 交集的 Venn 图表示 说明 两个集合求交集 结果还是一个集合 是由 集合 A 与 B 的公共元素组成的集合 问 如果 A 与 B 没有公共部分 他们的交接还是 一个集合吗 答案 是 因为空集仍是一个集合 说明 当两个集合没有公共元素时 两个集合的交 集是空集 而不能说两个集合没有交集 交集的运算性质 AAA A 例题 P9 10例 6 例 7 拓展 求下列各图中集合 A 与 B 的并集与交集 3 补集 全集 一般地 如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素 那么就称这 个集合为全集 全集 Universe 通常记作 U 补集 对于全集 U 的一个子集 A 由全集 U 中所有不属于集合 A 的所有元素组成的 集合称为集合 A 相对于全集 U 的补集 complementary set 简称为集合 A 的补集 记作 CUA 即 CUA x x U 且 xA 补集的 Venn 图表示 说明 补集的概念必须要有全集的限制 一个集合的补集 仍然是一个集合 例题 P12例 8 例 9 4 求集合的并 交 补是集合间的基本运算 运算结果仍然 还是集合 区分交集与并集的关键是 且 与 或 在 处理有关交集与并集的问题时 常常从这两个字眼出发去揭示 挖掘题设条件 结合 Venn 图或数轴进而用集合语言表达 增强数形结合的思想方法 5 集合基本运算的一些性质 A BA A BB A A A A A B B A AA B BA B A A A A A A B B A CUA A U CUA A A B A B A B BA B A A A U U C CU UA A 第 7 页 共 58 页 若 A B A 则 AB 反之也成立 若 A B B 则 AB 反之也成立 若 x A B 则 x A 且 x B 若 x A B 则 x A 或 x B 6 课堂练习 1 设 A 奇数 B 偶数 则 A Z A B Z B A B 2 设 A 奇数 B 偶数 则 A Z Z B Z Z A B Z CBA CBA 2 5 x0 x x C 3x1 x B 2x4 x A 4 BA Z 2 1m m B Z 2 n n A 3 那么 或 集合 则 集合 八 归纳小结 略 九 作业布置 3 书面作业 P13习题 1 1 第 6 12 题 4 提高内容 1 已知 X x x2 px q 0 p2 4q 0 A 1 3 5 7 9 B 1 4 7 10 且 试求 p q XBX AX 2 集合 A x x2 px 2 0 B x x2 x q 0 若 AB 2 0 1 求 p q 3 A 2 3 a2 4a 2 B 0 7 a2 4a 2 2 a 且 AB 3 7 求 B 课题 1 2 1 函数的概念 教材分析 函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型 高中阶段不仅把函数看成变量 之间的依赖关系 同时还用集合与对应的语言刻画函数 高中阶段更注重函数模 型化的思想 课 型 新授课 课 时 1 课时 教学目标 1 知识与技能 函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型 高中阶段不仅要把函数看成 变量之间的依赖关系 而且还要用集合的语言刻画函数 更加注重函数模型化的 思想与意识 2 过程与方法 1 通过实例 进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型 在此基础上学会用集合的语言来刻画函数 体会对应关系在刻画函数概念 中的作用 2 了解函数的构成要素 学会求一些简单函数的定义域和值域 3 情感态度价值观 使学生感受到学习函数的必要性和重要性 激发学习的积极性 第 8 页 共 58 页 教学重点 理解函数的模型化思想 用集合与对应的语言来刻画函数 教学难点 符号 y f x 的含义 函数定义域和值域的区间表示 教学过程 十 引入课题 1 复习初中所学函数的概念 强调函数的模型化思想 2 阅读课本引例 体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想 1 炮弹的射高与时间的变化关系问题 2 南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题 3 八五 计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题 