勾股定理综合难题

用面积证明勾股定理用面积证明勾股定理 方法一 将四个全等的直角三角形拼成如图 1 所示的正方形 图 1 中 所以 方法二 将四个全等的直角三角形拼成如图 2 所示的正方形 图 2 中 所以 方法三 将四个全等的直角三角形分别拼成如图 3 1 和 3 2 所示的两个形状相同 的正方形 在 3 1 中 甲的面积 大正方形面积 4 个直角三角形面积 在 3 2 中 乙和丙的面积和 大正方形面积 4 个直角三角形面积 所以 甲的面积 乙和丙的面积和 即 方法四 如图 4 所示 将两个直角三角形拼成直角梯形 所以 CB AD E F C ABE D 练习题练习题 1 如图 圆柱的高为 10 cm 底面半径为 2 cm 在下底面的 A 点处有一只蚂蚁 它想吃到上底 面上与 A 点相对的 B 点处 需要爬行的最短路程是多少 2 如图 长方体的高为 3 cm 底面是边长为 2 cm 的正方形 现有一小虫从顶点 A 出发 沿长方 体侧面到达顶点 C 处 小虫走的路程最短为多少厘米 答案 AB 5 A C B 3 一只蚂蚁从棱长为 1 的正方体纸箱的 B 点沿纸箱爬到 D 点 那么它所行的最短路线的长是 4 如图 小红用一张长方形纸片 ABCD 进行折纸 已知该纸片宽 AB 为 8cm 长 BC 为 10cm 当小红折叠时 顶点 D 落在 BC 边上的点 F 处 折痕为 AE 想一想 此时 EC 有 多长 5 如图 将一个边长分别为 4 8 的长方形纸片 ABCD 折叠 使 C 点与 A 点重合 则 EB 的长是 A 3B 4 C D 5 5 6 已知 如图 在 ABC中 C 90 B 30 AB的 垂直平分线交BC于D 垂足为E D 4cm 求AC的长 7 如图 有一个直角三角形纸片 两直角边 AC 6 BC 8 现将直角边 AC 沿直线 AD 折叠 使其落在斜边 AB 上 且 与 AE 重合 则 CD 的长为 8 如图 在矩形中 将矩形折叠 使 ABCD 6 AB ABCD 点 B 与点 D 重合 落在处 若 则折 C C 21 BEAE 痕的长为 EF 9 如图 已知 点 E 是正方形 ABCD 的 BC 边上的点 现将 DCE 沿折痕 DE 向上翻折 使 DC 落在对角线 DB 上 则 EB CE B C A F E D C B A B C B A C D C B A D 10 如图 AD 是 ABC 的中线 ADC 45o 把 ADC 沿 AD 对折 点 C 落在 C 的位置 若 BC 2 则 BC 11 如图 1 有一块直角三角形纸片 两直角边 AC 6cm BC 8cm 现将直角边 AC 沿直线 AD 折叠 使它落在斜边 AB 上 且与 AE 重合 则 CD 等于 A 2cm B 3 cm C 4 cm D 5 cm 12 有一个直角三角形纸片 两直角边 AC 6cm BC 8cm 现将直角边 AC 沿 CAB 的角平分线 AD 折叠 使它落在斜边 AB 上 且与 AE 重合 你能求出 CD 的长吗 13 如图 在 ABC 中 B AB BC 6 把 90 ABC 进行折叠 使点 A 与点 D 重合 BD DC 1 2 折痕为 EF 点 E 在 AB 上 点 F 在 AC 上 求 EC 的长 14 已知 如图长方形 ABCD 中 AB 3cm AD 9cm 将此长方形折叠 使 点 B 与点 D 重合 折痕为 EF 则 ABE 的面积为 A 6cm2B 8cm2C 10cm2D 12cm2 15 如图 将矩形 ABCD 沿 EF 折叠 使点 D 与点 B 重合 已知 AB 3 AD 9 求 BE 的 长 16 如图 每个小方格的边长都为 1 求图中格点四边形 ABCD 的面积 E 题5图 F B C B A CD A C D A C B E 图 1 D A E C D B A D B C E F A B E F D C 第 11 题 图 17 如图 已知 在中 分别以此直角三角形的三边为直径画半圆 