2011-2012学年高三数学上学期单元测试（9）大纲人教版

1 高三上学期数学单元测试 高三上学期数学单元测试 9 9 原人教版原人教版 直线 平面 简单几何体直线 平面 简单几何体 第九章 第九章 注意事项 1 本试题分为第 卷和第 卷两部分 满分 150 分 考试时间为 120 分钟 2 答第 卷前务必将自己的姓名 考号 考试科目涂写在答题卡上 考试结束 试题 和答题卡一并收回 3 第 卷每题选出答案后 都必须用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 ABCD 涂黑 如需改动 必须先用橡皮擦干净 再改涂其它答案 第 卷 一 选择题 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 请把正确答案的代 号填在题后的括号内 本大题共 12 个小题 每小题 5 分 共 60 分 1 空间两条直线a b与直线l都成异面直线 则a b的位置关系是 A 平行或相交B 异面或平行 C 异面或相交D 平行或异面或相交 2 如果P是等边 ABC所在平面外一点 且PA PB PC 三角形边长为 1 那么PA与 3 2 底面ABC所成的角是 A 30 B 45 C 60 D 90 3 已知某长方体的体积为 8 cm3 它的全面积是 32 cm2 并且长 宽 高成等比数列 那么所 有棱长之和是 A 28 cmB 32 cm C 36 cmD 40 cm 4 已知轴截面 过对称轴的截面 为正方形的圆柱侧面积与球的表面积相同 那么圆柱的 体积与球的体积之比为 A 1 1 B 1 C 2 3D 3 2 3 4 5 点M是二面角 EF 的棱EF上一点 MN在平面 内且与EF成 45 的角 MN与 平面 成 30 的角 则二面角 EF 的平面角的大小为 A 30 B 45 C 60 D 90 6 下列命题中成立的是 A 直线a平行于平面 则a平行于 内任意一条直线 B 直线a与平面 相交 则a不平行于 内的任意一条直线 C 直线a不垂直于平面 则a不垂直于 内任意一条直线 D 直线a不垂直于 则过a的平面不可能垂直于平面 7 经过空间一点作直线 使它与两条异面直线都成 60 角 则这样的直线有 2 A 2 条或 3 条B 2 条或 4 条 C 3 条或 4 条D 2 条或 3 条或 4 条 8 以长方体的 8 个顶点中的任意 3 点为顶点的三角形中 锐角三角形的个数共有 A 4 B 6 C 8D 24 9 一个球受热膨胀 表面积增加 21 那么球的半径增加 A B C D 10 21 10 73 10 11 10 1 10 正四棱锥的侧棱长为a 底面周长为 4a 则这个棱锥侧面积是 A 5a2 B a2 C a2 D 1 a23 2 13 3 11 如图 两异面线段AB CD分别在两平行平面 内 间的距离为h 若三棱 锥A BCD是侧棱与底棱均相等的正三棱锥 则其体积为 A B h3 3 2 3 h C D 3 3 h 3 4 3 h 12 在四边形ABCD中 ABC BCD CDA 90 且AB BC CD DA 则四边形ABCD一定是 A 空间四边形B 正方形 C 一般矩形D 空间四边形或 正方形 第 卷 二 填空题 请把答案填在题中横线上 本大题共 4 个小题 每小题 5 分 共 20 分 13 在 ABC中 C 90 点P在 ABC所在平面 外 点P到三个顶点的距离相等 点 P到 的距离为 40 cm 直角边AC 18 cm 则点P到直角边BC的距离等于 14 空间四边形ABCD中 P R分别是AB CD的中点 PR 3 AC 4 BD 2 那么AC与5 BD所成角的度数是 分析 求异面直线所成角一般是由 平移法 实现的 15 一个正四棱柱的对角线长 9 cm 全面积为 144 cm2 则该棱柱的体积等于 分析 长方体对角线性质及其全面积与体积公式的应用 16 地球北纬 45 圈有A B两地分别在东经 70 处和东经 160 处 若地球的半径为R 则AB两地的球面距离是 三 解答题 本大题共 6 小题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 10 分 如图所示 ABCD A1B1C1D1是正方体 B1E1 D1F1 则BE1与 4 11B A a b A F B O C E D 1 1 1 1 1 1 A A E E B B C C D D F 3 DF1所成角的余弦值是多少 18 本小题满分 12 分 如图所示 已知直三棱柱ABC A1B1C1中 ACB 90 BAC 30 BC 