八年级下册----二次根式压轴题解析

第 1 页 共 15 页 二次根式压轴题 八下学完才能用 二次根式压轴题 八下学完才能用 一 选择题 共一 选择题 共 1 小题 小题 1 2003 杭州 对于以下四个命题 若直角三角形的两条边长为 3 与 4 则第三边的 长是 5 2 a 若点 P a b 在第三象限 则点 Q a b 在第一象限 两边及其第三边上的中线对应相等的两个三角形全等 正确的说法是 A 只有 错误 其他正确B 错误 正确 C 错误 正确D 只有 错误 其他正确 二 填空题 共二 填空题 共 11 小题 小题 2 2012 山西模拟 若规定符号 的意义是 a b ab b2 则 2 的值是 3 2010 鄂州 如图 四边形 ABCD 中 AB AC AD E 是 CB 的中点 AE EC BAC 3 DBC BD 6 6 则 AB 4 2010 拱墅区一模 已知 a b 是正整数 且满足也是整数 1 写出一对符合条件的数对是 2 所有满足条件的有序数对 a b 共有 对 5 2010 澄海区校级模拟 化简 6 2009 兴化市模拟 若实数 a 满足 a 8 a 则 a 7 2009 琼海模拟 化简二次根式的正确结果是 第 2 页 共 15 页 8 2008 贵港 观察下列等式 请你从上述等式中找出规律 并利用这一规律计算 9 2004 宁波 已知 a 0 化简 10 1998 杭州 已知 则 11 1998 内江 已知 ab 2 则的值是 12 1997 内江 已知 1 x 2 则的值是 三 解答题 共三 解答题 共 4 小题 小题 13 2012 巴中 先化简 再求值 其中 x 14 2009 邵阳 阅读下列材料 然后回答问题 在进行二次根式的化简与运算时 我们有时会碰上如 一样的式子 其实 我们还可以将其进一步化简 一 二 三 以上这种化简的步骤叫做分母有理化 还可以用以下方法化简 四 第 3 页 共 15 页 1 请用不同的方法化简 参照 三 式得 参照 四 式得 2 化简 15 2008 凉山州 阅读材料 解答下列问题 例 当 a 0 时 如 a 6 则 a 6 6 故此时 a 的绝对值是它本身 当 a 0 时 a 0 故此时 a 的绝对值是零 当 a 0 时 如 a 6 则 a 6 6 故此时 a 的绝对值是它的相反数 综合起来一个数的绝对值要分三种情况 即 这种分析方法渗透了数学的分类讨论思想 问 1 请仿照例中的分类讨论的方法 分析二次根式的各种展开的情况 2 猜想与 a 的大小关系 16 2005 台州 我国古代数学家秦九韶在 数书九章 中记述了 三斜求积术 即已知 三角形的三边长 求它的面积 用现代式子表示即为 其中 a b c 为三角形的三边长 s 为面 积 而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的海伦公式 s 其中 p 1 若已知三角形的三边长分别为 5 7 8 试分别运用公式 和公式 计算该三角 形的面积 s 2 你能否由公式 推导出公式 请试试 第 4 页 共 15 页 二次根式压轴题 八下学完才能用 二次根式压轴题 八下学完才能用 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 选择题 共一 选择题 共 1 小题 小题 1 2003 杭州 对于以下四个命题 若直角三角形的两条边长为 3 与 4 则第三边的 长是 5 2 a 若点 P a b 在第三象限 则点 Q a b 在第一象限 两边及其第三边上的中线对应相等的两个三角形全等 正确的说法是 A 只有 错误 其他正确B 错误 正确 C 错误 正确D 只有 错误 其他正确 考点 二次根式的性质与化简 点的坐标 全等三角形的判定 勾股定理 菁优网版权所有 专题 压轴题 分析 应明确边长为 4 的边是直角边还是斜边 隐含条件 a 0 根据二次根式的定义解答 根据每个象限内点的符号特点判断出 a b 的符号 再判断出 a b 的符号即可 用 倍长中线法 可证明两个三角形全等 解答 解 错误 应强调为直角三角形的两条直角边长为 3 与 4 则第三边的长是 5 正确 隐含条件 a 0 根据二次根式的意义 等式成立 正确 若点 P a b 在第三象限 则 a 0 b 0 则 a 0 b 0 点 Q a b 在第一象限 正确 作辅助线 倍长中线 可证明两个三角形全等 故选 A 点评 本题考查了对勾股定理的理解 