试说 ABC 90ACB 明图中阴影部分的面积与直角三角形的面积相等 18 如图 8 有一块塑料矩形模板 ABCD 长为 10cm 宽为 4cm 将你手中足够大的直角三角 板 PHF 的直角顶点 P 落在 AD 边上 不与 A D 重合 在 AD 上适当移动三角板顶点 P 能否使你的三角板两直角边分别通过点 B 与点 C 若能 请你求出这时 AP 的长 若不能 请说明理由 再次移动三角板位置 使三角板顶点 P 在 AD 上移动 直角边 PH 始终通过点 B 另一直角边 PF 与 DC 的延长 线交于点 Q 与 BC 交于点 E 能否使 CE 2cm 若能 请你求出这时 AP 的长 若不能 请你说明理由 21 能 设 AP x 米 由于 BP2 16 x2 CP2 16 10 x 2 而在 Rt PBC 中 有 BP2 CP2 BC2 即 16 x2 16 10 x 2 100 所以 x2 10 x 16 0 即 x 5 2 9 所以 x 5 3 所以 x 8 x 2 即 AP 8 或 2 能 仿照 可求得 AP 4 19 如图 ABC 中 BCBMACANBCACACB 5 12 90 则 MN 4 20 直角三角形的面积为 斜边上的中线长为 则这个三角 Sd 形周长为 A B 2 2dSd 2 dSd C D 2 22dSd 2 2 dSd 解 设两直角边分别为 斜边为 则 由勾股定理 得 a b c2cd 1 2 Sab 222 abc 所以 2 2222 2444abaabbcSdS 所以 所以 故选 C 2 2abdS abc 2 22dSd 21 在中 边上有 2006 个不同的点 ABC 1ABAC BC122006 P PP 记 则 2 1 2 2006 iiii mAPBP PC i 122006 mmm 图 8 22 如图所示 在中 且 Rt ABC 90 45BACACABDAE 3BD 求的长 4CE DE 23 如图 在 ABC 中 AB AC 6 P 为 BC 上任意一点 请用学过的知识试求 PC PB PA2 的值 24 如图在 Rt ABC 中 3 4 90 BCACC 在 Rt ABC 的外部拼接一个合适的直角 三角形 使得拼成的图形是一个等腰三角形 如图所示 要求 在两个备用图中分别画出两种与示例图不同的拼接方法 在图中标明拼接的直角三角形 的三边长 请同学们先用铅笔画出草图 确定后再用 0 5mn 的黑色签字笔画出正确的图形 25 如图 A B 两个村子在河 CD 的同侧 A B 两村到河的距离分别为 AC 1km BD 3km CD 3km 现在河边 CD 上建一水厂向 A B 两村输送自来水 铺设水管 的费用为 20000 元 千米 请你在 CD 选择水厂位置 O 使铺设水管的费用最省 并求出铺设水 管的总费用 F A B P C 2 6m 4m 26 已知 如图 ABC 中 C 90 点 O 为 ABC 的三条角平分线的交点 OD BC OE AC OF AB 点 D E F 分别是垂足 且 BC 8cm CA 6cm 则点 O 到 三边 AB AC 和 BC 的距离分别等于 cm 27 8 分 如图 在 ABC 中 AB AC P 为 BC 上任意一点 请说明 AB2 AP2 PB PC 28 如图 已知 于 P 求证 90CCMAM ABMP 222 BCAPBP P M B CA 29 本题满分 6 分 如图 一个牧童在小河的南 4km 的 A 处牧马 而他正位于他的小屋 B 的 西 8km 北 7km 处 他想把他的马牵到小河边去饮水 然后回家 他要完成这件事情所走的最 短路程是多少 30 本题满分 6 分 如图所示 某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方是一个半圆 下方是 长方形的仿古通道 现有一辆卡车装满家具后 高 4 米 宽 2 8 米 请问这辆送家具的卡车能否通过这个通道 C O