八下数学《平行四边形》竞赛试卷-(8K)

学校八年级数学学校八年级数学 平行四边形平行四边形 竞赛试题竞赛试题 总分总分 120 分 时间分 时间 120 分钟分钟 一 填空题 共一 填空题 共 9 小题 每小题小题 每小题 4 分 满分分 满分 36 分 分 1 在矩形 ABCD 中 已知两邻边 AD 12 AB 5 P 是 AD 边上异于 A 和 D 的任意一点 且 PE BD PF AC E F 分别是垂足 那么 PE PF 2 2003 宁波 如图 BD 是平行四边形 ABCD 的对角线 点 E F 在 BD 上 要使四边形 AECF 是平行四边形 还 需要增加的一个条件是 填一个即可 3 如图 已知矩形 ABCD 对角线 AC BD 相交于 O AE BD 于 E 若 AB 6 AD 8 则 AE 4 如图 以 ABC 的三边为边在 BC 的同一侧分别作三个等边三角形 即 ABD BCE ACF 1 四边形 ADEF 是 2 当 ABC 满足条件 时 四边形 ADEF 为菱形 3 当 ABC 满足条件 时 四边形 ADEF 不存在 1 题 2 题 3 题 4 题 5 已知一个三角形的一边长为 2 这边上的中线为 1 另两边之和为 1 则这两边之积为 6 如图所示 在平行四边形 ABCD 中 EF BC GH AB EF GH 的交点 P 在 BD 上 图中有 对四 边形面积相等 它们是 7 如图 菱形 ABCD 的对角线 AC BD 相交于 O AOB 的周长为 3 ABC 60 则菱形 ABCD 的面积为 8 如图 矩形 ABCD 中 AC BD 相交于点 O AE 平分 BAD 交 BC 于 E 若 EAO 15 则 BOE 的度数为 度 9 如图 矩形 ABCD 中 AB 8 BC 4 将矩形沿 AC 折叠 点 D 落在点 D 处 则重叠部分 AFC 的面积为 6 题 7 题 8 题 9 题 二 选择题 共二 选择题 共 9 小题 每小题小题 每小题 5 分 满分分 满分 45 分 分 10 如图 ABCD 中 ABC 75 AF BC 于 F AF 交 BD 于 E 若 DE 2AB 则 AED 的大小是 A 60 B 65 C 70 D 75 2 10 题 11 题 12 题 13 题 11 如图 正 AEF 的边长与菱形 ABCD 的边长相等 点 E F 分别在 BC CD 上 则 B 的度数是 A 70 B 75 C 80 D 95 12 如图 正方形 ABCD 外有一点 P P 在 BC 外侧 并在平行线 AB 与 CD 之间 若 PA PB PC 则 PD A 2B C 3D 13 如图 平行四边形 ABCD 中 BC 2AB CE AB 于 E F 为 AD 的中点 若 AEF 54 则 B A 54 B 60 C 66 D 72 14 四边形 ABCD 的四边分别为 a b c d 其中 a c 为对边 且满足 a2 b2 c2 d2 2ac 2bd 则这个四边形一定是 A 两组角分别相等的四边形B 平行四边形 C 对角线互相垂直的四边形D 对角线相等的四边形 15 周长为 68 的长方形 ABCD 被分成 7 个全等的长方形 如图所示 则长方形 ABCD 的面积为 A 98B 196C 280D 284 15 题 16 题 16 2003 吉林 如图 菱形花坛 ABCD 的边长为 6m A 120 其中由两个正六边形组成的图形部分种花 则种 花部分图形的周长为 A 12mB 20mC 22mD 24m 17 在凸四边形 ABCD 中 AB CD 且 AB BC CD DA 则 A AD BCB AD BC C AD BCD AD 与 BC 的大小关系不能确定 18 已知四边形 ABCD 从下列条件中 1 AB CD 2 BC AD 3 AB CD 4 BC AD 5 A C 6 B D 任取其中两个 可以得出 四边形 ABCD 是平行四边形 这一结论的情况有 A 4 种B 9 种C 13 种D 15 种 三 解答题 共三 解答题 共 11 小题 满分小题 满分 0 分 分 19 如图 在 ADC 中 BAC 90 AD BC BE AF 分别是 ABC DAC 的平分线 BE 和 AD 交于 G 求证 GF AC 3 20 设 P 为等腰直角三角形 ACB 斜边 AB 上任意一点 PE 垂直 AC 于点 E PF 垂直 BC 于点 F PG 垂直 EF 于点 G 延长 GP 并在其延长线上取一点 D 使得 PD PC 试证 BC BD 且 BC BD 21 如图 在等腰三角形 ABC 中 延长 AB 到点 D 延长 CA 到点 E 且 