上海市2012年全国高中数学联合竞赛试题（上海卷）

1 20122012 年上海市高中数学竞赛年上海市高中数学竞赛 一 填空题一 填空题 本题满分 60 分 前 4 小题每小题 7 分 后 4 小题每小题 8 分 1 如图 正六边形的边长为 1 它的 6 条对角线又围成一 111111 ABC D E F 个正六边形 如此继续下去 则所有这些六边形的面积 222222 A B C D E F 和是 2 已知正整数满足 则的最 1210 a aa 3 110 2 j i a ij a 10 a 小可能值是 3 若 17 tantantan 6 4 cotcotcot 5 cotcot 则 17 cotcotcotcot 5 tan 4 已知关于的方程仅有一个实数解 则实数的取x lg2lg1 kxxk 值范围是 5 如图 是边长为的正方形的内接三角形 已知 AEFxABCD 则 90 AEF AEa EFb ab x 6 方程的非负整数解 1 233213 mnnm m n 7 一个口袋里有 5 个大小一样的小球 其中两个是红色的 两个是白色的 一个是黑色的 依次从中摸出 5 个小球 相邻两个小球的颜色均不相同的概率是 用数字作 答 8 数列定义如下 若 n a 1221 21 1 2 1 2 22 nnn nn aaaaa n nn 则正整数的最小值为 2011 2 2012 m am F2 E2 D2 C2 B2 A2 E1 F1 B1 A1 C1 D1 F B DA C E 2 二 解答题 9 本题满分 14 分 如图 在平行四边形ABCD中 对角线AC与BD的ABx 1BC 夹角 记直线AB与CD的距离为 45BOC h x 求的表达式 并写出x的取值范围 h x 10 本题满分 14 分 给定实数 求函数的最小值 1a sin 4sin 1 sin axx f x x 11 本题满分 16 分 正实数满足 求证 x y z94xyzxyyzzx 1 4 3 xyyzzx 2 2xyz O DC BA 3 12 本题满分 16 分 给定整数 记为集合的满足如下两个条 3 n f n 1 2 21 n 件的子集A的元素个数的最小值 a 1 21 n AA b A中的元素 除 1 外 均为A中的另两个 可以相同 元素的和 1 求的值 3 f 2 求证 100 108f 4 20122012 年上海市高中数学竞赛答案年上海市高中数学竞赛答案 1 2 92 9 3 4 3 11 4 04 5 6 2 22 a aab 3 0 2 2 7 8 4025 2 5 9 解解 由平行四边形对角线平方和等于四条边的平方和得 22222 11 1 22 OBOCABBCx 2 分 在 OBC中 由余弦定理 222 2cosBCOBOCOB OCBOC 所以 22 21OBOCOB OC 由 得 2 1 2 2 x OB OC 5 分 所以 1 44sin 2 ABCDOBC SSOB OCBOC 2OB OC 2 1 2 x 故 AB h x 2 1 2 x 所以 10 分 2 1 2 x h x x 由 可得 故 2 10 x 1x 因为 结合 可得 22 2OBOCOB OC 2 2 11 1 2 22 2 x x 5 解得 结合 1x 121x 综上所述 14 分 2 1 2 x h x x 121x 10 解解 sin 4sin 3 1 1 sin2 1 sin1 sin axxa f xxa xx 当时 此时 7 1 3 a 03 1 2a 3 1 1 sin22 3 1 2 1 sin a f xxaaa x 且当时不等式等号成立 故 sin3 1 11 1xa min 2 3 1 2fxaa 6 分 当时 此时 耐克 函数在内是递 7 3 a 3 1 2a 3 1 a yt t 0 3 1 a 减 故此时 min 3 1 5 1 1 22 22 aa fxfa 综上所述 14 分 min 7 2 3 1 2 1 3 5 1 7 23 aaa fx a a 11 证证 1 记 由平均不等式 3 xyyzzx t 3 3 2 2 3 3 xyyzzx xyzxyyz zx 4 分 于是 32 4993xyzxyyzzxtt 所以 2 323320ttt 而 所以 即 从而 2 3320tt 320t 2 3 t 10 分 4 3 xyyzzx 2 又因为 2 3 xyzxyyzzx 所以 2 4xyz 6 故 16 分 2xyz 12 解解 1 设集合 且A满足 a b 则 由于 3 1 2 21A 1 7AA 不满足 b 故 1 72 3 6mm 3A 又 1 2 3 7 1 2 4 7 1 2 5 7 1 2 6 7 1 3 4 7 1 3 5 7 1 3 6 7 都不满足 b 故 1 4 5 7 1 4 6 7 1 5 6 74A 而集合满足 a b 所以 1 2 4 6 7 3 5f 6 分 2 首先证明 1 2 3 4 f nf nn 事实上 若 满足 a b 且A的元素个数为 1 2 21 n A f n 令 由于 故 11 22 21 nn BA 1 2221 nn 2Bf n 又 所以 集合 且 111 222 21 211 22 nnnn 1 1 2 21 n B B满足 a b 从而 10 分 1 2f nBf n 其次证明 2 1 3 4 fnf nnn 事实上 设满足 a b 且A的元素个数为 令 1 2 21 n A f n 22 2 21 2 21 2 21 21 nnnnn BA 由于 22 2 21 2 21 2 21 21 nnnnn 所以 且 而 2 1 2 21 n B 1Bf nn 1 2 21 2 21 2 21 0 1 1 knknkn kn 2 212 2