备用实例 我国 2003 年 4 月份非典疫情统计 日 期222324252627282930 新增确诊病例数1061058910311312698152101 3 引导学生应用集合与对应的语言描述各个实例中两个变量间的依赖关系 4 根据初中所学函数的概念 判断各个实例中的两个变量间的关系是否是函数关系 十一 新课教学 一 函数的有关概念 1 函数的概念 设 A B 是非空的数集 如果按照某个确定的对应关系 f 使对于集合 A 中的任意一 个数 x 在集合 B 中都有唯一确定的数 f x 和它对应 那么就称 f A B 为从集合 A 到集 合 B 的一个函数 function 记作 y f x x A 其中 x 叫做自变量 x 的取值范围 A 叫做函数的定义域 domain 与 x 的值相对 应的 y 值叫做函数值 函数值的集合 f x x A 叫做函数的值域 range 注意 y f x 是函数符号 可以用任意的字母表示 如 y g x 1 函数符号 y f x 中的 f x 表示与 x 对应的函数值 一个数 而不是 f 乘 x 2 2 构成函数的三要素 定义域 对应关系和值域 3 区间的概念 1 区间的分类 开区间 闭区间 半开半闭区间 2 无穷区间 3 区间的数轴表示 4 一次函数 二次函数 反比例函数的定义域和值域讨论 由学生完成 师生共同分析讲评 二 典型例题 1 求函数定义域 课本 P20例 1 解 略 说明 函数的定义域通常由问题的实际背景确定 如果课前三个实例 1 如果只给出解析式 y f x 而没有指明它的定义域 则函数的定义域即是指能使这 2 个式子有意义的实数的集合 函数的定义域 值域要写成集合或区间的形式 3 第 9 页 共 58 页 巩固练习 课本 P22第 1 题 2 判断两个函数是否为同一函数 课本 P21例 2 解 略 说明 构成函数三个要素是定义域 对应关系和值域 由于值域是由定义域和对应关系决 1 定的 所以 如果两个函数的定义域和对应关系完全一致 即称这两个函数相等 或为同 一函数 两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致 而与表示自变量和函数 2 值的字母无关 巩固练习 课本 P22第 2 题 1 判断下列函数 f x 与 g x 是否表示同一个函数 说明理由 2 1 f x x 1 0 g x 1 2 f x x g x 2 x 3 f x x 2 f x x 1 2 4 f x x g x 2 x 三 课堂练习 求下列函数的定义域 1 2 3 x x 1 x f x 1 1 1 x f 5x4x x f 2 4 5 6 1x x4 x f 2 10 x6x x f 2 13xx1 x f 十二 归纳小结 强化思想 从具体实例引入了函数的的概念 用集合与对应的语言描述了函数的定义及其相关概 念 介绍了求函数定义域和判断同一函数的典型题目 引入了区间的概念来表示集合 十三 作业布置 课本 P28 习题 1 2 A 组 第 1 7 题 B 组 第 1 题 课题 1 2 2 函数的表示法 课 型 新授课 课 时 1 课时 教学目标 1 知识与技能 1 明确函数的三种表示方法 2 会根据具体的问题原则合适的方法表示函数 3 会通过具体实例了解分段函数及其应用 2 过程与方法 学习函数的表示形式 其目的不仅是研究函数的性质和应用 而且是为了加 深加深了解函数概念的形成过程 第 10 页 共 58 页 3 情感态度价值观 让学生感受到学习函数表示法的重要性 渗透数形结合的思想 教学重点 函数三种表示方法 分段函数的概念 映射的概念 教学难点 函数表示方法的恰当选择 分段函数的表示及其图像 映射的应用 新课教学 一 典型例题 例 1 某种笔记本的单价是 5 元 买 x x 1 2 3 4 5 个笔记本需要 y 元 试用 三种表示法表示函数 y f x 分析 注意本例的设问 此处 y f x 有三种含义 它可以是解析表达式 可以是 图象 也可以是对应值表 解 略 注意 函数图象既可以是连续的曲线 也可以是直线 折线 离散的点等等 注意判断一 1 个图形是否是函数图象的依据 解析法 必须注明函数的定义域 2 图象法 是否连线 3 列表法 选取的自变量要有代表性 应能反映定义域的特征 4 巩固练习 课本 P27练习第 1 题 例 2 下表是某校高一 1 班三位同学在高一学年度几次数学测试的成绩及班级及班 级平均分表 第一次第二次第三次第四次第五次第六次 王 