初中几何辅助线做法大全

徐明宇 1 线 角 相交线 平行线线 角 相交线 平行线 规律规律 1 如果平面上有如果平面上有 n n 2 个点 其中任何三点都不在同一直线上 那么每两点画一条直线 一个点 其中任何三点都不在同一直线上 那么每两点画一条直线 一 共可以画出共可以画出n n 1 条条 1 2 规律规律 2 平面上的平面上的 n 条直线条直线最多最多可把平面分成可把平面分成 n n 1 1 个部分个部分 1 2 规律规律 3 如果一条直线上有如果一条直线上有 n 个点 那么在这个图形中共有线段的条数为个点 那么在这个图形中共有线段的条数为n n 1 条条 1 2 规律规律 4 线段 或延长线 上任一点分线段为两段 这两条线段的中点的距离等于线段长的一半线段 或延长线 上任一点分线段为两段 这两条线段的中点的距离等于线段长的一半 例 如图 B 在线段 AC 上 M 是 AB 的中点 N 是 BC 的中点 求证 MN AC 1 2 证明 M 是 AB 的中点 N 是 BC 的中点 AM BM AB BN CN BC 1 2 1 2 MN MB BN AB BC AB BC 1 2 1 2 1 2 MN AC 1 2 练习 1 如图 点 C 是线段 AB 上的一点 M 是线段 BC 的中点 求证 AM AB BC 1 2 2 如图 点 B 在线段 AC 上 M 是 AB 的中点 N 是 AC 的中点 求证 MN BC 1 2 3 如图 点 B 在线段 AC 上 N 是 AC 的中点 M 是 BC 的中点 求证 MN AB 1 2 规律规律 5 有公共端点的有公共端点的 n 条射线所构成的交点的个数一共有条射线所构成的交点的个数一共有n n 1 个个 1 2 规律规律 6 如果平面内有如果平面内有 n 条直线都经过同一点 则可构成小于平角的角共有条直线都经过同一点 则可构成小于平角的角共有 2n n 1 个 个 规律规律 7 如果平面内有如果平面内有 n 条直线都经过同一点 则可构成条直线都经过同一点 则可构成 n n 1 对对顶角 对对顶角 规律规律 8 平面上若有平面上若有 n n 3 个点 任意三个点不在同一直线上 过任意三点作三角形一共可作出 个点 任意三个点不在同一直线上 过任意三点作三角形一共可作出 n n 1 n 2 个 个 1 6 规律规律 9 互为邻补角的两个角平分线所成的角的度数为互为邻补角的两个角平分线所成的角的度数为 90o 规律规律 10 平面上有平面上有 n 条直线相交 最多交点的个数为条直线相交 最多交点的个数为n n 1 个个 1 2 规律规律 11 互为补角中较小角的余角等于这两个互为补角的角的差的一半互为补角中较小角的余角等于这两个互为补角的角的差的一半 规律规律 12 当两直线平行时 同位角的角平分线互相平行 内错角的角平分线互相平行 同旁内角的当两直线平行时 同位角的角平分线互相平行 内错角的角平分线互相平行 同旁内角的 角平分线互相垂直角平分线互相垂直 NMCBA MC BA NM CB A NM CB A 徐明宇 2 例 如图 以下三种情况请同学们自己证明 规律规律 13 已知已知 AB DE 如图如图 规律如下 规律如下 规律规律 14 成成 8 字形的两个三角形的一对内角平分线相交所成的角等于另两个内角和的一半字形的两个三角形的一对内角平分线相交所成的角等于另两个内角和的一半 例 已知 BE DE 分别平分 ABC 和 ADC 若 A 45o C 55o 求 E 的度数 解 A ABE E ADE C CDE E CBE 得 A ABE C CDE E ADE E CBE BE 平分 ABC DE 平分 ADC ABE CBE CDE ADE 2 E A C E A C 1 2 A 45o C 55o E 50o 1 ABC BCD CDE 360 E D C B A CDE ABC BCD 2 E D C B A CDE ABC BCD 3 E D C B A CDE ABC BCD 4 E D C B A CDE ABC BCD 5 ED C B A CDE ABC BCD 6 ED C BA N M E D B