AE BD 连接 DE 如果 AD BC CE DE 求 BAC 的度数 22 如图 ABC 为等边三角形 D F 分别为 BC AB 上的点 且 CD BF 以 AD 为边作等边 ADE 1 求证 ACD CBF 2 点 D 在线段 BC 上何处时 四边形 CDEF 是平行四边形且 DEF 30 23 2002 河南 如图所示 在 Rt ABC 中 AB AC A 90 点 D 为 BC 上任一点 DF AB 于 F DE AC 于 E M 为 BC 的中点 试判断 MEF 是什么形状的三角形 并证明你的结论 24 2008 咸宁 如图 在 ABC 中 点 O 是 AC 边上的一个动点 过点 O 作直线 MN BC 设 MN 交 BCA 的角平 分线于点 E 交 BCA 的外角平分线于点 F 1 求证 EO FO 2 当点 O 运动到何处时 四边形 AECF 是矩形 并证明你的结论 4 25 如图 在 Rt ABC 中 ABC 90 C 60 BC 2 D 是 AC 的中点 以 D 作 DE AC 与 CB 的延长线交于 E 以 AB BE 为邻边作长方形 ABEF 连接 DF 求 DF 的长 26 2002 陕西 阅读下面短文 如图 ABC 是直角三角形 C 90 现将 ABC 补成矩形 使 ABC 的两个顶点为矩形一边的两个端点 第三 个顶点落在矩形这一边的对边上 那么符合要求的矩形可以画出两个矩形 ACBD 和矩形 AEFB 如图 解答问题 1 设图 中矩形 ACBD 和矩形 AEFB 的面积分别为 S1 S2 则 S1 S2 填 或 2 如图 ABC 是钝角三角形 按短文中的要求把它补成矩形 那么符合要求的矩形可以画 个 利用图 把它画出来 3 如图 ABC 是锐角三角形且三边满足 BC AC AB 按短文中的要求把它补成矩形 那么符合要求的矩形 可以画出 个 利用图 把它画出来 4 在 3 中所画出的矩形中 哪一个的周长最小 为什么 5 27 如图 在 ABC 中 C 90 点 M 在 BC 上 且 BM AC N 在 AC 上 且 AN MC AM 与 BN 相交于 P 求 证 BPM 45 28 如图 在锐角 ABC 中 AD CE 分别是 BC AB 边上的高 AD CE 相交于 F BF 的中点为 P AC 的中点为 Q 连接 PQ DE 1 求证 直线 PQ 是线段 DE 的垂直平分线 2 如果 ABC 是钝角三角形 BAC 90 那么上述结论是否成立 请按钝角三角形改写原题 画出相应的图形 并给予必要的说明 6 新课标八年级数学竞赛培训第新课标八年级数学竞赛培训第 15 讲 平行四边形讲 平行四边形 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 填空题 共一 填空题 共 9 小题 每小题小题 每小题 4 分 满分分 满分 36 分 分 1 在矩形 ABCD 中 已知两邻边 AD 12 AB 5 P 是 AD 边上异于 A 和 D 的任意一点 且 PE BD PF AC E F 分别是垂足 那么 PE PF 考点 矩形的性质 等腰三角形的性质 专题 几何图形问题 分析 首先过 A 作 AG BD 于 G 根据等腰三角形底边上的任意一点到两腰距离的和等于腰上的高 则 PE PF AG 利用勾股定理求得 BD 的长 再根据三角形的面积计算公式求得 AG 的长 即为 PE PF 的长 解答 解 如图 过 A 作 AG BD 于 G 则 S AOD OD AG S AOP S POD AO PF DO PE DO PE PF S AOD S AOP S POD PE PF AG 等腰三角形底边上的任意一点到两腰距离的和等于腰上的高 PE PF AG AD 12 AB 5 BD 13 故答案为 点评 本题考查矩形的性质 等腰三角形的性质 三角形的面积计算 解决本题的关键是明白等腰三角形底边上的 任意一点到两腰距离的和等于腰上的高 2 2003 宁波 如图 BD 是平行四边形 ABCD 的对角线 点 E F 在 BD 上 要使四边形 AECF 是平行四边形 还 需要增加的一个条件是 BE DF 填一个即可 7 考点 平行四边形的判定 专题 开放型 分析 要使四边形 AECF 也是平行四边形 可增加一个条件 BE DF 解答 解 使四边形 AECF 也是平行四边形 则要证四边形的两组对边相等 或两组对边分别平行 如果 BE DF 则有 AD BC ADF CBE AD BC BE DF ADF BCE CE AF 同理 ABE CFD CF AE 四边形 AECF 是平行四边形 故答案为 BE DF 点评 