二次根式的化简 点的对称性质 全等三角形的判 定方法 二 填空题 共二 填空题 共 11 小题 小题 2 2012 山西模拟 若规定符号 的意义是 a b ab b2 则 2 的值是 4 5 考点 二次根式的混合运算 菁优网版权所有 专题 压轴题 新定义 第 5 页 共 15 页 分析 先理解 的意义 然后将 2 表示出来计算即可 解答 解 由题意得 2 2 1 4 5 故答案为 4 5 点评 本题考查二次根式的混合运算 难度不大 注意理解 的意义 3 2010 鄂州 如图 四边形 ABCD 中 AB AC AD E 是 CB 的中点 AE EC BAC 3 DBC BD 6 6 则 AB 12 考点 二次根式的应用 等腰三角形的性质 垂径定理 解直角三角形 菁优网版权所有 专题 压轴题 分析 作辅助圆 A 由已知证明 ABC 为等腰直角三角形 ACD 为等边三角形 作 CF BD 将 BCD 分为两个直角三角形 解直角三角形 列方程求解 解答 解 法一 以点 A 为圆心 AB 为半径画圆 作 CF BD 垂足为 F AB AC AD C D 两点都在 A 上 E 是 CB 的中点 AE EC 由垂径定理得 AE EC BE AE BC BAC 90 BDC BAC 45 又 BAC 3 DBC DBC 30 CAD 2 DBC 60 ACD 为等边三角形 设 AB AC CD x 在 Rt ABC 中 BC x 在 Rt BCF 中 FBC 30 BF BC x 同理 DF x 由 DF BF BD 得x x 6 6 解得 x 12 即 AB 12 法二 作 CF BD 垂足为 F AB AC E 是 CB 的中点 AE EC 第 6 页 共 15 页 AE BE EC AE BC BAE ABE 45 ACE EAC 45 BAC 90 又 BAC 3 DBC DBC 30 ABD ADB 15 BAD 150 CAD 60 ACD 为等边三角形 设 AB AC CD x 在 Rt ABC 中 BC x 在 Rt BCF 中 FBC 30 BF BC x 同理 DF x 由 DF BF BD 得x x 6 6 解得 x 12 即 AB 12 点评 本题主要考查了等腰三角形的性质 直角三角形的判定及圆的相关知识 解直角三 角形 列方程求解 4 2010 拱墅区一模 已知 a b 是正整数 且满足也是整数 1 写出一对符合条件的数对是 15 15 60 60 15 60 60 15 240 240 135 540 540 135 2 所有满足条件的有序数对 a b 共有 7 对 考点 二次根式的性质与化简 菁优网版权所有 专题 计算题 压轴题 分析 把 2 放在根号下 得出 是整数 a b 的值进行 讨论 使和为整数或和为整数 从而得出答案 第 7 页 共 15 页 解答 解 1 当 a b 的值为 15 60 135 240 540 时 当 a 15 b 15 时 即 4 当 a 60 b 60 时 即 2 当 a 15 b 60 时 即 3 当 a 60 b 15 时 即 3 当 a 240 b 240 时 即 1 当 a 135 b 540 时 即 1 当 a 540 b 135 时 即 1 故答案为 15 15 60 60 15 60 60 15 240 240 135 540 540 135 2 所有满足条件的有序数对 a b 共有 7 对 故答案为 7 点评 本题考查了二次根式的性质和化简 解决此题的关键是分类讨论思想 得出 a b 可 能的取值 5 2010 澄海区校级模拟 化简 2 考点 二次根式的性质与化简 菁优网版权所有 专题 计算题 压轴题 分析 先将 1 4x 4x2化成 1 2x 2 再根据 2有意义 即可求得 x 的取值范围 从而化简得出结果 解答 解 2有意义 2x 3 0 x 1 5 2x 1 3 1 2 第 8 页 共 15 页 2x 3 2x 1 2x 3 2 故答案为 2 点评 本题考查了完全平方公式和二次根式的化简和求值 是基础知识要熟练掌握 6 2009 兴化市模拟 若实数 a 满足 a 8 a 则 a 74 考点 二次根式有意义的条件 菁优网版权所有 专题 压轴题 分析 由可得 a 10 再对式子进行化简 从而求出 a 的值 解答 解 根据题意得 a 10 0 解得 a 10 原等式可化为 a 8 a 即 8 a 10 64 解得 a 74 点评 