2013届北京市西城区高三期末数学文科试题

北京市西城区 2012 2013 学年度第一学期期末试卷 高三数学 文科 2013 1 第第 卷卷 选择题 共 40 分 一 选择题 本大题共 8 小题 每小题 5 分 共 40 分 在每小题列出的四个选项中 选出 符合题目要求的一项 1 已知集合 01 Axx R 21 1 0 Bxxx R 则AB A 1 0 2 B 1 1 2 C 1 1 0 2 D 1 1 1 2 2 复数 5i 2i A 12i B 12i C 1 2i D 1 2i 3 执行如图所示的程序框图 则输出S A 2 B 6 C 15 D 31 4 函数 1 lnf xx x 的零点个数为 A 0 B 1 C 2 D 3 5 某四棱锥的三视图如图所示 该四棱锥的体积是 A 5 3 B 2 3 C 5 3 3 D 2 3 3 6 过点 2 0 M作圆 22 1xy 的两条切线MA MB A B为切点 则 MA MB A 5 3 2 B 5 2 C 3 3 2 D 3 2 7 设等比数列 n a的公比为q 前n项和为 n S 则 2q 是 62 7SS 的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 8 已知函数 f x的定义域为R 若 常数0c 对x R 有 f xcf xc 则称函数 f x具有性质P 给定下列三个函数 f xx sinf xx 3 f xxx 其中 具有性质P的函数的序号是 A B C D 第第 卷卷 非选择题 共 110 分 二 填空题 本大题共 6 小题 每小题 5 分 共 30 分 9 已知向量 1 3 a 21 mm b 若向量a与b共线 则实数m 10 平行四边形ABCD中 E为CD的中点 若在平行四边形ABCD内部随机取一点M 则点M取自 ABE内部的概率为 11 双曲线 22 1 3645 xy 的渐近线方程为 离心率为 12 若函数 2 log 0 0 xx f x g xx 是奇函数 则 8 g 13 已知函数 sin 6 f xx 其中 3 xa 当 2 a 时 f x的值域是 若 f x的值域是 1 1 2 则a的取值范围是 14 设函数 2 65f xxx 集合 0Aa bf af b 且 0 f af b 在直角坐标系aOb中 集合A所表示的区域的面积为 三 解答题 本大题共 6 小题 共 80 分 解答应写出必要的文字说明 证明过程或演算步 骤 15 本小题满分 13 分 在 ABC中 内角 A B C的对边分别为 a b c 且cos2cos0BB 求角B的值 若7b 5ac 求 ABC的面积 16 本小题满分 13 分 为了解学生的身体状况 某校随机抽取了一批学生测量体重 经统计 这批学生的体 重数据 单位 千克 全部介于45至70之间 将数据分成以下5组 第 1 组 45 50 第 2 组 50 55 第 3 组 55 60 第 4 组 60 65 第 5 组 65 70 得到如图所示的 频率分布直方图 现采用分层抽样的方法 从第 3 4 5 组中随机抽取 6 名学生做初检 求每组抽取的学生人数 若从 6 名学生中再次随机抽取 2 名学生进行复检 求这 2 名学生不在同一组的概 率 17 本小题满分 14 分 如图 直三棱柱 111 CBAABC 中 BCAC 2 1 CCBCAC M N分 别 为AC 11C B的中点 求线段MN的长 求证 MN 平面 11A ABB 线段 1 CC上是否存在点Q 使 BA1平面MNQ 说明理由 18 本小题满分 13 分 已知函数 2 x f x xb 其中b R 若1x 是 xf的一个极值点 求b的值 求 xf的单调区间 19 本小题满分 14 分 如图 A B是椭圆 22 22 1 xy ab 0 ab 的两个顶点 5AB 直线AB的 斜率为 1 2 求椭圆的方程 设直线l平行于AB 与 x y轴分别交于点 M N 与椭圆相交于 C D 证明 OCM的面积等于 ODN的面积 20 本小题满分 13 分 如图 设A是由n n 个实数组成的n行n列的数表 其中 ij a 1 2 3 i jn 表示 位于第i行第j列的实数 且 1 1 ij a 记 S n n为所有这样的数表构成的集合 对于 AS n n 记 i r A为A的第i行各数之积 j cA为A的第j列各数之 积 令 11 nn ij ij l Ar AcA 对如下数表 4 4 AS 求 l A的值 证明 存在 AS n n 使得 24l Ank 其中0 1 2 kn 给定n为奇数 对于所有的 AS n n 证明 0l A 北京市西城区 2012 2013 学年度第一学期期末 高三数学 文科 文科 参考答案及评分标准 2013 1 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 8 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 40 分分 1 B 2 A 3 C 4 B 5 C 6 D 7 A 8 B 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 6 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 30 分分 9 1 10 1 2 11 5 2 yx 3 2 12 3 13 1 1 2 3 14 4 注 注 11 13 题第一空题第一空 2 分 第二空分 第二空 3 分分 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 小题 共小题 共 80 分分 若考生的解法与本解答不同 