2012最新命题题库大全2008-2011年高考数学试题解析 分项专题10 圆锥曲线 文

用心 爱心 专心1 20122012 最新命题题库大全最新命题题库大全 2005 20112005 2011 年高考试题解析数学 文科 分年高考试题解析数学 文科 分 项专题项专题 1010 圆锥曲线圆锥曲线 20112011 年高考试题年高考试题 一 选择题一 选择题 1 20112011 年高考山东卷文科年高考山东卷文科 9 9 设 M 为抛物线 C 上一点 F 为抛物线 0 x 0 y 2 8xy C 的焦点 以 F 为圆心 为半径的圆和抛物线 C 的准线相交 则的取值范围是FM 0 y A 0 2 B 0 2 C 2 D 2 答案 C 3 3 20112011 年高考海南卷文科年高考海南卷文科 9 9 已知直线已知直线 过抛物线过抛物线 C C 的焦点的焦点 且与且与 C C 的对称轴垂直的对称轴垂直 与与 C Cll 交于交于 A BA B 两点两点 AB 12 P AB 12 P 为为 C C 的准线上一点的准线上一点 则则的面积为的面积为 ABP A 18A 18 B 24B 24 C 36C 36 D 48D 48 答案 C 解析 因为 AB 过抛物线的焦点且与对称轴垂直 所以线段 AB 是抛物线的通径 长为 所以 又点 P 到 AB 的距离为焦参数 所以的面积为212p 6p pABP 故选 C 2 1 236 2 ppp 用心 爱心 专心2 4 2011 2011 年高考安徽卷文科年高考安徽卷文科 3 3 双曲线的实轴长是xy A 2 B C 4 D 4 答案 C 命题意图 本题考查双曲线的标准方程 考查双曲线的性质 属容易题 解析 可变形为 则 故选 C xy 22 1 48 xy 2 4a 2a 24a 5 5 2011 2011 年高考广东卷文科年高考广东卷文科 8 8 设圆设圆 C C 与圆与圆 外切 与直线外切 与直线相相 2 3 2 1 0y 切 则切 则 C C 的圆心轨迹为 的圆心轨迹为 A A 抛物线抛物线 B B 双曲线双曲线 C C 椭圆椭圆 D D 圆圆 6 20112011 年高考浙江卷文科年高考浙江卷文科 9 9 已知椭圆 a b 0 与双曲线 22 1 22 1 xy C ab 有公共的焦点 的一条渐近线与的长度为直径的圆相交于 2 2 2 1 4 y Cx 2 C 1 C 2 C 两点 若恰好将线段三等分 则 A B 1 CAB A B C D 2 13 2 a 2 13a 2 1 2 b 2 2b 答案 C 解析 由恰好将线段 AB 三等分得由 1 c 1 3 3 A A x xx x 22 2 5 5 A yx xa xy 52 5 1515 xa ya 用心 爱心 专心3 22 22 22 52 5 52 5 1515 111 1515 a a a aab ab 在椭圆上 又 故选 C 222 1 5 2 abb 7 7 2011 2011 年高考天津卷文科年高考天津卷文科 6 6 已知双曲线已知双曲线的左顶点与抛物线的左顶点与抛物线 22 22 1 0 0 xy ab ab 的焦点的距离为的焦点的距离为 4 4 且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为 2 2 0 ypx p 2 1 2 1 则双曲线的焦距为则双曲线的焦距为 A A B B C C D D 2 32 54 34 5 答案 B B 解析 由题意知 抛物线的准线方程为 所以 又 所以 又2x 4p 4 2 p a 2a 因为双曲线的一条渐近线过点 2 1 所以双曲线的渐近线方程为 即 所 1 2 yx 1 2 b a 以 即 选 B 1b 2 5c 22 5c 8 20112011 年高考福建卷文科年高考福建卷文科 11 11 设圆锥曲线 I 的两个焦点分别为 F1 F2 若曲线 I 上 存在点 P 满足 4 3 2 则曲线 I 的离心率等于 1 PF 12 FF 2 PF A B 13 22 或 2 2 3 或 C D 1 2 2 或 23 32 或 答案 A 解析 由 4 3 2 可设 若圆 1 PF 12 FF 2 PF 1 4PFk 12 3FFk 2 2PFk 锥曲线为椭圆 则 若圆锥曲线为双曲线 则 故选 A 26ak 23ck 1 2 e 22ak 23ck 3 2 e 9 20112011 年高考四川卷文科年高考四川卷文科 11 11 在抛物线 y x2 ax 5 a 0 上取横坐标为 x1 4 x2 2 的两 点 经过两点引一条割线 有平行于该割线的一条直线同时与该抛物线和圆 相切 则抛物线的顶点坐标是 22 5536xy A 2 9 B 0 5 C 2 9 D 1 6 用心 爱心 专心4 10 20112011 年高考陕西卷文科年高考陕西卷文科 2 2 设抛物线的顶点在原点 准线方程为 则抛物线2x 的方程是 A B C D 2 8yx 2 4yx 2 8yx 2 4yx 答案 C 解析 设抛物线方程为 则准线方程为于是故选 C 2 yax 4 a x 2 4 a 8a 11 20112011 年高考湖南卷文科年高考湖南卷文科 6 6 设双曲线 22 2 1 0 9 xy a a 的渐近线方程为 320 xy 则a的值为 A 4 B 3 C 2 D 1 答案 C 解析 由双曲线方程可知渐近线方程为 3 yx a 故可知2a 