伟988791928895 张 城907688758680 赵 磊686573727582 班平均分88 278 385 480 375 782 6 请你对这三们同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析 分析 本例应引导学生分析题目要求 做学情分析 具体要分析什么 怎么分析 借 助什么工具 解 略 注意 本例为了研究学生的学习情况 将离散的点用虚线连接 这样更便于研究成绩的变 1 化特点 本例能否用解析法 为什么 2 巩固练习 课本 P27练习第 2 题 例 3 画出函数 y x 解 略 巩固练习 课本 P27练习第 3 题 拓展练习 任意画一个函数 y f x 的图象 然后作出 y f x 和 y f x 的图象 并尝试简要说 明三者 图象 之间的关系 课本 P27练习第 3 题 例 4 某市郊空调公共汽车的票价按下列规则制定 第 11 页 共 58 页 1 乘坐汽车 5 公里以内 票价 2 元 2 5 公里以上 每增加 5 公里 票价增加 1 元 不足 5 公里按 5 公里计算 已知两个相邻的公共汽车站间相距约为 1 公里 如果沿途 包括起点站和终点站 设 20 个汽车站 请根据题意 写出票价与里程之间的函数解析式 并画出函数的图象 分析 本例是一个实际问题 有具体的实际意义 根据实际情况公共汽车到站才能停 车 所以行车里程只能取整数值 解 设票价为 y 元 里程为 x 公里 同根据题意 如果某空调汽车运行路线中设 20 个汽车站 包括起点站和终点站 那么汽车行驶的 里程约为 19 公里 所以自变量 x 的取值范围是 x N x 19 由空调汽车票价制定的规定 可得到以下函数解析式 5 4 3 2 y 1915 1510 105 50 x x x x Nx 根据这个函数解析式 可画出函数图象 注意 本例具有实际背景 所以解题时应考虑其实际意义 1 本题可否用列表法表示函数 如果可以 应怎样列表 2 实践与拓展 请你设计一张乘车价目表 让售票员和乘客非常容易地知道任意两站之间的票 价 可以实地考查一下某公交车线路 说明 象上面两例中的函数 称为分段函数 注意 分段函数的解析式不能写成几个不同的方程 而就写函数值几种不同的表达式 并用一个左大括号括起来 并分别注明各部分的自变量的取值情况 十四 归纳小结 强化思想 理解函数的三种表示方法 在具体的实际问题中能够选用恰当的表示法来表示函数 注意分段函数的表示方法及其图象的画法 十五 复习初中已经遇到过的对应 1一 对于任何一个实数 a 数轴上都有唯一的点 P 和它对应 2一 对于坐标平面内任何一个点 A 都有唯一的有序实数对 x y 和它对应 3一 对于任意一个三角形 都有唯一确定的面积和它对应 4一 某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应 我们已经知道 函数是建立在两个非空数集间的一种对应 若将其中的条件 非空数 集 弱化为 任意两个非空集合 按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的 对应关系 这种的对应就叫映射 mapping 板书课题 1一 先看几个例子 两个集合 A B 的元素之间的一些对应关系 1 开平方 2 求正弦 3 求平方 4 乘以 2 2一 什么叫做映射 一般地 设 A B 是两个非空的集合 如果按某一个确定的对应法则 f 使对于集合 A 中的任意一个元素 x 在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应 那么就称对应 f A B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射 mapping 第 12 页 共 58 页 记作 f AB 说明 1 这两个集合有先后顺序 A 到 B 的射与 B 到 A 的映射是截然不同的 其中 f 表 示具体的对应法则 可以用汉字叙述 2 都有唯一 什么意思 包含两层意思 一是必有一个 二是只有一个 也就是说有且只有一个的意思 3一 例题分析 下列哪些对应是从集合 A 到集合 B 的映射 1 A P P 是数轴上的点 B R 对应关系 f 数轴上的点与它所代表的实数对应 2 A P P 是平面直角体系中的点 B x y x R y R 对应关系 f 平面直角体系中的点与它的坐标对应 3 A 三角形 B x x 是圆 对应关系 f 每一个三角形都对应它的内切圆 