初一数学定理、概念、公式

1 一 一 有理数有理数 一 有理数 一 有理数 1 有理数的分类 按有理数的定义分类 按有理数的性质符号分类 正整数 正整数 整数 零 正有理数 有理数 负整数 正分数 正分数 有理数 0 分数 负整数 负整数 负有理数 负分数 2 正数和负数用来表示具有相反意义的数 二 数轴 二 数轴 1 定义 规定了原点 正方向和单位长度的直线叫做数轴 2 数轴的三要素是 原点 正方向 单位长度 三 相反数 三 相反数 1 定义 只有符号不同的两个数互为相反数 2 几何定义 在数轴上分别位于原点的两旁 到原点的距离相等的两个点所表示的数 叫 做互为相反数 3 代数定义 只有符号不同的两个数叫做互为相反数 0 的相反数是 0 四 绝对值 四 绝对值 1 定义 在数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做数 a 的绝对值绝对值 2 几何定义 一个数 a 的绝对值就是数轴上表示数 a 的点与原点的距离 3 代数定义 一个正数的绝对值是它本身 一个负数的绝对值是它的相反数 0 的绝对值 是 0 a a 0 即对于任何有理数 a 都有 a 0 a 0 a a 0 4 绝对值的计算规律 1 互为相反数的两个数的绝对值相等 2 若 a b 则 a b 或 a b 3 若 a b 0 则 a 0 且 b 0 相关结论 1 0 的相反数是它本身 2 非负数的绝对值是它本身 3 非正数的绝对值是它的相反数 4 绝对值最小的数是 0 5 互为相反数的两个数的绝对值相等 6 任何数的绝对值都是它的正数或 0 即 a 0 2 五 倒数 五 倒数 1 定义 乘积为 1 的两个数互为倒数 2 求法 颠倒这个数的分子和分母 3 a a 0 的倒数是 1 a 有理数的运算有理数的运算 一 有理数的加法法则 一 有理数的加法法则 1 同号两数相加 取相同的符号 并把绝对值相加 2 绝对值不等的异号两数相加 取绝对值较大的加数的符号 并用较大的绝对值减去较 小的绝对值 3 一个数同零相加 仍得这个数 4 两个互为相反数的两个数相加得 0 二 有理数的减法法则 二 有理数的减法法则 减去一个数 等于加上这个数的相反数 三 有理数的乘法法则 三 有理数的乘法法则 1 两数相乘 同号得正 异号得负 并把绝对值相乘 2 任何数同 0 相乘 都得 0 3 乘积是 1 的两个数互为倒数 四 有理数的除法法则 四 有理数的除法法则 1 除以一个不等于 0 的数 等于乘以这个数的倒数 2 两个有理数相除 同号得正 异号得负 并把绝对值相除 0 除以任何一个不等于 0 的 数 都得 0 五 乘方五 乘方 1 定义 求 n 个相同因数的积的运算 叫做乘方 2 幂的符号法则 正数的任何次幂都是正数 负数的奇次幂是负数 负数的偶次幂是正数 0 的任何次正整数次幂都是 0 六 有理数的混合运算顺序 六 有理数的混合运算顺序 1 先乘方 再乘除 最后加减 2 同级运算 从左到右进行 3 如有括号 先做括号内的运算 按小括号 中括号 大括号依次进行 七 科学计数法 有效数字 近似数七 科学计数法 有效数字 近似数 1 1 科学计数法 科学计数法 1 1 定义 定义 把一个绝对值大于 10 的数表示成 a 10n 的形式 其中 a 是整数数位只有一位的 数 即 1 a 10 n 是正整数 这种计数方法叫做科学计数法 3 2 用科学计数法表示一个 n 位整数 其中 10 的指数是这个数的整数位数减 1 2 2 有效数字的定义 有效数字的定义 四舍五入后的近似数 从左边第一个不是 0 的数字起 到精确到的数位止 所有的数 字 都叫做这个数的有效数字有效数字 3 3 近似数的定义 近似数的定义 一个数与准确数相近 比准确数略多或者略少些 这一个数称之为近似数 整式的加减整式的加减 一 单项式 多项式 整式的概念一 单项式 多项式 整式的概念 单项式 由数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式单项式 单独的一个数或一个字母也是单项 式 多项式 几个单项式的和叫做多项式多项式 整式 单项式与多项式统称整式整式 二 单项式的系数和次数二 单项式的系数和次数 单项式的系数单项式的系数是指单项式中的数字因数 单项式的次数单项式的次数是指单项式中所有字母的 指数之和 三 多项式的项 常数项 次数三 多项式的项 常数项 次数 在多项式中 每个单项式叫做多项式的项项 其中不含字母的项叫常数项常数项 