2011-2012学年高三数学上学期单元测试（6）新人教A版

20112011 20122012 学年度上学期高三一轮复习数学单元验收试题 学年度上学期高三一轮复习数学单元验收试题 6 6 新人新人 教教 命题范围 向量 理科加命题范围 向量 理科加 空间向量空间向量 说明 本试卷分第 卷和第 卷两部分 共 150 分 答题时间 120 分钟 第 卷 一 选择题 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 请把正确答案的代 号填在题后的括号内 本大题共 12 个小题 每小题 5 分 共 60 分 1 理 若向量a r 1 1 x b r 1 2 1 c r 1 1 1 满足条件 2 cab rrr 2 则x A B 2 C D 2 2 1 2 1 文 若非零向量满足 则的夹角为 ba ba 0 2 bbaba A 300 B 600 C 1200 D 1500 2 理 已知向量 2 4 x 2 y 2 若 6 则 x y 的值是 abaab A 3 或 1B 3 或 1 C 3 D 1 文 已知点 C 在线段 AB 的延长线上 且等于 则 2CABCABBC A 3 B C D 3 1 3 3 1 3 设向量 1 0 a 1 1 2 2 b 则下列结论中正确的是 a b A B C D 与垂直 ba 2 2 baba ba b 4 若 为任意向量 m R R 则下列等式不一定成立的是 abc A B a bc ab ca bc ac bc C m m m D b a babac abc 5 若与 都是非零向量 则 是 的 abcabacabc A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 6 已知平面上直线l的方向向量 点 O 0 0 和 A 1 2 在l上的射影分e 5 3 5 4 别是 O1和 A1 若 则 11A Oe A B C 2 D 2 5 11 5 11 7 已知 1 0 点C在 AOB内 且 AOC 30 设 mOAOB3OBOA OC n m n R R 则等于 OAOB n m A B 3 C D 3 1 3 3 3 8 理 如图 5 1 在平行六面体ABCD A1B1C1D1中 M为AC与BD的 交点 若 则下列向量中与相BA1a 11D AbAA1cMB1 等的向量是 A B 2 1 a 2 1 b c 2 1 a 2 1 b c C D 2 1 a 2 1 b c 2 1 a 2 1 b c 文 如图 在 ABC 中 ADAB 3BC BD 1AD 则AC AD A 2 3 B 3 2 C 3 3 D 3 9 平面上 O A B三点不共线 设 OAa OBb 则OAB 的面积等于 图 5 1 A 22 2 aba b B 22 2 aba b C 22 2 1 2 aba b D 22 2 1 2 aba b 10 理 已知 ABCD 是边长为 4 的正方形 E F 分别是 AB AD 的中点 GC 垂直于 ABCD 所 在的平面 且 GC 2 点 B 到平面 EFG 的距离为 A B C D 11 11 112 11 11 112 文 已知向量与的夹角为 则等于 a b 120o3 13 aab b A 5 B 4 C 3 D 1 11 理 已知正方体 ABCD 一 A1B1C1D1的棱长为 1 则 BC1与 DB1的距离为 A B C D 6 3 6 6 6 62 文 已知ABC 和点 M 满足0MA MB MC 若存在实数 m 使得 AB ACAMm 成立 则 m A 2 B 3 C 4 D 5 12 理 在正方体 ABCD A1B1C1D1中 M N 分别是棱 B1C1 AD 的中点 直线 AD 与平面 BMD1N 所成角的余弦值为 A B C D 3 3 3 3 6 32 文 设过点的直线分别与轴的正半轴和轴的正半轴交于两点 点 P x yxy A B 与点关于轴对称 为坐标原点 若且 则点的轨迹QPyO2BPPA 1 ABOQP 方程是 A B 22 3 31 0 0 2 xyxy 22 3 31 0 0 2 xyxy C D 