12 20112011 年高考湖北卷文科年高考湖北卷文科 4 4 将两个顶点在抛物线上 另一个顶点是此抛 2 2 0 ypx p 物线焦点的正三角形个数记为 n 则 A B C D 0n 1n 2n 3n 答案 C 用心 爱心 专心5 解析 设满足条件的正三角形的三顶点为 A B F 依题意可知 A B 必关于 x 0 2 P 轴对称 故设 则 则 故由抛物线定义 2 0 0 2 y Ay P 0 0 y 2 0 0 2 y By P 0 2ABy 可得 则由 解得 由判别式计算得 2 0 22 yP AF P ABAF 22 00 40yPyP 0 故有两个正三角形 可知选 C 13 20112011 年高考辽宁卷文科年高考辽宁卷文科 7 7 已知 F 是抛物线 的焦点 A B 是该抛物线上的两 2 yx 点 AF BF 3 则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为 A B 1 C D 3 4 5 4 7 4 答案 C 解析 设 A B 的横坐标分别是 m n 由抛物线定义 得 m n AFBF3 1 4 1 4 m n 3 故 m n 故线段 AB 的中点到 y 轴的距离为 1 2 5 2 5 24 mn 5 4 二 填空题 二 填空题 14 20112011 年高考山东卷文科年高考山东卷文科 15 15 已知双曲线和椭圆 22 22 1 0b0 xy a ab 有相同的焦点 且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍 则双曲线的方程为 22 xy 1 169 用心 爱心 专心6 16 20112011 年高考四川卷文科年高考四川卷文科 14 14 双曲线 22 1 6436 xy 上一点 P 到双曲线右焦点的距离是 4 那么点 P 到左准线的距离是 答案 16 解析 由双曲线第一定义 PF1 PF2 16 因 PF2 4 故 PF1 20 PF1 12 舍去 设 P 到左准线的距离是 d 由第二定义 得 解得 2010 8d 16d 17 20112011 年高考全国卷文科年高考全国卷文科 16 16 已知F1 F2分别为双曲线C 1 的左 右焦点 2 9 x 2 27 y 点 A C 点 M 的坐标为 2 0 AM 为 F1AF2的平分线 则 AF2 已知F1 F2分别为双曲线C 1 的左 右焦点 点 A C 点 M 的坐标为 2 0 2 9 x 2 27 y AM 为 F1AF2 的平分线 则 AF2 答案 6 解析 由角平分线的性质得 12 6 0 6 0 FF 11 22 8 2 4 AFFM AFMF 又 12 2 36AFAF 2 6AF 18 20112011 年高考重庆卷文科年高考重庆卷文科 9 9 设双曲线的左准线与两条渐近线交于 A B 两点 左焦点 在以AB为直径的圆内 则该双曲线的离心率的取值范围为 A 0 2 B 1 2 C 2 1 2 D 2 答案 B 三 解答题 三 解答题 18 20112011 年高考山东卷文科年高考山东卷文科 22 22 本小题满分 14 分 在平面直角坐标系中 已知椭圆 如图xOy 2 2 1 3 x Cy 所示 斜率为且不过原点的直线 交椭圆于 两 0 k k lCAB 点 线段的中点为 射线交椭圆于点 交直线ABEOECG 于点 3x 3 Dm 用心 爱心 专心7 求的最小值 22 mk 若 i 求证 直线 过定点 2 OGOD OEl ii 试问点 能否关于轴对称 若能 求出此时的外接圆方程 若不能 BGxABGA 请说明理由 解析 由题意 设直线 0 l ykxn n 由消 y 得 设 A B AB 的中 2 2 1 3 ykxn x y 222 1 3 6330kxknxn 11 x y 22 xy 点 E 则由韦达定理得 即 00 xy 12 xx 2 6 1 3 kn k 0 2 3 1 3 kn x k 所以中点 E 的坐标为 E 因为 00 2 3 1 3 kn ykxnkn k 2 1 3 n k 2 3 1 3 kn k 2 1 3 n k O E D 三点在同一直线上 所以 即 解得 OEOD kK 1 33 m k 所以 当且仅当时取等号 即的最小值为 2 1 m k 22 mk 2 2 1 2k k 1k 22 mk i 证明 由题意知 n 0 因为直线 OD 的方程为 所以由得 3 m yx 2 2 3 1 3 m yx x y 交点 G 的纵坐标为 又因为 且 2 2 3 G m y m 2 1 3 E n y k D ym 2 OGOD OE 所以 又由 知 所以解得 所以直线 的方程为 2 22 31 3 mn m mk 1 m k kn l 即有 令得 y 0 与实数 k 无关 所以直线 过定点 l ykxk 1 l yk x 1x l 1 0 ii 假设点 关于轴对称 则有的外接圆的圆心在 x 轴上 又在线段 AB 的BGxABGA 中垂线上 由 i 知点 G 所以点 B 又因为直线 过定 2 3 3m 2 3 m m 2 3 3m 2 3 m m l 用心 爱心 专心8 点 1 0 所以直线 的斜率为 又因为 所以解得或 6 l 2 2 3 3 1 3 m m k m 1 m k 2 1m 又因为 所以舍去 即 此时 k 1 m 1 E AB 的中垂线 2 30m 2 6m 2 1n 