多项式 中 次数最高项的次数 就是这个多项式的次数次数 四 同类项的概念 四 同类项的概念 所含字母相同 并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项 所有常数项都是同类同类 项项 五 合并同类项的法则 五 合并同类项的法则 同类项的系数相加 所得结果作为系数 字母和字母的指数不变 六 合并同类项步骤 六 合并同类项步骤 准确的找出同类项 逆用分配律 把同类项的系数加在一起 用小括号 字母和字母的指数不变 写出合并后的结果 七 升幂排列与降幂排列七 升幂排列与降幂排列 为便于多项式的运算 可以用加法的交换律将多项式各项的位置按某一字母指数大小 顺序重新排列 若按某个字母的指数从大到小的顺序排列 叫做这个多项式按这个字母降幂排列降幂排列 若按某个字母的指数从小到大的顺序排列 叫做这个多项式按这个字母升幂排列升幂排列 4 八 去括号的法则八 去括号的法则 括号前面是 号 把括号和它前面的 号去掉 括号里各项都不变符号 括号前面是 号 把括号和它前面的 号去掉 括号里各项都改变符号 九 整式加减的一般步骤是 九 整式加减的一般步骤是 1 如果遇到括号 按去括号法则先去括号 括号前是 十 号 把括号和它前面的 号去掉 括号里各项都不变符号 括号前是 一 号 把括号和它前面的 一 号去掉 括号里各项都改变符号 2 合并同类项 同类项的系数相加 所得的结果作为系数 字母和字母的指数不变 一元一次方程一元一次方程 一 一元一次方程的概念一 一元一次方程的概念 定义 方程中只含有一个未知数 元 并且未知数的指数是 1 次 未知数的式子都是 整式 这样的方程叫做一元一次方程 等式的性质等式的性质 1 1 等式两边加 或减 同一个数 或式子 结果仍相等 如果 a b 那么 a c b c 等式的性质等式的性质 2 2 等式两边乘以同一个数 或除以同一个不为 0 的数 结果仍相等 如果 a b 那么 ac bc 如果 a b c 0 那么 a c b c 移项移项 把方程中的某一项 改变符号后 从方程的左边 右边 移到右边 左边 这种 变形叫做移项 解一元一次方程的一般步骤 解一元一次方程的一般步骤 1 1 去分母去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 2 2 去括号去括号 先去小括号 再去中括号 最后去大括号 3 3 移项移项 把含有未知数的项都移到方程的一边 其他项都移到方程的另一边 4 4 合并同类项合并同类项 把方程化成 ax b a 0 的形式 5 5 系数化成系数化成 1 1 在方程两边都除以未知数的系数 a 得到方程的解 x b a 图形认识初步图形认识初步 一 常见的立体图形 柱形 锥体 球体一 常见的立体图形 柱形 锥体 球体 1 柱体中有 圆柱圆柱 底面是圆 侧面是曲面 棱柱棱柱 底面是多边形 侧面是长方形 2 锥体中有 圆锥圆锥 底面是圆 侧面是曲面 棱锥棱锥 底面是多边形 侧面是三角形 二 几何图形都是由点 线 面 体组成的二 几何图形都是由点 线 面 体组成的 包围着体的是面 面与面相接的地方是线 线和线相交的地方是点 点动成线 线动 成面 面动成体 体 面 线 点都是几何图形 三 直线 射线 线段三 直线 射线 线段 1 1 直线 直线 1 概念 向两方无限延伸的的一条笔直的线 5 如代数中的数轴 就是一条直线 它只规定了原点 方向和长度单位 2 基本性质 经过两点有一条直线 并且只有一条直线 也可以简单地说 两点确定 一条直线 3 特点 直线没有长短 向两方无限延伸 直线没有粗细 两点确定一条直线 两条直线相交有唯一一个交点 2 2 射线 射线 1 概念 直线上一点和它一旁的部分叫做射线 2 特点 只有一个端点 向一方无限延伸 无法度量 3 3 线段 线段 1 概念 直线上两点和它们之间的部分叫做线段 线段有两个端点 有长度 2 基本性质 两点之间线段最短 3 特点 有两个端点 不能向任何一方延伸 可以度量 可以较长短 4 4 线段的中点 线段的中点 把一条线段分成两条相等线段的点 四 角四 角 1 1 角的概念 角的概念 有公共端点的两条射线组成的图形叫做角 这个公共端点是角的顶点 这两 条射线是角的两条边 3 3 角度制及换算 角度制及换算 1 角度制的概念 以度 分 秒为单位的角的度量制 叫做角度制 2 角度制的换算 1 60 1 60 1 周角 360 1 平角 180 1 直角 