22 3 31 0 0 2 xyxy 22 3 31 0 0 2 xyxy 第 卷 二 填空题 请把答案填在题中横线上 本大题共 4 个小题 每小题 4 分 共 16 分 13 向量在向量上的投影 2aij 34bij ba 14 已知向量不超过 5 则 k 的取值范围是 5 2 2 bakba 若 15 理 ABCD 是直角梯形 ABC BAD 90 又 SA 平面 ABCD SA AB BC 1 AD 2 1 面 SCD 与面 SAB 所 成二面角的正切值为 文 如图 2 点在由射线 线段ABOM POM 及的延长线围成的区域内 不含边界 运动 OBAB 且 则的取值范围是OByOAxOP x 当时 的取值范围是 2 1 xy 16 在平面直角坐标系中 双曲线 的中心在原点 它的一个焦点坐标为 5 0 1 2 1 e 2 2 1 e 分别是两条渐近线的方向向量 任取双曲线 上的点P 若 1 2 OPaebe a bR 则a b满足的一个等式是 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 本大题共 6 个大题 共 76 分 17 12 分 已知向量在区间 1 1 上baxftxbxxa 1 1 2 若函数 是增函数 求 t 的取值范围 18 12 分 在平面直角坐标系 xOy 中 点 A 1 2 B 2 3 C 2 1 求以线段 AB AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长 设实数 t 满足 OCtAB OC 0 求 t 的值 19 12 分 已知向量 1 1 向量与向量夹角为 且 1 mnmnm 1 求向量 n 2 若向量与向量 1 0 的夹角为 向量 其中nqp A C 为 ABC 的内角 且 A B C 依次成等差数列 求 的取值范围 pn 图 2O A B P M 20 12 分 理 如图 9 6 6 矩形 ABCD 中 AB 1 BC a PA 平面 ABCD 1 问 BC 边上是否存在 Q 点 使PQ QD 说明理由 2 问当 Q 点惟一 且 cos 10 10 时 求点 P 的位置 文 如图 在 Rt ABC 中 已知 BC a 若长为 2a 的线段 PQ 以点 A 为中点 问与的夹PQBC 角 取何值时 的值最大 并求出这CQBP 个最大值 21 14 分 理 在长方体 ABCD A1B1C1D1 中 AD AA1 1 AB 2 点 E 在棱 AD 上移动 1 证明 D1E A1D 2 当 E 为 AB 的中点时 求点 E 到面 ACD1的距离 3 AE 等于何值时 二面角 D1 EC D 的大小为 4 文 已知两定点满足条件的点 P 的轨迹是曲 1 2 0 F 2 2 0 F212PFPF 线E E 直线 kx 1 与曲线E E交于 A B 两点 求 的取值范围 如果且曲线E E上存在点 C 使求6 3 AB OAOBmOC mABC 的值和的面积S 22 14 分 理 在三棱锥 S ABC 中 ABC 是边长为 4 的正三角形 平面 SAC 平面 ABC SA SC 23 M N 分别为 AB SB 的中点 证明 AC SB 求二面角 N CM B 的大小 求点 B 到平面 CMN 的距离 P Q BA C 文 如图 三定点 A 2 1 B 0 1 C 2 1 三动点 D E M 满足 t AD AB BE t t t 0 1 求动直线 DE 斜率的变化范围 求动点 M 的轨 BC DM DE 迹方程 参考答案 一 选择题 1 理 B 文 C 2 理 A 文 D 3 D 4 D 5 C 6 D 7 B 8 理 A 文 D 9 C 10 理 B 文 B 11 理 C 文 B 12 理 B 文 D 二 填空题 13 14 6 2 15 理 文 16 4ab 1 5 11 2 2 0 1 3 2 2 三 解答题 17 解法 1 依定义 1 1 232 ttxxxxtxxxf 23 2 txxxf 则 0 1 1 1 1 xfxf上可设则在上是增函数在若 3 1 23 1 1 230 22 xxg xxxgxxtxf 的图象是对称轴为由于 