1 AA1 M是CC1的中点 6 求证 AB1 A1M 19 本小题满分 12 分 如图所示 在平面四边形ABCD中 AB BC CD a B 90 BCD 135 沿对角线AC将此四边形折成直二面角 1 求证 AB 平面BCD 2 求点C到ABD的距离 20 本小题满分 12 分 已知斜三棱柱ABC A1B1C1中 A1C1 B1C1 2 D D1分别是AB A1B1 的中点 平面A1ABB1 平面A1B1C1 异面直线AB1与C1B互相垂直 1 求证 AB1 C1D1 2 求证 AB1 面A1CD 3 若AB1 3 求直线AC与平面A1CD所成的角 1 1 A A C C M B1 B 1 A B C D 1 1 1 1 C C A A D D B B O 4 21 本小题满分 12 分 如图 已知长方体ABCD A1B1C1D1中 AB1 2 AA1 AD 1 求 1 点D1到直线AC的距离 2 直线AB与面A1DC的距离 3 异面直线A1D与B1C1的距离 22 本小题满分 12 分 如图所示 在斜边为AB的 Rt ABC中 过A作PA 平面 ABC AM PB于点M AN PC于点N 1 求证 BC 面PAC 2 求证 PB 面AMN 3 若PA AB 4 设 BPC 试用 tan 表示 AMN的面积 当 tan 取何值时 AMN的面积最大 最大面积是多少 参考答案 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 1 D 解 如图所示 设CC1所在直线为l 则当A1D1与AD所在 直线分别为直线a b时 a b平行 当A1D1 AB所在直线分 1 1 1 1 A A B B C C D D E O P A M N C B 1 1 1 1 A A B B C C D D 5 别为直线a b时 a b异面 当A1D1 A1B1所在直线分别为直 线a b时 a b相交 2 A 解 过P作PO 面ABC 则O是 ABC的中心 连结AO 则 PAO就是PA与底面 ABC所成的角 AB 1 AO 又PA cosPAO 2 3 3 2 3 3 3 2 3 2 3 3 2 3 PAO 30 同理可得PB PC与底所成的角为 30 3 B 解 设长方体的长 宽 高分别为a b c 则有 32 2 8 2 acb acbcab abc 解得 4 a b c 4 3 2 3 32 cm 55 4 D 解 设圆柱的底面半径为r 则由题意得 圆柱高为 2r 设球半径为R 有 S圆柱侧 2 r 2r 4 r2 S球 4 R2 4 r2 4 R2 r R 又 V圆柱 r2 2r 2 r3 V球 R3 r3 3 4 3 4 球 圆柱 V V 3 3 3 4 2 r r 2 3 5 B 解 过N作NO 于O点 作NP EF于点P 连结OP 则OP EF NPO是二 面角 EF 的平面角 NMP 45 NP MP OP MP 且 NMO 30 设MP NP 1 则MN NO sinNPO NPO 45 2 2 2 1 2 2 2 2 6 B 解 对于 A 如图 B1B AC1 但B1B与AC1异面 对于 C 如图 AC1不垂直于平面B1C 但AC1 BC 对于 D AC1不垂直于平面ABC 但过AC1的平面A1C垂 直于平面ABC 7 D 解 过平面 内一点 分别作两条异面直线的平行线 讨论 过该点和两直线所成角为 60 的直线有几条即可 如图 当 AOB小于 60 时 满足条件的直线有 2 条 且在 AOB的平分面上 当 AOB 60 时 这样的直线有 3 条 分别在 AOB的平分 面上有 2 条 AOD内有 1 条 当 AOB大于 60 小于 90 时 AOB及 AOD的平分面上各有 2 条 故共有 4 条 综上 这样的直线为 2 条或 3 条或 4 条 8 C 解 因为长方体三个面的对角线构成的三角形为正三角形 而 8 个顶点中 每一个顶点 P A O B C EF N M P O a b a 1 11 A B C A B C b a A B O D C 6 处对应一个锐角三角形 共 8 个 9 D 解 设因膨胀半径由r变为R 则 4 r2 1 21 4 R2 R r r 1 半径增加 211 2 r 10 11 10 1 10 1 10 B 解 正四棱锥的底面周长为 4a 正四棱锥的底面边长为a 又 正四棱锥的侧棱长为a 正四棱锥的侧面积为 4 a2 a2 4 3 3 11 C 解 AB CD 且 AB与CD间的距离为h 取CD的中点E 连结 AE BE 则CD 面AEB 过E作EF AB 则EF h 