2013届高考数学一轮复习单元测试（配最新高考＋模拟） 第八章立体几何 理

用心 爱心 专心1 20132013 届高考数学 理 一轮复习单元测试届高考数学 理 一轮复习单元测试 第八章立体几何第八章立体几何 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 每小题中只有一项符合题目要 求 1 2012 福建理 一个几何体的三视图形状都相同 大小均等 那么这个几何体不可以是 A 球B 三棱锥 C 正方体 D 圆柱 2 2012 吉林市期末质检 一个正方体的展开图如图所示 A B C D为原正方体的顶点 则在原来的正方体中 A CDAB B AB与CD相交 C CDAB D AB与CD所成的角为 60 3 2012 上海 已知空间三条直线 lmn 若l与m异面 且l与n异面 则 A m与n异面 B m与n相交 C m与n平行 D m与n异面 相交 平行均有可能 4 2012 广东理 立体几何 某几何体的三视图如图 1 所示 它 的体积为 A 12 B 45 C 57 D 81 5 2012 海南嘉积中学期末理 正四棱锥SABCD 的侧 棱长为2 底面边长为3 E为SA中点 则异面直 线BE与SC所成的角是 A 30 B 45 C 60 D 90 A BC D 用心 爱心 专心2 6 2012 宁德质检理 若 是三个互不重合的平面 l是一条直线 则下列命题中正确 的是 A 若 ll 则 B 若 ll 则 C 若 l 与的所成角相等 则 D 若l上有两个点到 的距离相等 则 l 7 2012 黑龙江绥化市一模理 如图 在三棱柱 111 ABCABC 中 侧棱垂直于底面 底面 是边长为 2 的正三角形 侧棱长为 3 则 1 BB与平面 11 ABC所成的角为 A B C 1 B 1 A 1 C A B C 1 B 1 A 1 C A 6 B 4 C 3 D 2 8 2012 北京理 某三棱锥的三视图如图所示 该三棱锥的表面积是 A 286 5 B 306 5 C 56 12 5 D 60 12 5 9 2012 浙江瑞安期末质检理 一个几何体的三视图如右图所示 则该几何体的体积为 用心 爱心 专心3 A 5 3 3 B 4 3 3 C 5 3 6 D 3 10 圆台上 下底面面积分别是 4 侧面积是 6 这个圆台的体积是 A B 2 C D 2 3 33 7 3 6 7 3 3 11 2012 陕西理 如图 在空间直角坐标系中有直三棱柱 111 ABCABC 1 2CACCCB 则 直线 1 BC与直线 1 AB夹角的余弦值为 12 2012 江西理 如图 已知正四棱锥 S ABCD 所有棱长都为 1 点 E 是侧棱 SC 上一动点 过 点 E 垂直于 SC 的截面将正四棱锥分成上 下两部分 记 SE x 0 x 1 截面下面部分的体 积为 V x 则函数 y V x 的图像大致为 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 把答案填在题中横线上 13 2012 山东青岛市期末 已知长方体从同一顶点出发的三条棱的长分别为1 2 3 则 这个长方体的外接球的表面积为 14 2012 厦门期末质检理 某型号冰淇淋上半部分是半球 下关部分是圆锥 其正视图如 用心 爱心 专心4 图所示 则该型号冰淇淋的体积等于 15 2012 粤西北九校联考理 某几何体的三视图如图所示 则它的体积是 16 2012 辽宁理 已知正三棱锥P ABC 点P A B C都在半径为3的求面上 若 PA PB PC两两互相垂直 则球心到截面ABC的距离为 三 解答题 本大题共 6 小题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 10 分 2012 广东理 如图 5 所示 在四棱锥PABCD 中 底面ABCD为 矩形 PA 平面ABCD 点E在线段PC上 PC 平面BDE 证明 BD 平面PAC 若1PA 2AD 求二面角BPCA 的正切值 18 本小题满分 12 分 2012 天津理 如图 在四棱锥PABCD 中 PA丄平面ABCD 用心 爱心 专心5 AC丄AD AB丄BC 0 45ABC 2PA AD 1AC 证明PC丄AD 求二面角APCD 的正弦值 设 E 为棱PA上的点 满足异面直线 BE 与 CD 所成的角为 0 30 求 AE 的长 19 本小题满分 12 分 广东省惠州市 2012 届高三一模 四调 考试 理数 已知四棱锥 P ABCD 的三视图如下图所示 E 是侧棱 PC 上的动点 求四棱锥 P ABCD 的体积 是否不论点 E 在何位置 都有 BD AE 证明你的结论 若点 E 为 PC 的中点 求二面角 D AE B 的大小 20 本小题满分 12 分 安徽省 江南十校 2012 年 3 月高三联考理科 如图 在多面体 用心 爱心 专心6 ABCDEFG 中 