初一三角形知识总结与练习题

1 三角形的有关概念三角形的有关概念 1 三角形的定义 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形 它有三条边 三个内角和三个顶 点 三角形可用符号 表示 2 三角形的角平分线 在三角形中 一个内角的角平分线与它的对边相交 这个角的顶点和交点之间的线 段叫做三角形的角平分线 3 三角形的中线 在三角形中 连接一个顶点与它对边的中点的线段 叫做这个三角形的中线 4 三角形的高线 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线 顶点和垂足之间的线段叫做三角形的 高线 2 三角形的有关性质 1 边的性质 三角形的任意两边之和大于第三边 三角形的任意两边之差小于第三边 2 角的性质 三角形的内角和为 180 一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 一个外角大于任何一 个和它不相邻的内角 直角三角形的两个锐角互余 3 稳定性 即三角形的三边的长度确定后 三角形的形状保持不变 3 三角形的分类 1 按边分 2 按角分 等边三角形 角形底与腰不相等的等腰三 等腰三角形 不等边三角形 钝角三角形 锐角三角形 斜三角形 直角三角形 4 全等三角形的有关概念和性质 1 全等图形 两个能够 重合 的图形称为全等图形 全等图形的特征 全等图形的 形状和大小 都相等 全等三角形 两个能够 完全重合的三角形叫做全等三角形 两个全等三角形重合时 互相重合的边叫做对应 边 互相重合的顶点叫做对应顶点 互相重合的角叫做 对应角 2 全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等 对应角相等 5 全等三角形的判定条件 1 一般三角形全等的判别方法有四种方法 边角边 SAS 角边角 ASA 角角边 AAS 边边边 SSS 2 直角三角形的全等的条件 除了使用 SAS ASA AAS SSS 判别方法外 还有一种重要的判别方法 也 就是斜边 直角边 HL 判别方法 6 判别两个三角形全等 1 已知两边 SSS HL SAS 找另一边 找直角 找夹角 2 2 已知一边一角 AAS ASA SAS AAS 找边的对角 找夹角的另一边的对角 找夹角的另一边 边为角的邻边 找任一角 边为角的对边 2 1 3 已知两角 AAS ASA 找夹边外的任一边 找夹边 7 作三角形 用尺规作三角形的类型主要有 1 己知三角形的 三边 求作这个三角形 2 己知三角形的 两边及夹角 求作这个三角形 3 己知三角形的 两角及夹边 求作这个三角形 二 应注意的问题二 应注意的问题 1 三角形的角平分线不同于一个角的平分线 前者是一条线段 后者是一条射线 三角形的高线是线段 而 线段的垂线是直线 锐角三角形的三夺高线都在三角形的内部 直角三角形中 有两条高线恰好是它的两条边 钝角三角形的三 条高线中 有两条高线在三角形的外部 它们的垂足落在边的延长线上 三角形的三条角平分线交于一点 三条中线交于一点 三角形的三条高所在的直线交于一点 2 注意 不能把 边边角 和 角角角 作为判定两个三角形全等的依据 3 书写全等三角形时一般把对应顶点的字母放在对应的位置 4 注意 在作三角形等几何作图中 作图痕迹务必保留 不能将作图痕迹抹掉 在作符合某些条件的三角形时 它的作法可能不惟一 只要作法合理 都是正确的 三 经典例题三 经典例题 例 1 如图 1 有一块边长为 4 的正方形塑料模板 ABCD 将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在 A 点 两条直角边分别与 CD 交于点 F 与 CB 延长线交于点 E 则四边形 AECF 的面积是 分析 本例看似是正方形的问题 其实质是考查全等三角形的判定 由于 EAF BAD 90 可得出 EAB DAF ABE D 90 AB AD ABE ADF 所以 四边形 AECF 的面积等于正方形 ABCD 的面积等于 16 解 因为 EAF