AB D E F 第 26 题图 A B P C 第 28 题 图 A B 小河 东 北 牧童 小屋 31 在一棵树的 10 米高 B 处有两只猴子 一只猴子爬下树走到离树 20 米处的池塘的 A 处 另 一只爬到树顶 D 后直接跃到 A 处 距离以直线计算 如果两只猴子所经过的距离相等 则 这棵树高多少米 32 在平静的湖面上 有一支红莲 高出水面 1 米 一阵风吹来 红莲移到一边 花朵齐及水 面 已知红莲移动的水平距离为 2 米 求这里的水深是多少米 33 长为 4 m 的梯子搭在墙上与地面成 45 角 作业时调整为 60 角 如图所示 则梯子的顶 端沿墙面升高了 m 34 已知 如图 ABC 中 C 90 D 为 AB 的中点 E F 分别在 AC BC 上 且 DE DF 求证 AE2 BF2 EF2 35 已知 如图 在正方形 ABCD 中 F 为 DC 的中点 E 为 CB 的四等分点且 CE 求 CB 4 1 证 AF FE 36 已知 ABC 中 a2 b2 c2 10a 24b 26c 338 试判定 ABC 的形状 并说明你的理 由 37 已知 a b c 是 ABC 的三边 且 a2c2 b2c2 a4 b4 试判断三角形的形状 38 如图 长方体的底面边长分别为 1cm 和 3cm 高为 6cm 如果用一根细线从点 A 开始经过 四个侧面缠绕一圈到达点 B 那么所用细线最短需要多长 如果从点 A 开始经过四个侧面缠绕 n 圈到达点 B 那么所用细线最短需要多长 39 a b 为任意正数 且 a b 求证 边长为 2ab a2 b2 a2 b2的三角形是直角三角形 40 三角形的三边长为 abcba2 22 则这个三角形是 A 等边三角形 B 钝角三角形 C 直角三角形 D 锐角三角形 41 12 分 如图 某沿海开放城市 A 接到台风警报 在该市正南方 向 100km 的 B 处有一台风中心 沿 BC 方向以 20km h 的速度向 D 移动 已知城市 A 到 BC 的 距离 AD 60km 那么台风中心经过多长时间从 B 点移到 D 点 如果在距台风中心 30km 的圆 形区域内都将有受到台风的破坏的危险 正在 D 点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内 撤离才可脱离危险 42 14 分 ABC 中 BC a AC b AB c 若 C 90 如图 1 根据勾股定理 则 222 cba 若 ABC 不是直角三角形 如图 2 和图 3 请你类比勾股定理 试猜想 22 ba 与 2 c 的关系 并证明你的结论 解 若 ABC 是锐角三角形 则有 a2 b2 c2 若 ABC 是钝角三角形 C 为钝角 则有 a2 b20 x 0 2ax 0 a2 b2 c2 当 ABC 是钝角三角形时 43 10 分 如图 A 市气象站测得台风中心在 A 市正东方向 300 千米的 B 处 以 10 千米 7 时的速度向北偏西 60 的 BF 方向移动 距台风中心 200 千米范围内是受台风影响的区域 1 A 市是否会受到台风的影响 写出你的结论并给予说明 2 如果 A 市受这次台风影响 那么受台风影响的时间有多长 A B C D 第 24 题图 44 将一根 24cm 的筷子 置于底面直径为 15cm 高 8cm 的圆柱形水杯中 如图所示 设筷子 露在杯子外面的长度为 hcm 则 h 的取值范围是 A h 17cm B h 8cm C 15cm h 16cm D 7cm h 16cm 45 如图 已知 于 P 求证 46 变式 2 已知 如图 B D 90 A 60 AB 4 CD 2 求 四 边形 ABCD 的面积 47 变式 一辆装满货物的卡车 其外形高 2 5 米 宽 1 6 米 要开进厂门形状如图的某工厂 问这辆卡车能否通过该工厂的厂门 一 转化的思想方法 一 转化的思想方法 我们在求三角形的边或角 或进行推理论证时 常常作垂线 