2013届高考数学综合测试 专题1 理

1 专题一综合测试题专题一综合测试题 时间 120 分钟 满分 150 分 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 1 设集合U 1 2 3 4 5 6 集合M 1 3 N 2 3 4 则 UM UN A 3 B 4 6 C 5 6 D 3 6 解析 UM 2 4 5 6 UN 1 5 6 UM UN 5 6 故选 C 答案 C 2 已知全集I R 若函数f x x2 3x 2 集合M x f x 0 N x f x 0 则M IN A 2 B 2 3 2 3 2 C 2 D 2 3 2 3 2 解析 由f x 0 解得 1 x 2 故M 1 2 f x 0 即 2x 3 0 即x1 解析 命题p x 1 2 x2 a 0 a x2在 1 2 上恒成立 a 1 綈 p为a 1 命题q x R x2 2ax 2 a 0 方程有解 4a2 4 2 a 0 a2 a 2 0 a 1 或a 2 2 若命题 綈p且q 是真命题 则a 1 故选 D 答案 D 5 2011 山东肥城模拟 幂函数f x xn n 1 2 3 1 具有如下性质 f2 1 1 2 f2 1 2 f 1 f 1 1 则函数f x A 是奇函数 B 是偶函数 C 既是奇函数 又是偶函数 D 既不是奇函数 又不是偶函数 解析 由f2 1 f2 1 2 f 1 f 1 1 n 2 f x x2为偶函数 所以选 B 答案 B 6 2011 潍坊模拟 已知函数f x x3 2bx2 cx 1 有两个极值点x1 x2 且 x1 2 1 x2 1 2 则f 1 的取值范围是 A B 3 2 3 3 2 6 C 3 12 D 3 2 12 解析 f x 3x2 4bx c 由题意 得 Error f 1 2b c 当直线过A时f 1 取最小值 3 当直线过B时取最大值 12 故选 C 答案 C 3 7 设集合I是全集 A I B I 则 A B I 是 B IA 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 解析 由B IA A B I 而A B I B IA 故 A B I 是 B IA 的必 要不充分条件 答案 B 8 若曲线xy a a 0 则过曲线上任意一点的切线与两坐标轴所围成的三角形的面 积是 A 2a2 B a2 C 2 a D a 解析 设切点坐标为 x0 y0 曲线方程即y y 故切线斜率为 切 a x a x2 a x2 0 线方程为y x x0 令y 0 得x 2x0 即切线与x轴的交点A的坐标为 a x0 a x2 0 2x0 0 令x 0 得y 即切线与y轴的交点B的坐标为 0 故切线与两坐标 2a x0 2a x0 轴所围成的三角形的面积为 2x0 2 a 1 2 2a x0 答案 C 9 2011 天津模拟 定义在 R 上的函数f x 满足 x 1 f x 0 且y f x 1 为 偶函数 当 x1 1 f 2 x2 B f 2 x1 f 2 x2 C f 2 x1 f 2 x2 D f 2 x1 f 2 x2 解析 由 x 1 f x 0 Error 或Error 得函数f x 在区间 1 上为增函数 在区间 1 上为减函数 又由y f x 1 为偶函数 得函数f x 的图象关于直线 x 1 对称 由 x1 1 x2 1 x1 x2 x1 x2 2 1 此时 当x1 1 则f x1 f x2 即f 2 x1 f 2 x2 当x11 又x2 2 x1 f 2 x1 f x2 即f 2 x1 f 2 x2 同理 当Error 时 也有上述结论 4 答案 A 10 如图所示 点P在边长为 1 的正方形的边上运动 设M是CD边的中点 则当点P 沿着A B C M运动时 以点P经过的路程x为自变量 三角形APM的面积函数的图象的 形状大致是 解析 y Error 选 A 答案 A 11 已知函数f x 在 1 上为减函数 则实数a的取值范围是 lna lnx x A 0 a B 01 其中 所有真命题的序号是 A B C D 解析 函数y cos x cos x cos2x 相邻两个对称中心的距离为 4 4 1 2 d 故 不正确 函数y 的图象对称中心应为 1 1 故 不正确 