上海市2009年高三数学高考模拟试题分类汇编：数列

用心 爱心 专心 上海市上海市 2009 年高考模拟试题分类汇编 数列年高考模拟试题分类汇编 数列 一 填空题 1 2009 上海九校联考 已知数列 n a的前n项和为 n S 若21 n n S 则 8 a 128 2 2009 上海八校联考 在数列 n a中 12 02aa 且 1 1 2 Nnaa n nn 100 S 2550 3 2009 冠龙高级中学 3 月月考 若数列 n a中 2 12 2 Nn n n an 则数列 n a中的项的最小值为 4 4 2009 闵行三中模拟 已知已知 n a是等比数列 是等比数列 4 1 2 52 aa 则 则 13221 nna aaaaa 3 32 n 41 5 2009 上海十四校联考 若数列 2 2 1 n n n n aNnpp a a a则称为正常数满足 为 等方比数列 则 数列 n a是等方比数列 是 数列 n a是等方比数列 的 条件 2 二 选择题 1 2009 上海十四校联考 无穷等比数列 4 2 2 1 2 2 1 各项的和等于 A 22 B 22 C 12 D 12 B 2 2009 上海卢湾区 4 月模考 设数列 n a的前n项之和为 n S 若 2 1 3 12 nn Sa Nn 则 n a A 是等差数列 但不是等比数列 B 是等比数列 但不是等差数列 C 是等差数列 或是等比数列 D 可以既不是等比数列 也不是等差数列 用心 爱心 专心 三 解答题 1 2009 上海卢湾区 4 月模考 已知数列 n a的前n项和为 n A 且对任意正整数n 都 满足 1 nn taA 其中1t 为实数 1 求数列 n a 的通项公式 2 若 n b为杨辉三角第n行中所有数的和 即 01n nnnn bCCC n B为杨辉三 角前n行中所有数的和 亦即为数列 n b的前n项和 求lim n n n A B 的值 解 1 由已知 11 1 nn taA 1 nn taA 相减得 11nnn tataa 由10t 得 1 1 n n at at 又 11 1taa 得 1 1 1 a t 故数列 n a是一个以 1 1 1 a t 为首项 以 1 t q t 为公比的等比数列 4 分 从而 1 11 111 nn n tt a ttt t n N 6 分 2 11 1 n nn t Ata t 7 分 又 01 2 nn nnnn bCCC 故 2 21 n n B 11 分 于是 1 1 1 limlim 22 n n n nn n t At B 当2 1 t t 即2t 时 1 lim 2 n n n A B 当2 1 t t 即2t 时 lim0 n n n A B 当2 1 t t 即12t 时 lim n n n A B 不存在 14 分 2 2009 上海八校联考 已知点列 1122 1 2 nn ByByB n y nN 顺次为直线 4 x y 上的点 点列 1122 0 0 0 nn A xA xA x nN 顺次为x轴上的点 其中 1 xa 01 a 对任意的 nN 点 n A n B 1 n A构成以 n B为顶点的等腰三角形 1 证明 数列 n y是等差数列 2 求证 对任意的 nN nn xx 2 是常数 并求数列 n x的通项公式 3 对上述等腰三角形 1 nnn ABA添加适当条件 提出一个问题 并做出解答 根据所提问题及解答的完整程度 分档次给分 用心 爱心 专心 解 1 依题意有 n n y 4 于是 4 1 1 nn yy 所以数列 n y是等差数列 4 分 2 由题意得n xx nn 2 1 即nxx nn 2 1 n N 所以又有 1 2 12 nxx nn 由 得 2 2 nn xx 所以 n nn n x xx x 2 是常数 分 由 135246 x xxxxx 都是等差数列 12 xa 0a1x2a 那么得 22 1 2 112 akkxx k akkakxx k 2 1 22 1 2 22 k N N 分 故 1 n nan x nan 为奇数 为偶数 1 分 3 提出问题 若等腰三角形 1 nnn ABA中 是否有直角三角形 若有 求出实数a 提出问题 若等腰三角形 1 nnn ABA中 是否有正三角形 若有 求出实数a 解 问题 1 分 当n为奇数时 