四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形 平面 ABG 平面 ADF 平面 CDE 都与平面 ABCD 垂直 且 ABG ADF CDE 都是正三角形 I 求证 AC EF II 求多面体 ABCDEFG 的体积 21 本小题满分 12 分 18 江西省六校江西省六校 20122012 届高三联考理科届高三联考理科 如图所示的多面体 它的 正视图为直角三角形 侧视图为正三角形 俯视图为正方形 尺寸如图所示 E 为 VB 的中 点 来 1 求证 VD 平面 EAC 2 求二面角 A VB D 的余弦值 22 本小题满分 12 分 2012 湖北理 如图 1 45ACB 3BC 过动点A作 ADBC 垂足D在线段BC上且异于点B 连接AB 沿AD将 ABD折起 使 用心 爱心 专心7 90BDC 如图 2 所示 当BD的长为多少时 三棱锥ABCD 的体积最大 当三棱锥ABCD 的体积最大时 设点E M分别为棱BC AC的中点 试在 棱CD上确定一点N 使得EN BM 并求EN与平面BMN所成角的大小 祥细答案 一 选择题 1 答案 D 解析 分别比较 A B C 的三视图不符合条件 D 的正视图 侧视图是矩形 而府视 图是圆 符合 2 答案 D 解析 将平面展开图还原成几何体 易知AB与CD所成的角为 60 选 D 3 答案 D 4 答案 C 解析 该几何体下部分是半径为 3 高为 5 的圆柱 体积为 2 3545V 上部分是半 径为 3 高为 4 的圆锥 体积为 2 1 3412 3 V 所以体积为57 5 答案 C 解析 取 AC 中点 F 26 2 22 EFBFAEAEF 中 由余弦定理得 0 1 cos 60 2 BEFBEF 6 答案 B 解析 若 ll 则 此推理符合平面与平面垂直的判定 7 答案 A 解析 利用等积法求 B 到平面 11C AB的距离d 1111 CABBCBBA VV 求出 2 3 d 6 2 1 sin 8 答案 B D A BC A C D B 图 2 图 1 M E 用心 爱心 专心8 解析 从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥 本题所求表面积为三棱锥四个面 的面积之和 利用垂直关系和三角形面积公式 可得 10 10 10 6 5SSSS 后右左底 因此该几何体表面积306 5S 故选 B 9 答案 A 解析 几何体可以拼接成高为 2 的正三棱柱 2 315 3 2213 433 V 10 答案 D 解析 上底半径r 1 下底半径R 2 S侧 6 设母线长为l 则 1 2 l 6 l 2 高h V 1 1 2 2 2 l2 R r 23 1 33 故选 D 7 3 3 11 答案 A 解析 不妨设 1 22CACCCB 则 11 2 2 1 0 2 1 ABC B 11 11 11 2 02 2 1 15 cos 595 AB C B AB C B AB C B 直线 1 BC与直线 1 AB夹角为锐角 所以余弦值为 5 5 选 A 1212 答案答案 A A 解析解析 定性法 当 1 0 2 x 时 随着x的增大 观察图形可知 V x单调递减 且递减的速 度越来越快 当 1 1 2 x 时 随着x的增大 观察图形可知 V x单调递减 且递减的速度越 来越慢 再观察各选项中的图象 发现只有 A 图象符合 故选 A 二 填空题 13 答案 14 解析 因长方体对角线长为214914r 所以其外接球的表面积 2 414Sr 14 答案 54 解析 冰淇淋上半部分是半球 下关部分是圆锥 V 32 21 331254 33 15 答案 2 8 3 用心 爱心 专心9 解析 由几何体三视图知 几何体是正方体挖去一个圆锥 2 3 1 8 V 16 答案 3 3 解析 因为在正三棱锥P ABC中 PA PB PC两两互相垂 直 所以可以把该正三棱锥看作为一个正方体的一部分 如 图所示 此正方体内接于球 正方体的体对角线为球的直径 球 心为正方体对角线的中点 球心到截面ABC的距离为球的半径减去正三棱锥 P ABC在面ABC上的高 已知球的半径为3 所以正方 体的棱长为 2 可求得正三棱锥P ABC在面ABC上的高为 2 3 3 所以球心到截面ABC的距离 为 2 33 3 33 三 解答题 17 解析 因为PC 平面BDE BD 平面BDE 所以PCBD 又因为PA 平面 ABCD BD 平面ABCD 所以PABD 而PCPAP PC 平面PAC PA 平 面PAC 所以BD 平面PAC 由 可知BD 平面PAC 而AC 平面PAC 所以BDAC 而ABCD为矩形 所以ABCD为正方形 于是2ABAD 法 1 以A点为原点 AB AD AP为x轴 y轴 z轴 建立空间直角坐标系ABDP 则 0 0 1P 2 2 0C 2 0 0B 0 2 0D 于是 0 2 0BC 2 0 1PB 设平面PBC的一个 法向量为 1 n x y z 则 0 0 BC PB 1 1 n n 