本题考查了平行四边形的判定 是开放题 答案不唯一 本题利用了平行四边形和性质 通过证 ADF BCE ABE CFD 得到 CE AF CF AE 利用两组对边分别相等来判定平行四边形 3 如图 已知矩形 ABCD 中 对角线 AC BD 相交于 O AE BD 于 E 若 AB 6 AD 8 则 AE 4 8 考点 矩形的性质 专题 计算题 分析 矩形各内角为直角 在直角 ABD 中 已知 AB AD 根据勾股定理即可求 BD 的值 根据面积法即可计算 AE 的长 解答 解 矩形各内角为直角 ABD 为直角三角形 在直角 ABD 中 AB 6 AD 8 则 BD 10 ABD 的面积 S AB AD BD AE AE 4 8 故答案为 4 8 8 点评 本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用 考查了三角形面积的计算 本题中根据勾股定理求 BD 的值是 解题的关键 4 如图 以 ABC 的三边为边在 BC 的同一侧分别作三个等边三角形 即 ABD BCE ACF 1 四边形 ADEF 是 平行四边形 2 当 ABC 满足条件 AB AC 时 四边形 ADEF 为菱形 3 当 ABC 满足条件 AB AC BC 时 四边形 ADEF 不存在 考点 等边三角形的性质 平行四边形的判定 菱形的判定 专题 证明题 分析 1 先证明 ABC DBE ABC FEC 则 DE AC AF FE AB AD 则四边形 ADEF 是个平行四边形 2 当 AB AC 时 四边形 ADEF 为菱形 3 当 AB AC BC 时 四边形 ADEF 不存在 解答 解 1 四边形 ADEF 是个平行四边形在 ABC 和 DBE 中 BC BE BA BD DBE ABC 与 ABE 之和都等于 60 ABC DBE DE AC 在 ABC 和 FEC 中 BC EC CA CF ACB FCE 都为 60 角与 ACE 之和 ABC FEC FE AB DE AC AF FE AB AD 四边形 ADEF 是个平行四边形 2 当 ABC 为等腰三角形并且不是等边三角形时 即 AB AC 时 由第 1 题中可知四边形 ADEF 的四边都相等 此时四边形 ADEF 是菱形 3 当 ABC 为等边三角形时 即 AB AC BC 时 四边形 ADEF 中的 A 点与 E 点重合 此时以 A D E F 为顶点的四边形不存在 点评 本题考查了平行四边形 菱形的判定以及等边三角形的性质 5 已知一个三角形的一边长为 2 这边上的中线为 1 另两边之和为 1 则这两边之积为 考点 勾股定理的逆定理 勾股定理 专题 探究型 分析 先根据三角形的一边长为 2 这边上的中线为 1 判断出此三角形是直角三角形 在设另两边分别为 x y 两用 完全平方公式可用 x2 y2表示出 xy 的值 再由勾股定理即可求出 x2 y2 进而可求出 xy 的值 解答 解 三角形的一边长为 2 这边上的中线为 1 可知这边上的中线等于这条边的一半 此三角形是个直角三角形 斜边为 2 设另两边分别为 x y 两边之和 x y 1 x y 2 1 2 4 2 9 xy 2 又 直角三角形两直角边的平方等于斜边的平方 x2 y2 4 xy 2 2 故答案为 点评 本题考查的是勾股定理的逆定理及勾股定理 根据已知条件判断出三角形的形状是解答此题的关键 解答此 题时不要根据另两边之和为 1 即可盲目的设一边为 1 另一边为 6 如图所示 在平行四边形 ABCD 中 EF BC GH AB EF GH 的交点 P 在 BD 上 图中有 5 对四边形面积 相等 它们是 AEPG 与 PHCF EFCB 与 ABHG GHCD 与 EFDA 梯形 ABPG 与梯形 BCFP 四边形 PHCD 与四边形 AEPD 考点 平行四边形的性质 分析 由题意可证四边形 EPHB 为平行四边形 再根据平行四边形的对角线将平行四边形的面积平分 从而求解 解答 解 EF BC GH AB 四边形 EPBH 为平行四边形 BP 为平行四边形 EPBH 的对角线 EBP 与 BHP 的面积相等 BD 为平行四边形 ABCD 的对角线 ABD 与 BCD 面积相等 PD 为平行四边形 PFDG 的对角线 GPD 与 PFD 面积相等 AEPG 与 PHCF 面积相等 EFCB 与 ABHG 面积相等 GHCD 与 EFDA 面积相等 梯形 ABPG 与梯形 BCFP 梯形 PHCD 与梯形 AEPD 共 5 对 故答案为 5 AEPG 与 PHCF EFCB 与 ABHG GHCD 与 EFDA 梯形 