正确者可参照评分若考生的解法与本解答不同 正确者可参照评分 标准给分标准给分 15 本小题满分 13 分 解 由已知得 2 2coscos10BB 2 分 即 2cos1 cos1 0BB 解得 1 cos 2 B 或cos1B 4 分 因为 0 B 故舍去cos1B 5 分 所以 3 B 6 分 解 由余弦定理得 222 2cosbacacB 8 分 将 3 B 7b 代入上式 整理得 2 37acac 因为 5ac 所以 6ac 11 分 所以 ABC的面积 13 3 sin 22 SacB 13 分 16 本小题满分 13 分 解 由频率分布直方图知 第3 4 5组的学生人数之比为3 2 1 2 分 所以 每组抽取的人数分别为 第3组 3 63 6 第4组 2 62 6 第5组 1 61 6 所以从3 4 5组应依次抽取3名学生 2名学生 1名学生 5 分 解 记第3组的3位同学为 1 A 2 A 3 A 第4组的2位同学为 1 B 2 B 第5组的 1位同学为C 6 分 则从6位同学中随机抽取 2 位同学所有可能的情形为 121311121232122231 A AA AA BA BA CA AA BA BA CA B 3231212 A BA CB BB CB C 共15种可能 10 分 其中 111212122231323 A BA BA CA BA BA CA BA BA C 12 B CB C这 11 种情形符合 2 名学生不在同一组的要求 12 分 故所求概率为 11 15 P 13 分 17 本小题满分 14 分 证明 连接CN 因为 111 CBAABC 是直三棱柱 所以 1 CC平面ABC 1 分 所以 1 ACCC 2 分 因为 BCAC 所以 AC平面 11 BCC B 3 分 因为 1 MC 22 11 5CNCCC N 所以 6 MN 4 分 证明 取AB中点D 连接DM 1 DB 5 分 在 ABC中 因为 M为AC中点 所以BCDM BCDM 2 1 在矩形 11 B BCC中 因为 N为 11C B中点 所以BCNB 1 BCNB 2 1 1 所以 NBDM 1 NBDM 1 所以 四边形NMDB1为平行四边形 所以 1 DBMN 7 分 因为 MN平面 11A ABB 1 DB平面 11A ABB 8 分 所以 MN 平面 11A ABB 9 分 解 线段 1 CC上存在点Q 且Q为 1 CC中点时 有 BA1平面MNQ 11 分 证明如下 连接 1 BC 在正方形CCBB 11 中易证 1 BCQN 又 11C A平面CCBB 11 所以 QNCA 11 从而 NQ平面 11BC A 12 分 所以 1 ABQN 13 分 同理可得 1 ABMQ 所以 BA1平面MNQ 故线段 1 CC上存在点Q 使得 BA1平面MNQ 14 分 18 本小题满分 13 分 解 2 22 bx fx xb 2 分 依题意 令 1 0f 得 1b 4 分 经检验 1b 时符合题意 5 分 解 当0b 时 1 f x x 故 f x的单调减区间为 0 0 无单调增区间 6 分 当0b 时 2 22 bx fx xb 令 0fx 得 1 xb 2 xb 8 分 f x和 fx 的情况如下 x b b bb b b fx 0 0 f x 故 f x的单调减区间为 b b 单调增区间为 bb 11 分 当0b 时 f x的定义域为 Dxxb R 因为 2 22 0 bx fx xb 在D上恒成立 故 f x的单调减区间为 b bb b 无单调增区 间 13 分 19 本小题满分 14 分 解 依题意 得 22 1 2 5 b a ab 2 分 解得 2a 1b 3 分 所以 椭圆的方程为 2 2 1 4 x y 4 分 证明 由于l AB 设直线l的方程为 1 2 yxm 将其代入 2 2 1 4 x y 消去 y 整理得 22 24440 xmxm 6 分 设 11 C x y 22 D xy 所以 22 12 2 12 1632 1 0 2 22 mm xxm x xm 8 分 证法一 记 OCM的面积是 1 S ODN的面积是 2 S 由 2 0 Mm 0 Nm 则 12 SS 12 11 2 22 mymx 12 2 yx 10 分 因为 12 2xxm 所以 1112 1 2 2 2 2 yxmxmx 13 分 从而 12 SS 14 分 证法二 记 OCM的面积是 1 S ODN的面积是 2 S 则 12 SS MCND 线段 CD MN的中点重合 10 分 因为 12 2xxm 所以 12 2 xx m 1212 11 2222 yyxx mm 故线段CD的中点为 1 2 mm 因为 2 0 Mm 0 Nm 所以 线段MN的中点坐标亦为 1 2 mm 13 分 从而 12 SS 14 分 20 本小题满分 13 分 解 134 1r Ar Ar A 2 1r A 124 1c AcAcA 3 1c A 所以 44 11 0 ij ij l Ar AcA 3 分 证明 对数表 0 A 1 ij a 1 2 3 i jn 显然 0 2l An 将数表 0 A中的 11 a由1变为1 得到数表 1 A 显然 1 24l An 将数表 1 A中的 22 a由1变为1 得到数表 2 A 显然 2 28l An 依此类推 将数表 1k A 中的 kk a由1变为1 得到数表 k A 即数表 k A满足 1122 1 1 kk aaakn 其余1 ij a 所以 12 1 k r Ar Ar A 12 1 k c AcAcA 所以 2 1 24 k l Aknknk 其中0 1 2 kn 7 分 注 数表 k A不唯一 证明 用反证法 假设存在 AS n n 其中n为奇数 使得 0l A 因为 1 1 i r A 1 1