2010-2011学年高中数学 第1章 常用逻辑用语1.3　简单的逻辑联结词同步精品学案 新人教A版选修2

1 1 3 1 3 简单的逻辑联结词简单的逻辑联结词 知识点一知识点一 由简单命题写出复合命题由简单命题写出复合命题 分别写出由下列各组命题构成的 p 或 q p 且 q 非 p 形式的复合命 题 1 p 是无理数 q 大于 1 22 2 p N Z q 0 N 3 p x2 1 x 4 q x2 1x 4 且 x2 10 的解集是 x x2 4 他是运动员兼教练员 解 1 p 且 q 形式 其中 p 96 是 48 的倍数 q 96 是 16 的倍数 2 非 p 形式 其中 p 方程 x2 3 0 有有理数解 3 p 或 q 形式 其中 p 不等式 x2 x 2 0 的解集是 x x0 的解集是 x x 2 4 p 且 q 形式 其中 p 他是运动员 q 他是教练员 知识点三知识点三 判断含有逻辑联结词的命题的真假判断含有逻辑联结词的命题的真假 分别指出由下列各组命题构成的 p 或 q p 且 q 非 p 形式的命题的真 假 1 p 3 3 q 3 3 2 p 0 q 0 3 p A A q A A A 4 p 函数 y x2 3x 4 的图象与 x 轴有交点 q 方程 x2 3x 4 0 没有实根 解 1 因为 p 假 q 真 所以 p q 为真 p q 为假 綈 p 为真 2 因为 p 真 q 假 所以 p q 为真 p q 为假 綈 p 为假 3 因为 p 真 q 真 所以 p q 为真 p q 为真 綈 p 为假 4 因为 p 假 q 假 所以 p q 为假 p q 为假 綈 p 为真 2 知识点四知识点四 非命题与否命题非命题与否命题 写出下列命题的否定及命题的否命题 1 菱形的对角线互相垂直 2 面积相等的三角形是全等三角形 解 1 命题的否定 存在一个菱形 其对角线不互相垂直 否命题 不是菱形的四边形 其对角线不互相垂直 2 命题的否定 存在面积相等的三角形不是全等三角形 否命题 面积不相等的三角形不是全等三角形 考题赏析考题赏析 1 广东高考 已知命题 p 所有有理数都是实数 命题 q 正数的对数都是负数 则下 列命题中为真命题的是 A 綈 p q B p q C 綈 p 綈 q D 綈 p 綈 q 解析 不难判断命题 p 为真命题 命题 q 为假命题 从而上述叙述中只有 綈 p 綈 q 为真命题 答案 D 2 如皋联考 已知命题 p 若实数 x y 满足 x2 y2 0 则 x y 全为 0 命题 q 若 a b 则 1 a 1 b 给出下列四个复合命题 p 且 q p 或 q 綈 p 綈 q 上述命题中为真命题的是 解析 p 为真 q 为假 故 p 或 q 綈 q 为真命题 答案 1 如果命题 非 p 或非 q 是假命题 则在下列各结论中 正确的为 命题 p 且 q 是真命题 命题 p 且 q 是假命题 命题 p 或 q 是真命题 命题 p 或 q 是假命题 A B C D 答案 C 解析 因 p 且 q 的否定为 綈 p 或綈 q 即綈 p 且 q 等价于綈 p 或綈 q 所以 綈 p 或綈 q 是假命题等价于 綈 p 且 q 是假命题 即 p 且 q 为真命题 故选 C 2 条件 p x A B 则綈 p 是 A x A 或 x B B x A 且 x B C x A B D x A 或 x B 答案 B 3 解析 因 x A B x A 或 x B 所以綈 p 为 x A 且 x B 故选 B 3 对于命题 p 和 q 若 p 且 q 为真命题 则下列四个命题 p 或綈 q 是真命题 p 或綈 q 是假命题 綈 p 且綈 q 是假命题 綈 p 或 q 是假命题 其中真命题是 A B C D 答案 C 解析 因为 p 且 q 为真 所以 p 与 q 都为真 所以綈 p 且綈 q 为假 所以只有 是真 命题 所以选 C 4 若命题 p q 为假 且 綈 p 为假 则 A p