考虑函数上恒成立在区间 开口向上的抛物线 故要使在区间 1 1 上恒成立xxt23 2 5 1 tgt即 1 1 0 1 1 5上是增函数在即上满足在时而当 xfxfxft 5 tt的取值范围是故 y x O M D A B C 1 1 2 1 2 B E 解法 2 依定义 1 1 232 ttxxxxtxxxf 0 1 1 1 1 23 2 xfxf txxxf 上可设则在上是增函数在若 的图象是开口向下的抛物线 x f 时且当且仅当05 1 01 1 tftf 5 1 1 0 1 1 tt xfxfxf 的取值范围是故 上是增函数在即上满足在 18 解 1 方法一 方法一 由题设知 3 5 1 1 ABAC 则 2 6 4 4 ABACABAC 所以 2 10 4 2 ABACABAC 故所求的两条对角线的长分别为4 2 2 10 方法二 方法二 设该平行四边形的第四个顶点为 D 两条对角线的交点为 E 则 E 为 B C 的 中点 E 0 1 又 E 0 1 为 A D 的中点 所以 D 1 4 故所求的两条对角线的长分别为 BC 4 2 AD 2 10 2 由题设知 OC 2 1 32 5 ABtOCtt 由 OCtAB OC 0 得 32 5 2 1 0tt 从而511 t 所以 11 5 t 或者 2 AB OCtOC 3 5 AB 2 11 5 AB OC t OC 19 解 用向量的有关公式进行逐步翻译 1 设 与 夹角为 有 所以 由 解得 2 由 垂直知 由 2B A C 知 B A C 若 20 理 解 1 如答图 9 6 2 所示 建立空间直角坐标系 A 一 xyz 设 P 0 0 z D 0 a 0 Q 1 y 0 则PQ 1 y z QD 1 a y 0 且PQ QD PQ QD 1 y a y 0 y2 ay 1 0 a2 4 当 a 2 时 0 存在两个符合条件的 Q 点 当 a 2 时 0 存在惟一一个符合条件的 Q 点 当 a 2 时 0 不存在符合条件的 Q 点 2 当 Q 点惟一时 由 5 题知 a 2 y 1 B 1 0 0 BP 1 0 z QD 1 1 0 cos QDBP QDBP 21 1 2 z 10 10 z 2 即 P 在距 A 点 2 个单位处 文 解 BP CQ BAAP CAAQ BA CABA AQAP CA AP AQ A 为 PQ 的中点 APAQ 0 a2 a2 a2cos a2BP CQ BACA AQ BC AQ 故当 0 时最大 最大值为 0 思路二 以 A 为坐标原点以 AB 为 x 轴建立直角坐标系 则 B b 0 C 0 c b2 c2 a2 设 P x y 则 Q 点 x y x2 y2 a2 BPxb y CQxyc x2 y2 bx cy a2 a2cos a2 BP CQx xbyyc BC AP 下同前 21 理 解法 一 1 证明 AE 平面 AA1DD1 A1D AD1 A1D D1E 2 设点 E 到面 ACD1的距离为h 在 ACD1中 AC CD1 AD1 52 故 2 1 2 1 2 3 2 1 52 2 1 1 BCAESS ACECAD 而 3 1 2 3 1 2 1 3 1 3 1 11 1 hh hSDDSV CADAECAECD 3 过 D 作 DH CE 于 H 连 D1H DE 则 D1H CE DHD1为二面角 D1 EC D 的平面角 设 AE x 则 BE 2 x 1 1 4 2 11 xEHDHERtxDEADERt DHDHDDHDRt 中在中在 中在 4 32 32543 54 3 1 2 2 的大小为二面角时 中在中在 DECDAE xxxx xxCECBERtCHDHCRt 解法 二 以 D 为坐标原点 直线 DA DC DD1分别为 x y z 轴 建立空间直角坐标 系 设 AE x 则 A1 1 0 1 D1 0 0 1 E 1 x 0 A 1 0 0 C 0 2 0 1 0 1 1 1 0 1 1111 EDDAxEDDA 所以因为 2 因为 E 为 AB 的中点 则 E 1 1 0 从而 0 2 1 1 1 1 1 ACED 设平面 ACD1的法向量为 则 1 