ABPG 与梯形 BCFP 梯形 PHCD 与梯形 AEPD 点评 此题主要考查平行四边形的性质及其面积公式 比较简单 7 如图 菱形 ABCD 的对角线 AC BD 相交于 O AOB 的周长为 3 ABC 60 则菱形 ABCD 的面积为 考点 菱形的性质 勾股定理 专题 计算题 分析 根据 ABC 60 可以求得 ABO 30 即 AB 2AO 设 AO x 则 AB 2x 根据勾股定理即可求得 OB x 10 求得 x 的值即可求得 AC BD 的长度 即可计算菱形 ABCD 的面积 解答 解 菱形对角线即角平分线 ABC 60 可以求得 ABO 30 即 AB 2AO 设 AO x 则 AB 2x 则 OB x 即 3 x 3 即 x 1 菱形的对角线长为 2 2 故菱形 ABCD 的面积为 S 2 2 2 故答案为 2 点评 本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用 考查了菱形对角线互相垂直且平分一组对角的性质 本题中根 据勾股定理求 x 的值是解题的关键 8 如图 矩形 ABCD 中 AC BD 相交于点 O AE 平分 BAD 交 BC 于 E 若 EAO 15 则 BOE 的度数为 75 度 考点 矩形的性质 等边三角形的判定与性质 专题 计算题 分析 根据矩形的性质可得 BOA 为等边三角形 得出 BA BO 又因为 BAE 为等腰直角三角形 BA BE 由此 关系可求出 BOE 的度数 解答 解 AE 平分 BAD BAE EAD 45 又知 EAO 15 OAB 60 OA OB BOA 为等边三角形 BA BO BAE 45 ABC 90 BAE 为等腰直角三角形 BA BE BE BO EBO 30 BOE BEO 此时 BOE 75 故答案为 75 点评 此题综合考查了等边三角形的判定 等腰三角形的性质 矩形的性质等知识点 11 9 如图 矩形 ABCD 中 AB 8 BC 4 将矩形沿 AC 折叠 点 D 落在点 D 处 则重叠部分 AFC 的面积为 10 考点 勾股定理 全等三角形的判定与性质 专题 计算题 分析 因为 BC 为 AF 边上的高 要求 AFC 的面积 求得 AF 即可 求证 AFD CFB 得 BF D F 设 D F x 则在 Rt AFD 中 根据勾股定理求 x AF AB BF 解答 解 易证 AFD CFB D F BF 设 D F x 则 AF 8 x 在 Rt AFD 中 8 x 2 x2 42 解之得 x 3 AF AB FB 8 3 5 S AFC AF BC 10 故答案为 10 点评 本题考查了勾股定理的正确运用 本题中设 D F x 根据直角三角形 AFD 中运用勾股定理求 x 是解题的关 键 二 选择题 共二 选择题 共 9 小题 每小题小题 每小题 5 分 满分分 满分 45 分 分 10 如图 ABCD 中 ABC 75 AF BC 于 F AF 交 BD 于 E 若 DE 2AB 则 AED 的大小是 A 60 B 65 C 70 D 75 考点 平行四边形的性质 等腰三角形的性质 直角三角形斜边上的中线 专题 计算题 分析 由 DE 2AB 可作辅助线 取 DE 中点 O 连接 AO 根据平行四边形的对边平行 易得 ADE 是直角三角形 由直角三角形斜边上的中线是斜边的一半 即可得 ADO AOE AOB 是等腰三角形 借助于方程求解 即可 12 解答 解 取 DE 中点 O 连接 AO 四边形 ABCD 是平行四边形 AD BC DAB 180 ABC 105 AF BC AF AD DAE 90 OA DE OD OE DE 2AB OA AB AOB ABO ADO DAO AED EAO AOB ADO DAO 2 ADO ABD AOB 2 ADO ABD ADO DAB 180 ADO 25 AOB 50 AED EAO AOB 180 AED 65 故选 B 点评 此题考查了直角三角形的性质 直角三角形斜边上的中线是斜边的一半 平行四边形的性质 平行四边形的 对边平行 以及等腰三角形的性质 等边对等角 解题的关键是注意方程思想的应用 11 如图 正 AEF 的边长与菱形 ABCD 的边长相等 点 E F 分别在 BC CD 上 则 B 的度数是 A 70 B 75 C 80 D 95 考点 菱形的性质 等腰三角形的性质 等边三角形的性质 专题 计算题 分析 正 AEF 的边长与菱形 ABCD 的边长相等 所以 AB AE AF AD 根据邻角之和为 180 即可求得 B 的度 数 解答 解 正 AEF 的边长与菱形 