从而 20 20 y xz 令1x 得 1 0 2 1 n 而平面PAC的 一个法向量为 2 n 2 2 0BD 所以二面角BPCA 的余弦值为 210 cos 1052 2 12 12 12 nn n n n n 于是二面角BPCA 的正切值为 3 法 2 设AC与BD交于点O 连接OE 因为PC 平面BDE OE 平面BDE BE 平 面BDE 所以PCOE PCBE 于是OEB 就是二面角BPCA 的平面角 又因 用心 爱心 专心10 为BD 平面PAC OE 平面PAC 所以OEB 是直角三角形 由OEC PAC 可得 OEPA OCPC 而2ABAD 所以2 2AC 2OC 而1PA 所以3PC 于是 12 2 33 PA OEOC PC 而2OB 于是二面角BPCA 的正切值为3 OB OE 18 解 1 以 AD AC AP 为 x y z正半轴方向 建立空间直角左边系Axyz 630 cos sin 66 AD n AD nAD n AD n A 得 二面角APCD 的正弦值为 30 6 3 设 0 2 AEh 则 0 0 2 AE 11 2 1 0 22 BEh CD 2 3310 cos 210 1020 BE CD BE CDh BE CDh A 即 10 10 AE 19 解解 1 由三视图可知 四棱锥 P ABCD 的底面是边长为 1 的正方形 侧棱 PC 底面 ABCD 且 PC 2 112 1 2 333 P ABCDABCD VSPC A 即四棱锥 P ABCD 的体积为 2 3 2 不论点 E 在何位置 都有 BD AE 证明如下 连结 AC ABCD 是正方形 BD AC PC 底面 ABCD 且 BD 平面 ABCD BD PC 又 AC PC C BD 平面 PAC 不论点 E 在何位置 都有 AE 平面 PAC 不论点 E 在何位置 都有 BD AE 3 解法 1 在平面 DAE 内过点 D 作 DF AE 于 F 连结 BF 用心 爱心 专心11 AD AB 1 DE BE AE AE 12 1223 Rt ADE Rt ABE 从而 ADF ABF BF AE DFB 为二面角 D AE B 的平面角 在 Rt ADE 中 DF BF AD DE AE 1 2 3 6 3 6 3 又 BD 在 DFB 中 由余弦定理得 2 cos DFB 222 1 22 DFBFBD DF BF DFB 2 3 即二面角 D AE B 的大小为 2 3 解法 2 如图 以点 C 为原点 CD CB CP 所在的直线分别为 x y z 轴建立空间直角坐标 系 则 D 1 0 0 A 1 1 0 B 0 1 0 E 0 0 1 从而 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 设平面 ADE 和平面 ABE 的法向量分别为 1111 nx y z 2222 nxyz 由 1 1 0 0 n DA n DE 1 11 0 0 y xz 取 1 1 0 1n 由 2 2 0 0 nBA nBE 2 22 0 0 x yz 取 2 0 1 1n 分 设二面角 D AE B 的平面角为 则 12 12 11 cos 222 n n nn 即二面角 D AE B 的大小为 2 3 2 3 2020 解 解 证明 方法一 证明 方法一 如图 分别取 AD CD 的中点 P Q 连接 FP EQ ADF和 CDE是为 2 的正三角形 FP AD EQ CD 且 FP EQ 3 又 平面ADF 平面CDE都与平面ABCD垂直 FP 平面ABCD EQ 平面ABCD FP QE 且 FP EQ 四边形 EQPF 是平行四边形 EF PQ 用心 爱心 专心12 PQ 是 ACD 的中位线 PQ AC EF AC 方法二方法二 以 A 点作为坐标原点 以 AB 所在直线为 x 轴 以 AD 所在直线为 y 轴 过点 A 垂直于 xOy平面的直线为 z 轴 建立空间直角坐标系 如图所示 根据题意可得 A 0 0 0 B 2 0 0 C 2 2 0 D 0 2 0 E 1 2 3 F 0 1 3 G 1 0 3 AC 2 2 0 FE 1 1 0 则AC FE2 AC FE 即有AC FE 3 38 3 32 32 ADEGFCDEABGABCDEFG VVV 四棱锥三棱柱多面体 21 解 1 由正视图可得 平面 VAB 平面 ABCD 连接 BD 交 AC 于 O 点 连 EO 由已知可 得 BO OD VE EB VD EO 又 VD 平面 EAC EO 平面 EAC VD 平面 EAC 2 设 AB 的中点为 P 则由题意可知 VP 平面 ABCD 建立如图所示坐标系 设n x y z 是平面 VBD 法向量 BD 2 2 0 3 0 1 VB 0 1 0 PO 由BDn VBn 03 022 zx yx 1 3 3 n 用心 爱心 专心13 二面角 A VB D 的余弦值 7 21 cos POn POn