0 1 1 AD cban 0 0 1 ADn ACn 也即 得 从而 所以点 E 到平面 AD1C 的距离为 0 02 ca ba ca ba2 2 1 2 n 3 1 3 212 1 n nED h 3 设平面 D1EC 的法向量 cban 1 0 0 1 2 0 0 2 1 11 DDCDxCE 由 令 b 1 c 2 a 2 x 0 2 02 0 0 1 xba cb CEn CDn 2 1 2 xn 依题意 2 2 5 2 2 2 2 4 cos 2 1 1 xDDn DDn 不合 舍去 32 1 x32 2 x AE 时 二面角 D1 EC D 的大小为 32 4 文 由双曲线的定义可知 曲线是以为焦点的双曲线E 12 2 0 2 0FF 的左支 且 易知2 1ca 1b 故曲线的方程为E 22 10 xyx 设 由题意建立方程组 1122 A x yB xy 22 1 1 ykx xy 消去 得y 22 1220kxkx 又已知直线与双曲线左支交于两点 有 A B 解得 2 2 2 12 2 12 2 10 28 10 2 0 1 2 0 1 k kk k xx k x x k 21k 2 12 1ABkxx 2 1212 14kxxx x 2 2 22 22 14 11 k k kk 22 2 2 12 2 1 kk k 依题意得 22 2 2 12 26 3 1 kk k 整理后得 42 2855250kk 或 2 5 7 k 2 5 4 k 但 21k 5 2 k 故直线的方程为AB 5 10 2 xy 设 由已知 得 00 C xyOAOBmOC 112200 x yxymx my 1212 00 xxyy mx my mm 0m 又 12 2 2 4 5 1 xx k 2 1212 22 22 228 11 k yyk xx kk 点 4 5 8 C mm 将点的坐标代入曲线的方程 得得 CE 22 8064 1 mm 4m 但当时 所得的点在双曲线的右支上 不合题意4m 点的坐标为4m C 5 2 到的距离为CAB 2 2 5 52 1 2 1 3 5 1 2 的面积ABC 11 6 33 23 S 22 解法一 取 AC 中点 D 连结 SD DB SA SC AB BC AC SD 且 AC BD AC 平面 SDB 又 SB 平面 SDB AC SB AC 平面 SDB AC 平面 ABC 平面 SDB 平面 ABC 过 N 作 NE BD 于 E NE 平面 ABC 过 E 作 EF CM 于 F 连结 NF 则 NF CM NFE 为二面角 N CM B 的平面角 平面 SAC 平面 ABC SD AC SD 平面 ABC 又 NE 平面 ABC NE SD SN NB NE 2 1 SD 2 1 22 ADSA 2 1 412 2 且 ED EB 在正 ABC 中 由平几知识可求得 EF 4 1 MB 2 1 在 Rt NEF 中 tan NFE EF EN 22 二面角 N CM B 的大小是 arctan22 在 Rt NEF 中 NF 22 ENEF 2 3 S CMN 2 1 CM NF 2 3 3 S CMB 2 1 BM CM 23 设点 B 到平面 CMN 的距离为 h VB CMN VN CMB NE 平面 CMB 3 1 S CMN h 3 1 S CMB NE h CMN CMB S NES A A 3 24 即点 B 到平面 CMN 的距离为 3 24 解法二 取 AC 中点 O 连结 OS OB SA SC AB BC AC SO 且 AC BO 平面 SAC 平面 ABC 平面 SAC 平面 ABC AC SO 面 ABC SO BO 如图所示建立空间直角坐标系 O xyz 则 A 2 0 0 B 0 23 0 C 2 0 0 S 0 0 22 M 1 3 0 N 0 3 2 AC 4 0 0 SB 0 23 22 AC SB 4 0 0 0 23 22 0 AC SB 由 得CM 3 3 0 MN 1 0 2 设 x y z 为平面 CMN 的一个法向量 则n 02 033 zxnMN yxnCM 取z 1 则x 2 y 6 2