1993考研数三真题及解析

BornBorn toto winwin 19931993 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题 一 填空题一 填空题 本题共本题共 5 5 小题小题 每小题每小题 3 3 分分 满分满分 1515 分分 把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上 1 2 352 limsin 53 x x xx 2 已知则 2 32 arctan 32 x yffxx x 0 x dy dx 3 级数的和为 0 ln3 2 n n n 4 设阶方阵的秩为 则其伴随矩阵的秩为 4A2 A 5 设总体X的方差为 1 根据来自的容量为 100 的简单随机样本 测得样本均值为 5 X 则的数学期望的置信度近似等于 0 95 的置信区间为 X 二 选择题二 选择题 本题共本题共 5 5 小题小题 每小题每小题 3 3 分分 满分满分 1515 分分 在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中 只有一项只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的 把所选项前的字母填在题后的括号内把所选项前的字母填在题后的括号内 1 设则在点处 f x 2 1 sin 0 0 0 xx x x f x0 x A 极限不存在 B 极限存在但不连续 C 连续但不可导 D 可导 2 设为连续函数 且则等于 f x ln 1 x x F xf t dt Fx A B 2 111 lnfxf xxx 11 lnfxf xx C D 2 111 lnfxf xxx 1 lnfxf x 3 阶方阵具有个不同的特征值是与对角阵相似的 nAnA A 充分必要条件 B 充分而非必要条件 C 必要而非充分条件 D 既非充分也非必要条件 4 假设事件和满足 则 AB 1P B A A 是必然事件 B A 0P B A C D AB AB BornBorn toto winwin 5 设随机变量的密度函数为 且 是的分布函数 则对任X x xx F xX 意实数 有 a A B 0 1 a Fax dx 0 1 2 a Fax dx C D FaF a 2 1FaF a 三 三 本题满分本题满分 5 5 分分 设是由方程所确定的二元函数 求 zf x y 0 z y x zyxxe dz 四 四 本题满分本题满分 7 7 分分 已知 求常数的值 22 lim4 x x ax xa x edx xa a 五 五 本题满分本题满分 9 9 分分 设某产品的成本函数为需求函数为其中为成本 2 Caqbqc 1 qdp e C 为需求量 即产量 为单价 都是正的常数 且 求 qp a b c d edb 1 利润最大时的产量及最大利润 2 需求对价格的弹性 3 需求对价格弹性的绝对值为 1 时的产量 六 六 本题满分本题满分 8 8 分分 假设 1 函数满足条件和 0 yf xx 0 0f 0 1 x f xe 2 平行于轴的动直线与曲线和分别相交于点和 yMN yf x 1 x ye 1 P 2 P 3 曲线 直线与轴所围封闭图形的面积恒等于线段的长度 yf x MNxS 12 PP 求函数的表达式 yf x 七 七 本题满分本题满分 6 6 分分 假设函数在上连续 在内二阶可导 过点与的直 f x 0 1 0 1 0 0 Af 1 1 Bf 线与曲线相交于点 其中 yf x C c f c01c 证明 在内至少存在一点 使 0 1 0f BornBorn toto winwin 八 八 本题满分本题满分 1010 分分 为何值时 线性方程组k 123 2 123 123 4 24 xxkx xkxxk xxx 有惟一解 无解 有无穷多组解 在有解情况下 求出其全部解 九 九 本题满分本题满分 9 9 分分 设二次型 222 123122313 222fxxxx xx xx x 经正交变换化成 其中和是三维列XPY 22 23 2fyy 123 TXx x x 123 TYy yy 向量 是 3 阶正交矩阵 试求常数 P 十 十 本题满分本题满分 8 8 分分 设随机变量和同分布 的概率密度为XYX 2 3 02 8 0 xx f x 其他 1 已知事件和独立 且求常数 AXa BYa 3 4 P AB a 2 求的数学期望 2 1 X 十一 十一 本题满分本题满分 8 8 分分 假设一大型设备在任何长为 的时间内发生故障的次数服从参数为的泊松分t N tt 布 1 求相继两次故障之间时间间隔的概率分布 T 2 求在设备已经无故障工作 8 小时的情形下 再无故障运行 8 小时的概率 Q BornBorn toto winwin 19931993 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析 一 填空题一 填空题 本题共本题共 5 5 