构造直角三角形 将问题转化为 直角三角形问题来解决 49 如图所示 ABC 是等腰直角三角形 AB AC D 是斜边 BC 的中点 E F 分别是 AB AC 边上的点 且 DE DF 若 BE 12 CF 5 求线段 EF 的长 50 如图 在等腰 ABC 中 ACB 90 D E 为斜边 AB 上的点 且 DCE 45 求证 DE2 AD2 BE2 E C A B D F E C A B D A B C D 51 如图 在 A BC 中 AB 13 BC 14 A C 15 则 BC 边上的高 A D 52 如图 长方形 ABCD 中 AB 8 BC 4 将长方形沿 AC 折叠 点 D 落在点 E 处 则重叠 部分 AFC 的面积是 E F D B C A 53 在 ABC 中 AB 15 AC 20 BC 边上的高 A D 12 试求 BC 边的长 54 在 A BC 中 D 是 BC 所在直线上一点 若 AB l0 BD 6 AD 8 AC 17 求 ABC 的面积 55 若 ABC 三边 a b c 满足 a2 b2 c2 338 10a 24b 26c ABC 是直角三角形吗 为 什么 56 在 ABC 中 BC 1997 AC 1998 AB2 1997 1998 则 ABC 是否为直角三角形 为什 么 B C A D BC A D 注意 BC AC AB 的大小关系 AB BC AC AB2 BC2 1997 19972 1998 1997 1 1997 1998 1997 1998 1998 19982 AC2 57 一只蚂蚁在一块长方形的一个顶点 A 处 一只苍蝇在这个长方形上和蜘蛛相对的顶点 C1 处 如图 已知长方形长 6cm 宽 5 cm 高 3 cm 蜘蛛因急于捉到苍蝇 沿着长方形 的表面向上爬 它要从 A 点爬到 C1 点 有很多路线 它们有长有短 蜘蛛究竟应该沿着 怎样的路线爬上去 所走的距离最短 你能帮蜘蛛求出最短距离吗 58 木箱的长 宽 高分别为 40dm 30dm 和 50dm 有一 70dm 的木棒 能放进去吗 请说明理 由 12 59 已知 ABC 的三边 a b c 且 a b 17 ab 60 c 13 ABC 是否是直角三角形 你能说 明理由吗 60 如图 E 是正方形 ABCD 的边 CD 的中点 延长 AB 到 F 使 BF AB 那么 FE 与 FA 相 4 1 等吗 为什么 18 E D C A BF 61 如图 A 60 B D 90 若 BC 4 CD 6 求 AB 的长 9 C1 A 19 A D BC 62 如图 xoy 60 M 是 xoy 内的一点 它到 ox 的距离 MA 为 2 它到 oy 的距离为 11 求 OM 的长 20 M x y O 带答案版的带答案版的 用面积证明勾股定理用面积证明勾股定理 方法一 将四个全等的直角三角形拼成如图 1 所示的正方形 图 1 中 所以 方法二 将四个全等的直角三角形拼成如图 2 所示的正方形 图 2 中 所以 方法三 将四个全等的直角三角形分别拼成如图 3 1 和 3 2 所示的两个形状相同 的正方形 CB AD E F 在 3 1 中 甲的面积 大正方形面积 4 个直角三角形面积 在 3 2 中 乙和丙的面积和 大正方形面积 4 个直角三角形面积 所以 甲的面积 乙和丙的面积和 即 方法四 如图 4 所示 将两个直角三角形拼成直角梯形 所以 练习题练习题 1 如图 圆柱的高为 10 cm 底面半径为 2 cm 在下底面的 A 点处有一只蚂蚁 它想吃到上底 面上与 A 点相对的 B 点处 需要爬行的最短路程是多少 2 如图 长方体的高为 3 cm 底面是边长为 2 cm 的正方形 现有一小虫从顶点 A 出发 沿长方 体侧面到达顶点 C 处 小虫走的路程最短为多少厘米 答案 AB 5 A C B 3 一只蚂蚁从棱长为 1 的正方体纸箱的 B 点沿纸箱爬到 D 点 那么它所行的最短路线的长是 4 