ABCD 的边长相等 所以 AB AE AF AD 设 B x 则 BAD 180 x 13 BAE DAF 180 2x 即 180 2x 180 2x 60 180 x 解得 x 80 故选 C 点评 本题考查了正三角形各内角为 60 各边长相等的性质 考查了菱形邻角之和为 180 的性质 本题中根据关于 x 的等量关系式求 x 的值是解题的关键 12 如图 正方形 ABCD 外有一点 P P 在 BC 外侧 并在平行线 AB 与 CD 之间 若 PA PB PC 则 PD A 2B C 3D 考点 正方形的性质 勾股定理 专题 计算题 分析 用 EF BE AB 分别表示 AP BP 用 CF PF DC 分别表示 DP CP 得 AP2 CP2 DP2 BP2 已知 AP BP CP 代入上式即可求 DP 解答 解 延长 AB DC 过 P 分作 PE AE PF DF 则 CF BE AP2 AE2 EP2 BP2 BE2 PE2 DP2 DF2 PF2 CP2 CF2 FP2 AP2 CP2 CF2 FP2 AE2 EP2 DP2 BP2 DF2 PF2 BE2 PE2 即 AP2 CP2 DP2 BP2 代入 AP BP CP 得 DP 2 故选 A 点评 本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用 考查了正方形各边相等的性质 本题中求证 AP2 CP2 DP2 BP2 是解题的关键 13 如图 在平行四边形 ABCD 中 BC 2AB CE AB 于 E F 为 AD 的中点 若 AEF 54 则 B A 54 B 60 C 66 D 72 考点 菱形的判定与性质 平行四边形的性质 14 专题 计算题 分析 过 F 作 AB CD 的平行线 FG 由于 F 是 AD 的中点 那么 G 是 BC 的中点 即 Rt BCE 斜边上的中点 由 此可得 BC 2EG 2FG 即 GEF BEG 都是等腰三角形 因此求 B 的度数 只需求得 BEG 的度数即可 易知四边形 ABGF 是平行四边形 得 EFG AEF 由此可求得 FEG 的度数 即可得到 AEG 的度数 根据 邻补角的定义可得 BEG 的值 由此得解 解答 解 过 F 作 FG AB CD 交 BC 于 G 则四边形 ABGF 是平行四边形 所以 AF BG 即 G 是 BC 的中点 连接 EG 在 Rt BEC 中 EG 是斜边上的中线 则 BG GE FG BC AE FG EFG AEF FEG 54 AEG AEF FEG 108 B BEG 180 108 72 故选 D 点评 此题主要考查了平行四边形的性质 直角三角形的性质以及等腰三角形的判定和性质 正确地构造出与所求 相关的等腰三角形是解决问题的关键 14 四边形 ABCD 的四边分别为 a b c d 其中 a c 为对边 且满足 a2 b2 c2 d2 2ac 2bd 则这个四边形一定是 A 两组角分别相等的四边形B 平行四边形 C 对角线互相垂直的四边形D 对角线相等的四边形 考点 平行四边形的判定 非负数的性质 偶次方 完全平方公式 专题 规律型 分析 对于所给等式 a2 b2 c2 d2 2ac 2bd 先移项 故可配成两个完全式 即 a c 2 b d 2 0 进而可得 a c b d 四边形中两组对边相等 故可判定是平行四边形 解答 解 a2 b2 c2 d2 2ac 2bd 可化简为 a c 2 b d 2 0 a c b d a b c d 分别为四边形 ABCD 的四边 a c b d 即两组对边分别相等 则可确定其为平行四边形 故选 B 点评 此题主要考查平行四边形的判定问题 正确的对式子进行变形 熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关 键 15 15 周长为 68 的长方形 ABCD 被分成 7 个全等的长方形 如图所示 则长方形 ABCD 的面积为 A 98B 196C 280D 284 考点 一元一次方程的应用 专题 几何图形问题 分析 此题要理解长方形 ABCD 的面积是不变的 用不同的方法表示即是此题的等量关系 也就是 7 个小长方形的 面积和与大长方形的面积相等 还要注意设小长方形的宽为 x 则其长为 34 6x 大长方形的宽为 34 5x 长为 5x 根据等量关系列方程即可 解答 解 设小长方形的宽为 x 根据题意得 7x 34 6x 5x 34 5x 化简得 7 34 6x 5 34 5x 解得 x 4 则大长方形的面积为 5x 34 5x 280 故选 C 点评 