3 4 1 4 为 2x 2y 1 0 圆心坐标为 G 圆半径为 圆的方程为 1 0 2 3 2 1 2 5 2 综上所述 点 关于轴对称 此时的外接圆的方程为 22 15 24 xy BGxABGA 22 15 24 xy 19 20112011 年高考江西卷文科年高考江西卷文科 19 19 本小题满分 12 分 已知过抛物线的焦点 斜率为的直 02 2 ppxy22 线交抛物线于 两点 且 12 A x y 22 B xy 12 xx 9 AB 1 求该抛物线的方程 2 为坐标原点 为抛物线上一点 若 求的值 OCOBOAOC 解析 1 直线 AB 的方程是 05x4px2y 2 22 222 ppx p xy联立 从而有与 所以 由抛物线定义得 所以 p 4 4 5 21 p xx 9 21 pxxAB 抛物线方程为 xy8 2 2 由 p 4 05x4 22 ppx 化简得 从而045 2 xx 4 1 21 xx 从而 A 1 B 4 24 22 21 yy22 24 设 又 即 24 4 22 1 3 3 yxOC 2422 41 3 2 3 8xy 8 4 即 解得 2 1222 1 14 12 2 2 0 或 20 20112011 年高考福建卷文科年高考福建卷文科 18 18 本小题满分 12 分 如图 直线 l y x b 与抛物线 C x2 4y 相切于点 A 1 求实数 b 的值 用心 爱心 专心9 11 求以点 A 为圆心 且与抛物线 C 的准线相切的圆的方程 解析 I 由得 2 4 yxb xy 2 440 xxb 因为直线 与抛物线 C 相切 所以 解得 l 2 4 4 4 0b 1b II 由 I 可知 故方程 即为 解得 将其代入 得1b 2 440 xx 2x 2 4xy y 1 故点 A 2 1 因为圆 A 与抛物线 C 的准线相切 所以圆心 A 到抛物线 C 的准线 y 1 的距离等于圆 A 的半 径 r 即 r 1 1 2 所以圆 A 的方程为 22 2 1 4xy 命题立意 本题主要考查直线 圆 抛物线等基础知识 考查运算求解能力 考查函数 与方程思想 数形结合思想 21 20112011 年高考湖南卷文科年高考湖南卷文科 21 21 已知平面内一动点P到点 F 1 0 的距离与点P到 y轴的距离的等等于 1 I 求动点P的轨迹C的方程 II 过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线 12 l l 设 1 l与轨迹C相交于点 A B 2 l与轨迹C相交于点 D E 求AD EB 的最小值 解析 I 设动点P的坐标为 x y 由题意为 22 1 1 xyx 化简得 2 22 yxx 当 2 0 4 0 xyxx 时当时 y 0 所以动点 P 的轨迹 C 的方程为 2 4 0 0 yx xx 和y 0 II 由题意知 直线 1 l的斜率存在且不为 0 设为k 则 1 l的方程为 1 yk x 由 2 1 4 yk x yx 得 2222 24 0 k xkxk 设 1122 A x yB xy则 12 x x是上述方程的两个实根 于是 1212 2 4 2 1xxx x k 用心 爱心 专心10 因为 12 ll 所以 2 l的斜率为 1 k 设 3344 D xyB xy则同理可得 2 3434 24 1xxkx x 故1234 2 2 2 2 1 1 1 1 4 1 2 1 1 24 1 1 84 AD EBAFFDEFFB AF EFAF FBFD EFFD FB AFFBFDEF xxxx k k k k A AAAA AA 2 2 1 84 216k k A 当且仅当 2 2 1 k k 即1k 时 AD EB 取最小值 16 22 20112011 年高考陕西卷文科年高考陕西卷文科 17 17 本小题满分 12 分 设椭圆 C 过点 0 4 离心率为 求 C 的方程 求过点 22 22 10 xy ab ab 3 5 3 0 且斜率为的直线被 C 所截线段的中点坐标 4 5 解 将 0 4 代入 C 的方程得 b 4 又 得即 2 16 1 b 3 5 c e a 22 2 9 25 ab a 2 169 1 25a C 的方程为5a 22 1 2516 xy 过点且斜率为的直线方程为 3 0 4 5 4 3 5 yx 设直线与 的交点为 将直线方程代入 的方程 11 x y 22 xy 4 3 5 yx 得 即 解得 2 2 3 1 2525 xx 2 380 xx 1 341 2 x 2 341 2 x AB 的中点坐标 即中点为 12 3 22 xx x 12 12 26 6 255 yy yxx 36 25 注 注 用韦达定理正确求得结果 同样给分 用心 爱心 专心11 23 20112011 年高考四川卷文科年高考四川卷文科 21 21 本小题共 12 分 过点 0 1 C的椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 的离心率为 3 2 椭圆与x轴交于两点 0 Ba 过点C的直线l与椭圆交于另一点D 并与x轴交于点P 直线 0A a AC与直线BD交于点Q I 当直线l过椭圆右焦点时 求线段CD的长 当点 P 异于点 B 时 求证 OP OQ 为定值 解析 I 因为椭圆过 C 1 0 所以 b 1 因为椭圆的离心率是 所以 3 