勾股定理专题(附答案-全面、精选)

初中数学 第 1 页 勾股定理 一 探索勾股定理 知识点 1 勾股定理 定理内容 在 RT 中 勾股定理的应用 在 RT 中 知两边求第三边 关 键在于确定斜边或直角 典型题型 1 对勾股定理的理解 1 已知直角三角形的两条直角边长分别为 a b 斜 边长 c 则下列关于 a b c 的关系不成立的是 A c a b B c b a C a c b D a b c 2 在直角三角形中 A 90 则下列各式中不成 立的是 A BC AB AC B BC AC AB C AB AC BC D AC BC AB 2 应用勾股定理求边长 3 已知在直角三角形 ABC 中 AB 10 cm BC 8 cm 求 AC 的长 4 在直角 中 若两直角边长为 a b 且满足 则该直角三角形的斜边 2 6 9 4 0 长为 3 利用勾股定理求面积 5 已知以直角 的三边为直径作半圆 其中两个半 圆的面积为 25 16 求另一个半圆的面积 6 如图 1 图中的数字代表正方形的面积 则正 方形 A 的面积为 7 如图 2 三角形中未知边 x 与 y 的长度分别是 x y 8 在 Rt ABC 中 C 90 若 AC 6 BC 8 则 AB 的长为 A 6 B 8 C 10 D 12 9 在直线上依次摆放着七个正方形 如图 4 所示 l 已知斜放置的三个正方形的面积分别是 1 2 3 正放 置的四个正方形的面积依次是 SS 12 SSSSSS 341234 则 知识点 2 勾股定理的验证 推导勾股定理的关键关键在于找面积相等面积相等 由面积之间 的等量关系并结合图形利用代数式恒等变形进行推导 等积法 拼图法推导一般步骤 拼出图形 找出图形面积的 表达式 恒等变形 推出勾股定理 10 用四个相同的直角三角形 直角边为 a b 斜 边为 c 按图拼法 问题 你能用两种方法表示下图的面积吗 对比两 种不同的表示方法 你发现了什么 11 用两个完全相同的直角三角形 直角边为 a b 斜边为 c 按下图 拼法 论证勾股定理 222 cba 3 运用勾股定理进 行计算 重难点 12 如图 一根旗杆在离地面 9 米处折断倒下 旗杆顶 部落在离旗杆底部 12 米 处 旗杆折断前有多高 初中数学 第 2 页 25 7 13 两棵之间的距离为 8m 两棵树的高度分别为 8m 2m 一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树 顶 这只小鸟至少要飞多少米 基础检测 1 在 Rt ABC 中 C 90 若 AB 13 BC 5 则 AC 的长为 A 5 B 12 C 13 D 18 2 已知 Rt ABC 中 C 90 若cm 14 ba cm 则 Rt ABC 的面积为 10 c A 24cm2 B 36cm2 C 48cm2 D 60cm2 3 若 ABC 中 C 90 1 若 a 5 b 12 则 c 2 若 a 6 c 10 则 b 3 若 a b 3 4 c 10 则 a b 4 如图 阴影部分是一个半圆 则阴影部分的面积为 不取近似值 5 一个直角三角形的斜边为 20cm 且两直角边长度比 为 3 4 求两直角边的长 6 一个长为 10m 为梯子斜靠在墙上 梯子的顶端距地 面的垂直高度为 8m 梯子的顶端下滑 2m 后 底端向 外滑动了多少米 培优突破 1 折叠问题 1 如图是一张直角三角形的纸片 两直角边 AC 6cm BC 8cm 现将 ABC 折叠 使点 B 与点 A 重合 折痕为 DE 则 BE 的长为 A 4cm B 5cm C 6cm D 10cm 2 如图 折叠长方形的一边 AD 使点 D 落在 BC 边上的点 F 处 已知 AB 8cm BC 10cm 求线段 EC 的值 2 运用勾股定理解决生活中的实际问题 3 如图 为了测得小水坑两边 A 点和 B 点之间的距 离 一个观测者在 C 点设桩 使 ABC 90 并测得 AC 20m BC 16m 则 A B 