初中数学动点问题解题技巧--Du

1 动点问题解题技巧动点问题解题技巧 以运动的观点探究几何图形部分规律的问题 称之为动态几何问题 动态 几何问题充分体现了数学中的 变 与 不变 的和谐统一 其特点是图形中 的某些元素 点 线段 角等 或某部分几何图形按一定的规律运动变化 从 而又引起了其它一些元素的数量 位置关系 图形重叠部分的面积或某部分图 形等发生变化 但是图形的一些元素数量和关系在运动变化的过程中却互相依 存 具有一定的规律可寻 所谓 动点型问题动点型问题 是指题设图形中存在一个或多个动点 它们在线段 射 线或弧线上运动的一类开放性题目 注重对几何图形运动变化能力的考查 解 决这类问题的关键是动中求静 灵活运用有关数学知识解决问题 在变化中找到 不变的性质是解决数学 动点 探究题的基本思路 这也是动态几何数学问题中 最核心的数学本质 从变换的角度和运动变化来研究三角形 四边形 函数图像等图形 通过 对称 动点的运动 等研究手段和方法 来探索与发现图形性质及图形变化 在解题过程中渗透空间观念和合情推理 这些压轴题题型繁多 题意创新 目 的是考察学生的分析问题 解决问题的能力 内容包括空间观念 应用意识 推理能力等 从数学思想的层面上讲需要具备以下思想 分类讨论思想 数形分类讨论思想 数形 结合思想 结合思想 转化思想 函数思想 方程思想转化思想 函数思想 方程思想 常见的动点问题常见的动点问题 1 1 数轴上的动点问题数轴上的动点问题 数轴上的动点问题离不开数轴上两点之间的距离 为了便于对这类问题的 分析 先明确以下 3 个问题 1 数轴上两点间的距离 即为这两点所对应的坐标差的绝对值 也即用右边 的数减去左边的数的差 即数轴上两点间的距离 右边点表示的数 左边点表示 的数 2 点在数轴上运动时 由于数轴向右的方向为正方向 因此向右运动的速度 看作正速度 而向左运动的速度看作负速度 这样在起点的基础上加上点的运 动路程就可以直接得到运动后点的坐标 即一个点表示的数为 a 向左运动 b 个单位后表示的数为 a b 向右运动 b 个单位后所表示的数为 a b 3 数轴是数形结合的产物 分析数轴上点的运动要结合图形进行分析 点在 数轴上运动形成的路径可看作数轴上线段的和差关系 例例 1 1 如图 A B C 三点在数轴上 A 表示的数为 10 B 表示的数为 14 点 C 在点 A 与点 B 之间 且 AC BC 1 求 A B 两点间的距离 2 求 C 点对应的数 3 甲 乙分别从 A B 两点同时相向运动 甲的速度是 1 个单位长度 s 乙 的速度是 2 个单位长度 s 求相遇点 D 对应的数 2 练习练习 1 1 已知数轴上两点 A B 对应的数分别为 1 3 点 P 为数轴上一动点 其对应的数为 x 若点 P 到点 A 点 B 的距离相等 求点 P 对应的数 数轴上是否存在点 P 使点 P 到点 A 点 B 的距离之和为 5 若存在 请求出 x 的值 若不存在 请说明理由 当点 P 以每分钟一个单位长度的速度从 O 点向左运动时 点 A 以每分钟 5 个 单位长度向左运动 点 B 一每分钟 20 个单位长度向左运动 问它们同时出发 几分钟后 P 点到点 A 点 B 的距离相等 二 求最值问题二 求最值问题 利用轴对称性质轴对称性质实现 搬点移线 求几何图形中一些线段和最小值问题 利用轴对称的性质解决几何图形中的最值问题借助的主要基本定理有三个 1 两点之间线段最短 2 三角形两边之和大于第三边 3 垂线段最短 求线段和最小值问题可以归结为 一个动点的最值问题 两个动点的最值问 题 例例 2 2 如图 正方形 ABCD 的面积为 12 ABE 是等边三角形 点 E 在正方形内 在对角线 AC 上有一动点 P 使 PD PE 的值最小 则其最小值是 特点 已知两个定点位于一条直线的同一侧 在直线上确定一动点的位置 使动点与两定点线段和最小 求出最小值 思路 解决这类题目的方法是找出其中一定点关于直线的对称点 连结这 个对称点与另一定点 交直线于一点 交点即为动点满足最值的位置 练习练习 2 2 如图 等边 ABC 的边长为 4 AD 是 BC 边上的中线 F 是 AD 边上的动 点 E 是 AC 边上一点 若 AE 2 当 EF CF 取得最小值时 则 ECF 的度数为 A 15 B 22 5 C 30 D 45 3 例例 3 3 如图 AOB 30 内有一点 P 且 OP 6 若 M N 为边 OA OB 上两动点 那么 PMN 的周长最小为 A 2 6 B 6 C 6 2 D 6 特点 已知一个定点位于平面内两相交直线之间 