2 故 椭圆方程为 222 3 2 c abc a 又2 3ac 2 2 1 4 x y 当直线 过椭圆右焦点时 直线 的方程为 由得或ll1 3 x y 2 2 1 4 1 3 x y x y 8 3 7 1 7 x y 则 故 0 1 x y 8 3 0 1 1 7 CD 2 2 8 31 1 77 CD 16 7 直线 CA 的方程为 设点 P 则直线 AP 的方程为1 2 x y 0 0 x 0 2 x 0 1 x y x 把 代入椭圆方程 得 从而可求 0 2 0 8 4 D x x x 2 00 22 00 84 44 xx D xx 因为 B 2 0 所以直线 BD 的方程为 0 0 2 2 22 x yx x 用心 爱心 专心12 由 可得 从而求得 0 4 Q x x 00 42 1Q xx 0 00 42 014OP OQx xx 所以为定值 OP OQ 24 20112011 年高考全国卷文科年高考全国卷文科 22 22 本小题满分 12 分 注意 在试题卷上作答无效 已知O为坐标原点 F为椭圆在y轴正半轴上的焦点 过F且斜率为 2 2 1 2 y C x 的直线 与C交与A B两点 点P满足 证明 点P在C上 2 l0 OAOBOP 设点P关于点O的对称点为Q 证明 A P B Q四点在同一圆上 解析 证明 由 2 2 1 0 1 2 y xF 得 21l yx 由 2 2 2 12 42 210 1 2 yx xx y x 得 设 11111 2 284 4 1 26 2 44 A x yB x yx 则 2 2 284 4 1 26 2 44 x 1 2631 21 42 y 2 2613 21 42 y 0 OAOBOP 12 12 2 2 1 p p xxx yyy 故点 P 在 C 上 2 2 22 21 1 222 p p y x 法一 点 P P 关于点 O 的对称点为 Q 2 1 2 2 1 2 Q 即 同 2 2 111 2 2 1 11 31 1 111 2 1 1 22261 2 2242 AQAP yyy KK x xx 90PAQ 用心 爱心 专心13 理即 A P B Q 四点在同一圆1 PBBQ KK 90PBQ 180PAQPBQ 上 法二 由已知有则的中垂线为 设 的中点为 1 2 2 QPQxy 2 2 AB 33 y xD 2 1 2 1212 2 4 2 2 1121 3 21 3 xxyy y xx x 则的中垂线为 2 1 4 2 D AB4 1 2 2 xy 则的中垂线与的中垂线的交点为 PQ AB 8 1 8 2 O 8 113 QOPO 到直线的距离为 8 1 8 2 O AB 8 33 3 1 8 1 8 2 2 d 2 23 43 21 2 21 2 21 2 21 xxxxyyxxAB 即 8 113 2 2 2 d AB BOAO QOPOBOAO 四点在同一圆上 APB Q 25 20112011 年高考湖北卷文科年高考湖北卷文科 21 21 本小题满分 13 分 平面内与两定点连线的斜率之积等于非零常数 m 的点的轨迹 12 0 0 0 AaA aa 加 上 A1 A2两点所在所面的曲线 C 可以是圆 椭圆或双曲线 求曲线 C 的方程 并讨论 C 的形状与 m 的位置关系 当 m 1 时 对应的曲线为 C1 对给定的 对应的曲线为 C2 1 0 0 m 设 F1 F2是 C2的两个焦点 试问 在 C1上 是否存在点 N 使得 F1NF2的面 积 若存在 求的值 若不存在 请说明理由 2 Sm a 12 tanF NF 本小题主要考查曲线与方程 圆锥曲线等基础知识 同时考查推理运算的能力 以及 用心 爱心 专心14 分类与整合和数形结合的思想 解析 1 设动点为 M 其坐标 x y 当时 由条件可得xa 2 12 22 yyy kmkmm xa xaxa 即又的坐标满足 222 mxymaxa 12 0 0 AaA a 222 mxyma 故依题意 曲线 C 的方程为 222 mxyma 当时 曲线 C 的方程为 C 是焦点在y轴上的椭圆 1m 22 22 1 xy ama 当时 曲线 C 的方程为 C 是圆心在原点的圆 1m 222 xya 当时 曲线 C 的方程为 C 是焦点在x轴上的椭圆 10m 22 22 1 xy ama 当时 曲线 C 的方程为 C 是焦点在x轴上的双曲线 0m 22 12 1 xy ama 2 由 1 知 当时 C1的方程为 1m 222 xya 当时 C2的两个焦点分别为 1 0 0 m 12 1 0 1 0 FamF am 对于给定的 C1上存在点使得的 1 0 0 m 000 0 N xyy 2 Sm a 充要条件是 222 000 2 0 0 1 21 2 xyay am ym a 由 得 由 得 0 0 ya 0 1 m a y m 当即 或时 0 1 m a a m 15 0 2 m 15 0 2 m 存在点 N 使 2 Sm a 当即 或时 1 m a a m 15 1 2 m 15 2 m 不存在满足条件的点 N 当时 1515 0 0 22 m 用心 爱心 专心15 由 100200 1 1 NFamxyNFamxy 可得 2222 1200 1 NFNFxm ayma 令 112212 FNF NFrNFr 则由可得 2 121 2cos NFNFrrma 2 1 2 cos ma rr 