如图 小红用一张长方形纸片 ABCD 进行折纸 已知该纸片宽 AB 为 8cm 长 BC 为 10cm 当小红折叠时 顶点 D 落在 BC 边上的点 F 处 折痕为 AE 想一想 此时 EC 有 多长 5 如图 将一个边长分别为 4 8 的长方形纸片 ABCD 折叠 B C A B C B A C D C ABE D 使 C 点与 A 点重合 则 EB 的长是 A 3B 4 C D 5 5 6 已知 如图 在 ABC中 C 90 B 30 AB的 垂直平分线交BC于D 垂足为E D 4cm 求AC的长 7 如图 有一个直角三角形纸片 两直角边 AC 6 BC 8 现将直角边 AC 沿直线 AD 折叠 使其落在斜边 AB 上 且 与 AE 重合 则 CD 的长为 8 如图 在矩形中 将矩形折叠 使 ABCD 6 AB ABCD 点 B 与点 D 重合 落在处 若 则折 C C 21 BEAE 痕的长为 EF 9 如图 已知 点 E 是正方形 ABCD 的 BC 边上的点 现将 DCE 沿折痕 DE 向上翻折 使 DC 落在对角线 DB 上 则 EB CE 10 如图 AD 是 ABC 的中线 ADC 45o 把 ADC 沿 AD 对折 点 C 落在 C 的位置 若 BC 2 则 BC 11 如图 1 有一块直角三角形纸片 两直角边 AC 6cm BC 8cm 现将直角边 AC 沿直线 AD 折叠 使它落在斜边 AB 上 且与 AE 重合 则 CD 等于 A 2cm B 3 cm C 4 cm D 5 cm 12 有一个直角三角形纸片 两直角边 AC 6cm BC 8cm 现将直角边 AC 沿 CAB 的角平分线 AD 折叠 使它落在斜边 AB 上 且与 AE 重合 你能求出 CD 的长吗 F E D C B A E 题5图 F B C B A CD A C D A C B E 图 1 D A E C D B C B A D 13 如图 在 ABC 中 B AB BC 6 把 90 ABC 进行折叠 使点 A 与点 D 重合 BD DC 1 2 折痕为 EF 点 E 在 AB 上 点 F 在 AC 上 求 EC 的长 14 已知 如图长方形 ABCD 中 AB 3cm AD 9cm 将此长方形折叠 使 点 B 与点 D 重合 折痕为 EF 则 ABE 的面积为 A 6cm2B 8cm2C 10cm2D 12cm2 15 如图 将矩形 ABCD 沿 EF 折叠 使点 D 与点 B 重合 已知 AB 3 AD 9 求 BE 的 长 16 如图 每个小方格的边长都为 1 求图中格点四边形 ABCD 的面积 17 如图 已知 在中 分别以此直角三角形的三边为直径画半圆 试说 ABC 90ACB 明图中阴影部分的面积与直角三角形的面积相等 18 如图 8 有一块塑料矩形模板 ABCD 长为 10cm 宽为 4cm 将你手中足够大的直角三角 板 PHF 的直角顶点 P 落在 AD 边上 不与 A D 重合 在 AD 上适当移动三角板顶点 P 能否使你的三角板两直角边分别通过点 B 与点 C 若能 请你求出这时 AP 的长 若不能 请说明理由 再次移动三角板位置 使三角板顶点 P 在 AD 上移动 直角边 PH 始终通过点 B 另一直角边 PF 与 DC 的延长 线交于点 Q 与 BC 交于点 E 能否使 CE 2cm 若能 请你求出这时 AP 的长 若不能 请你说明理由 21 能 设 AP x 米 由于 BP2 16 x2 CP2 16 10 x 2 而在 Rt PBC 中 有 BP2 CP2 BC2 即 16 x2 16 10 x 2 100 所以 x2 10 x 16 0 即 x 5 2 9 所以 x 5 3 所以 x 8 x 2 即 AP 8 或 2 能 仿照 可求得 AP 4 图 8 A D B C E F A B E F D C 第 11 题 图 19 如图 ABC 中 BCBMACANBCACACB 5 12 90 