此题锻炼了学生的识图能力 关键是分清 7 个小长方形是如何组合成大长方形的 还要注意设小的比较简 单 16 2003 吉林 如图 菱形花坛 ABCD 的边长为 6m A 120 其中由两个正六边形组成的图形部分种花 则种 花部分图形的周长为 A 12mB 20mC 22mD 24m 考点 菱形的性质 等边三角形的性质 专题 应用题 分析 连接 AC 根据已知可得到 ABC 为正三角形 从而可求得正六边形的边长是 ABC 边长的 已知种花部分 图形共有 10 条边则其周长不难求得 解答 解 连接 AC 16 已知 A 120 ABCD 为菱形 则 B 60 从而得出 ABC 为正三角形 以 ABC 的顶点所在的小三角形也 是正三角形 所以正六边形的边长是 ABC 边长的 则种花部分图形共有 10 条边 所以它的周长为 6 10 20m 故选 B 点评 此题主要考查了菱形的性质 等边三角形的性质的运用 17 在凸四边形 ABCD 中 AB CD 且 AB BC CD DA 则 A AD BCB AD BC C AD BCD AD 与 BC 的大小关系不能确定 考点 平行四边形的判定与性质 分析 根据条件 AB BC CD DA 可以延长 AB 至 E 使 BE BC 延长 CD 至 F 使 DF DA 连接 CE AF 这样的 辅助线 然后根据平行四边形的判定定理得出四边形 AECF 为平行四边形 再利用三角形全等可以得出 AD 与 BC 的大小关系 解答 解 延长 AB 至 E 使 BE BC 延长 CD 至 F 使 DF DA 连接 CE AF AB BC CD DA AE CF 又 AE CF 四边形 AECF 为平行四边形 E F CE AF 又 BE BC DF AD E BCE F DAF CE AF AFD BEC AD BC 故选 C 点评 此题主要考查了平行四边形的性质与判定 延长 AB 至 E 使 BE BC 延长 CD 至 F 使 DF DA 这种辅助线 的作法是由条件 AB BC CD DA 所决定的 同学们做今后做题过程中 应该学会应用 18 已知四边形 ABCD 从下列条件中 1 AB CD 2 BC AD 3 AB CD 4 BC AD 5 A C 6 B D 任取其中两个 可以得出 四边形 ABCD 是平行四边形 这一结论的情况有 A 4 种B 9 种C 13 种D 15 种 考点 平行四边形的判定 分析 平行四边形的五种判定方法分别是 1 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 2 两组对边分别相 等的四边形是平行四边形 3 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 4 两组对角分别相等的四 边形是平行四边形 5 对角线互相平分的四边形是平行四边形 根据平行四边形的判定 任取两个进行推 理 解答 解 根据平行四边形的判定 符合四边形 ABCD 是平行四边形条件的有九种 1 2 3 4 5 6 1 3 2 4 1 5 1 6 2 5 2 6 共九种 17 故选 B 点评 平行四边形的判定方法共有五种 应用时要认真领会它们之间的联系与区别 同时要根据条件合理 灵活地 选择方法 三 解答题 共三 解答题 共 11 小题 满分小题 满分 0 分 分 19 如图 在 ADC 中 BAC 90 AD BC BE AF 分别是 ABC DAC 的平分线 BE 和 AD 交于 G 求证 GF AC 考点 平行四边形的判定与性质 三角形的外角性质 全等三角形的判定与性质 专题 证明题 分析 从角的角度证明困难 连接 EF 在四边形 AGFE 的背景下思考问题 证明四边形 AGFE 为特殊平行四边形 证题的关键是能分解出直角三角形中的基本图形 解答 证明 连接 EF BAC 90 AD BC C ABC 90 C DAC 90 ABC BAD 90 ABC DAC BAD C BE AF 分别是 ABC DAC 的平分线 ABG EBD AGE GAB GBA AEG C EBD AGE AEG AG AE AF 是 DAC 的平分线 AO BE GO EO ABO FBO AO FO 四边形 AGFE 是平行四边形 GF AE 即 GF AC 点评 此题主要考查平行四边形的判定与性质 三角形的外角性质和全等三角形的判定与性质的综合运用 20 设 P 为等腰直角三角形 ACB 斜边 AB 上任意一点 PE 垂直 AC 于点 E PF 垂直 BC 于点 F PG 垂直 EF 于点 G 延长 GP 并在其延长线上取一点 D 使得 PD