从而于是由 2 2 1 2 1sin1 sintan 22cos2 ma Srrma 2 Sm a 可得 即 22 1 tan 2 mam a 2 tan m m 综上可得 当时 在 C1上 存在点 N 使得 且 15 0 2 m 2 Sm a 12 tan2 F NF 当时 在 C1上 存在点 N 使得 且 15 0 2 m 2 Sm a 12 tan2 F NF 当时 在 C1上 不存在满足条件的点 N 1515 1 22 m 26 20112011 年高考浙江卷文科年高考浙江卷文科 22 22 本题满分 15 分 如图 设是P 抛物线 上动点 圆 的圆心为点 1 C 2 xy 2 C 22 3 1xy M 过点做圆的两条切线 交直线 于两点 P 2 Cl3y A B 求的圆心到抛物线 准线的距离 2 CM 1 C 是否存在点 使线段被抛物线在点处得切线平PAB 1 CP 分 若存在 求出点的坐标 若不存在 请说明理由 P 解析 由得准 线方程为 由得 M 圆心 2 xy 1 4 y 22 3 1xy 0 3 M 到抛物线的准 线的距离为 1 c 111 3 44 设点的坐标为抛物线在点处的切线交直线 于点 再设P 2 00 x x 1 CPlD 横坐标分别为 过点的抛物线的切线方程为 A B D ABD xxxP 2 00 x x 1 C 1 2 000 2 yxx xx 用心 爱心 专心16 当时 过点与圆的切线为可得 0 1x P 1 1 2 CPA 15 1 1 8 yx 当时 过点与圆的切线 17 1 1 15 ABD xxx 2 ABD xxx 0 1x P 1 1 2 C 为可得 所以PA 15 1 1 8 yx 17 1 1 15 ABD xxx 2 ABD xxx 设切线 的斜率为则 2 2 0 10 x PAPB 12 k kPA 2 010 yxk xx PB 2 020 yxkxx 27 27 2011 2011 年高考天津卷文科年高考天津卷文科 18 18 本小题满分 本小题满分 1313 分 分 设椭圆设椭圆的左 右焦点分别为的左 右焦点分别为 点点满足满足 22 22 1 0 xy ab ab 12 F F P a b 212 PFFF 求椭圆的离心率 求椭圆的离心率 e 用心 爱心 专心17 设直线设直线与椭圆相交于与椭圆相交于 A BA B 两点两点 若直线若直线与圆与圆相交于相交于 M NM N 2 PF 2 PF 22 1 3 16xy 两点两点 且且 MN MN AB AB 求椭圆的方程求椭圆的方程 5 8 解析 设 因为 所以 1 0 Fc 2 0 F c0c 212 PFFF 整理得 22 2acbc 即 解得 2 2 10 cc aa 2 210ee 1 2 e 由 知 可得椭圆方程为 直线的方程为2 3ac bc 222 3412xyc 2 PF 3 yxc A B 两点坐标满足方程组 消 y 整理得 解得或 222 3412 3 xyc yxc 2 580 xcx 0 x 8 5 c 所以 A B 两点坐标为 所以由两点间距离公式得 AB 83 3 55 c c 0 3 c 16 5 c 于是 MN AB 圆心到直线的距离 5 8 2c 1 3 2 PF 3 2 2 c d 因为 所以 解得 所以椭圆方程为 222 4 2 MN d 22 3 2 16 4 cc 2c 22 1 1612 xy 命题意图命题意图 本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质 直线的方程 两点间的距离公 式 点到直线的距离公式 直线与圆的位置关系等基础知识 考查用代数方法研究圆锥曲 线的性质及数形结合的数学思想 考查解决问题能力与运算能力 28 2011 2011 年高考江苏卷年高考江苏卷 18 18 如图 在平面直角坐标系中 M N 分别是椭圆xOy 的顶点 过坐标原点的直线交椭圆于 P A 两点 其中 P 在第一象限 过 P1 24 22 yx 作 x 轴的垂线 垂足为 C 连接 AC 并延长交椭圆于点 B 设直线 PA 的斜率为 k 1 当直线 PA 平分线段 MN 求 k 的值 2 当 k 2 时 求点 P 到直线 AB 的距离 d 3 对任意 k 0 求证 PA PB N M P A x y B C 用心 爱心 专心18 解析 1 因为 2 0 M 0 2 N 所以 MN 的中点坐标为 1 又因为直线 PA 平分线段 MN 2 2 所以 k 的值为 2 2 2 因为 k 2 所以直线 AP 的方程为 由得交点 P A 2yx 22 2 1 42 yx xy 2 4 3 3 24 33 因为 PC x 轴 所以 C 所以直线 AC 的斜率为 1 直线 AB 的方程为 2 0 3 2 3 yx 所以 点 P 到直线 AB 的距离 d 242 333 2 2 2 3 3 法一 由题意设 0000110 0 P xyAxyB x yC x 则 A C B 三点共线 又因为点 P B 在椭圆上 0101 10010 2 yyyy xxxxx 两式相减得 2222 0011 1 1 4242 xyxy 01 01 2 PB xx k yy 0011001 0011001 1 2 PAPB yxxyyxx k k xyyxxyy PAPB 法二 设 112200111 A BN x y P C 0 A x yB xyxyx 中点则 