则 MN 4 20 直角三角形的面积为 斜边上的中线长为 则这个三角 Sd 形周长为 A B 2 2dSd 2 dSd C D 2 22dSd 2 2 dSd 解 设两直角边分别为 斜边为 则 由勾股定理 得 a b c2cd 1 2 Sab 222 abc 所以 2 2222 2444abaabbcSdS 所以 所以 故选 C 2 2abdS abc 2 22dSd 21 在中 边上有 2006 个不同的点 ABC 1ABAC BC122006 P PP 记 则 2 1 2 2006 iiii mAPBP PC i 122006 mmm 解 如图 作于 因为 则 ADBC D1ABAC BDCD 由勾股定理 得 所以 222222 ABADBDAPADPD 2222 ABAPBDPD BDPDBDPDBP PC 所以 222 1APBP PCAB 因此 2 122006 120062006mmm 22 如图所示 在中 且 Rt ABC 90 45BACACABDAE 3BD 求的长 4CE DE 解 如右图 因为为等腰直角三角形 所以 ABC 45ABDC 所以把绕点旋转到 则 AEC AAFB AFBAEC 所以 连结 所以为直角三角形 4 45BFECAFAEABFC DFDBF 由勾股定理 得 所以 222222 435DFBFBD 5DF 因为所以 45 DAE 45DAFDABEAC 所以 所以 ADEADF SAS 5DEDF 23 如图 在 ABC 中 AB AC 6 P 为 BC 上任意一点 请用学过的知识试求 PC PB PA2 的值 24 如图在 Rt ABC 中 3 4 90 BCACC 在 Rt ABC 的外部拼接一个合适的直角 三角形 使得拼成的图形是一个等腰三角形 如图所示 要求 在两个备用图中分别画出两种与示例图不同的拼接方法 在图中标明拼接的直角三角形 的三边长 请同学们先用铅笔画出草图 确定后再用 0 5mn 的黑色签字笔画出正确的图形 解 要在 Rt ABC 的外部接一个合适的直角三角形 使得拼成的图形是一个等腰三角形 关键 是腰与底边的确定 要求在图中标明拼接的直角三角形的三边长 这需要用到勾股定理知识 下图中的四种拼接方法供参考 A B P C 10 25 如图 A B 两个村子在河 CD 的同侧 A B 两村到河的距离分别为 AC 1km BD 3km CD 3km 现在河边 CD 上建一水厂向 A B 两村输送自来水 铺设水管 的费用为 20000 元 千米 请你在 CD 选择水厂位置 O 使铺设水管的费用最省 并求出铺设水 管的总费用 F 26 已知 如图 ABC 中 C 90 点 O 为 ABC 的三条角平分线的交点 OD BC OE AC OF AB 点 D E F 分别是垂足 且 BC 8cm CA 6cm 则点 O 到 三边 AB AC 和 BC 的距离分别等于 cm 27 8 分 如图 在 ABC 中 AB AC P 为 BC 上任意一点 请说明 AB2 AP2 PB PC 28 如图 已知 于 P 求证 90CCMAM ABMP 222 BCAPBP P M B CA 29 本题满分 6 分 如图 一个牧童在 小河的南 4km 的 A 处牧马 而他正位 于他的小屋 B 的西 8km 北 7km 处 他想把他的马 牵到小河边去饮水 然后回家 他要完成这件事情所 走的最短路程是多少 C O AB D E F 第 26 题图 A B P C 第 28 题 图 A B 小河 东 北 牧童 小屋 2 6m 4m 30 本题满分 6 分 如图所示 某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方是一个半圆 下方是 长方形的仿古通道 现有一辆卡车装满家具后 高 4 米 宽 2 8 米 请问这辆送家具的卡车能否通过这个通道 31 在一棵树的 10 米高 B 处有两只猴子 一只猴子爬下树走到离树 20 米处的池塘的 