2013高考数学一轮复习 第五篇平面向量第4讲 平面向量的应用教案 理

1 第第 4 4 讲讲 平面向量的应用平面向量的应用 2013 年高考会这样考 1 考查利用向量方法解决某些简单的平面几何问题 2 考查利用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题 复习指导 复习中重点把握好向量平行 垂直的条件及其数量积的运算 重视平面向量体现出的数形结 合的思想方法 体验向量在解题过程中的工具性特点 基础梳理 1 向量在平面几何中的应用 平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行 垂 直 平移 全等 相似 长度 夹角等问题 1 证明线段平行或点共线问题 包括相似问题 常用共线向量定理 a a b b a a b b b b 0 x1y2 x2y1 0 2 证明垂直问题 常用数量积的运算性质 a a b b a a b b 0 x1x2 y1y2 0 3 求夹角问题 利用夹角公式 cos 为a a与b b的夹角 a a b b a a b b x1x2 y1y2 x2 1 y2 1 x2 2 y2 2 2 平面向量在物理中的应用 1 由于物理学中的力 速度 位移都是矢量 它们的分解与合成与向量的加法和减法相似 可以用向量的知识来解决 2 物理学中的功是一个标量 这是力F F与位移s s的数量积 即W F F s s F F s s cos 为F F与s s的夹角 一个手段 实现平面向量与三角函数 平面向量与解析几何之间的转化的主要手段是向量的坐标运算 两条主线 1 向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观与形象 向量本身是一个数形结合的产物 在 利用向量解决问题时 要注意数与形的结合 代数与几何的结合 形象思维与逻辑思维的结 合 2 要注意变换思维方式 能从不同角度看问题 要善于应用向量的有关性质解题 双基自测 2 1 人教 A 版教材习题改编 某人先位移向量a a 向东走 3 km 接着再位移向量b b 向 北走 3 km 则a a b b表示 A 向东南走 3 km B 向东北走 3 km 22 C 向东南走 3 km D 向东北走 3 km 33 解析 要求a a b b 可利用向量和的三角形法则来求解 如图所示 适当选取比例尺作 a a 向 OA 东走 3 km b b 向北走 3 km 则 a a b b AB OB OA AB 3 km OB 32 322 又与的夹角是 45 所以a a b b表示向东北走 3 km OA OB 2 答案 B 2 平面上有四个互异点A B C D 已知 2 0 则 ABC的形状 DB DC DA AB AC 是 A 直角三角形 B 等腰直角三角形 C 等腰三角形 D 无法确定 解析 由 2 0 得 0 所以 DB DC DA AB AC DB DA DC DA AB AC 0 AB AC AB AC 所以 2 2 0 AB AC AB AC 故 ABC是等腰三角形 答案 C 3 2012 银川模拟 已知向量a a cos sin b b 1 则 2a a b b 的最大值 3 最小值分别是 A 4 0 B 16 0 C 2 0 D 16 4 解析 设a a与b b夹角为 2a a b b 2 4a a2 4a a b b b b2 8 4 a a b b cos 8 8cos 0 cos 1 1 8 8cos 0 16 即 2a a b b 2 0 16 3 2a a b b 0 4 答案 A 4 在 ABC中 已知向量与满足 0 且 则 AB AC AB AB AC AC BC AB AB AC AC 1 2 ABC为 A 等边三角形 B 直角三角形 C 等腰非等边三角形 D 三边均不相等的三角形 解析 由 0 知 ABC为等腰三角形 AB AC 由 知 AB AB AC AC BC AB AB AC AC 1 2 60 所以 ABC为等边三角形 故选 A AB AC 答案 A 5 2012 武汉联考 平面直角坐标系xOy中 若定点A 1 2 与动点P x y 满 足 4 则点P的轨迹方程是 OP OA 解析 由 4 得 x y 1 2 4 OP OA 即x 2y 4 答案 x 2y 4 0 4 考向一 平面向量在平面几何中的应用 例 1 2010 辽宁 平面上O A B三点不共线 设 a a b b 则 OAB的面积等于 OA OB A B a a 2 b b 2 a a b b 2 a a 2 b b 2 a a b b 2 C D 1 2 a a 2 b b 2 a a b b 2 1 2 a a 2 b b 2 a a b b 2 审题视点 由数量积公式求出OA与OB夹角的余弦 进而得正弦 再由公式S absin 1 2 求面积 解析 cos BOA a a b b a a b b 则 sin BOA 1 a a b b 2 a a 2 b b 2 S OAB a a b b 1 2 1 a a b b 2 a a 2 b b 2 1 2 a a 2 b b 2 a a b b 2 答案 C 平面向量的数量积是解决平面几何中相关问题的有力工具 利用 a a 可以求线段的 长度 利用 cos 为a a与b b的夹角 可以求角 利用a a b b 0 可以证明垂直 a a b b a a b b 利用a a b b b b 0 可以判定平行 训练 1 设a a b b c c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量 且满足a a与b b不共 线 a a c c a a c c 