4 A x x 是新华中学的班级 B x x 是新华中学的学生 对应关系 f 每一个 班级都对应班里的学生 思考 将 3 中的对应关系 f 改为 每一个圆都对应它的内接三角形 4 中的对应关系 f 改为 每一个学生都对应他的班级 那么对应 f BA 是从集合 B 到集合 A 的映射吗 4一 完成课本练习 十五 作业布置 补充习题 作业布置 课本 P28 习题 1 2 A 组 第 8 12 题 B 组 第 2 3 题 课题 1 3 1 函数的单调性与最大 小 值 课 型 新授课 课 时 2 课时 第一课时 函数的单调性 教学目标 1 知识与技能 1 结合具体函数 了解函数的单调性及其几何意义 2 学会运用函数图象理解和研究函数的性质 3 能够应用定义判断函数在某区间上的的单调性 2 过程与方法 借助二次函数体验单调性概念的形成过程 领会数形结合的思想 运用定义 进行判断推理 养成细心观察 严谨论证的良好的思维习惯 3 情感态度价值观 通过直观的图像体会抽象的概念 通过交流合作培养学生善于思考的习惯 教学重点 函数单调性的概念 教学难点 判断 证明函数单调性 教学过程 十六 引入课题 1 观察下列各个函数的图象 并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律 y x1 1 1 1 y x1 1 1 1 y x1 1 1 1 第 13 页 共 58 页 随 x 的增大 y 的值有什么变化 1 能否看出函数的最大 最小值 2 函数图象是否具有某种对称性 3 2 画出下列函数的图象 观察其变化规律 1 f x x 从左至右图象上升还是下降 1 在区间 上 随着 x 的增 2 大 f x 的值随着 2 f x 2x 1 从左至右图象上升还是下降 1 在区间 上 随着 x 的增 2 大 f x 的值随着 3 f x x2 在区间 上 f x 的值随 1 着 x 的增大而 在区间 上 f x 的值随 2 着 x 的增大而 十七 新课教学 一 函数单调性定义 1 增函数 一般地 设函数 y f x 的定义域为 I 如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1 x2 当 x1 x2时 都 有 f x1 f x2 那么就说 f x 在区间 D 上是增函数 increasing function 思考 仿照增函数的定义说出减函数的定义 学生活动 注意 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质 是函数的局部性质 1 必须是对于区间 D 内的任意两个自变量 x1 x2 当 x1 x2时 总有 f x1 f x2 2 2 函数的单调性定义 如果函数 y f x 在某个区间上是增函数或是减函数 那么就说函数 y f x 在这一 区间具有 严格的 单调性 区间 D 叫做 y f x 的单调区间 3 判断函数单调性的方法步骤 利用定义证明函数 f x 在给定的区间 D 上的单调性的一般步骤 任取 x1 x2 D 且 x11 的解集 2 第二课时 函数的最大 小 值 教学目标 1 知识与技能 1 理解函数的最大 小 值及其几何意义 2 学会运用函数图象理解和研究函数的性质 2 过程与方法 通过实例 使学生体会到函数的最大 小 值 实际上是函数图象的最高 低 点的纵坐标 因而借助函数图象的直观性可得出函数的最值 有利于培 养以形识数的解题意识 3 情感态度价值观 利用函数的单调性和图象求函数的最大 小 值 解决日常生活中的实际问 题 激发学生学习的积极性 教学重点 函数的最大 小 值及其几何意义 教学难点 利用函数的单调性求函数的最大 小 值 教学过程 二十 引入课题 画出下列函数的图象 并根据图象解答下列问题 说出 y f x 的单调区间 以及在各单调区间上的单调性 1 指出图象的最高点或最低点 并说明它能体现函数的什么特征 2 第 15 页 共 58 页 1 2 32 xxf32 xxf 2 1 x 3 4 12 2 xxxf12 2 xxxf 2 2 x 二十一 新课教学 一 函数最大 小 值定义 1 最大值 一般地 设函数 y f x 的定义域为 I 如果存在实数 M 满足 1 对于任意的 x I 都有 f x M 2 存在 x0 I 使得 f x0 M 那么 称 M 是函数 y f x 的最大值 Maximum Value 思考 仿照函数最大值的定义 给出函数 y f x 的最小值 Minimum