正确 T 2 2 x 3 x 1 正确 答案 B 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 4 分 共 16 分 将答案填在题中的横线上 13 已知函数f x Error 则f f 2010 解析 f f 2010 f f 2008 f f 2006 f f 2004 f f 0 f 2 22 4 0 答案 0 14 已知函数f x ln sinx 则关于a的不等式 1 x 1 x f a 2 f a2 4 0 的解集是 解析 已知f x ln sinx是奇函数 1 x 1 x 又f x ln sinx ln sinx 1 x 1 x 2 1 x 1 x ln 1 sinx f x 在 1 1 上单调递增 故f x 是 1 1 上的增函 2 x 1 数 由已知得f a 2 f a2 4 即f a 2 f 4 a2 故Error Error a0 恒成立 m 2 令g x 1 x 1 x 2 x 1 x 2 则当 1 时 函数g x 取得最大值 1 故m 1 2 x 1 x 答案 1 16 2011 扬州模拟 若函数f x x3 a2x满足 对于任意的x1 x2 0 1 都有 1 3 f x1 f x2 1 恒成立 则a的取值范围是 解析 问题等价于在 0 1 内f x max f x min 1 恒成立 f x x2 a2 函数f x x3 a2x的极小值点是x a 若 a 1 则函数f x 在 0 1 上单调递减 故只要f 0 1 3 f 1 1 即可 即a2 即 1 a 若 a 1 此时f x min f a 4 3 2 3 3 a 3 a2 a a2 a 由于f 0 0 f 1 a2 故当 a 时 f x max f 1 1 3 2 3 1 3 3 3 此时只要 a2 a2 a 1 即可 即a2 a 1 由于 a 故 1 3 2 3 2 3 2 3 3 3 a 1 1 0 故此时成立 当 a 1 时 此时f x max f 0 故只要 2 3 2 3 3 3 3 3 a2 a 1 即可 此式显然成立 故a的取值范围是 2 3 2 3 3 2 3 3 答案 2 3 3 2 3 3 三 解答题 本大题共 6 小题 共 74 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步 骤 17 本小题满分 12 分 2011 广东惠州模拟 统计表明 某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y 升 关 于行驶速度x 千米 小时 的函数解析式可以表示为 y x3 x 8 0 x 120 已知甲 乙两地相距 100 千米 1 128000 3 80 1 当汽车以 40 千米 小时的速度匀速行驶时 从甲地到乙地要耗油多少升 2 当汽车以多大的速度匀速行驶时 从甲地到乙地耗油最少 最少为多少升 解 1 当x 40 时 汽车从甲地到乙地行驶了 2 5 小时 100 40 7 要耗油 2 5 17 5 升 1 128000 403 3 80 40 8 答 当汽车以 40 千米 小时的速度匀速行驶时 从甲地到乙地要耗油 17 5 升 2 当速度为x千米 小时时 汽车从甲地到乙地行驶了小时 设耗油量为h x 升 100 x 依题意得 h x x2 0 x 120 1 128000 x3 3 80 x 8 100 x 1 1280 800 x 15 4 h x 0 x 120 x 640 800 x2 x3 803 640 x2 令h x 0 得x 80 当x 0 80 时 h x 0 h x 是增函数 当x 80 时 h x 取得极小值h 80 11 25 h x 在 0 120 上只有一个极值 它是最小值 答 当汽车以 80 千米 小时的速度匀速行驶时 从甲地到乙地耗油最少为 11 25 升 18 本小题满分 12 分 2011 安徽 设f x 其中a为正实数 ex 1 ax2 1 当a 时 求f x 的极值点 4 3 2 若f x 为 R 上的单调函数 求a的取值范围 解 对f x 求导得f x ex 1 ax2 2ax 1 ax2 2 1 当a 时 若f x 0 则 4x2 8x 3 0 解得x1 x2 4 3 3 2 1 2 结合 可知 x 1 