初中平面几何训练题(较难)

1 在锐角三角形 ABC 中 AB 上的高 CE 与 AC 上的高 BD 相交于点 H 以 DE 为直径的 圆分别交 AB AC 于 F G 两点 FG 与 AH 相交于点 K 已知 BC 25 BD 20 BE 7 求 AK 的长 2 过圆外一点 P 作圆的两条切线和一条割线 切点为 A B 所作割线交圆于 C D 两点 C 在 PD 之间 要统 CD 上取一点 Q 使 DAQ PBC 求证 DBQ PAC 3 是外心 点 中 如图 在OACABAABC 60 点 点交于 两条高MHCFBE 的值 求上 且满足 分别在线段 OH NHMH CNBMHFBHN 4 为外心 三条高中 如图 BEADOABC 交于点和 直线交于点MABEDHCF 2 1 MNOHDEOCDFOBNACFD 求证 交于点和 的面积相等 与点 证明四边形的外接圆于交 延长是垂足 作 满足 边上有两点的在锐角如图 ABCAMDNDABCAENM ACFNABFMCAFBAEFEBCABC 5 EACGACGBCDF FACBEECDBADACABCD 求证 于交延长 相交于与 上取一点 在平分中 对角线如图 在四边形 6 三点共线 的充分必要条件是两点 求证 内切于 分别与圆 圆两点 且圆 相交于和圆相等的圆如图 已知两个半径不 TNSMNOMTS OOONMOO 2121 7 参考答案 1 2 BD BC PB PC PBDPCB AD AC PA PC PADPCA DQABADBC AD DQ AB BC ABCADQ CABPBCDAQABCADQ ABCADQAB 得 同理 由 又由切割线关系可知 从而有 中 与 在证 如图 连结 PACABCDBQ ABDCBQ ABDCBQ BADBCQ BC CQ BC DQ AB AD ABDCBQ DQCQCDDQDQABCDAB CDABADBCBDAC ABCD DQABADBCBDAC BD BC AD AC PBPA 2 1 2 中 与在 于是 的托勒密定理有 关于圆内接四边形又 又 3 3 3 3 30sin120sin 30 120 120180 1202 OH NHMH OHKHKMMHNHMH NHKM CHBKCNBM OHKH OHKH OKH OHKOKHBOCKOH OHOKCOHBOK COHBOK CHBKOCOB OCHOBH OHCB BHCBOC ABHC ABOC OKOCOBCHBKBE 故 又 则 有 观察 又 四点共圆 可知 由三角形的垂心的性质 可知 由三角形的外心的性质 连结上取解 如图在 4 DFOB BACBOCOBC BACBDF FDCA 90 180 2 1 1 又 四点共圆 证 MNOH NHNOMHMO OMONMHNH ODOMCDCM DEOC ODONBDBN DFOB ACBACDBD BCDA AHABNHNB NABE AHACMHMC MACF DEOC 2222 2222 2222 2222 2222 2222 2222 2 得 由 同理 5 ADBACFDABCAF MNADS ADMN CAFAFNBAEAMN AFNAMN NFMA ACFNABFM BDMN AMDN 2 1 90 即 四点共圆 证明 如图 连结 MNABCAFAF BAC MN NFMAAF AFADACAB AD AC AB AF ABDAFC sin sin 四点的圆的直径 是过又 AMDNABC AMDN ABC SS S MNAD BACAFAD BACACABS 2 1 sin 2 1 sin 2 1 6 EACGAC JACIAC ACJACI ACJDACBACACI ADCJABCI CJCI CJ AD AD AB AB CI CJ AD EC DE AB CI GB CG JAE ADCIAGABC EC DE AD AB GB CG AD AB HD BH BADAH BC DE HD BH GB CG BCDHACBD 1 1 1 又 从而 则 的延长线于的平行线交 作 过点的延长线于的平行线交作过点 故 定理 可得的平分线 由角平分线是因为 用塞瓦定理 有 对于交证明 如图 连结 7 212 21 21 2121 OONO MONONTSNOTOSrOTOS TOOSOO rrrOOO 连结且 三点共线 三点共线 由条件可知 的半径分别为 圆 圆证明 如图 设圆 2121 2121 22 11 21 22221111 2121 21 21 21 11122221 21 12 12 21 21 0 2 2 1 21 21 rrrrr rrrrr Saprrprpp aprrprppS ra p raOMOMOO rMOrrOOrrOOrMO aOM SS OMOOMNOOMNOM MNOM MNOO OMOO SS OMOMOO MOrNOOOMOrNOOO NOOO OTNOOSNO NSOTNTOS NTOTNSOS NTOSNO TSTNS MOO MOO OMOMOO OMOMOO 有 又已知 化简可得 式 有 由三角形面积的海伦公记 的周长都等于与可知 由于 设 有若必要性 又 为平行四边形四边形 均为等腰三角形 与又 三点共线 则 设充分性 SNSOSNOO NSOSNTOT NTOSNO TNTOSNSO NOOO NOrrrOO NOrrrOO