设正四面体棱长为a 则在 AEF中 h2 a 2 2 得h a 即a h 过A作AO BE 则AO 面BCD 在 Rt 2 3 2 a 2 2 2 AOE中 求得AO a VA BCD a2 a 3 6 3 1 4 3 3 6 3 3 h 12 B 解 依题意得 A C 不符合条件 若对于D 满足条件 则易构造一三棱锥A BCD 且 ABC BCD CDA 及 AB BC CD 得 ABC与 BCD是全等的等腰直角三角形 设直角边为 1 取BD的中点 E 连结AE CE 则 cosAEC 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 222 AEC 180 A B C D共面 综上 只有 B 符合条件 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 13 41 cm 解 如图 PA PB PC 且 ABC为直角三角形 点P在底面的射影是底面直 角三角形斜边的中点 取AB的中点O 连结PO 则PO 面ABC 过O作OH BC于点H 则 OH AC OH AC 9 2 1 连结PH 则PH BC PH即为所求距离 PH 41 22 OHPO 22 940 14 90 解 分别取BC AD的中点Q H 则由题意得PQAC PHBD QPH为AC与BD所成的角 2 1 2 1 PQ 2 PH 又QH PR cosQPH 0 QPH 90 5 522 954 15 112 cm3或 108 cm3 P A C H O B A P H Q R C B D 7 解 设此正四棱柱的底面边长为a 高为c 则有 722 812 2 22 aac ca 解得a 6 c 3 或a 4 c 7 棱柱的体积为 112 cm3或 108 cm3 16 R解 A B两地在北纬 45 圈上 在 OO1B中 BOO1 45 即OO1 O1B R 3 2 2 又 AO1 O1B R AO1B 90 AB R AOB为正三角形 2 2 AOB 球面距离为R 3 3 三 解答题 本大题共 6 小题 共 70 分 17 解 在平面AB1内过E1作E1E DF1 则E为AB的中点 BE1E就是BE1与DF1所成的角 3 分 设正方体棱长为 1 则由题设可得BE BE1 EE1 6 分 2 1 22 4 1 1 4 17 cosBE1E 10 分 11 22 1 2 1 2EEBE BEEEBE 17 15 18 解 连结AC1 4 分 1 MC AC 2 6 3 2 AC CC 1 1 3 6 2 Rt ACC1 Rt MC1A1 AC1C MA1C1 A1M AC1 7 分 ABC A1B1C1为直三棱柱 CC1 B1C1 又B1C1 A1C1 B1C1 平面AC1 AB1 A1M 12 分 19 分析 将 1 变为 2 的过程中 B 90 DCA 90 保持不变 依据题设证出结论 即可 1 证明 AB BC 2 分 在 ABC中 B 90 AB BC a ABC为等腰直角三角形 ACB 45 BCD 135 ACD 90 DC AC 见图 1 平面DAC 平面ABC DC 平面ABC 又AB平面ABC DC AB 又AB BC BC DC C AB 平面BCD 2 解 由VC ABD VD ABC 7 分 设点C到平面ABD的距离为h 则 h S ABD CD S ABC 3 1 3 1 1 AB O O 1 A B C D 2 A B C D 8 S ABD a2 S ABC a2 h a 点C到平面ABD的距离为a 2 2 2 1 2 2 2 2 12 分 20 1 证明 A1C1 B1C1 D1是A1B1的中点 C1D1 A1B1于点D1 平面A1ABB1 平面A1B1C1 C1D1 平面A1B1BA AB1平面A1ABB1 AB1 C1D1 4 分 2 证明 连结D1D D是AB的中点 DD1CC1 C1D1CD 由 1 可得CD AB1 C1D1 平面A1ABB1 C1B AB1 BD1 AB1 A1D D1B AB1 A1D AB1 平面A1CD 8 分 3 解 结合 2 中的AB1 平面A1CD O是垂足 连结CO OCA为直线AC与平面A1CD所成的角 AB1 3 AC A1C1 2 AO 1 sinOCA AC AO 2 1 OCA 30 AC与平面A1CD所成的角为 30 12 分 21 解 1 在面AC中 过D作DE AC 垂足为E DD1 面AC D1E AC D1E就是D1到AC的距离 DE AC AD DC DE D1E 4 分 5 5222 1 DEDD