0 1 0 1 1 anAanA nn 所以 1 2 1 aAA nn 当n为偶数时 0 0 1 anAanA nn 所以 2 1 aAA nn 作xCB nn 轴 垂足为 n C则 nn n B C 4 要使等腰三角形 1 nnn ABA为直角三角形 必须且 只须 nnnn CBAA2 1 分 当n为奇数时 有 n 2 1 a2 4 即 n a1 4 31 n1an3a 44 当当时时当当时时 当5 n a0 不合题意 15 分 当n为偶数时 有 n 2a2 4 n a 4 同理可求得 1 n2a 2 当当时时 当n n 4时 a0 不合题意 1 分 综上所述 使等腰三角形 1 nnn ABA中 有直角三角形 a的值为 3 4 或 1 4 或 1 2 1 分 用心 爱心 专心 解 问题 1 分 当n为奇数时 0 1 0 1 1 anAanA nn 所以 1 2 1 aAA nn 当n为偶数时 0 0 1 anAanA nn 所以 2 1 aAA nn 作xCB nn 轴 垂足为 n C则 nn n B C 4 要使等腰三角形 1 nnn ABA为正三角形 必须且只 须 n nn nn nn n A A A AB B C C 1 2 3 分 当n为奇数时 有 2n 2 1 a 43 即 3 a1n 12 335 3 n1a1n3a1n5a1 12412 当当时时当当时时时时 当 n n 7时 a0 不合题意 15 分 当n为偶数时 有 2n 2a 43 3n a 12 同理可求得 3 n2a 6 当当时时 3 n4a 3 当当时时 3 n6a 2 当当时时 当n n 8时 a0 不合题意 1 分 综上所述 使等腰三角形 1 nnn ABA中 有正三角形 a的值为 335 3 a1a1a1 12412 3 a 6 3 a 3 3 a 2 1 分 3 2009 上海奉贤区模拟考 已知点集 nmyyxL 其中 1 2 bxm 1 1 bn 点列 nnn baP在 L 中 1 P为 L 与 y 轴的交点 等差数列 n a的公差为 1 Nn 1 求数列 n b的通项公式 2 若 f n 令 1 2 3 n Sffff n 试用解析式写 出 n S关于n的函数 用心 爱心 专心 3 若 f n 给定常数 m 2mNm 是否存在 Nk 使得 2 f kmf m 若存在 求出k的值 若不存在 请说明理由 1 y 2x b b 1 2x 1 1 分分 21yx 与x轴的交点 111 P a b为 0 1 所以 1 0a 1 分分 所以 1 1 1 n aan 即1 n an 1 分分 因为 nnn P a b在21yx 上 所以21 nn ba 即21 n bn 1 分分 2 设 n n a f n b 21 2 nk nk kN 即 1 2 1 n f n n 21 2 nk nk kN 1 分分 A 当2nk 时 212342121321 nkkkk SSababaaaaa 242 k bbb 1 分分 022341 22 kk kk 2 3k 而 2 n k 所以 2 3 4 n Sn 1 分分 B 当21nk 时 2113212422 nkkk SSaaabbb 1 分分 022345 1 22 kk kk 2 341kk 1 分分 而 1 2 n k 所以 2 31 424 n n Sn 1 分分 因此 2 2 31 21 424 3 2 4 n n nnk S nnk kN 1 分分 3 假设 Nk 使得 2 f kmf m A m为奇数 一 k为奇数 则km 为偶数 则 1f mm 2 1f mkmk 则 用心 爱心 专心 2 12 1 mkm 解得 1 2 k 与 kN 矛盾 1 分分 二 k为偶数 则km 为奇数 则 21f mm 1f mkmk 则 12 21 mkm 解得 31km 31m 是正偶数 1 分分 B m为偶数 一 k为奇数 则km 为奇数 则 1f mm 1f mkmk 则 12 1 mkm 解得 1km 1m 是正奇数 1 分分 二 k为偶数 则km 为偶数 则 21f mm 2 1f mkmk 则 2 12 21 mkm 解得 1 2 km 与 kN 矛盾 1 分分 由此得 对于给定常数 m 2mNm 这样的k总存在 当m是奇数时 31km 当m是偶数时 1km 1 分分 4 2009 