则 b b c c 的值一定等于 A 以a a b b为邻边的平行四边形的面积 B 以b b c c为邻边的平行四边形的面积 C 以a a b b为两边的三角形的面积 D 以b b c c为两边的三角形的面积 解析 5 b b c c b b c c cos 如图 a a c c b b cos 就是以a a b b为邻边的平行四边形的高h 而 a a c c b b c c a a b b cos b b c c 表示以a a b b为邻边的平行四边形的面 积 答案 A 考向二 平面向量与三角函数的交汇 例 2 已知A B C的坐标分别为A 3 0 B 0 3 C cos sin 2 3 2 1 若 求角 的值 AC BC 2 若 1 求的值 AC BC 2sin2 sin 2 1 tan 审题视点 首先求出向量 的坐标 第 1 问利用两个向量的模相等建立角 的三角 AC BC 方程进行求解 第 2 问利用向量与数量积的坐标运算化简已知条件 得到角 的三角 AC BC 函数值 把所求式子化简 寻找两个式子之间的关系 解 1 cos 3 sin cos sin 3 AC BC 2 cos a 3 2 sin2 10 6cos AC 2 cos2 sin 3 2 10 6sin BC 由 可得 2 2 即 10 6cos 10 6sin 得 sin cos AC BC AC BC 又 2 3 2 5 4 2 由 1 AC BC 得 cos 3 cos sin sin 3 1 sin cos 2 3 又 2sin cos 2sin2 sin 2 1 tan 2sin2 2sin cos 1 sin cos 6 由 式两边分别平方 得 1 2sin cos 4 9 2sin cos 5 9 2sin2 sin 2 1 tan 5 9 解决平面向量与三角函数的交汇问题的关键 准确利用向量的坐标运算化简已知条 件 将其转化为三角函数中的有关问题解决 训练 2 已知向量a a sin cos 2sin b b 1 2 1 若a a b b 求 tan 的值 2 若 a a b b 0 求 的值 解 1 因为a a b b 所以 2sin cos 2sin 于是 4sin cos 故 tan 1 4 2 由 a a b b 知 sin2 cos 2sin 2 5 所以 1 2sin 2 4sin2 5 从而 2sin 2 2 1 cos 2 4 即 sin 2 cos 2 1 于是 sin 2 4 2 2 又由 0 知 2 4 4 9 4 所以 2 或 2 因此 或 4 5 4 4 7 4 2 3 4 考向三 平面向量与平面解析几何交汇 例 3 2012 兰州模拟 已知平面上一定点C 2 0 和直线l x 8 P为该平面上一动点 作PQ l 垂足为Q 且 0 PC 1 2PQ PC 1 2PQ 1 求动点P的轨迹方程 2 若EF为圆N x2 y 1 2 1 的任一条直径 求 的最值 PE PF 审题视点 第 1 问直接设动点P的坐标 先把向量之间的关系化简 然后代入向量坐标 化简整理即得轨迹方程 第 2 问先利用圆的性质化简向量数量积 将其转化为动点P与定 点N的距离的最值 最后代入点的坐标将其转化为函数的最值求解 解 1 设P x y 则Q 8 y 由 0 得 PC 2 PQ 2 0 PC 1 2PQ PC 1 2PQ 1 4 即 x 2 2 y2 x 8 2 0 化简得 1 1 4 x2 16 y2 12 所以点P在椭圆上 其方程为 1 x2 16 y2 12 7 2 因 2 2 2 1 PE PF NE NP NF NP NF NP NF NP NP NF NP P是椭圆 1 上的任一点 设P x0 y0 则有 1 即x 16 又N 0 1 x2 16 y2 12 x2 0 16 y2 0 122 0 4y2 0 3 所以 2 x y0 1 2 y 2y0 17 y0 3 2 20 NP 2 0 1 3 2 0 1 3 因y0 2 2 所以当y0 3 时 2取得最大值 20 故 的最大值为 19 33 NP PE PF 当y0 2时 2取得最小值 2 1 2 13 4 此时x0 0 故 的最小值为 3 NP 33 PE PF 12 4 3 平面向量与平面解析几何交汇的题目 涉及向量数量积的基本运算 数量积的求解 以及轨迹 直线和圆 直线和椭圆中最值等问题 解决此类问题应从向量的坐标运算入手 这也是解决解析几何问题的基本方法 坐标法 训练 3 已知点P 0 3 点A在x轴上 点Q在y轴的正半轴上 点M满 足 0 当点A在x轴上移动时 求动点M的轨迹方程 PA AM AM 3 2MQ 解 设M x y 为所求轨迹上任一点 设A a 0 Q 0 b b 0 则 a 3 PA x a y x b y AM MQ 由 0 得a x a 3y 0 PA AM 由 AM 3 2MQ 得 x a y x b y 3 2 3 2x 3 2 y b Error Error 把a 代入 得 3y 0 x 2 x 2 x x 2 整理得y x2 x 0 1 4 难点突破 12 高考中平面向量与其他知识的交汇问题 平面向量是高中数学的重要知识 是高中数学中数形结合思想的典型体现 近几年新课标高 考对向量知识的命题 既充分体现自身知识结构体系的命题形式多样化 又保持与其他知识 交汇的命题思路 呈现出 综合应用 融会贯通 的特色 充分彰显平面向量的交汇价值 一 平面向量与命题的交汇 示例 2011 陕西 设a a b b是向量 命题 若a a b b 则 a a b b 的逆命题是 8 A 若a a b b 则 a a b b B 若a a b b 则 a a b b C 若 a a b b 则a a b b D 若 a a b