PC 试证 BC BD 且 BC BD 18 考点 等腰直角三角形 全等三角形的判定与性质 专题 证明题 分析 此题关键是证 PBC PDB 已有 PC PD PB 是公共边 只需再证明 BPD CPB 而 BPD APG 则证 明 APG CPB 进而需要证明 1 2 可利用同角的余角相等证明 解答 解 PE AC 于 E PF BC 于 F ACB 90 CEPF 是矩形 三角都是直角的四边形是矩形 OP OF PEF 3 90 1 3 PG EF PEF 2 90 2 3 1 2 ABC 是等腰直角三角形 A ABC 45 APE BPF 45 APE 2 BPF 1 即 APG CPB BPD APG BPD CPB 又 PC PD PB 是公共边 PBC PBD SAS BC BD PBC PBD 45 PBC PBD 90 即 BC BD 故证得 BC BD 且 BC BD 点评 本题主要考查三角形全等的判定和性质 综合利用了等腰直角三角形的性质 和矩形的判定和性质等知识点 难度较大 21 如图 在等腰三角形 ABC 中 延长 AB 到点 D 延长 CA 到点 E 且 AE BD 连接 DE 如果 AD BC CE DE 求 BAC 的度数 19 考点 等腰三角形的性质 三角形内角和定理 全等三角形的判定与性质 平行四边形的判定与性质 专题 综合题 分析 过 D 作 DF BC 且使 DF BC 连 CF EF 则四边形 BDFC 是平行四边形 根据平行四边形的性质可得到 BD CF DA FC 再利用 SAS 判定 ADE CEF 根据全等三角形的性质可得到 ED EF 从而可推出 DEF 为等边三角形 BAC x 则 ADF ABC 根据三角形内角和定理可分别表示出 ADE ADF 根据等边三角形的性质不难求得 BAC 的度数 解答 解 过 D 作 DF BC 且使 DF BC 连 CF EF 则四边形 BDFC 是平行四边形 BD CF DA FC EAD ECF AD CE AE BD CF ADE CEF SAS ED EF ED BC BC DF ED EF DF DEF 为等边三角形 设 BAC x 则 ADF ABC DAE 180 x ADE 180 2 DAE 180 2 180 x 2x 180 ADF ADE EDF 60 2x 180 60 x 100 BAC 100 点评 此题主要考查等腰三角形的性质 三角形内角和定理 平行四边形的判定与性质及全等三角形的判定与性质 的综合运用 22 如图 ABC 为等边三角形 D F 分别为 BC AB 上的点 且 CD BF 以 AD 为边作等边 ADE 20 1 求证 ACD CBF 2 点 D 在线段 BC 上何处时 四边形 CDEF 是平行四边形且 DEF 30 考点 平行四边形的判定 全等三角形的判定与性质 等边三角形的性质 专题 证明题 分析 1 在 ACD 和 CBF 中 根据已知条件有两边和一夹角对应相等 可根据边角边来证明全等 2 当 DEF 30 即为 DCF 30 在 BCF 中 CFB 90 即 F 为 AB 的中点 又因为 ACD CBF 所以点 D 为 BC 的中点 解答 证明 1 由 ABC 为等边三角形 AC BC FBC DCA CD BF 所以 ACD CBF 2 当 D 在线段 BC 上的中点时 四边形 CDEF 为平行四边形 且角 DEF 30 度 按上述条件作图 连接 BE 在 AEB 和 ADC 中 AB AC EAB BAD DAC BAD 60 即 EAB DAC AE AD AEB ADC SAS 又 ACD CBF AEB ADC CFB EB FB EBA ABC 60 EFB 为正三角形 EF FB CD EFB 60 又 ABC 60 EFB ABC 60 EF BC 而 CD 在 BC 上 EF 平行且相等于 CD 四边形 CDEF 为平行四边形 D 在线段 BC 上的中点 F 在线段 AB 上的中点 FCD 60 30 则 DEF FCD 30 点评 本题考查了平行四边形的判定和三角形全等的知识 三角形全等的判定是中考的热点 一般以考查三角形全 等的方法为主 判定两个三角形全等 先根据已知条件或求证的结论确定三角形 然后再根据三角形全等的 21 判定方法 看缺什么条件 再去证什么条件 23 2002 河南 如图所示 在 Rt ABC 中 AB AC A 90 点 D 为 BC 上任一点 DF AB 于 F DE AC 于 E M 为 BC 的中点 试判断 MEF 是什么形状的三角形 并证明你的结论 考点 等腰三角形的判定 专题 证明题 