BAD 90 所以 EAB DAF ADAB D ABE DAF EAB ABE ADF 四边形 AECF 的面积等于正方形 ABCD 的面积等于 16 例 2 如图 2 在 ABC 与 DEF 中 给出以下六个条件 AB DE BC EF AC DF A D B E C F 以其 中三个条件作为已知 不能判断 ABC 与 DEF 全等的是 A B C D 分析 三角形全等的判定方法有 边 边 边 边 角 边 角 边 角 或 角 角 边 本题可采用排除法寻找答案 真 为 边角边 判定方法 A B C D E F 图 2 3 真 为 边边边 判定方法 真 为 角角边 判定方法 假 为两边和其中一边的对角没有这样的判定方法 因此 不能判断 ABC 与 DEF 全等的是 D 例 3 如图 3 巳知 CE AD 于 E BF AD 于 F 你能说明 BDF 和 CDE 全等吗 若能 请你说明理 由 若不能 在不用增加辅助线的情况下 请添加其中一个适当的条件 这个条件是 说明这两个三 角形全等 并写出证明过程 分析 题目要证明的两个三角形全等已满足两组角对应相等 但三角形全等至少要有一组边对应相等 因此 需要补充一组边对应相等 解 补充的条件为 BD CD DE DF 或 BF CE 若补充 BD CD 证明过程如下 CE AD 于 E BF AD 于 F 所以 F CED CDBD CDE BDF CED F BDF CDE 注 本题和北师大版七年级数学下 158 页第 5 题雷同 例 5 将一张矩形纸片沿对角线剪开 得到两张三角形纸片 再将这 两张三角形纸片摆放成如图 5 的形式 使点 B F C D 在同一条直线上 1 求证 AB ED 2 若 PB BC 请找出图中与此条件有关的一对全等三角形 并给予证明 分析 充分利用边相等或角相等或互余的关系 1 证明 由题意可知 ABC DEF 因而 A D 而 A B 90 故 D B 90 即 BPD 90 所以 AB ED 也可以利用两直线平行 内错角相等证明 A D 2 若 PB BC 则有 ABC DBP BCBP D A B B ABC DBP 注 图中与此条件有关的全等三角形还有如下几对 APN DCN DEF DBP EPM BFM 四 考点例析四 考点例析 考点一 三角形三边关系考点一 三角形三边关系 三角形任意两边之和大于第三边 三角形任意两边之差小于第三边 例 1 在 ABC 中 AB 9 BC 2 并且 AC 的长为奇数 那么 ABC 的周长是多少 分析 由三角形中第三边取值范围的确定方法 两边之差 第三边 两边之和 可求出 AC 的长 从而求出 ABC 的周长 解 根据三角形三边关系有 B 图 3 图 5 4 AB BC AC AB BC 所以 9 2 AC 9 2 即 7 AC 11 又因为 AC 的长为奇数 所以 AC 9 所以 ABC 的周长为 9 9 2 20 练习 1 1 2005 年昆明市中考题 以下列各组线段长为边 能构成三角形的是 A 4cm 5cm 6cm B 2cm 3cm 5cm C 4cm 4cm 9cm D 12cm 5cm 6cm 2 有长分别为 1cm 2cm 3cm 4cm 5cm 的线段 则以其中三条线段为边可构成 个三角形 答案与提示 1 选 A 2 其中 2cm 3cm 4cm 2cm 4cm 5cm 3cm 4cm 5cm 共可构成三个三 角形 考点二 三角形的内角和考点二 三角形的内角和 三角形三个内角的和等于 180 直角三角形的两个锐角互余 例 2 2004 年陕西中考题 如图 在锐角 ABC 中 CD BE 分别是 AB AC 边上的高 且 CD BE 交于一 点 P 若 A 50 则 BPC 的度数是 A 150 B 130 C 120 D 100 分析 解这类题目的关键要明确所求的角是哪个三角形的内角 要抓住题目中存在的等量关系 如 三角形的 内角和等于 180 等 解 在 ABC 中 A 50 ABC ACB 180 50 130 CD BE 分别是 AB AC 边上的高 ADC AEB 90 在 Rt ABE 中 ABE 90 A 90 50 