两点之间的距离是对少 3 分类讨 论 已知直角 的两边 求第三边 4 在 ABC 中 AB 15 AC 20 BC 边上的高 AD 12 则 BC 的值为 A 25 B 7 C 25 或 7 D 不能确定 5 已知 3 4 a 是一个三角形的三边长 若三角形 为直角三角形 则的值是多少 2 a 6 在直角 ABC 中 AB 15 AC 20 BC 边上的高 AD 12 则 BC 的值为多少 4 利用方程解题 7 如图 ABC 中 C 90 D 是 BC 上的一点 已 知 BD 7 AB 20 AD 15 求 AC 的长 初中数学 第 3 页 初中数学 第 4 页 8 如图 已知 ABC 中 AB AC 20 BC 32 D 是 BC 上一点 且 AD AC 求 BD 的长 培优训练 一 选择题 1 在 Rt ABC 中 C 90 AC 9 BC 12 则点 C 到 AB 的距离是 A B C D 36 5 12 25 9 4 3 3 4 2 若三角形 ABC 中 A B C 2 1 1 a b c 分别是 A B C 的对边 则下列等式中 成立的是 A a 2 b2 c2 B a 2 2c2 C c 2 2a2 D c 2 2b2 3 如图 AOC BOC 点 P 在 OC 上 PD OA 于 点 D PE OB 于点 E 若 OD 8 OP 10 则 PE 的长为 A 5 B 6 C 7 D 8 4 如图在直角 ABC 中 BAC 90 AB 8 AC 6 DE 是 AB 边的垂直平分线 垂足为 D 交边 BC 于点 E 连 接 AE 则 ACE 的周长为 A 16 B 15 C 14 D 13 5 如图 矩形纸片 ABCD 中 AB 4 AD 3 折叠纸片 使 AD 边与对角线 BD 重合 折痕为 DG 则 AG 的长为 A 1 B 3 4 C D 2 2 3 6 已知 ABC 中 AB 17 AC 10 BC 边上的高 AD 8 则边 BC 的长为 A 21 B 15 C 6 D 以上答案都不对 7 如图 在 Rt ABC 中 ACB 90 CD AB 于 D 已知 BC 8 AC 6 则斜边 AB 上的高是 A 10 B 5 C D 5 24 5 12 8 如图 阴影部分是一个矩形 它的面积是 A 2 5cm B 2 3cm C D 2 4cm 2 5cm 9 张大爷离家出门散步 他先向正东走了 30m 接着 又向正南走了 40m 此时他离家的距离为 m A 30 B 40 C 50D 70 10 如图在 ABC 中 C 90 AD 平分 BAC 交 BC 于 D 若 BC 64 且 BD CD 9 7 则点 D 到 AB 边的距离 为 A 18 B 32 C 28 D 24 11 如图所示 是用 4 个全等的直角三角形与 1 个小 正方形镶嵌而成的正方形图案 已知大正方形面积为 49 小正方形面积为 4 若用 x y 表示直角三角形的 两直角边 x y 下列四个说 法 x2 y2 49 x y 2 2xy 4 49 x y 9 其中说法正确的是 A B C D 二 填空题 共 2 小题 12 如图 等腰 ABC 中 AB AC AD 是底边上的高 若 AB 5cm BC 6cm 则 AD cm 13 如图 直线 L 过正方形 ABCD 的顶点 B 点 A C 到直线 L 的距离分别是 1 和 2 则 正方形的边长是 14 如图所示 ABC 是等腰直 初中数学 第 5 页 角三角形 AB AC D 是斜边 BC 的中点 E F 分别是 AB AC 边上的点 且 DE DF 若 BE 12 CF 5 求线段 EF 的长 初中数学 第 6 页 二 勾股定理的逆定理 知识点 3 勾股定理的逆定理 1 如果 的三边满足关系满足 则 该 为直角三角形 2 的三边 假设 c 为最长边 则该 为 三角形 2 2 2 则该 为 三角形 2 2 2 3 勾股定理逆定理的用途 典型题 1 下列各组数据中的三个数 可作为三边长构成直 角三角形的是 A 4 5 