Value 的定 义 学生活动 注意 函数最大 小 首先应该是某一个函数值 即存在 x0 I 使得 f x0 M 1 函数最大 小 应该是所有函数值中最大 小 的 即对于任意的 x I 都有 f x 2 M f x M 2 利用函数单调性的判断函数的最大 小 值的方法 利用二次函数的性质 配方法 求函数的最大 小 值 1 利用图象求函数的最大 小 值 2 利用函数单调性的判断函数的最大 小 值 3 如果函数 y f x 在区间 a b 上单调递增 在区间 b c 上单调递减则函数 y f x 在 x b 处有最大值 f b 如果函数 y f x 在区间 a b 上单调递减 在区间 b c 上单调递增则函数 y f x 在 x b 处有最小值 f b 二 典型例题 例 1 教材 P36例 3 利用二次函数的性质确定函数的最大 小 值 解 略 说明 对于具有实际背景的问题 首先要仔细审清题意 适当设出变量 建立适当的 函数模型 然后利用二次函数的性质或利用图象确定函数的最大 小 值 巩固练习 如图 把截面半径为 25cm 的圆形木头锯成矩形木料 如果矩形一边长为 x 面积为 y 试将 y 表示成 x 的函数 并画出 函数的大致图象 并判断怎样锯 才能使得截面面积最大 例 2 新题讲解 旅旅 馆馆 定定 价价 一个星级旅馆有 150 个标准房 经过一段时间的经营 经理得到一些定价和住房 率的数据如下 房价 元 住房率 16055 14065 12075 25 第 16 页 共 58 页 10085 欲使每天的的营业额最高 应如何定价 解 根据已知数据 可假设该客房的最高价为 160 元 并假设在各价位之间 房 价与住房率之间存在线性关系 设为旅馆一天的客房总收入 为与房价 160 相比降低的房价 因此当房价为yx 元时 住房率为 于是得 160 x 10 20 55 x 150 y 160 x 10 20 55 x 由于 1 可知 0 90 10 20 55 x x 因此问题转化为 当 0 90 时 求的最大值的问题 xy 将的两边同除以一个常数 0 75 得 1 2 50 17600 yyxx 由于二次函数 1在 25 时取得最大值 可知也在 25 时取得最大值 此时yxyx 房价定位应是 160 25 135 元 相应的住房率为 67 5 最大住房总收入为 13668 75 元 所以该客房定价应为 135 元 当然为了便于管理 定价 140 元也是比较合理的 例 3 教材 P37例 4 求函数在区间 2 6 上的最大值和最小值 1 2 x y 解 略 注意 利用函数的单调性求函数的最大 小 值的方法与格式 巩固练习 教材 P38练习 4 二十二 归纳小结 强化思想 函数的单调性一般是先根据图象判断 再利用定义证明 画函数图象通常借助计算机 求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域 单调性的证明一般分五步 取 值 作 差 变 形 定 号 下结论 二十三 作业布置 3 书面作业 课本 P45 习题 1 3 A 组 第 6 7 8 题 提高作业 快艇和轮船分别从 A 地和 C 地同时开出 如下图 各沿箭头方向航行 快艇和轮船的速度分别是 45 km h 和 15 km h 已知 AC 150km 经过多少时间后 快艇和轮船之间的距离最短 课题 1 3 2 函数的奇偶性 课 型 新授课 课 时 1 课时 教学目标 1 知识与技能 1 使学生从形与数两个方面理解函数奇偶性的概念 图像和性质 AB C D 第 17 页 共 58 页 2 判断一些简单函数的奇偶性 2 过程与方法 1 设置问题情境培养学生判断 观察 归纳 推理的能力 在概念形成的 过程中 渗透数形结合和特殊到一般的数学思想方法 2 通过对函数单调性定义的探究 培养学生的抽象思维的能力 3 情感态度价值观 经过探究过程 培养学生严谨论证的良好思维习惯 使学生经历从具体到抽 象 从特殊到一般的理性认知过程 教学重点 函数奇偶性的概念及其判断 教学难点 函数奇偶性的掌握和灵活运用 教学过程 二十四 引入课题 1 实践操作 也可借助计算机演示 取一张纸 在其上画出平面直角坐标系 并在第一象限任画一可作为函数图象的图形 然后按如下操作并回答相应问题 以 y 轴为折痕将纸对折 并在纸的背面 即第二象限 画出第一象限内图形的痕迹 1 然后将纸展开 观察坐标系中的图形 问题 将第一象限和第二象限的图形看成一个整体 则这个图形可否作为某个函数 y f x 的图象 