冠龙高级中学 3 月月考 由函数 yf x 确定数列 n a n af n 函 数 yf x 的反函数 1 yfx 能确定数列 n b 1 n bfn 若对于任意 nN 都有 nn ab 则称数列 n b是数列 n a的 自反数列 1 若函数 1 1 px f x x 确定数列 n a的自反数列为 n b 求 n a的通项公式 2 在 1 条件下 记 n xxx n 111 21 为正数数列 n x的调和平均数 若 2 1 1 n n d a n S为数列 n d的前n项和 n H为数列 n S的调和平均数 求 n Hn n lim 3 已知正数数列 n C的前n项之和 1 2 nn n n TC C 求 n T的表达式 解 解 1 由题意的 由题意的 f 1 x px x 1 f x 1 1 x px 所以 所以 p 1 所以 所以 an 1 1 n n 2 an 1 1 n n dn 1 1 2 n a n Sn为数列为数列 dn 的前的前 n 项和 项和 Sn 2 1 nn 又 又 Hn为数列为数列 Sn 的调和平均数 的调和平均数 用心 爱心 专心 Hn n SSS n 111 21 1 2 32 2 21 2 nn n 2 1 n n Hn n lim n n n 2 1 lim 2 1 3 因为正数数列因为正数数列 cn 的前的前 n 项之和项之和 Tn 2 1 cn n c n 所以所以 c1 2 1 c1 1 1 c 解之得 解之得 c1 1 T1 1 当当 n 2 时 时 cn Tn Tn 1 所以 所以 2Tn Tn Tn 1 1 nn TT n Tn Tn 1 1 nn TT n 即 即 2 1 2 nn TT n 所以 所以 2 2 2 1 nn TT n 1 2 3 2 2 nn TT n 2 2 1 2 2 TT 2 累加得 累加得 2 1 2 TTn 2 3 4 n 2 n T 1 2 3 4 n 2 1 nn Tn 2 1 nn 5 2009 闵行三中模拟 已知点列已知点列 B1 1 y1 B2 2 y2 Bn n yn n N 顺次为一次 顺次为一次 函数函数 12 1 4 1 xy图像上的点 点列图像上的点 点列 A1 x1 0 A2 x2 0 An xn 0 n N 顺次为 顺次为 x 轴正半轴上的点 其中轴正半轴上的点 其中 x1 a 0 a 1 对于任意 对于任意 n N 点 点 An Bn An 1构成一个顶构成一个顶 角的顶点为角的顶点为 Bn的等腰三角形 的等腰三角形 求数列求数列 yn 的通项公式 并证明的通项公式 并证明 yn 是等差数列 是等差数列 证明证明 xn 2 xn为常数 并求出数列为常数 并求出数列 xn 的通项公式 的通项公式 在上述等腰三角形在上述等腰三角形 AnBnAn 1中 是否存在直角三角形 若有 求出此时中 是否存在直角三角形 若有 求出此时 a 值 若不存值 若不存 在 请说明理由 在 请说明理由 解 解 1 12 1 4 1 n ny n N yn 1 yn 4 1 yn 为等差数列为等差数列 4 分分 2 因为 因为 1 nnn ABA与与 211 nnn ABA为等腰三角形为等腰三角形 所以所以 1 12 2 1 2 nn nn xx n xx n 两式相减得 两式相减得 2 2 nn xx 7 分分 注 判断注 判断2 2 nn xx得得 2 分 证明得分 证明得 1 分分 x1 x3 x5 x2n 1及及 x2 x4 x6 x2n都是公差为都是公差为 2 的等差数列 的等差数列 6 分分 n x na 1 当n为奇数 n a 当n为偶数 10 分分 3 要使 要使 AnBnAn 1为直角三形 则为直角三形 则 AnAn 1 2 n B y 2 12 1 4 n xn 1 xn 2 12 1 4 n 当当 n 为奇数时 为奇数时 xn 1 n 1 a xn n a 1 xn 1 xn 2 1 a 2 1 a 2 12 1 4 n a 412 11n n 为奇数 为奇数 0 a 1 用心 爱心 专心 取取 n 1 得 得 a 3 2 取 取 n 3 得 得 a 6 1 若 若 n 5 则 则 无解 无解 14 分分 当偶数时 当偶数时 xn 1 n a xn n a xn 1 xn 2a 2a 2 12 1 4 n a 12