A 处 另 一只爬到树顶 D 后直接跃到 A 处 距离以直线计算 如果两只猴子所经过的距离相等 则 这棵树高多少米 32 在平静的湖面上 有一支红莲 高出水面 1 米 一阵风吹来 红莲移到一边 花朵齐及水 面 已知红莲移动的水平距离为 2 米 求这里的水深是多少米 33 长为 4 m 的梯子搭在墙上与地面成 45 角 作业时调整为 60 角 如图所示 则梯子的顶 端沿墙面升高了 m 34 已知 如图 ABC 中 C 90 D 为 AB 的中点 E F 分别在 AC BC 上 且 DE DF 求证 AE2 BF2 EF2 35 已知 如图 在正方形 ABCD 中 F 为 DC 的中点 E 为 CB 的四等分点且 CE 求 CB 4 1 证 AF FE 36 已知 ABC 中 a2 b2 c2 10a 24b 26c 338 试判定 ABC 的形状 并说明你的理 由 37 已知 a b c 是 ABC 的三边 且 a2c2 b2c2 a4 b4 试判断三角形的形状 38 如图 长方体的底面边长分别为 1cm 和 3cm 高为 6cm 如果用一根细线从点 A 开始经过 四个侧面缠绕一圈到达点 B 那么所用细线最短需要多长 如果从点 A 开始经过四个侧面缠绕 n 圈到达点 B 那么所用细线最短需要多长 39 a b 为任意正数 且 a b 求证 边长为 2ab a2 b2 a2 b2的三角形是直角三角形 40 三角形的三边长为 abcba2 22 则这个三角形是 A 等边三角形 B 钝角三角形 C 直角三角形 D 锐角三角形 41 12 分 如图 某沿海开放城市 A 接到台风警报 在该市正南方 向 100km 的 B 处有一台风中心 沿 BC 方向以 20km h 的速度向 D 移 动 已知城市 A 到 BC 的距离 AD 60km 那么台风中心经过多长时 间从 B 点移到 D 点 如果在距台风中心 30km 的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险 正 在 D 点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险 42 14 分 ABC 中 BC a AC b AB c 若 C 90 如图 1 根据勾股定理 则 222 cba 若 ABC 不是直角三角形 如图 2 和图 3 请你类比勾股定理 试猜想 22 ba 与 2 c 的关系 并证明你的结论 解 若 ABC 是锐角三角形 则有 a2 b2 c2 若 ABC 是钝角三角形 C 为钝角 则有 a2 b20 x 0 2ax 0 a2 b2 c2 当 ABC 是钝角三角形时 43 10 分 如图 A 市气象站测得台风中心在 A 市正东方向 300 千米的 B 处 以 10 千米 7 时的速度向北偏西 60 的 BF 方向移动 距台风中心 200 千米范围内是受台风影响的区域 1 A 市是否会受到台风的影响 写出你的结论并给予说明 2 如果 A 市受这次台风影响 那么受台风影响的时间有多长 44 将一根 24cm 的筷子 置于底面直径为 15cm 高 8cm 的圆柱形水杯中 如图所示 设筷子 露在杯子外面的长度为 hcm 则 h 的取值范围是 A h 17cm B h 8cm C 15cm h 16cm D 7cm h 16cm 45 如图 已知 于 P 求证 思路点拨 图中已有两个直角三角形 但是还没有以 BP 为边的直角三角形 因此 我们考 虑构造一个以 BP 为一边的直角三角形 所以连结 BM 这样 实际上就得到了 4 个直角三角形 那么根据勾股定理 可证明这几条线段的平方之间的关系 解析 连结 BM 根据勾股定理 在中 而在中 则根据勾股定理有 又 已知 在中 根据勾股定理有 46 变式 2 已知 如图 B D 90 A 60 AB 4 CD 2 求 四边形 ABCD 的面积 分析 如何构造直角三角形是解本题的关键 可以连结 AC 