若能请说出该图象具有什么特殊的性质 函数图象上相应的点的坐标 有什么特殊的关系 答案 1 可以作为某个函数 y f x 的图象 并且它的图象关于 y 轴对称 2 若点 x f x 在函数图象上 则相应的点 x f x 也在函数图象上 即函数图象上横坐标互为相反数的点 它们的纵坐标一定相等 以 y 轴为折痕将纸对折 然后以 x 轴为折痕将纸对折 在纸的背面 即第三象限 2 画出第一象限内图形的痕迹 然后将纸展开 观察坐标系中的图形 问题 将第一象限和第三象限的图形看成一个整体 则这个图形可否作为某个函数 y f x 的图象 若能请说出该图象具有什么特殊的性质 函数图象上相应的点的坐标 有什么特殊的关系 答案 1 可以作为某个函数 y f x 的图象 并且它的图象关于原点对称 2 若点 x f x 在函数图象上 则相应的点 x f x 也在函数图象 上 即函数图象上横坐标互为相反数的点 它们的纵坐标也一定互为相反数 2 观察思考 教材 P39 P40观察思考 二十五 新课教学 一 函数的奇偶性定义 象上面实践操作中的图象关于 y 轴对称的函数即是偶函数 操作中的图象关于原 1 2 点对称的函数即是奇函数 1 偶函数 even function 一般地 对于函数 f x 的定义域内的任意一个 x 都有 f x f x 那么 f x 就叫做偶 函数 学生活动 仿照偶函数的定义给出奇函数的定义 2 奇函数 odd function 一般地 对于函数 f x 的定义域内的任意一个 x 都有 f x f x 那么 f x 就叫做奇 函数 第 18 页 共 58 页 注意 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性 函数的奇偶性是函数的整体性质 1 由函数的奇偶性定义可知 函数具有奇偶性的一个必要条件是 对于定义域内的任 2 意一个 x 则 x 也一定是定义域内的一个自变量 即定义域关于原点对称 二 具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于 y 轴对称 奇函数的图象关于原点对称 三 典型例题 1 判断函数的奇偶性 例 1 教材 P36例 3 应用函数奇偶性定义说明两个观察思考中的四个函数的奇偶 性 本例由学生讨论 师生共同总结具体方法步骤 解 略 总结 利用定义判断函数奇偶性的格式步骤 首先确定函数的定义域 并判断其定义域是否关于原点对称 1 确定 f x 与 f x 的关系 2 作出相应结论 3 若 f x f x 或 f x f x 0 则 f x 是偶函数 若 f x f x 或 f x f x 0 则 f x 是奇函数 巩固练习 教材 P41例 5 例 2 教材 P46习题 1 3 B 组每 1 题 解 略 说明 函数具有奇偶性的一个必要条件是 定义域关于原点对称 所以判断函数的奇 偶性应应首先判断函数的定义域是否关于原点对称 若不是即可断定函数是非奇非偶 函数 2 利用函数的奇偶性补全函数的图象 教材 P41思考题 规律 偶函数的图象关于 y 轴对称 奇函数的图象关于原点对称 说明 这也可以作为判断函数奇偶性的依据 巩固练习 教材 P42练习 1 3 函数的奇偶性与单调性的关系 学生活动 举几个简单的奇函数和偶函数的例子 并画出其图象 根据图象判断奇 函数和偶函数的单调性具有什么特殊的特征 例 3 已知 f x 是奇函数 在 0 上是增函数 证明 f x 在 0 上也是增函 数 解 由一名学生板演 然后师生共同评析 规范格式与步骤 规律 偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反 奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致 二十六 归纳小结 强化思想 本节主要学习了函数的奇偶性 判断函数的奇偶性通常有两种方法 即定义法和图象 法 用定义法判断函数的奇偶性时 必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对 称 单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点 需要学生结合函数的图象充分理解好 第 19 页 共 58 页 单调性和奇偶性这两个性质 二十七 作业布置 4 书面作业 课本 P46 习题 1 3 A 组 第 9 10 题 B 组第 2 题 2 补充作业 判断下列函数的奇偶性 1 1 22 2 x xx