山东省莱芜市第一中学2012届高三数学4月自主检测试题 理

用心 爱心 专心 1 山东省莱芜市第一中学山东省莱芜市第一中学 20122012 届高三届高三 4 4 月自主检测数学 理 试题月自主检测数学 理 试题 第 卷 共 60 分 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有 一项是符合题目要求的 1 已知全集U R 集合 13 Axx 2 Bx x 则 U AB 等于 A 12 xx B 12 xx C 12 xx D 13 xx 2 20 cos 3 的值等于 A 1 2 B 3 2 C 1 2 D 3 2 3 设 p q是两个命题 1 0 21 1 x pqxpq x 则是 A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充要条件 D 既非充分又非必要条件 4 设 a b R 若 0ba 则下列不等式中正确的是 A 0ab B 0ab C 22 0ab D 33 0ab 5 函数 lne x f xx的零点所在的区间是 A 1 0 e B 1 1 e C 1 e D e 6 已知向量 1 2 a 0 1 b 设 2uakb vab 若 u v 则实数k的值是 A 7 2 B 1 2 C 4 3 D 8 3 7 已知函数 2 sin22cos1f xxx 将 f x的图象上各点的横坐标缩短为原来的 2倍 纵坐标不变 再将所得图象向右平移 4 个单位 得到函数 yg x 的图象 则函 数 yg x 的解析式为 A 2sing xx B 2cosg xx C 3 2sin 4 4 g xx D 2cos4g xx 8 定义运算 a ab a b b ab 则函数 1 2xf x 的图象大致为 A B C D 9 若设变量x y满足约束条件 1 4 2 xy xy y 则目标函数24zxy 的最大值为 A 10 B 12 C 13 D 14 x y O 1 x y O 1 x y O 1 x y O 1 用心 爱心 专心 2 10 已知函数 21 0 1 0 x x f xf xxa f xx 若方程有且只有两个不相等的实数根 则实数a的取值范围为 A 0 B 0 1 C 1 D 0 11 设m n是不同的直线 是不同的平面 有以下四个命题 1 2 m m 3 m m 4 mn m n 其中正确的是 A 1 2 B 1 3 C 2 3 D 2 4 12 定义域为 a b 的函数 yf x 图像的两个端点为 A B M x y 是 f x图象上任意 一点 其中 1 xaba b 已知向量 1 ONOAOB 若不等式 MNk 恒成立 则称函数 f xa b在上 k 阶线性近似 若函数 1 yx x 在 1 2 上 k 阶线性近似 则实数 k 的取值范围为 A 0 B 1 12 C 3 2 2 D 3 2 2 理 科 数 学 第第 卷 共卷 共 9090 分 分 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 4 分 共 16 分 13 若正三棱锥的正视图与俯视图如右图所示 单位 cm 则正三棱锥的体积为 3 cm 14 函数 2 01 212 xx f x xx 的图像与 x 轴所围成的封闭图形的面积为 15 已知F1 F2分别是双曲线 22 22 1 0 0 xy ab ab 的左 右焦点 P为双曲线上的一 点 若 12 90FPF 且 12 FPF 的三边长成等差数列 则双曲线的离心率是 16 定义在R上的偶函数 1 f xf xf x 满足且在 1 0 上是增函数 给出下 列关于 f x的判断 f x是周期函数 f x关于直线1x 对称 f x是 0 1 上是增函数 f x在 1 2 上是减函数 2 0 ff 其中正确的序号是 把你认为正确的序号都写上 三 解答题 本大题共 6 小题 共 74 分 17 本小题满分 12 分 已知数列 n a的前n项和为 n S 1 1 a 且323 1 nn Sa n为正整数 求出数列 n a的通项公式 若对任意正整数n n Sk 恒成立 求实数k的最大值 18 本小题满分 12 分 用心 爱心 专心 3 1 F 2 F x y A O B 已知ABC 的三个内角CBA 所对的边分别为a b c 向量 mac ba nac b 且nm 求角C的大小 若向量 2 cos2 cos 1 0 2B Ats 试求ts 的取值范围 19 本小题满分 12 分 某机床厂今年年初用 98 万元购进一台数控机床 并立即投入生产使用 计划第一年维 修 保养费用 12 万元 从第二年开始 每年所需维修 保养费用比上一年增加 4 万元 该 机床使用后 每年的总收入为 50 万元 设使用x年后数控机床的盈利额为y万元 写出y与x之间的函数关系式 从第几年开始 该机床开始盈利 盈利额为正值 20 本小题满分 12 分 已知四棱锥PABCD 底面ABCD是矩形 PA 平面ABCD AD 2 AB 1 E F分别是 线段AB BC的中点 证明 PF FD 在PA上找一点G 使得EG 平面PFD 若PB与平面ABCD所成的角为45 求二面角APDF 的余弦值 21 本题满分 12 分 设椭圆 0 1 2 2 2 2 ba b y a x C的左 右焦点 分别为 21 FF 上顶点为A 在x轴负半轴上有一点B 满足 211 FFBF 且 2 AFAB 求椭圆C的离心率 D是过 2 FBA 三点的圆上的点 D到直线 033 yxl 的最大距离等于椭圆长轴的长 求椭圆C的方程 在 2 的条件下 过右焦点 2 F作斜率为k的直线l与椭圆C交于NM 两点 在 x轴上是否存在点 0 mP使得以PNPM 为邻边的平行四边形是菱形 如果存在 求出 m的取值范围 如果不存在 说明理由 22 本小题满分 14 分 已知函数 2 ln f xxaxx a R 若函数 f x在 1 2 上是减函数 