C A H G F E D B C A H G F E D B C A H G F E D B C A 徐明宇 3 三角形部分三角形部分 规律规律 15 在利用三角形三边关系证明线段不等关系时 如果直接证不出来 可连结两点或延长某 在利用三角形三边关系证明线段不等关系时 如果直接证不出来 可连结两点或延长某 边构造三角形 使结论中出现的线段在一个或几个三角形中 再利用三边关系定理及不边构造三角形 使结论中出现的线段在一个或几个三角形中 再利用三边关系定理及不 等式性质证题等式性质证题 例 如图 已知 D E 为 ABC 内两点 求证 AB AC BD DE CE 证法 一 将 DE 向两边延长 分别交 AB AC 于 M N 在 AMN 中 AM AN MD DE NE 在 BDM 中 MB MD BD 在 CEN 中 CN NE CE 得 AM AN MB MD CN NE MD DE NE BD CE AB AC BD DE CE 证法 二 延长 BD 交 AC 于 F 延长 CE 交 BF 于 G 在 ABF 和 GFC 和 GDE 中有 AB AF BD DG GF GF FC GE CE DG GE DE 有 AB AF GF FC DG GE BD DG GF GE CE DE AB AC BD DE CE 注意 注意 利用三角形三边关系定理及推论证题时 常通过引辅助线 把求证的量 或与求证有关利用三角形三边关系定理及推论证题时 常通过引辅助线 把求证的量 或与求证有关 的量 移到同一个或几个三角形中去然后再证题的量 移到同一个或几个三角形中去然后再证题 练习练习 已知 如图 P 为 ABC 内任一点 求证 AB BC AC PA PB PC AB BC AC 1 2 规律规律 16 三角形的一个内角平分线与一个外角平分线相交所成的锐角 等于第三个内角的一半 三角形的一个内角平分线与一个外角平分线相交所成的锐角 等于第三个内角的一半 例 如图 已知 BD 为 ABC 的角平分线 CD 为 ABC 的外角 ACE 的平分线 它与 BD 的延长 线交于 D 求证 A 2 D 证明 BD CD 分别是 ABC ACE 的平分线 ACE 2 1 ABC 2 2 A ACE ABC A 2 1 2 2 又 D 1 2 A 2 D 规律规律 17 三角形的两个内角平分线相交所成的钝角等于三角形的两个内角平分线相交所成的钝角等于 90o加上第三个内角的一半加上第三个内角的一半 例 如图 BD CD 分别平分 ABC ACB 求证 BDC 90o A 1 2 证明 BD CD 分别平分 ABC ACB A 2 1 2 2 180o 2 1 2 180o A BDC 180o 1 2 1 2 180o BDC FG N M E D C B A 21 CE D B A D CB A 21 徐明宇 4 把 式代入 式得 2 180o BDC 180o A 即 360o 2 BDC 180o A 2 BDC 180o A BDC 90o A 1 2 规律规律 18 三角形的两个外角平分线相交所成的锐角等于三角形的两个外角平分线相交所成的锐角等于 90o减去第三个内角的一半减去第三个内角的一半 例 如图 BD CD 分别平分 EBC FCB 求证 BDC 90o A 1 2 证明 BD CD 分别平分 EBC FCB EBC 2 1 FCB 2 2 2 1 A ACB 2 2 A ABC 得 2 1 2 A ABC ACB A 2 1 2 180o A 1 2 90o A 1 2 BDC 180o 1 2 BDC 180o 90o A 1 2 BDC 90o A 1 2 规律规律 19 从三角形的一个顶点作高线和角平分线 它们所夹的角等于三角形另外两个角差 的绝从三角形的一个顶点作高线和角平分线 它们所夹的角等于三角形另外两个角差 的绝 对值 的一半对值 的一半 例 已知 如图 在 ABC 中 C B AD BC 于 D AE 平分 BAC 求证 EAD C B 1 2 证明 AE 平分 BAC BAE CAE BAC 1 2 BAC 180o B C EAC 180o B C 1 