xf 2 xxxf2 3 3 axf Rx 4 1 1 xx xx xf 0 0 x x 3 课后思考 已知是定义在 R 上的函数 xf 设 2 xfxf xg 2 xfxf xh 试判断的奇偶性 1 xhxg与 试判断的关系 2 xfxhxg与 由此你能猜想得出什么样的结论 并说明理由 3 课题 2 1 1 指数与指数幂的运算 课 型 新授课 课 时 1 课时 教学目标 1 知识与技能 1 掌握 n 次方根及根式的概念 正确运用根式的运算性质进行根式的运算 2 了解分式指数幂的含义 学会根式与分数指数幂之间的相互转化 3 理解有理数指数幂和无理数指数幂的含义及其运算性质 2 过程与方法 通过具体习题 灵活运用根式运算 由整数指数幂的运算性质理解有理数指 数幂的运算性质 3 情感态度价值观 1 通过学习 n 次方根的概念及根式的运算 提高学生的运算能力和逻辑思 维 2 通过分数指数幂的学习 让学生体会严谨的求学态度 教学重点 根式与分数指数幂之间的互相转化 第 20 页 共 58 页 教学难点 根式运算与有理数指数幂的运算 教学过程 二十八 引入课题 1 以折纸问题引入 激发学生的求知欲望和学习指数概念的积极性 2 由实例引入 了解指数指数概念提出的背景 体会引入指数的必要性 3 复习初中整数指数幂的运算性质 nnn mnnm nmnm baab aa aaa 4 初中根式的概念 如果一个数的平方等于 a 那么这个数叫做 a 的平方根 如果一个数的立方等于 a 那么这个数叫做 a 的立方根 二十九 新课教学 一 指数与指数幂的运算 1 根式的概念 一般地 如果 那么叫做的次方根 n th root 其中 1 且 axn xannn N 当是奇数时 正数的次方根是一个正数 负数的次方根是一个负数 此时 nnn 的次方根用符号表示 an n a 式子叫做根式 radical 这里叫做根指数 radical exponent 叫做被开方 n ana 数 radicand 当是偶数时 正数的次方根有两个 这两个数互为相反数 此时 正数的正的nna 次方根用符号表示 负的次方根用符号 表示 正的次方根与负的次方根n n an n ann 可以合并成 0 n aa 由此可得 负数没有偶次方根 0 的任何次方根都是 0 记作 00 n 思考 课本 P58探究问题 一定成立吗 学生活动 nn aa 结论 当是奇数时 naa nn 当是偶数时 n 0 0 a a a a aa nn 例 1 教材 P58例 1 解 略 巩固练习 教材 P58例 1 2 分数指数幂 正数的分数指数幂的意义 第 21 页 共 58 页 规定 1 0 nNnmaaa nm n m 1 0 11 nNnma a a a nm n m n m 0 的正分数指数幂等于 0 0 的负分数指数幂没有意义 指出 规定了分数指数幂的意义后 指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数 那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂 3 有理指数幂的运算性质 1 r a srr aa 0 Qsra 2 rssr aa 0 Qsra 3 srr aaab 0 0 Qrba 引导学生解决本课开头实例问题 例 2 教材 P60例 2 例 3 例 4 例 5 说明 让学生熟练掌握根式与分数指数幂的互化和有理指数幂的运算性质运用 巩固练习 教材 P63练习 1 3 4 无理指数幂 结合教材 P62实例利用逼近的思想理解无理指数幂的意义 指出 一般地 无理数指数幂是一个确定的实数 有理数指数 0 是无理数 aa 幂的运算性质同样适用于无理数指数幂 思考 教材 P63练习 4 巩固练习思考 教材 P62思考题 例 3 新题讲解 从盛满 1 升纯酒精的容器中倒出升 然后用水填满 再倒出 3 1 升 又用水填满 这样进行 5 次 则容器中剩下的纯酒精的升数为多少 3 1 解 略 点评 本题还可以进一步推广 说明可以用指数的运算来解决生活中的实际问题 三十 归纳小结 强化思想 本节主要学习了根式与分数指数幂以及指数幂的运算 分数指数幂是根式的另一种表 示形式 根式与分数指数幂可以进行互化 在进行指数幂的运算时 一般地 化指数为正 指数 化根式为分数指数幂 化小数为分数进行运算 便于进行乘除 乘方 开方运算 以达到化繁为简的目的 对含有指数式或根式的乘除运算 还要善于利用幂的运算法则 三十一 作业布置 5 必做题 教材 P69习题 