40 在 Rt ACD 中 ACD 90 A 90 50 40 PBC PCB ABC ACB ABE ACD 130 80 50 在 BPC 中 BPC 180 PBC PCB 180 50 130 本题选 B 练习 2 1 2005 年黑龙江中考题 已知 BD CE 是 ABC 的高 直线 BD CE 相交所成的角中有一个角 为 50 则 BAC 等于 2 一块模板如图所示 按规定 AB CD 的延长线相交成 85 角 因交点不在模板上 不便测量 所以工人 师傅连结 AC 测得 BAC 32 DCA 65 这时就可以知道 AB CD 的延长线相交所成的角不符合规 定 请说明理由 答案与提示 1 50 2 由三角形内角和定理可得 H 83 考点三考点三 三角形中的三条重要线段三角形中的三条重要线段 在三角形中 一个内角的角平分线与它的对边相交 这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线 在三角形中 连接一个顶点与它的对边中点的线段 叫做这个三角形的中线 P E D C B A H FE D C B A 5 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线 顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线 简称三角形的 高 例 3 如图 在 ABC 中 分别画出它的中线 AD 和高 AE 并回答下列问题 1 AE 还是哪些三角形的高 2 ABD 与 ACD 的面积有什么关系 为什么 分析 应根据三角形的中线和高的意义画图 解 1 如图 AE 还是 ABD ADE ADC AEC ABE 的高 2 ABD 与 ACD 的面积相等 因为这两个三角形等底同高 练习 3 1 三角形一边上的高 A 必在三角形内部 B 必在三角形外部 C 必在三角形的边上 D 以上三种情况都有可能 2 如图 5 AE 是 ABC 的角平分线 则 2 1 AD 是 ABC 的中线 则 2 1 BC 3 三角形的三条角平分线的交点和三条中线的交点 一定在三角形的 A 内部 B 外部 C 边上 D 不确定 答案与提示 1 选 D 2 BAE CAE BAC BD CD 3 选 A 考点四考点四 图形的全等图形的全等 两个能够重合的图形称为全等图形 全等图形的形状和大小都相同 特别地 全等图形的面积相等 例 4 如图 1 一个 5 5 的正方形 去掉居于中心位置的画阴影的一格 你能沿着图中的虚线 把余下的 部分分成四个全等的图形吗 分析 可以从方格的数量 即面积 入手考虑 5 5 的正方形共有 25 格 去掉一格后 还有 24 格 如果分成四 个全等的图形 则每个图形应该有 6 格 解 图 2 8 是几种可能的划分方案 1 2 3 4 5 6 7 8 练习 4 沿着图中的虚线 请用至少三种方法把下面的图形划分为两个全等图形 把你的方案画在下面的图 中 答案如下 CB A EDCB A 6 考点五考点五 全等三角形的特征及三角形全等的条件全等三角形的特征及三角形全等的条件 全等三角形的对应边相等 对应角相等 三边对应相等的两个三角形全等 简写为 边边边 或 SSS 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 简写成 角边角 或 ASA 两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 简写成 角角边 或 AAS 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 简写成 边角边 或 SAS 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 简写成 斜边 直角边 或 HL 例 5 如图 如图 某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块 现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃 那 么最省事的方法是 A 带 去 B 带 去 C 带 去 D 带 去 分析 怎样做一个三角形与已知三角形全等 可依据全等三角形的判定条件来判断 题中的一块三角形的 玻璃被打碎成三块 其中 1 仅留一角 2 没边没角 3 存在两角和夹边 可依据 ASA 不难作出 与原三角形全等的三角形 解 应选 C 练习 5 1 2005 年临沂市中考题 如图 将两根钢条 AA BB 的中点 O 连在一起 使 AA BB 可以绕着点 O 自由转动 就做成了一个测量工件 则 A B 的长就等于内槽宽 AB 的长 那么 AOB OA B 的理由是 A 边角边 B 角边角 C 边边边 D 角角边 2 2004 年潍坊市中考题 如图 已知 ABC 的六个元素 则下面甲 乙 丙三个三角形中和 ABC 全等 的图形是 a b c C B A 72 50 58 a c c a a 50 50 72 50 A 甲和乙 B 乙和丙 C 只有乙 D 只有丙 3 如图 10 1 2 BC EF 那么需要补充一个条件 写出一个即可 才能使 ABC DEF 答案与提示 1 选 A 2 选 B 3 提示 此题答案不唯一 属开放性问题 根据三角形全等的条件 SSS ASA AAS SAS 对照图中已知条件 只需有另外一角或边 AC DF 即可 应填 B E A D 或 AC DF 均可 B A O B A 2 1FE D CB A a 7 考点六 与三角形有关的作图考点六 与三角形有关的作图 例 6 已知两角及其中一个角的对边 求作三角形 分析 该题是作图题中的文字题 根据已知画出相应的图形 这样的图形具有一定的随意性 本题的两个角大 小要适当 即它们的和必须小于 180 否则无解 已知 如图 线段 a 求作 ABC 使 B A BC a 作法 1 作线段 BC a 2 在 BC 的同侧作 DBC ECB 180 DB EC 交于点 A ABC 为所求作的三角形 评注 已知两角及其中一个角的对边作三角形 可根据三角形内角和等于 180 转化为利用两角及其夹边作 三角形 化未知为已知 使问题得以解决 练习 6 求作一个边长为 a 的等边三角形 a 答案与提示 已知 线段 a 求作 ABC 使 AB AC BC a 作法 1 作线段 BC a 2 分别以 B C 为圆心 以 a 为半径画弧 两弧交于点 A ABC 为所求作的三角形 考点七 全等三角形的应用考点七 全等三角形的应用 例 7 公园里有一条 Z 字型道路 ABCD 如图 11 其中 AB CD 在 AB BC CD 三段路旁各有一只石 凳 E M F M 恰为 BC 的中点 且 E F M 在同一直线上 在 BE 道路中停放着一排小汽车 从而无法直 接测量 B E 之间的距离 你能想出解决的方法吗 请说明其中的道理 分析 由 EBM FCM 可知 测量 C F 之间的距离就是 B E 之间的距离 理由 AB CD CMBM CB FMCEMB EBM FCM BE CF 评注 运用三角形全等的方法来解决实际问题 关键找出两三角形全等的条件 并能运用自己的语言进行说 理 练习 7 2004 年福州中考题 三月三 放风筝 如图 12 是小明制作的风筝 他根据 DE DF EH FH 不 用度量 就知道 DEH DFH 请你用所学的知识给予说明 答案与提示 连接 DH DHDH FHEH DFDE DEH DFH DEH DFH D A E BC F M E DC BA H F E D 8 三角形三角形 测试题测试题 一 选择题一 选择题 1 一个钝角三角形的三条角平分线所在的直线一定交于一点 这交点一定在 A 三角形内部 B 三角形的一边上 C 三角形外部 D 三角形的某个顶点上 2 下列长度的各组线段中 能组成三角形的是 A 4 5 6 B 6 8 15 C 5 7 12 D 3 9 13 3 在锐角三角形中 最大角 的取值范围是 A 0 90 B 60 90 C 60 180 D 60 90 4 下列判断正确的是 A 有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等 