A C B 三点共线 又因为点 A B 在椭圆上 2211 21211 2 AB yyyy k xxxxx 两式相减得 2222 2211 1 1 4242 xyxy 0 0 1 2 AB y xk 01 01 1 21 2 ONPAAB AB y y kkk x xk ONPBPAPB A 用心 爱心 专心19 29 20112011 年高考辽宁卷文科年高考辽宁卷文科 21 21 本小题满分 12 分 如图 已知椭圆 C1的中心在圆点 O 长轴左 右端点 M N 在 x 轴上 椭圆 C1的短轴为 MN 且 C1 C2的离心率都为 e 直线 l MN l 与 C1交于两点 与 C1交于两点 这四点按 纵坐标从大到小依次为 A B C D I 设 e 求 BC 与 AD 的比值 1 2 II 当 e 变化时 是否存在直线 l 使得 BO AN 并说明理由 解析 I 因为 C1 C2的离心率相同 故依题意可设 22222 12 2242 1 1 0 xyb yx CCab abaa 设直线分别和 C1 C2联立 求得 l xt ta 2222 ab A tatB tat ba 当时 分别用 yA yB表示 A B 的纵坐标 可知 1 2 e 3 2 ba BC AD 2 2 2 3 2 4 B A yb ya II t 0 时的 l 不符合题意 t 0 时 BO AN 当且仅当 BO 的斜率 kBO与 AN 的斜率 kAN相 等 即 2222 ba atat ab tta 解得 22 222 1abe ta abe 用心 爱心 专心20 因为 又 所以 解得 ta 01e 2 2 1 1 e e 2 1 2 e 所以当时 不存在直线 l 使得 BO AN 当时 存在直线 l 使得 2 0 2 e 2 1 2 e BO AN 30 2011 2011 年高考安徽卷文科年高考安徽卷文科 17 17 本小题满分 13 分 设直线 11221212 x 1 y k x1kkk k 20lykl 其中实数满足 I 证明与相交 1 l 2 l II 证明与的交点在椭圆上 1 l 2 l 22 2x y 1 命题意图 本题考察直线与直线的位置关系 线线相交的判断与证明 点在线上的 判断与证明 椭圆方程等基本知识 考察反证法的证明思路 推理论证能力和运算求解能 力 解析 1 反证法 假设与不相交 则与必平行 代入 1 l 2 l 1 l 2 l 12 k k 得 12 k k20 与是实数相矛盾 从而 即与相交 2 1 k20 1 k 12 kk 1 l 2 l 2 方法一 由得交点 p 的坐标 x y 为 1 2 k1 k1 yx yx 21 21 21 2 x kk kk y kk 而 22222 2222 2121121212 22222 212121121212 8 8242 2x y 2 1 24 kkkkkkk kkk kkkkkkkkk kkk 所以与的交点 p 的 x y 在椭圆上 1 l 2 l 22 2x y 1 方法二 与的交点 p 的 x y 满足 从而 1 l 2 l 1 2 k1 k1 yx yx 0 x 用心 爱心 专心21 代入得 整理得 1 2 1 k 1 k y x y x 12 k k20 11 20 yy xx 22 2x y 1 所以与的交点 p 的 x y 在椭圆上 1 l 2 l 22 2x y 1 解题指导 两直线的位置关系判定方法 111222 x y k xlykblb 1 121212 k llkbb 且 2 1212 kllk 与相交 3 121212 k llkbb 与重合且 证明两数不等可采用反证法的思路 点在线上的判断与证明只要将点的坐标代入曲线方程判断其是否成立即可 或求出交点的 轨迹方程并判断与所给的曲线方程是否一致即可 本题属于中档题 3131 2011 2011 年高考广东卷文科年高考广东卷文科 21 21 本小题满分 本小题满分 1414 分 分 在平面直角坐标系在平面直角坐标系中 直线中 直线交交轴于点轴于点 A A 设 设 P P 是是 上一点 上一点 M M 是线段是线段 OPOP xOy 2l x xl 的垂直平分线上一点 且满足的垂直平分线上一点 且满足 MPOAOP 1 1 当点当点 P P 在在 上运动时 求点上运动时 求点 M M 的轨迹的轨迹 E E 的方程 的方程 l 2 2 已知 已知 设 设 H H 是是 E E 上动点 求上动点 求的最小值 并给出此时点的最小值 并给出此时点 H H 的坐的坐 1 1 T HOHT 标 标 3 3 过点 过点且不平行于且不平行于轴的直线轴的直线与轨迹与轨迹 E E 有且只有两个不同的交点 求直线有且只有两个不同的交点 求直线 1 1 T y 1 l 的斜率的斜率的取值范围 的取值范围 1 l k 解析解析 用心 爱心 专心22 00 222 1 9090 2 2 4 1 4 1 M x yMOPMPMO MPOAOPAO MPOAPMPA MOOx MO yxyxMEyx 2 设点是线段的垂直平分线上的点 点到点的距离和点到直线的距离相等 点的轨迹是抛物线 点是焦点 直线x 2是准线 x点的轨迹的方程为 2 由 1 得点O是抛物线的焦点 过点H作直线l的垂线 2222 HO HT HF HT HF HT HO HT 1 2 3 3 2 2 230 4 1 0 F H T H yk xkkxkk x k 2 