2 1 A 组 第 1 4 题 6 选做题 教材 P70习题 2 1 B 组 第 2 题 课题 2 1 2 指数函数及其性质 课 型 新授课 第 22 页 共 58 页 课 时 1 课时 教学目标 1 知识与技能 理解指数函数的概念和意义 能画出具体指数函数的图像 掌握指数函数的 性质 2 过程与方法 采用具体到一般 数形结合的思想方法 体会研究具体函数的性质 3 情感态度价值观 使学生了解指数函数模型的实际背景 认识数学与现实其他学科的联系 感 受探究未知世界的乐趣 从而培养学生对数学的热爱情感 教学重点 掌握指数函数的概念和性质 教学难点 用数形结合的方法从具体到一般地探索 概括指数函数的性质 教学过程 三十二 引入课题 备选引例 5 合作讨论 人口问题是全球性问题 由于全球人口迅猛增加 已引起全世界关 注 世界人口 2000 年大约是 60 亿 而且以每年 1 3 的增长率增长 按照这种增 长速度 到 2050 年世界人口将达到 100 多亿 大有 人口爆炸 的趋势 为此 全球范围内敲起了人口警钟 并把每年的 7 月 11 日定为 世界人口日 呼吁各 国要控制人口增长 为了控制人口过快增长 许多国家都实行了计划生育 我国人口问题更为突出 在耕地面积只占世界 7 的国土上 却养育着 22 的世界人口 因此 中国的人口问题是公认的社会问题 2000 年第五次人口普查 中国人口已达到 13 亿 年增长率约为 1 为了有效地控制人口过快增长 实行 计划生育成为我国一项基本国策 按照上述材料中的 1 的增长率 从 2000 年起 x 年后我国的人口将达到 1 2000 年的多少倍 到 2050 年我国的人口将达到多少 2 你认为人口的过快增长会给社会的发展带来什么样的影响 3 6 上一节中 GDP 问题中时间 x 与 GDP 值 y 的对应关系 y 1 073x x N x 20 能否构成函数 7 一种放射性物质不断变化成其他物质 每经过一年的残留量是原来的 84 那么 以时间 x 年为自变量 残留量 y 的函数关系式是什么 8 上面的几个函数有什么共同特征 三十三 新课教学 一 指数函数的概念 一般地 函数叫做指数函数 exponential function 其中 x 是 1a 0a ay x 且 自变量 函数的定义域为 R 注意 指数函数的定义是一个形式定义 要引导学生辨析 1 注意指数函数的底数的取值范围 引导学生分析底数为什么不能是负数 零 2 和 1 巩固练习 利用指数函数的定义解决 教材 P68例 2 3 二 指数函数的图象和性质 问题 你能类比前面讨论函数性质时的思路 提出研究指数函数性质的内容和方法吗 第 23 页 共 58 页 研究方法 画出函数的图象 结合图象研究函数的性质 研究内容 定义域 值域 特殊点 单调性 最大 小 值 奇偶性 探索研究 1 在同一坐标系中画出下列函数的图象 1 x 3 1 y 2 x 2 1 y 3 x 2y 4 x 3y 5 x 5y 2 从画出的图象中你能发现函数的图象和函数的图象有什么关系 x 2y x 2 1 y 可否利用的图象画出的图象 x 2y x 2 1 y 3 从画出的图象 和 中 你能发现函数的图象与其底数之 x 2y x 3y x 5y 间有什么样的规律 4 你能根据指数函数的图象的特征归纳出指数函数的性质吗 图象特征函数性质 1a 1a0 1a 1a0 向 x y 轴正负方向无限延伸函数的定义域为 R 图象关于原点和 y 轴不对称非奇非偶函数 函数图象都在 x 轴上方函数的值域为 R 函数图象都过定点 0 1 1a 0 自左向右看 图象逐渐上升 自左向右看 图象逐渐下降 增函数减函数 在第一象限内的图 象纵坐标都大于 1 在第一象限内的图 象纵坐标都小于 1 1a 0 x x 1a 0 x x 在第二象限内的图 象纵坐标都小于 1 在第二象限内的图 象纵坐标都大于 1 1a 0 x x 1a 0 x x 图象上升趋势是越 来越陡 图象上升趋势是越 来越缓 函数值开始增长较 慢 到了某一值后 增长速度极快 函数值开始减小极 快 到了某一值后 减小速度较慢 9 利用函数的单调性 结合图象还可以看出 1 在 a b 上 值域是或 1a0a a x f x 且 b f a f a f b f 2 若 则 取遍所有正数当且仅当 0 x 1 x f x fRx 第 24 页 共 58 页 3 对于指数函数 总有 1a0a a x f x 且a 1 f 4 当时 若 则 1a 21 xx x f x f 21 三 典型例