6 B 2 3 4 C 11 12 13 D 8 15 17 2 若线段 a b c 组成直角三角形 则它们的比为 A 2 3 4 B 3 4 6 C 5 12 13 D 4 6 7 3 下面的三角形中 ABC 中 C A B ABC 中 A B C 1 2 3 ABC 中 a b c 3 4 5 ABC 中 三边长分别为 8 15 17 其中是直角三角形的个数有 个 A 1 B 2 C 3 D 4 4 若三角形的三边之比为 则这个三角 2 2 1 2 1 形一定是 A 等腰三角形 B 直角三角形 C 等腰直角三角形 D 不等边三角形 5 已知 a b c 为 ABC 三边 且满足 2 2 2 2 2 0则它的形状为 A 直角三角形 B 等腰三角形 C 等腰直角三角形 D 等腰三角形或直角三角形 6 将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数 得 到的三角形是 A 钝角三角形 B 锐角三角形 C 直角三角形 D 等腰三角形 7 若 ABC 的三边长分别长 a b c 且满足 试判断 ABC 2 2 2 200 12 16 20 的形状 8 ABC 的两边分别为 5 12 另一边为奇数 且 a b c 是 3 的倍数 则 c 应为 此三角形 为 9 求 若三角形三条边的长分别是 7 24 25 则这个三角 形的最大内角是 度 已知三角形三边的比为 1 2 则其最小角为 3 知识点 4 勾股数 1 勾股数是正整数 2 满足的关系条件 2 2 2 3 勾股数的 n 倍 n 0 仍然满足 2 2 2 4 常见勾股数 三 勾股定理的应用 1 与图形展开的有关计算 注意展开方式 1 某楼梯的侧面视图如图 3 所示 其中米 因某种活动要求铺 设红色地毯 则在 AB 段楼梯所铺地毯的长度应为 2 如图 在棱长为 1 的正方体 ABCD A B C D 的表面上 求从顶点 A 到顶点 C 的最短距离 3 如图一个圆柱 底圆周长 6cm 高 4cm 一只蚂 蚁沿外壁爬行 要从 A 点爬到 B 点 则最少要爬行 cm A B A B 初中数学 第 7 页 4 国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现 状 目前正在全国各地农村进行电网改造 某地有四个 村庄 A B C D 且正好位于一个正方形的四个顶点 现计划在四个村庄联合架设一条线路 他们设计了四种 架设方案 如图实线部分 请你帮助计算一下 哪种架 设方案最省电线 2 航海问题 1 一轮船以 16 海里 时的速度从 A 港向东北方向航 行 另一艘船同时以 12 海里 时的速度从 A 港向西北方 向航行 经过 1 5 小时后 它们相距 海里 2 如图 某货船以 24 海里 时的速度将一批重要 物资从 A 处运往正东方向的 M 处 在点 A 处测得某岛 C 在北偏东 60 的方向上 该货船航行 30 分钟到达 B 处 此时又测得该岛在北偏东 30 的方向上 已知在 C 岛周围 9 海里的区域内有暗礁 若继续向正东方向航 行 该货船有无暗礁危险 试说明理由 3 如图 某沿海开放城市 A 接到台风警报 在该市 正南方向 260km 的 B 处有一台风中心 沿 BC 方向以 15km h 的速度向 D 移动 已知城市 A 到 BC 的距离 AD 100km 那么台风中心经过多长时间从 B 点移到 D 点 如果在距台风中心 30km 的圆形区域内都将有受 到台风的破坏的危险 正在 D 点休闲的游人在接到台 风警报后的几小时内撤离才可脱离危险 3 网格问题 1 如图 1 正方形网格中 每个小正方形的边长为 1 则网格上的三角形 ABC 中 边长为无理数的边数是 A 0 B 1 C 2 D 3 2 如图 2 正方形网格中的 ABC 若小方格边长 为 1 则 ABC 是 A 直角三角形 B 锐角三角形 C 钝角三角形 D 以上答案都不对 3 如图 小方格都是边长为 1 的正方形 则四边形 ABCD 