垂足为F 当三点在一条直线上时 取最小值 此时最小此时H x 1 33 1 4 x 1 x 1 44 设直线的方程为y 1 k x 1 y 1 k x 1 消去得 y 当时 显然没有两 22222 0 4 2 4 23 0210 0 kkkkkkkkkR kRk 个交点 当时 综合得斜率k的取值范围为且 32 20112011 年高考重庆卷文科年高考重庆卷文科 21 21 本小题满分 12 分 小问 4 分 小问 8 分 如题 21 图 椭圆的中心为原点 0 离心率 e 2 2 一条准线的方程是2 2x 求该椭圆的标准方程 设动点 P 满足 其中 M N 是椭圆上的点 直线 OM 与 ON 的2OPOMON 斜率之积为 1 2 问 是否存在定点 F 使得PF与点 P 到直线l 2 10 x 的 距离之比为定值 若存在 求 F 的坐标 若不存在 说明理由 题 21 图 用心 爱心 专心23 解 I 由 2 2 2 2 2 ca e ac 解得 故椭圆的标准方程为 222 2 2 2acbac 22 1 42 xy II 设 则由 1122 P x y M x yN xy 得2OPOMON 11221212 1212 2 2 2 2 2 x yx yxyxxyy xxxyyy 即 因为点 M N 在椭圆上 所以 22 24xy 2222 1122 24 24xyxy 故 222222 12121212 2 44 2 44 xyxxx xyyy y 2222 11221212 1212 2 4 2 4 2 204 2 xyxyx xy y x xy y 设分别为直线 OM ON 的斜率 由题设条件知 OMON kk 因此 12 12 1 2 OMON y y kk x x 1212 20 x xy y 所以 22 220 xy 所以 P 点是椭圆上的点 该椭圆的右焦点为 离心 22 22 1 2 5 10 xy 10 0 F 率是该椭圆的右准线 故根据椭圆的第二定义 存在定点 2 2 10 2 el x 直线 使得 PF 与 P 点到直线l的距离之比为定值 10 0 F 20102010 年高考试题年高考试题 20102010 年高考数学选择试题分类汇编年高考数学选择试题分类汇编 圆锥曲线圆锥曲线 用心 爱心 专心24 20102010 湖南文数 湖南文数 5 设抛物线上一点 P 到 y 轴的距离是 4 则点 P 到该抛物线焦 2 8yx 点的距离是 A 4 B 6 C 8 D 12 20102010 陕西文数 陕西文数 9 已知抛物线y2 2px p 0 的准线与圆 x 3 2 y2 16 相切 则 p的值为 C A B 1 C 2 D 4 1 2 解析 本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系 法一 抛物线y2 2px p 0 的准线方程为 因为抛物线y2 2px p 0 的准线 2 p x 与圆 x 3 2 y2 16 相切 所以2 4 2 3 p p 法二 作图可知 抛物线y2 2px p 0 的准线与圆 x 3 2 y2 16 相切与点 1 0 所以2 1 2 p p 20102010 辽宁文数 辽宁文数 9 设双曲线的一个焦点为 虚轴的一个端点为 如果直线与FBFB 该双曲线的一条渐近线垂直 那么此双曲线的离心率为 A B C D 23 31 2 51 2 解析 选 D 不妨设双曲线的焦点在轴上 设其方程为 x 22 22 1 0 0 xy ab ab 则一个焦点为 0 0 F cBb 一条渐近线斜率为 直线的斜率为 b a FB b c 1 bb ac 2 bac 解得 22 0caac 51 2 c e a 20102010 辽宁文数 辽宁文数 7 设抛物线的焦点为 准线为 为抛物线上一点 2 8yx FlP 为垂足 如果直线斜率为 那么PAl AAF3 PF A B 8 C D 164 38 3 用心 爱心 专心25 解析 选 B 利用抛物线定义 易证为正三角形 则PAF 4 8 sin30 PF 20102010 全国卷全国卷 2 2 文数 文数 12 已知椭圆 C a b 0 的离心率为 过右焦 22 22 1 xy ab 3 2 点 F 且斜率为 k k 0 的直线于 C 相交于 A B 两点 若 则 k 3AFFB A 1 B C D 223 解析解析 B B 设 设 1122 A x yB xy 3AFFB 12 3yy 3 2 e 直线 直线 ABAB 方程为方程为 代入消去 代入消去 2 3at ct bt 222 440 xyt 3xsyt x 222 4 2 30systyt 2 1212 22 2 3 44 stt yyy y ss 解得 解得 2 2 22 22 2 3 2 3 44 stt yy ss 2 1 2 s 2k 20102010 浙江文数 浙江文数 10 设 O 为坐标原点 是双曲线 a 0 b 0 的 1 F 2 F 22 22 xy 1 ab 焦点 若在双曲线上存在点 P 满足 P 60 OP 则该双曲线的渐近线方 1 F 2 F7a 程为 A x y 0 B x y 033 C x 0 D y 02y2x 解析 选 D 本题将解析几何与三角知识相结合 主要考察了双曲线的定义 标准方程 几何图形 几何性质 渐近线方程 以及斜三角形的解法 属中档题 20102010 山东文数 山东文数 9 已知抛物线 