B 有两边对应相等 且有一角为 30 的两个等腰三角形全等 C 有一角和一条边对应相等的两个直角三角形全等 D 有两角和一边对应相等的两个三角形全等 5 等腰三角形的周长为 24cm 腰长为 xcm 则 x 的取值范围是 A x 6 B 6 x 12 C 0 x 12D x 12 6 已知 ABC 的三个内角 A B C 满足关系式 B C 3 A 则此三角形 A 一定有一个内角为 45 B 一定有一个内角为 60 C 一定是直角三角形 D 一定是钝角三角形 7 三角形内有一点 它到三边的距离相等 则这点是该三角形的 A 三条中线交点 B 三条角平分线交点 C 三条高线交点D 三条高线所在直线交点 8 已知等腰三角形的一个角为 75 则其顶角为 A 30 B 75 C 105 D 30 或 75 9 如图 5 124 直线l l l 表示三条相互交叉的公路 现计划建一个加油站 要求 它到三条公路的距离相等 则可供选择的地址有 A 一处 B 二处 C 三处D 四处 10 三条线段长度分别为 3 4 6 则以此三条线段为边所构成的三角形按角分类是 A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形D 根本无法确定 9 二 填空题二 填空题 1 如果 ABC 中 两边 a 7cm b 3cm 则 c 的取值范围是 第三边为奇数的所有可能值为 周长为偶数的所有可能值为 2 四条线段的长分别是 5cm 6cm 8cm 13cm 以其中任意三条线段为边可以构成 个三角形 3 过 ABC 的顶点 C 作边 AB 的垂线将 ACB 分为 20 和 40 的两个角 那么 A B 中较大的角的度数是 4 在 Rt ABC 中 锐角 A 的平分线与锐角 B 的平分线相交于点 D 则 ADB 5 如图 5 125 A D AC DF 那么需要补充一个直接条件 写出一个即可 才能使 ABC DEF 6 三角形的一边上有一点 它到三个顶点的距离相等 则这个三角形是 三角形 7 ABC 中 AB 5 BC 3 则中线 BD 的取值范围是 8 如图 5 126 ABC 中 C 90 CD AB CM 平分 AB CE 平分 DCM 则 ACE 的度数是 9 已知 如图 5 127 ABC 中 BO CO 分别是 ABC 和 ACB 的平分线 过 O 点的直线分别交 AB AC 于点 D E 且 DE BC 若 AB 6cm AC 8cm 则 ADE 的周长为 10 每一个多边形都可以按图 5 128 的方法割成若干个三角形 而每一个三角形的三个内角的和是 180 按图 5 127 的方法 十二边形的内角和是 度 三 解答题三 解答题 1 已知 如图 5 129 ABC 的 B C 的平分线相交于点 D 过 D 作 MN BC 交 AB AC 分别于点 M N 求证 BM CN MN 10 2 已知 如图 5 130 在 ABC 中 ACB 90 CD 为高 CE 平分 BCD 且 ACD BCD 1 2 那么 CE 是 AB 边上的中线对吗 说明理由 3 已知 如图 5 131 在 ABC 中有 D E 两点 求证 BD DE EC AB AC 4 已知一直角边和这条直角边的对角 求作直角三角形 用尺规作图 不写作法 但要保留作图痕迹 5 已知 如图 5 132 点 C 在线段 AB 上 以 AC 和 BC 为边在 AB 的同侧作正三角形 ACM 和 BCN 连结 AN BM 分别交 CM CN 于点 P Q 求证 PQ AB 6 已知 如图 5 133 AB DE CD FA A D AFC DCF 则 BC EF 你能说出它们相等的理由吗 参考答案参考答案 11 一 一 1 A 2 A 3 D 4 D 5 B 6 A 7 B 8 D 9 A 10 D 二 二 1 cmccm104 5cm 7cm 9cm 16cm 或 18cm 2 2 3 70 4 135 5 AB DE 或 B E 或 C F 6 直角 7 41 BD 8 45 9 14cm 10 1800 三 三 1 证明 BD CF 平分 ABC ACB 1 2 3