2 1 2 1 2 3 2 3 2 3 2 f x 0 0 f x 极大值 极小值 所以 x1 是极小值点 x2 是极大值点 3 2 1 2 2 若f x 为 R 上的单调函数 则f x 在 R 上不变号 结合 与条件a 0 知 ax2 2ax 1 0 在 R 上恒成立 因此 4a2 4a 4a a 1 0 由此并结合a 0 知 8 0 a 1 19 本小题满分 12 分 设f x 是定义在 1 1 上的奇函数 且当 1 x 0 时 f x 2x3 5ax2 4a2x b 1 求函数f x 的解析式 2 当 1 a 3 时 求函数f x 在 0 1 上的最大值g a 解 1 当 0 x 1 时 1 x 0 则f x f x 2x3 5ax2 4a2x b 当x 0 时 f 0 f 0 f 0 0 f x Error 2 当 0 x 1 时 f x 6x2 10ax 4a2 2 3x 2a x a 6 x x a 2a 3 当 1 即 1 a0 当x 时 f x 0 得 x 1 x 3 0 解得x 3 或x0 所以函数f x 的单 9 调递增区间是 3 由f x 0 得 x 1 x 3 0 解得 1 x0 所以函数f x 的单调递 减区间是 0 3 综上所述 函数f x 在x 3 处取得极小值 这个极小值为f 3 3 6ln3 2 f x x2 4x 2 a lnx 所以f x 2x 4 2 a x 2x2 4x 2 a x 设g x 2x2 4x 2 a 当a 0 时 有 16 4 2 2 a 8a 0 此时g x 0 所以f x 0 f x 在 0 上单调递增 当a 0 时 16 4 2 2 a 8a 0 令f x 0 即 2x2 4x 2 a 0 解得x 1 或x 1 2a 2 2a 2 令f x 0 即 2x2 4x 2 a 0 解得 1 x 1 2a 2 2a 2 当 0 a0 此时函数的单调递增区间是 单 2a 2 0 1 2a 2 1 2a 2 调递减区间是 1 2a 2 1 2a 2 当a 2 时 1 0 函数的单调递增区间是 单调递减区间是 2a 2 1 2a 2 0 1 2a 2 综上可知 当a 0 时 函数在 0 上单调递增 当 0 a0 解得x 2 令f x 0 解得x 2 且x 0 故函数f x 的单调递增区 间是 2 单调递减区间是 0 和 0 2 2 f x 2x 2a x2 2 x3 a x2 若a0 在区间 1 2 上恒成立 f x 在区间 1 2 上单调递增 函数 f x 在区间 1 2 上的最大值为f 2 4 a 若 1 a 8 则在区间 1 上f x 0 函数单调递增 故函数f x 在区间 1 2 上的最大值为f 1 f 2 中的较大者 f 1 f 2 1 2a 4 a a 3 故当 1 a 3 时 函数的最大值为f 2 4 a 当 38 时 f x 3 时 函数f x max 1 2a 不等式f x a2 2a 4 对任意的x 1 2 恒成立等价于在区间 1 2 上 f x max a2 2a 4 故当a 3 时 4 a a2 2a 4 即a2 3a 0 解得a 0 或a 3 当a 3 时 1 2a a2 2a 4 即a2 4a 3 0 解得a 3 综合知当a 0 或a 3 时 不等式f x a2 2a 4 对任意的x 1 2 恒成立 22 本小题满分 14 分 2011 陕西 设函数f x 定义在 0 上 f 1 0 导函数f x g x 1 x f x f x 1 求g x 的单调区间和最小值 2 讨论g x 与g的大小关系 1 x 3 是否存在x0 0 使得 g x g x0 0 成立 若存在 求出x0的取值范 1 x 围 若不存在 请说明理由 解 1 由题设易知f x lnx g x lnx 1 x 11 g x 令g x 0 得x 1 x 1 x2 当x 0 1 时 g x 0 故 1 是g x 的单调增区间 因此 x 1 是g x 的唯一极值点 且为极小值点 从而是最小值点 所以最小值为g 1 1 2 g lnx x 1 x 设h x g x g 2lnx x 1 x 1 x 则h x x 1 2 x2 当x 1 时 h 1 0 即g x g 1 x 当x 0 1 1 时 h x 0 h 1 0 因此 h x 在 0 内单调递减 当 0 xh 1 0 即g x g 1