分别在两直线上确定两 个动点使线段和最小 思路 这类问题通过做这一定点关于两条线的对称 点 实现 搬点移线 把线段 移 到同一直线上来解决 练习练习 3 3 如图 已知 AOB 的大小为 P 是 AOB 内部的一个定点 且 OP 2 点 E F 分别是 OA OB 上的动点 若 PEF 周长的最小值等于 2 则 A 30 B 45 C 60 D 90 例例 4 4 在锐角三角形 ABC 中 AB 4 BAC 60 BAC 的平分线 BC 于 D M N 分别是 AD 与 AB 上动点 则 BM MN 的最小值是 特点 两动点在两条直线上 定点和其中一个动点共 线 求不共线动点分别到定点和另一动点的距 离和最小值 思路 1 利用轴对称变换 使不共线动点在另一动点的对称点与定点的连线 段上 两点之间线段最短 2 这条线段垂直于另一动点的对称点所在直线 时 两线段和最小 最小值等于这条垂线段的长 练习练习 4 4 如图 在 ABC 中 C 90 CB CA 4 A 的平分线交 BC 于点 D 若 4 点 P Q 分别是 AC 和 AD 上的动点 则 CQ PQ 的最小值是 三 动点构成特殊图形问题三 动点构成特殊图形问题 此类问题背景是特殊图形 考查问题也是特殊图形 所以要把握好一般与特 殊的关系 分析过程中 特别要关注图形的特性 特殊角 特殊图形的性质 图形 的特殊位置 分析图形变化过程中变量和其他量之间的关系 或是找到变化中 的不变量 建立方程或函数关系解决 1 把握运动变化的形式及过程 思考运动初始状态时几何元素的关系 以及可求 出的量 2 先确定特定图形中动点的位置 画出符合题意的图形 化动为静化动为静 3 根据已知条件 将动点的移动距离以及解决问题时所需要的条件用含 t 的代 数式表示出来 4 根据所求 利用特殊图形的性质或相互关系 找出等量关系列出方程来解决动 点问题 例例 5 5 如图 在 Rt ABC 中 B 90 AB 5 C 30 点 D 从点 C 出发沿 CA 方向以每秒 2 个单位长的速度向点 A 匀速运动 同时点 E 从点 A 出发沿 AB 方向 以每秒 1 个单位长的速度向点 B 匀速运动 当其中一个点到达终点时 另一个 点也随之停止运动 设点 D E 运动的时间是 t 秒 t 0 过点 D 作 DF BC 于 点 F 连接 DE EF 1 求证 AE DF 2 当 t 为何值时 DEF 为直角三角形 请说明理由 例例 6 6 如图 点 A 在 Y 轴上 点 B 在 X 轴上 且 OA OB 1 经过原点 O 的直线 L 交线段 AB 于点 C 过 C 作 OC 的垂线 与直线 X 1 相交于点 P 现将直线 L 绕 O 点旋转 使交点 C 从 A 向 B 运动 但 C 点必须在第一象限内 并记 AC 的长为 t 分析此图后 对下列问题作出探究 5 1 当 AOC 和 BCP 全等时 求出 t 的值 2 通过动手测量线段 OC 和 CP 的长来判断它们之间的大小关系 并证明你得 到的结论 巩固提升巩固提升 1 如图在锐角 ABC 中 AB 4 2 BAC 45 BAC 的平分线交 BC 于点 D M N 分别是 AD AB 上的动点 则 BM MN 的最小值是 2 已知 数轴上点 A 在原点左边 到原点的距离为 8 个单位长度 点 B 在原点 的右边 从点 A 走到点 B 要经过 32 个单位长度 1 求 A B 两点所对应的数 2 若点 C 也是数轴上的点 点 C 到点 B 的距离是点 C 到原点的距离的 3 倍 求点 C 对应的数 3 已知 点 M 从点 A 向右出发 速度为每秒 1 个单位长度 同时点 N 从点 B 向右出发 速度为每秒 2 个单位长度 设线段 NO 的中点为 P 线段 PO AM 的值 是否变化 若不变求其值 3 如图 在平面直角坐标系中 点 A 0 B 3 2 C 0 2 动点33 D 以每秒 1 个单位的速度从点 0 出发沿 OC 向终点 C 运动 同时动点 E 以每秒 2 6 个单位的速度从点 A 出发沿 AB 向终点 B 运动 过点 E 作 EF 上 AB 交 BC 于点 F 连结 DA DF 设运动时间为 t 秒 1 求 ABC 的度数 2 当 t 为何值时 AB DF 4 如图 ABC 是边长为 6 的等边三角形 P 是 AC 边上一动点 由 A 向 C 运动 与 A C 不重合 Q 是 CB 延长线上一点 与点 P 同时以相同 的速度由 B 向 CB 延长线方向运动 Q 不与 B 重合 过 P 作 PE AB 于 E 连接 PQ 交 AB 于 D 1 当 BQD 30 时 求 AP