过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物 2 2 0 ypx p 线与 两点 若线段的中点的纵坐标为 2 则该抛物线的准线方程为ABAB A B 1x 1x C D 2x 2x 答案 B 用心 爱心 专心26 20102010 广东文数 广东文数 7 若一个椭圆长轴的长度 短轴的长度和焦距成等差数列 则该椭圆的 离心率是 A 5 4 B 5 3 C 5 2 D 5 1 20102010 福建文数 福建文数 11 若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点 点 P 为椭 22 1 43 xy 圆上的任意一点 则的最大值为OP FP A A 2 B 3 C 6 D 8 答案 C 解析 由题意 F 1 0 设点 P 则有 解得 00 xy 22 00 1 43 xy 2 2 0 0 3 1 4 x y 因为 所以 00 1 FPxy 00 OPxy 2 000 1 OP FPx xy 此二次函数对应的抛物线的对称轴为 00 1 OP FPx x 2 0 3 1 4 x 2 0 0 3 4 x x 因为 所以当时 取得最大值 选 0 2x 0 22x 0 2x OP FP 2 2 236 4 C 命题意图 本题考查椭圆的方程 几何性质 平面向量的数量积的坐标运算 二次函数 的单调性与最值等 考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力 运算 能力 20102010 全国卷全国卷 1 1 文数 文数 8 已知 为双曲线 C 的左 右焦点 点 P 在 C 1 F 2 F 22 1xy 上 则 1 FP 2 F 0 60 用心 爱心 专心27 12 PFPF A A 2 B 4 C 6 D 8 8 B 命题意图 本小题主要考查双曲线定义 几何性质 余弦定理 考查转化的数学思想 通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力 解析 1 由余弦定理得 cos P 1 F 2 F 222 1212 12 2 PFPFFF PFPF 2 2 22 12 121212 0 1212 222 2 2 1 cos60 222 PF PF PFPFPF PFFF PF PFPF PF 4 12 PFPF A 解析 2 由焦点三角形面积公式得 12 0 220 1212 60113 cot1 cot3sin60 22222 F PF SbPF PFPF PF 4 12 PFPF A 20102010 四川文数 四川文数 10 椭圆的右焦点为F 其右准线与轴 22 22 10 xy a ab b x 的交点为 在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F 则椭圆离心率的取值范A 围是 A 0 B 0 C 1 D 1 2 2 1 2 21 1 2 解析 由题意 椭圆上存在点P 使得线段AP的垂直平分线过点 w w w k s5 u c F o m 即F点到P点与A点的距离相等 而 FA 22 ab c cc PF a c a c 于是 a c a c 2 b c 即ac c2 b2 ac c2 222 222 accac acacc 用心 爱心 专心28 1 1 1 2 c a cc aa 或 又e 0 1 故e 1 1 2 答案 D 20102010 四川文数 四川文数 3 抛物线的焦点到准线的距离是 2 8yx A 1 B 2 C 4 D 8 解析 由y2 2px 8x知p 4w w w k s5 u c o m 又交点到准线的距离就是p 答案 C 20102010 湖北文数 湖北文数 9 若直线与曲线有公共点 则 b 的取值范围yxb 2 34yxx 是 A B 3 1 2 2 12 2 12 C 1 D 3 12 2 1 2 2 20102010 上海文数 上海文数 8 动点到点的距离与它到直线的距离相等 则的P 2 0 F20 x P 轨迹方程为 y2 8x 解析 考查抛物线定义及标准方程 定义知的轨迹是以为焦点的抛物线 p 2 所以其方程为y2 8xP 2 0 F 20102010 全国卷全国卷 2 2 文数 文数 15 已知抛物线 C y2 2px p 0 的准线 l 过 M 1 0 且斜率 为的直线与 l 相交于 A 与 C 的一个交点为 B 若 则 p 用心 爱心 专心29 解析解析 2 2 本题考查了抛物线的几何性质 本题考查了抛物线的几何性质 设直线设直线 ABAB 代入 代入得得 又 又 33yx 2 2ypx 2 3 62 30 xp x 解得 解得 解得 解得 舍去 舍去 AMMB 1 2 2 xp 2 4120pP 2 6pp 20102010 安徽文数 安徽文数 12 抛物线的焦点坐标是 2 8yx 答案 2 0 解析 抛物线 所以 所以焦点 2 8yx 4p 2 0 误区警示 本题考查抛物线的交点 部分学生因不会求 或求出后 误认为焦点pp 还有没有弄清楚焦点位置 从而得出错误结论 0 p 20102010 重庆文数 重庆文数 13 已知过抛物线的焦点的直线交该抛物线于 两 2 4yx FAB 点 则 2AF BF 解析 由抛物线的定义可知 1 2AFAAKF 故2ABx 轴AF BF 2010201