的面积是 A 25 B 12 5 C 9 D 8 5 4 如图 正方形网格中的每个小正方形边长都是 1 每个小格的顶点叫格点 以格点为顶点分别按下列 要求画三角形 使三角形的三边长分别为 3 在图甲中画 85 D B C A 初中数学 第 8 页 一个即可 使三角形为钝角三角形且面积为 4 在图乙中画一个 即可 4 折叠问题 1 如图 有一张直角三角形纸片 两直角边 AC 6 BC 8 将 ABC 折叠 使点 B 与点 A 重合 折 痕为 DE 则 CD 等于 A B 4 25 3 22 C D 4 7 3 5 2 如图所示 已知 ABC 中 C 90 AB 的垂直 平分线交 BC 于 M 交 AB 于 N 若 AC 4 MB 2MC 求 AB 的长 3 如图 在长方形 ABCD 中 DC 5 在 DC 边上存 在一点 E 沿直线 AE 把 ABC 折叠 使点 D 恰好在 BC 边上 设此点为 F 若 ABF 的面积为 30 求折叠的 AED 的面积 D C B A F E 4 如图 在长方形 ABCD 中 将 ABC 沿 AC 对折至 AEC 位置 CE 与 AD 交于点 F 试说明 AF FC 如果 AB 3 BC 4 求 AF 的长 5 如图 2 所示 将长方形 ABCD 沿直线 AE 折叠 顶 点 D 正好落在 BC 边上 F 点处 已知 CE 3cm AB 8cm 则图 中阴影部分面积为 6 如图 将正方形 ABCD 折叠 使顶点 A 与 CD 边上 的点 M 重合 折痕交 AD 于 E 交 BC 于 F 边 AB 折叠 后与 BC 边交于点 G 如果 M 为 CD 边的中点 求证 DE DM EM 3 4 5 初中数学 第 9 页 勾股定理 参考答案 一 探索勾股定理 1 C 2 D 3 没有确定斜边的情况下 需要先确定斜边 6 或 412 4 根据非负数的性质 b 4 和 096 2 aa 解得 a 3 根据勾股定理 斜边 5 5 这类型题目 分别以直角三角形三边所作的同类 型图形 如正多边形 半圆等 均满足 如图中所示 S1 S2 S3 S3 9 6 25 7 10 12 8 C 斜边 AB 10 9 4 根据全等三角形和勾股定理 S1 S2 1 S2 S3 2 S3 S4 3 S1 S2 S3 S4 1 3 4 10 2 4 1 2 2 结论 2 2 2 11 1 2 2 1 2 2 结论 2 2 2 12 h 9 92 122 9 15 24 13 10 m 基础检测 1 B 2 A 解 2 2 2 2 解得 1 2 24 3 1 13 2 8 3 6 8 4 72 5 12 16 解 根据题意 本题中直角三角形三边关系 为 3 4 5 三边分别为 3x 4x 5x 5x 20 6 作如下辅助图 BD CE 10 AB 8 BC 2 AC 6 根据勾股定理 AD 6 AE 8 DE AE AD 8 6 2 m 培优突破 1 B 2 3 cm 注意翻折构造全等 勾股定理 3 12 m 4 C 如右图 5 25 或 7 在没有确定直角或斜边的情况下 需要 讨论确定斜边 6 25 AB 一定是直角边 想想 BC 是否一定是斜 边呢 BC 边上的高为 12 不是 15 所以 BC 一定是斜 边 7 12 解 设 DC y 根据勾股定理有 即 2 2 2 2 2 解得 y 9 202 7 2 152 2 AC 12 8 7 解 作 AE BC 与 E 设 BD X 则 AE 12 DE 16 x DC 32 x 如图 根据勾股定理有 即 2 2 2 2 2 2 122 16 2 32 2 202 解得 x 7 培优训练 1 A 三角形的面积计算 2 B 3 B 4 A 5 C 6 D 如右图 BC 的长 21 或 9 7 C 8 A 9 C 10 C 11 B 充分利用完全平方公式与勾股定理的证明 12 4 13 5 14 连接 AD 则 BDE ADF 则 ADE CDF 则 AE CF 5 AF BE 12 EF 13 二 勾股