q 为假 B q 假 C q 真 D 不能判断 q 的真假 答案 B 解析 綈 p 为假 则 p 为真 又 p q 为假 所以 q 为假 所以选 B 5 a 5 且 b 2 的否定是 答案 a 5 或 b4 q 4 解得 p x 3 或 x 1 由 1 0 即 0 5 x 2 3 x x 2 解得 q x3 所以 p q x3 8 已知 a 0 a 1 设 p 函数 y loga x 1 在 x 0 内单调递减 q 曲线 y x2 2a 3 x 1 与 x 轴交于不同的两点 如果 p 与 q 有且只有一个正确 求 a 的取值范 围 解 当 0 a 1 时 函数 y loga x 1 在 0 内单调递减 当 a 1 时 y loga x 1 在 0 内不是单调递减 曲线 y x2 2a 3 x 1 与 x 轴交于不同的两点 等价于 2a 3 2 4 0 即 a 或 a 若 p 真 q 假 则 a 0 1 Error 1 2 5 2 1 2 1 若 p 假 q 真 注意到已知 a 0 a 1 所以有 a 1 0 1 2 5 2 5 2 综上可知 a 的取值范围为 1 2 1 5 2 4 讲练学案部分讲练学案部分 知识点一知识点一 含逻辑联结词的命题的构成含逻辑联结词的命题的构成 将下列命题写成 p q p q 和 綈 p 的形式 1 p 菱形的对角线互相垂直 q 菱形的对角线互相平分 2 p 能被 5 整除的整数的个位数一定为 5 q 能被 5 整除的整数的个位数一定为 0 解 1 p q 菱形的对角线互相垂直且平分 p q 菱形的对角线互相垂直或平分 綈 p 菱形的对角线不互相垂直 2 p q 能被 5 整除的整数的个位数一定为 5 且一定为 0 p q 能被 5 整除的整数的个位数一定为 5 或一定为 0 綈 p 能被 5 整除的整数的个位数一定不为 5 反思感悟 简单命题用联结词 或 且 非 联结得到的新命题是复合命题 联结后可以综合起来叙述 但综合叙述不能叙述成条件复合的简单命题或叙述成结论复合的 简单命题 如 2 中的 p q 不能叙述成 能被 5 整除的整数的个位数一定为 5 或 0 因为 p q 都是假命题 则 p q 也为假命题 判断下列命题是否是复合命题并说明理由 1 2 是 4 和 6 的约数 2 不等式 x2 5x 6 0 的解为 x 3 或 x0 的解为 x 3 是 假命题 不等式 x2 5x 6 0 的解为 x0 的解为 x 3 或解为 x 2 是 p q 的形式 知识点二知识点二 含逻辑联结词的命题的真假判断含逻辑联结词的命题的真假判断 分别指出下列命题的形式及构成它的命题 并判断真假 1 相似三角形周长相等或对应角相等 2 9 的算术平方根不是 3 3 垂直于弦的直径平分这条弦 并且平分弦所对的两段弧 解 1 这个命题是 p q 的形式 其中 p 相似三角形周长相等 q 相似三角形对应角 相等 因为 p 假 q 真 所以 p q 为真 2 这个命题是綈 p 的形式 其中 p 9 的算术平方根是 3 因为 p 假 所以綈 p 为 真 3 这个命题是 p q 的形式 其中 p 垂直于弦的直径平分这条弦 q 垂直于弦的直径 平分这条弦所对的两段弧 因为 p 真 q 真 所以 p q 为真 反思感悟 判断含逻辑联结词的命题的真假 关键是对应 p q 的真假及 p q p q 为真时的判定依据 至于 綈 p 的真假 可就 p 的真假判断 也可就 綈 p 直 接判断 判断下列命题的真假 1 1 是偶数或奇数 2 属于集合 Q 也属于集合 R 2 3 A A B 5 解 1 此命题为 p q 的形式 其中 p 1 是偶数 q 1 是奇数 因为 p 为假命 题 q 为真命题 所以 p q 为真命题 故原命题为真命题 2 此命题为 p q 的形式 其中 p 属于 Q q 属于 R 因为 p 为假命题 q 22 为真命题 所以 p q 为假命题 故原命题为假命题 3 此命题为 綈 p 的形式 其中 