二次根式中被开方数为非负数 是解此题的突破口 7 2009 琼海模拟 化简二次根式的正确结果是 考点 二次根式的性质与化简 菁优网版权所有 专题 压轴题 分析 根据二次根式的性质及定义解答 解答 解 由二次根式的性质得 a3b 0 a b a 0 b 0 原式 a 第 9 页 共 15 页 点评 解答此题 要弄清以下问题 1 定义 一般地 形如 a 0 的代数式叫做二次根式 2 性质 a 8 2008 贵港 观察下列等式 请你从上述等式中找出规律 并利用这一规律计算 2006 考点 分母有理化 菁优网版权所有 专题 压轴题 规律型 分析 所求代数式第一个括号内可由已知的信息化简为 然后利用平方 差公式计算 解答 解 原式 2008 2 2006 故本题答案为 2006 点评 解答此类题目的关键是认真观察题中式子的特点 找出其中的抵消规律 9 2004 宁波 已知 a 0 化简 2 考点 二次根式的性质与化简 菁优网版权所有 专题 压轴题 分析 根据二次根式的性质化简 解答 解 原式 第 10 页 共 15 页 又 二次根式内的数为非负数 a 0 a 1 或 1 a 0 a 1 原式 0 2 2 点评 解决本题的关键是根据二次根式内的数为非负数得到 a 的值 10 1998 杭州 已知 则 13 考点 二次根式的加减法 菁优网版权所有 专题 压轴题 换元法 分析 用换元法代替两个带根号的式子 得出 m n 的关系式 解方程组求 m n 的值即 可 解答 解 设 m n 那么 m n 2 m2 n2 34 由 得 m 2 n 将 代入 得 n2 2n 15 0 解得 n 5 舍去 或 n 3 因此可得出 m 5 n 3 m 0 n 0 所以 n 2m 13 点评 本题通过观察 根号里面未知数的系数为相反数 可通过换元法求解 11 1998 内江 已知 ab 2 则的值是 考点 二次根式的化简求值 菁优网版权所有 第 11 页 共 15 页 专题 压轴题 分析 由已知条件可知 本题有两种情况需要考虑 a 0 b 0 a 0 b 0 解答 解 当 a 0 b 0 时 原式 当 a 0 b 0 时 原式 2 点评 此题的难点在于需考虑两种情况 12 1997 内江 已知 1 x 2 则的值是 2 考点 二次根式的化简求值 菁优网版权所有 专题 压轴题 分析 由于 2 x 1 2 x 3 又 由此可以得到 2 4 又由于 1 x 2 由此可以得到的值 0 最后即可得到的值 解答 解 2 x 1 2 x 3 又 2 4 又 1 x 2 0 2 故填 2 点评 此题解题关键是把所求代数式两边平方 找到它和已知等式的联系 然后利用联系 解题 第 12 页 共 15 页 三 解答题 共三 解答题 共 4 小题 小题 13 2012 巴中 先化简 再求值 其中 x 考点 二次根式的化简求值 分式的化简求值 菁优网版权所有 专题 压轴题 分类讨论 分析 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简 再把 x 的值代入进行计算即可 解答 解 原式 当 x 时 x 1 0 可知 x 1 故原式 点评 本题考查的是二次根式及分式的化简求值 解答此题的关键是当 x 时得出 x 1 此题难度不大 14 2009 邵阳 阅读下列材料 然后回答问题 在进行二次根式的化简与运算时 我们有时会碰上如 一样的式子 其实 我们还可以将其进一步化简 一 二 三 以上这种化简的步骤叫做分母有理化 还可以用以下方法化简 四 第 13 页 共 15 页 1 请用不同的方法化简 参照 三 式得 参照 四 式得 2 化简 考 点 分母有理化 菁优网版权所有 专 题 压轴题 阅读型 分 析 1 中 通过观察 发现 分母有理化的两种方法 1 同乘分母的有理化因式 2 因式分解达到约分的目的 2 中 注意找规律 分母的两个被开方数相差是 2 分母有理化后 分母都是 2 分子可以出现抵消的情况 解 答 解 1 2 原式 点 评 学会分母有理化的两种方法 15 2008 凉山州 阅读材料 解答下列问题 例 当 a 0 时 如 a 6 则 a 6 6 故此时 a 的绝对值是它本身 第 14 页 共 15 页 当 a 0 时 a 0 故此时 a 的绝对值是零 当 a 0 时 如 a 6 则 a 6 6 故此时 a 的绝对值是它的相反数 综合起来一个数的绝对值要分三种情况 即 这种分析方法渗透了数学的分类讨论思想 问