小题小题 每小题每小题 3 3 分分 满分满分 1515 分分 1 答案 6 5 解析 22 2 2 sin 35235 limsin2limlim 2 5353 xxx xx x xxxx x 极限 而 0 2 sin sin limlim1 2 xt t x t x 2 2 3563 limlim 53105 xx xx xxx 洛 所以 2 35236 limsin21 5355 x x xx 2 答案 3 4 解析 令则有 则 32 32 x g x x 01g 2 12 32 gx x 03g 由复合函数求导法则知 0 3 00313arctan1 4 x dy fggf dx 3 答案 2 2ln3 解析 利用几何级数求和公式令 即得 0 1 1 1 n n xx x ln3 2 x 0 ln3 12 ln3 22ln3 1 2 n n n 4 答案 0 解析 本题考查伴随矩阵的定义及矩阵的秩的定义 由于 说明中 3 阶子式全为 0 于是的代数余子式故 2r A AA0 ij A 0 A 所以秩 0 r A 若熟悉伴随矩阵秩的关系式 A BornBorn toto winwin 11 01 n r An r A r An r An 易知 0 r A 注注 按定义 11211 12222 12 n n nnnn AAA AAA A AAA 伴随矩阵是阶矩阵 它的元素是行列式的代数余子式 是阶子式 nA1n 5 答案 4 804 5 196 解析 此题是求一个一般总体 大样本 方差已知的关于期望值的置信区间 可以 用正态总体的区间估计公式近似求其置信区间 因X的方差为 设X的期望为 则 1 0 1 X UN n 当置信度为 时 有正态分布表知 因此用公式 10 95 0 05 0 025 2 1 96uu 22 Ixuxu nn 将代入上式 得到所求的置信区间为 2 5 1 100 1 96xnu 4 804 5 196 I 二 选择题二 选择题 本题共本题共 5 5 小题小题 每小题每小题 3 3 分分 满分满分 1515 分分 1 答案 C 解析 利用函数连续定义判定 由于当时 为有界变量 为无穷小量 则0 x 2 1 sin x x 且 2 00 1 limlimsin0 xx f xx x 00f 于是在处连续 故 A B 不正确 f x0 x 又因为不存在 所以 22 2 000 11 sin0sin 11 limlimlimsin 0 xxx xfx xx xxxx 在处不可导 所以选 C f x0 x BornBorn toto winwin 相关知识点 函数连续定义 如果函数在处连续 则有 0 x 00 0 lim lim xxxx f xf xf x 2 答案 A 解析 22 ln11111 ln fx Fxfxff xxxxxx 相关知识点 积分上限函数的求导公式 x x d f t dtfxxfxx dx 3 答案 B 解析 有个线性无关的特征向量 AA n 由于当特征值时 特征向量线性无关 从而知 当有个不同特征值时 12 12 An 矩阵有个线性无关的特征向量 那么矩阵可以相似对角化 AnA 因为当的特征值有重根时 矩阵仍有可能相似对角化 当特征根的代数重数等于其AA 几何重数的时候 所以特征值不同仅是能相似对角化的充分条件 故应选 B 4 答案 D 解析 的充分必要条件是 即 显然四个选项 1P B A 1 P AB P A P ABP A 中 当时 可得 因此是的充分条件 因AB ABA P ABP A AB 1P B A 此选 D 5 答案 B 解析 题目即考查概率论方面的知识 在计算过程中又用到定积分的一些知识 由积分的性质 换元积分 并改变积分上下限有 xt aa a Fax dxt dtx dx 随机变量的密度函数为 则 又由于 所以X x 1x dx xx 偶函数积分的性质 0 0 1 2 x dxx dx 即 0 0 1 2 aa aa x dxx dxx dxx dx 于是 000 1 2 aaa a Fax dxx dxx dxx dxx dx 故应选 B 三 三 本题满分本题满分 5 5 分分 解析 方法一 方法一 利用一阶微分形式的不变性 将方程两端微分 得 BornBorn toto winwin 0 z y xz y x dzdydxedxxedzdydx 整理后得 111 z y xz y xz y xz y x xedzxeedxxedy 由此 得 1 1 z y xz y x z y x xee dzdxdy xe 方法二方法二 应先求出函数对的偏导数 将两边分别对求偏导 x y0 z y x zyxxe x y 110 110 z y xz y x xx z y x yy zexez zxez 解之得 11 1 z y x x z y x xe z xe 1 y z 故 11 1 z y x xy z y x xe dzz dxz dydxdy xe 四 四 本题满分本题满分 7 7 分分 解析 2 2 22 limlim 1lim 1 x aax xx