90 3 换算方法 把高级单位转化为低级单位要乘进率 把低级单位转化为高级单位要除以进率 转化时必须逐级进行 越级 转化容易出错 4 4 角的大小的比较 角的大小的比较 1 叠合法 使两个角的顶点及一边重合 另一边在重合边的同旁进行比较 2 度量法 5 5 角的平分线 角的平分线 从一个角的顶点出发 把这个角分成相等的两个角的射线 叫做这个角的平分线 6 6 余角和补角 余角和补角 1 余角 如果两个角的和等于 90 直角 那么这两个角互为余角 其中一个角是 另 一个角的余角 2 补角 如果两个角的和等于 180 平角 那么这两个角互为补角 其中一个角是 另一个角的补角 6 3 余角的性质余角的性质 等角的余角相等 等角的性质 等角的性质 同角的补角相等 相交线相交线 1 1 相交线的定义 相交线的定义 在同一平面内 如果两条直线只有一个公共点 那么这两条直线叫做相交线相交线 2 2 对顶角的定义 对顶角的定义 一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线 这两个角叫做对顶角对顶角 3 3 对顶角的对顶角的性质 性质 对顶角相等 4 4 邻补角的定义 邻补角的定义 有公共顶点和一条公共边 并且互补的两个角称为邻补角邻补角 5 5 邻补角的性质 邻补角的性质 邻补角互补 6 6 垂垂线线的的定定义义 垂直是相交的一种特殊情形 两条直线互相 垂垂直直 其中的一条直线叫做另一条直 线的垂垂线线 它们的交点叫做 垂垂足足 7 垂线的性质 垂线的性质 性质 1 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 性质 2 垂线段最短垂线段最短 8 8 点到直线的距离 点到直线的距离 直线外一点到这条直线的垂线段的长度 叫做点到直线的距离直线外一点到这条直线的垂线段的长度 叫做点到直线的距离 9 9 同位角 同位角 两个角都在两条被截线同侧 并在截线的同旁 这样的一对角叫做同位角 同位角 1010 内错角 内错角 两个角都在两条被截线之间 并且在截线的两旁 这样的一对角叫做内错角内错角 1111 同旁内角 同旁内角 两个角都在两条被截线之间 并且在截线的同旁 这样的一对角叫做同旁内角同旁内角 1212 平行线的概念平行线的概念 在同一平面内 不相交的两条直线叫做平行线 1313 平行公理 平行公理 经过直线外一点 有且只有一条直线与已知直线平行 7 1414 平行公理的推论 平行公理的推论 如果两条直线都和第三条直线平行 那么这两条直线也平行 1515 平行线的判定方法 平行线的判定方法 1 判定方法 1 两条直线被第三条直线所截 如果同位角相等 那么这两条直线平行 简单说成 同位角相等 两直线平行同位角相等 两直线平行 2 判定方法 2 两条直线被第三条直线所截 如果内错角相等 那么这两条直线平行 简单说成 内错角相等 两直线平行内错角相等 两直线平行 3 判定方法 3 两条直线被第三条直线所截 如果同旁内角互补 那么这两条直线平行 简单说成 同旁内角互补 两直线平行 同旁内角互补 两直线平行 4 两条直线都和第三条直线平行 那么这两条直线平行 5 在同一平面内 如果两条直线同时垂直于同一条直线 那么这两条直线平行 1616 命题的概念 命题的概念 判断一件事情的语句叫做命题命题 1717 命题的形式 命题的形式 命题由题设和结论两部分组成 通常可以写成 如果 那么 的形式 如 果 后面的部分是题设 那么 后面的部分是结论 1818 命题包括两种 命题包括两种 判断为正确的命题称为真命题真命题 判断为错误的命题称为假命题假命题 1919 平移的定义 平移的定义 把一个图形整体沿某一方向移动一定的距离 叫做平移变换 简称平移平移 2020 平移的性质 平移的性质 1 平移后的图形与原图形的形状和大小完全相同 2 新图形中的每一点 都是由原图形中的某一点移动后得到的 这两个点是对应点 连接各组对应点的线段平行且相等 2121 有序数对的定义 有序数对的定义 有顺序的两个数 a 与 b 组成的数对叫做有序数对有序数对 2222 平面直角坐标系 平面直角坐标系 在平面内画两条互相垂直 原点重合的数轴 组成平面直角坐标系平面直角坐标系 水平的数轴 称 为 x 轴 或横轴横轴 习惯上取向右为正方向 竖直的数轴为 y 轴 或纵轴纵轴 取向上方向 为正方向 两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点原点 