求实数a的取值范围 令 2 g xf xx 是否存在实数a 当 0 ex e 是自然常数 时 函数 g x 的最小值是 3 若存在 求出a的值 若不存在 说明理由 当 0 ex 时 证明 22 5 e 1 ln 2 xxxx 用心 爱心 专心 4 理科数学答案理科数学答案 一 选择题 每小题一 选择题 每小题 5 5 分 共分 共 6060 分分 ACBBA BCACC BD 二 填空题 每小题二 填空题 每小题 4 4 分 共分 共 1616 分分 13 1 4 14 5 6 15 5 16 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 6 小题 共小题 共 7474 分 分 17 解 1 323 1 nn Sa 当2 n时 323 1 nn Sa 由 得0233 1 nnn aaa 3 1 1 n n a a 2 n 又 1 1 a 323 12 aa 解得 3 1 2 a 数列 n a是首项为 1 公比为 3 1 q的等比数列 1 1 1 3 1 n n n qaa n为正整数 6 分 2 由 知 n n S 3 1 1 2 3 由题意可知 对于任意的正整数n 恒有 n k 3 1 1 2 3 数列 n 3 1 1单调递增 当1 n时 该数列中的最小项为 3 2 必有1 k 即实数k的最大值为 1 12 分 18 解 由题意得 222 0m nac baac bacbab 2 分 即abbac 222 3 分 由余弦定理得 2 1 2 cos 222 ab cba C 3 0 CC 5 分 cos cos 1 2 cos2 cos 2 BA B Ats 6 分 用心 爱心 专心 5 2 2222 2 coscoscoscos 3 stABAA 4 1 cos 2 1 cos213 3 cos2sin21 2244 A A AA 8 分 1 sin 2 1 26 A 10 分 6 7 6 2 6 3 2 0 AA 1 sin 2 1 26 A 所以 2 15 24 st 故 25 22 st 12 分 19 解 第二年所需维修 保养费用为 12 4 万元 第x年所需维修 保养费用为124 1 x 48x 3 分 维修 保养费用成等差数列递增 依题得 2 1248 509824098 2 xx yxxx x N 6 分 由 可知当0y 时 开始盈利 8 分 解不等式 2 240980 xx 得10511051x 10 分 x N 3 x 17 故从第 3 年开始盈利 12 分 20 解 证明 连接AF 则AF DF 22 又AD 2 DF2 AF2 AD2 DF AF 又PA 平面ABCD DF PA 又PA AF A DFPAF DFPF PFPAF 平 平平 平 平 平平 平 4 分 过点E作EH FD交AD于点H 则EH 平面PFD且AH AD 1 4 再过点H作HG DP交PA于点G 则HG 平面PFD且AG AP 1 4 平面EHG 平面PFD EG 平面PFD 从而满足AG AP的点G为所求 1 4 8 分 用心 爱心 专心 6 建立如图所示的空间直角坐标系 因为PA 平面ABCD 所以PBA 是PB与平 面ABCD所成的角 又有已知得45PBA 所以1PAAB 所以 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 2 0 0 0 1 ABFDP 设平面PFD的法向量为 nx y z 由 0 0 n PF n DF 得 0 0 xyz xy 令1z 解得 1 2 xy 所以 1 1 1 2 2 n 又因为ABPAD 平面 所以AB 是平面PAD的法向量 易得 1 0 0AB 所以 1 6 2 cos 611 1 44 AB n AB n ABn 由图知 所求二面角APDF 的余弦值为 6 6 12 分 21 解 设B x0 0 由 2 F c 0 A 0 b 知 02 bxABbcAF c b xbcxABAF 2 0 2 02 0 由于 211 FFBF 即 1 F为 2 BF中点 故cc c b 2 2 2222 3cacb 故椭圆的离心率 2 1 e 4 分 由 1 知 2 1 a c 得ac 2 1 于是 2 F 2 1 a 0 B 0 2 3 a ABF的外接圆圆心为 2 1 a 0 半径r 2 1 FB a 用心 爱心 专心 7 D到直线033 yxl的最大距离等于2a 所以圆心到直线的距离为a 所以a a 2 3 2 1 解得a 2 c 1 b 3 所求椭圆方程为1 34 22 yx 8 分 由 2 知 0 1 2 F l 1 xky 1 34 1 22 yx xky 代入得 01248 43 2222 kxkxk 设 11 yxM 22 yxN 则 2 2 21 43 8 k k xx 2 2121 xxkyy 9 分 2211 ymxymxPNPM 2 2121 yymxx 由于菱形对角线垂直 则 PNPM0 MN 故02 2121 mxxyyk 则02 2 2121 2 mxxxxk 2 k 2 43 8 2 2 k k 02 43 8 2 2 m k k 10 分 由已知条件知0 k且Rk 4 3 1 43 2 2 2 k k k m 4 1 0 m 故存在满足题意的点P且m的取值范围是 4 1 0 m 12 分 22 解 解 2 121 20 xax fxxa xx 在 1 2 上恒成立 令 2 21h xxax 有 1 0 2 0 h h 得 1 7 2 a a 3 分 所以 7 2 a 4 分 假设存在实数a 使 ln 0 e g xaxx x 有最小值 3 用心 爱心 专心 8 11 ax g xa xx 5 分 当0a 时 g x 在 0 e 上单调递减 min 4 e e 13 e gxgaa 舍去 当 1 0e a 时 g x 在 1 0 a 上单调递减 在 1 e a 上单调递增 所以 2 min 1 1 l