ax a xxx xaaa xaxaxa 令 则当时 2a t xa x 0t 1 2 0 2 lim 1lim 1 x a a t xt a te xa 所以 2 2 lim 2 2 2 lim 1 x x aax ax ax a ax a x a ee xa 而 2222222 4224 xxxx aaaa x edxx dex exedx 22222 lim222 bax ab b ea exde 2222 222 axx aa a exeedx 222222 2lim22lim ababa bb a ebeaeee 2222 22 aaa a eaee BornBorn toto winwin 由得 所以或 22222 22 aaaa ea eaee 2 0aa 0a 1a 五 五 本题满分本题满分 9 9 分分 解析 1 利润函数为 22 LpqCdeq qaqbqcdb qea qc 对求导 并令 得 得 q0 dL dq 2 0 dL dbea q dq 2 db q ea 因为所以 当时为利润函数的极大值点 根据题意也是利 2 2 2 0 d L ea dq 2 db q ea 润的最大值点 所以 2 max 4 db Lc ea 2 因为 所以 故需求对价格的弹性为 1 q pdp e 1 q p e peqd q qeq 3 由得 1 2 d q e 六 六 本题满分本题满分 8 8 分分 解析 由题设可得示意图如右 设 则 12 1 x P x f xP x e 12 SPP 即 0 1 x x f t dtef x 两端求导 得 即 x f xefx x f xfxe 由一阶线性非齐次微分方程求解公式 得 p x dxp x dx f xeq x edxC dxdx x ee edxC 1 2 xxxxx e e dxC eCee 由初始条件 得 因此 所求函数为 0 0f 1 2 C 1 2 xx f xee 相关知识点 一阶线性非齐次微分方程的通解公式为 yp x yq x 其中为常数 p x dxp x dx yeq x edxC C 七 七 本题满分本题满分 6 6 分分 解析 因为分别在和上满足拉格朗日中值定理的条件 故存在 f x 0 c 1 c BornBorn toto winwin 使得 12 0 1 cc 12 0 1 01 f cfff c ff cc 由于点在弦上 故有CAB 0 1 1 0 1 0 011 0 f cfff cff ff cc 从而 12 1 0 ffff 这表明在区间上满足罗尔定理的条件 于是存在 使得 fx 12 12 0 1 0f 八 八 本题满分本题满分 1010 分分 解析 对方程组的增广矩阵作初等行变换 第一行和第三行互换 再第一行分别乘以 加到第二行和第三行上 再第二行 1 1 和第三行互换 再第二行乘以加到第三行上 有 1 2 k 22 1141124 1111 1124114 k Akkkk k 2 2 11241124 01340228 02280134 kkk kkk 1124 0228 1 4 00 4 2 k kk k k 1 当且时 方程组有唯一解 即1k 4k 3r Ar A 22 123 2242 111 kkkkk xxx kkk 2 当时 方程组无解 1k 3 2r Ar A BornBorn toto winwin 3 当时 有 4k 11241030 02280114 00000000 A 因为 方程组有无穷多解 23r Ar A 取为自由变量 得方程组的特解为 3 x 0 4 0 T 又导出组的基础解系为 所以方程组的通解为 其中为任意常数 3 1 1 T k k 相关知识点 非齐次线性方程组有解的判定定理 设是矩阵 线性方程组有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广Am n Axb 矩阵的秩 即 或者说 可由的列向量线表出 亦 AA b r Ar A bA 12 n 等同于与是等价向量组 12 n 12 n b 设是矩阵 线性方程组 则Am n Axb 1 有唯一解 r Ar An 2 有无穷多解 r Ar An 3 无解 1 r Ar A 不能由的列向量线表出 bA 12 n 九 九 本题满分本题满分 9 9 分分 解析 经正交变换二次型的矩阵分别为 f 110 1 1 112 AB 由于是正交矩阵 有 即知矩阵的特征值是 0 1 2 那么有P 1 P APB A 22 20 0 20 A EA 相关知识点 二次型的定义 含有个变量的二次齐次多项式 即每项都是n 12 n x xx 二次的多项式 其中 12 11 nn nijij ij f x xxa x x ijji aa 称为元二次型 令 则二次型可用矩阵乘法表示为n 12 T n xx xx ij Aa BornBorn toto winwin 12 T n f x xxx Ax 其中是对称矩阵 称为二次型的矩阵 A T AA A 12 n f x xx 十 十 本题满分本题满分 8 8 分