坐标轴上的点不属于任何象限 原点既在 x 轴上 又在 y 轴上 8 2323 点的坐标 点的坐标 有了平面直角坐标系 平面内的点就可以用一个有序数对来表示 a 点对应 x 轴 的 数值为横坐标 b 点对应 y 轴的数值为纵坐标 有序数对就叫做点点 A A 的坐标的坐标 记作 a b 2424 坐标平面图 坐标平面图 坐标平面图是由两条坐标轴和四个象限构成的 也可以说坐标平面内的点可以分 为 六个区域 x 轴上 y 轴上 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 在这六个区域中 除 x 轴与 y 轴的一个公共点 原点 之外 其他区域之间都没有公共点 2525 点的平移 点的平移 在平面直角坐标系中 将点 x y 向右平移 a 个单位长度 可以得到对应点 x a y 将点 x y 向左平移 a 个单位长度 可以得到对应点 x a y 将点 x y 向上平移 b 个单位长度 可以得到对应点 x y b 将点 x y 向下平移 b 个单位长度 可以得到对应点 x y b 三角形三角形 1 1 三角形定义 三角形定义 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形三角形 2 三角形的分类 三角形的分类 三角形按边分类如下 不等边三角形 三角形 底和腰不相等的等腰三角形 等腰三角形 等边三角形 直角三角形 三角形 锐角三角形 斜三角形 钝角三角形 3 3 三角形的三边关系 三角形的三边关系 三角形的任意两边之和大于第三边 任意两边之差小于第三边 4 4 三角形的高 三角形的高 从三角形的一个顶点向它的对边作垂线 顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高 三角形的高 5 三角形的中线 三角形的中线 在三角形中 连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线三角形的中线 三角形的每一条中线将三角形分成两个面积相等的三角形 9 6 6 三角形的角平分线 三角形的角平分线 在三角形中 一个内角的平分线和对边相交 这个角的顶点与交点之间的线段叫做 三角形的角平分线 7 7 三角形的内角定义 三角形的内角定义 三角形中相邻两边组成的角 叫做三角形的内角三角形的内角 8 8 三角形内角和定理 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于 180 9 9 三角形的外角定义 三角形的外角定义 三角形的一边与另一边的延长线组成的角 叫做三角形的外角三角形的外角 三角形的外角和为 360 1010 三角形的性质 性质 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角 1111 多边形的定义 多边形的定义 在平面内 由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形多边形 1212 正多边形的定义 正多边形的定义 各个角都相等 各条边都相等的多边形叫做正多边形正多边形 1313 多边形的内角和公式 多边形的内角和公式 n 边形的内角和等于 n 2 180 1414 三角形外角和定理 三角形外角和定理 三角形的外角和为 360 1515 平面镶嵌的定义 平面镶嵌的定义 用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖 叫做多边形覆盖平面多边形覆盖平面 或 平面镶嵌 16 镶嵌的条件 镶嵌的条件 当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角时 就能拼 成一个平面图形 二元一次方程组二元一次方程组 1 1 二元一次方程的定义 二元一次方程的定义 含有两个未知数 x 和 y 并且含有未知数的项的次数都是 1 像这样的方程叫做 二元一次方程二元一次方程 2 二元一次方程的解定义二元一次方程的解定义 使二元一次方程左右两边的值相等的两个未知数的值 叫做二元一次方程的解 二元一次方程的解 3 二元一次方程组的定义 二元一次方程组的定义 把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起 就组成了一个二元一次方程组二元一次方程组 4 二元一次方程组的解定义 