p A A B 因为 p 为真命题 所以 綈 p 为假 命题 故原命题为假命题 知识点三知识点三 简单的逻辑联结词的综合应用简单的逻辑联结词的综合应用 已知 p 函数 y x2 mx 1 在 1 上单调递增 q 函数 y 4x2 4 m 2 x 1 大于零恒成立 若 p 或 q 为真 p 且 q 为假 求 m 的取值范围 解 若函数 y x2 mx 1 在 1 上单调递增 则 1 m 2 m 2 即 p m 2 若函数 y 4x2 4 m 2 x 1 恒大于零 则 16 m 2 2 16 0 解得 1 m 3 即 q 1 m 3 因为 p 或 q 为真 p 且 q 为假 所以 p q 一真一假 当 p 真 q 假时 由Error 得 m 3 当 p 假 q 真时 由Error 得 1 m 2 综上 m 的取值范围是 m m 3 或 1 m2 q 真时 1 m2 m 1 m1 2 若 p 且 q 为真 只需 m m m 2 m 1 m 3 m 2 m0 且 a 1 的图象必过定点 1 1 命题 q 如果函 数 y f x 的图象关于 3 0 对称 那么函数 y f x 3 的图象关于原点对称 则有 A p 且 q 为真 B p 或 q 为假 C p 真 q 假 D p 假 q 真 答案 C 解析 由于将点 1 1 代入 y loga ax 2a 成立 故 p 真 由 y f x 的图象关于 3 0 对 称 知 y f x 3 的图象关于 6 0 对称 故 q 假 4 若 p q 是两个简单命题 p 或 q 的否定是真命题 则必有 A p 真 q 真 B p 假 q 假 C p 真 q 假 D p 假 q 真 答案 B 解析 因为 p 或 q 的否定綈 p 且綈 q 为真命题 所以綈 p 与綈 q 都是真命题 所以 p 与 q 都为假命题 所以选 B 5 下列命题中既是 p q 形式的命题 又是真命题的是 A 10 或 15 是 5 的倍数 B 方程 x2 3x 4 0 的两根是 4 和 1 C 方程 x2 1 0 没有实数根 D 有两个角为 45 的三角形是等腰直角三角形 答案 D 解析 A 中的命题是条件复合的简单命题 B 中的命题是结论复合的简单命题 C 中的 命题是綈 p 的形式 D 中的命题为 p q 型 二 填空题 6 由命题 p 6 是 12 的约数 命题 q 6 是 24 的约数 构成的 p q 形式的命题是 p q 形式的命题是 綈 p 形式的命题是 答案 6 是 12 或 24 的约数 6 是 12 和 24 的约数 6 不是 12 的约数 7 若 x 2 5 或 x x x4 是假命题 则 x 的范围是 7 答案 1 2 解析 x 2 5 或 x 1 4 即 x 1 2 由于命题是假命题 所以 1 x a b q 函数 y x2 x 1 在 0 上是增函数 那么命题 p q p q 綈 p 中的真命题是 答案 綈 p 解析 对于 p 当 a 0 b 0 时 a b a b 故 p 假 綈 p 为真 对于 q 抛物线 y x2 x 1 的对称轴为 x 故 q 假 所以 p q 假 p q 假 这里綈 p 应理解成 1 2 a b a b 不恒成立 而不是 a b a b 三 解答题 9 判断下列复合命题的真假 1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 2 x 1 是方程 x2 3x 2 0 的根 3 A A B 解 1 这个命题是 p 且 q 的形式 其中 p 等腰三角形顶角的平分线平分底边 q 等腰三角形顶角的平分线垂直于底边 因为 p 真 q 真 则 p 且 q 真 所以该命题是真命 题 2 这个命题是 p 或 q 的形式 其中 p 1 是方程 x2 3x 2 0 的根 q 1 是方程 x2 3x 2 0 的根 因为 p 假 q 真 则 p 或 q 真 所以该命题是真命题 3 这个命题是 非 p 的形式 其中 p A A