分析 根据已知 利用 SAS 判定 AEM BFM 从而得到 EM FM 根据角之间的关系可求得 EMF 90 即 MEF 是等腰直角三角形 解答 解 MEF 是等腰直角三角形 证明如下 连接 AM M 是 BC 的中点 BAC 90 AB AC AM BC BM AM 平分 BAC MAC MAB BAC 45 AB AC DE AC DF AB DE AB DF AC BAC 90 四边形 DFAE 为矩形 DF AE DF BF B 45 BDF B 45 BF FD B MAE 45 AE BF AM BM AEM BFM SAS EM FM AME BMF AMF BMF 90 AME AMF EMF 90 MEF 是等腰直角三角形 点评 此题主要考查学生对等腰三角形的判定的理解及运用 得到 AE BF 是正确解答本题的关键 24 2008 咸宁 如图 在 ABC 中 点 O 是 AC 边上的一个动点 过点 O 作直线 MN BC 设 MN 交 BCA 的角平 分线于点 E 交 BCA 的外角平分线于点 F 1 求证 EO FO 2 当点 O 运动到何处时 四边形 AECF 是矩形 并证明你的结论 22 考点 矩形的判定 专题 几何综合题 分析 1 根据平行线性质和角平分线性质及 由平行线所夹的内错角相等易证 2 根据矩形的判定方法 即一个角是直角的平行四边形是矩形可证 解答 1 证明 CE 平分 ACB 1 2 又 MN BC 1 3 3 2 EO CO 2 分 同理 FO CO 3 分 EO FO 2 解 当点 O 运动到 AC 的中点时 四边形 AECF 是矩形 EO FO 点 O 是 AC 的中点 四边形 AECF 是平行四边形 6 分 CF 平分 BCA 的外角 4 5 又 1 2 2 4 180 90 即 ECF 90 度 7 分 四边形 AECF 是矩形 8 分 点评 本题涉及矩形的判定定理 解答此类题的关键是要突破思维定势的障碍 运用发散思维 多方思考 探究问 题在不同条件下的不同结论 挖掘它的内在联系 向 纵 横 深 广 拓展 从而寻找出添加的条件和所得 的结论 25 如图 在 Rt ABC 中 ABC 90 C 60 BC 2 D 是 AC 的中点 以 D 作 DE AC 与 CB 的延长线交于 E 以 AB BE 为邻边作长方形 ABEF 连接 DF 求 DF 的长 23 考点 正方形的性质 全等三角形的判定与性质 等边三角形的判定与性质 专题 计算题 分析 求证 DEC BAC 得 DE AB 再求证 DF DE 即可解此题 解答 解 ABC 为直角三角形 C 60 BAC 30 BC AC D 为 AC 的中点 BC DC 在 DEC BAC 中 DEC BAC 即 AB DE DEB 30 FED 60 EF AB EF DE DEF 为等边三角形 即 DF AB 在直角三角形 ABC 中 BC 2 则 AC 4 AB 答 DF 的长为 点评 本题考查了等腰三角形各边均相等 考查了矩形内角均为直角的性质 本题中求证 DEF 是等边三角形是解 题的关键 26 菱形的对角线 AC 与 BD 交于点 O 若菱形 ABCD 的面积为 24 AC 6 则菱形的边长为 5 分析 根据菱形 ABCD 的面积和 AC 可以计算 BD 的长 在 Rt ABO 中 已知 AO BO 根据勾股定理即可求得 AB 的值 即可解题 解答 解 菱形 ABCD 的面积 S AC BD S 24 AC 6 则 BD 8 AO CO 3 BO DO 4 在 Rt ABO 中 AB 5 故答案为 5 点评 本题考查了菱形面积的计算公式 考查了勾股定理在直角三角形中的运用 本题中根据 AO BO 的值求 AB 的值是解题的关键 27 2002 陕西 阅读下面短文 如图 ABC 是直角三角形 C 90 现将 ABC 补成矩形 使 ABC 的两个顶点为矩形一边的两个端点 第三 个顶点落在矩形这一边的对边上 那么符合要求的矩形可以画出两个矩形 ACBD 和矩形 AEFB 如图 24 解答问题 1 设图 中矩形 ACBD 和矩形 AEFB 的面积分别为 S1 S2 则 S1 S2 填 或 2 如图 ABC 是钝角三角形 按短文中的要求把它补成矩形 那么符合要求的矩形可以画 1 个 利用图 把它画出来 3 如图 ABC 是锐角三角形且三边满足 BC AC AB 按短文中的要求把它补成矩形 那么符合要求的矩形 可以画出 3 个 利用图 把它画出来 4 在 3 中所画出的矩形中 哪一个的周长最小 为什么 分析 1 易得原有三角形都等于所画矩形的一半 那么这两个矩形的面积相等 2 可仿照图 2