二元一次方程组的解定义 10 一般地 二元一次方程组的两个方程的公共解 叫做二元一次方程组的解二元一次方程组的解 5 代入消元法的定义 代入消元法的定义 把二元一次方程组中的一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来 再代入另一方程 实现消元 进而求得这个二元一次方程组的解 这种方法叫做代入消 元法 简称代入法代入法 6 加减消元法加减消元法 两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时 将两个方程的两边分别相加 或相减 就能消去这个未知数 得到一个一元一次方程 这种方法叫做加减消元法加减消元法 简 称加减法加减法 7 三元一次方程组的概念三元一次方程组的概念 含有三个未知数 每个方程的未知项的次数都是 1 并且共有三个方程 这样的方程 组叫做三元一次方程组三元一次方程组 8 三元一次方程组的解法思路三元一次方程组的解法思路 解三元一次方程组的基本思想仍是消元 一般地 其基本方法是代入法和加减法 一般 地 应利用代入法或加减法消去一个未知数 从而变二元一次方程组 求出两个未知数 最后求出另一个未知数 三元一次方程组二元一次方程组一元一次方程 9 三元一次方程组的解题步骤三元一次方程组的解题步骤 利用代入法或加减法 消去一个未知数 得出一个二元一次方程组 解这个二元一次方程组 求得两个未知数的值 将这两个未知数的值代入原方程中较简单的一个方程 求出第三个未知数的值 把 这三个数写在一起的就是所求的三元一次方程组的解 解题策略 解题策略 1 1 有表达式 用代入法 有表达式 用代入法 2 2 缺某元 消某 缺某元 消某元 元 灵活运用加减消元法 代入消元法解简单的三元一次方程组 不等式与不等式组不等式与不等式组 1 不等式的概念 不等式的概念 用不等号表示不等关系的式子 叫做不等式不等式 2 不等式的解 不等式的解 对于一个含有未知数的不等式 任何一个使这个不等式成立的未知数的值 都叫 做这个不等式的解不等式的解 3 不等式的解集 不等式的解集 一般地 一个含有未知数的不等式的所有解 组成这个不等式的解集 求不等式 的解集的过程叫做解不等式 11 4 不等式的性质不等式的性质 不等式的性质不等式的性质 1 1 不等式两边都加上 或减去 同一个数 或式子 不等号的方向不 变 用式子表示 如果 a b 那么 a c b c 不等式的性质不等式的性质 2 2 不等式两边都乘以 或除以 同一个正数 不等号的方向不变 用式子表示 如果 a b c 0 那么 a c b c 或 a c b c 不等式的性质不等式的性质 3 3 不等式两边都乘以 或除以 同一个负数 不等号的方向改变 用式子表示 如果 a b c 0 那么 a c b c 或 a c b c 5 不等式解集的数轴表示不等式解集的数轴表示 为了更清楚 直观地表示出不等式的解集 我们常常利用数轴 在数轴上把解集表 示出来 需要注意的地方是 大于向右画 小于向左画 包括端点用 实心圆点 不 包括端点用 空心圆圈 6 解一元一次不等式的步骤解一元一次不等式的步骤 去分母 去分母 不等式中有分母的 要通过不等式两边都乘以分母的最小公倍数去分母 去括号 去括号 不等式中有括号的要按照有理数中去括号的法则去括号 在去括号过程中 要注意符号的变化 注意分数线有括号的作用 移项 移项 将不等式中右边含有未知数的项变号后移到左边 将左边的常数项变号移到右边 合并同类项 合并同类项 把不等式整理成 x a 或 x a 的形式 化系数为化系数为 1 1 把不等式两边都除以同一个正数时 不等号的方向不变 而都除以同一个 负数时 不等号的方向必须改变 7 一元一次不等式组的意义 一元一次不等式组的意义 类似于方程组 把几个具有相同未知数的一元一次不等式合起来 就组成一元一元 一次不等式组 一次不等式组 8 一元一次不等式组的解集 一元一次不等式组的解集 一般地 几个不等式的解集的公共部分 叫做由它们所组成的不等式组的解集 9 一元一次不等式组的解集 一元一次不等式组的解集 一般地 几个不等式的解集的公共部分 叫做由它们所组成的不等式组的解集 10 确定一元一次不等式组解集的常用方法有两种 一是数轴法 二是口诀法 数轴法 数轴法 利用数轴法确定不等式组的解集 就是将不等式组中的每个不等式的解集在数轴 上表示出来 然后找出它们的公共部分 这个公共部分就是这个不等式组的解集 无 公共部分就说这个不等