或延长 AB DC 交于 F 或延 长 AD BC 交于点 E 根据本题给定的角应选后两种 进一步根据本题给定的边选第三种较为 简单 解析 延长 AD BC 交于 E A 60 B 90 E 30 AE 2AB 8 CE 2CD 4 BE2 AE2 AB2 82 42 48 BE DE2 CE2 CD2 42 22 12 DE S四边形 ABCD S ABE S CDE AB BE CD DE 47 变式 一辆装满货物的卡车 其外形高 2 5 米 宽 1 6 米 要开进厂门形状如图的某工厂 问这辆卡车能否通过该工厂的厂门 答案 由于厂门宽度是否足够卡车通过 只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小 于 CH 如图所示 点 D 在离厂门中线 0 8 米处 且 CD 与地面交于 H 解 OC 1 米 大门宽度一半 OD 0 8 米 卡车宽度一半 在 Rt OCD 中 由勾股定理得 CD 米 C 米 米 因此高度上有 0 4 米的余量 所以卡车能通过厂门 48 如图 公路 MN 和公路 PQ 在点 P 处交汇 且 QPN 30 点 A 处有一所中学 AP 160m 假设拖拉机行驶时 周围 100m 以内会受到噪音的影响 那么拖拉机在公路 MN 上 沿 PN 方向行驶时 学校是否会受到噪声影响 请说明理由 如果受影响 已知拖拉机的速度 为 18km h 那么学校受影响的时间为多少秒 思路点拨 1 要判断拖拉机的噪音是否影响学校 A 实质上是看 A 到公路的距离是否小 于 100m 小于 100m 则受影响 大于 100m 则不受影响 故作垂线段 AB 并计算其长度 2 要 求出学校受影响的时间 实质是要求拖拉机对学校 A 的影响所行驶的路程 因此必须找到拖拉 机行至哪一点开始影响学校 行至哪一点后结束影响学校 解析 作 AB MN 垂足为 B 在 Rt ABP 中 ABP 90 APB 30 AP 160 AB AP 80 在直角三角形中 30 所对的直角边等于斜边的一半 点 A 到直线 MN 的距离小于 100m 这所中学会受到噪声的影响 如图 假设拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶到点 C 处学校开始受到影响 那么 AC 100 m 由勾股定理得 BC2 1002 802 3600 BC 60 同理 拖拉机行驶到点 D 处学校开始脱离影响 那么 AD 100 m BD 60 m CD 120 m 拖拉机行驶的速度为 18km h 5m s t 120m 5m s 24s 答 拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶时 学校会受到噪声影响 学校受影响的时间为 24 秒 一 转化的思想方法 我们在求三角形的边或角 或进行推理论证时 常常作垂线 构造直角三角形 将问题转化为 直角三角形问题来解决 49 如图所示 ABC 是等腰直角三角形 AB AC D 是斜边 BC 的中点 E F 分别是 AB AC 边上的点 且 DE DF 若 BE 12 CF 5 求线段 EF 的长 思路点拨 现已知 BE CF 要求 EF 但这三条线段不在同一三角形中 所以关键是线段 的转化 根据直角三角形的特征 三角形的中线有特殊的性质 不妨先连接 AD 解 连接 AD 因为 BAC 90 AB AC 又因为 AD 为 ABC 的中线 所以 AD DC DB AD BC 且 BAD C 45 因为 EDA ADF 90 又因为 CDF ADF 90 所以 EDA CDF 所以 AED CFD ASA 所以 AE FC 5 同理 AF BE 12 在 Rt AEF 中 根据勾股定理得 所以 EF 13 总结升华 此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识 通过此题 我