2 AD BC DAC 90o C EAD EAC DAC EAD 180o B C 90o C 1 2 90o B C 90o C 1 2 C B 1 2 21 F E D C B A ED C B A A B C D E F F E D C B A 徐明宇 5 如果把如果把 AD 平移可以得到如下两图 平移可以得到如下两图 FD BC 其它条件不变 结论为其它条件不变 结论为 EFD C B 1 2 注意 注意 同学们在学习几何时 可以把自己证完的题进行适当变换 从而使自己通过解一道题同学们在学习几何时 可以把自己证完的题进行适当变换 从而使自己通过解一道题 掌握一类题 提高自己举一反三 灵活应变的能力掌握一类题 提高自己举一反三 灵活应变的能力 规律规律 20 在利用在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角三角形的外角大于任何和它不相邻的内角证明角的不等关系时 如果直接证不出来 证明角的不等关系时 如果直接证不出来 可连结两点或延长某边 构造三角形 使求证的大角在某个三角形外角的位置上 小角可连结两点或延长某边 构造三角形 使求证的大角在某个三角形外角的位置上 小角 处在内角的位置上 再利用外角定理证题处在内角的位置上 再利用外角定理证题 例 已知 D 为 ABC 内任一点 求证 BDC BAC 证法 一 延长 BD 交 AC 于 E BDC 是 EDC 的外角 BDC DEC 同理 DEC BAC BDC BAC 证法 二 连结 AD 并延长交 BC 于F BDF 是 ABD 的外角 BDF BAD 同理 CDF CAD BDF CDF BAD CAD 即 BDC BAC 规律规律 21 有角平分线时常在角两边截取相等的线段 构造全等三角形有角平分线时常在角两边截取相等的线段 构造全等三角形 例 已知 如图 AD 为 ABC 的中线且 1 2 3 4 求证 BE CF EF 证明 在 DA 上截取 DN DB 连结 NE NF 则 DN DC 在 BDE 和 NDE 中 DN DB 1 2 ED ED BDE NDE BE NE 同理可证 CF NF 在 EFN 中 EN FN EF BE CF EF 规律规律 22 有以线段中点为端点的线段时 常加倍延长此线段构造全等三角形有以线段中点为端点的线段时 常加倍延长此线段构造全等三角形 例 已知 如图 AD 为 ABC 的中线 且 1 2 3 4 求证 BE CF EF 证明 延长 ED 到 M 使 DM DE 连结 CM FM BDE 和 CDM 中 BD CD 1 5 ED MD BDE CDM CM BE 又 1 2 3 4 1 2 3 4 180o F A B C D E D C B A 4 3 2 1 N F E D C B A 徐明宇 6 3 2 90o 即 EDF 90o FDM EDF 90o EDF 和 MDF 中 ED MD FDM EDF DF DF EDF MDF EF MF 在 CMF 中 CF CM MF BE CF EF 此题也可加倍 FD 证法同上 规律规律 23 在三角形中有中线时 常加倍延长中线构造全等三角形在三角形中有中线时 常加倍延长中线构造全等三角形 例 已知 如图 AD 为 ABC 的中线 求证 AB AC 2AD 证明 延长 AD 至 E 使 DE AD 连结 BE AD 为 ABC 的中线 BD CD 在 ACD 和 EBD 中 BD CD 1 2 AD ED ACD EBD ABE 中有 AB BE AE AB AC 2AD 规律规律 24 截长补短作辅助线的方法截长补短作辅助线的方法 截长法 在较长的线段上截取一条线段等于较短线段 截长法 在较长的线段上截取一条线段等于较短线段 补短法 延长较短线段和较长线段相等补短法 延长较短线段和较长线段相等 这两种方法统称截长补短法这两种方法统称截长补短法 当已知或求证中涉及到线段当已知或求证中涉及到线段 a b c d 有下列情况之一时用此种方法 有下列情况之一时用此种方法 a b a b c a b c d 例 已知 如图 在 ABC 中 AB AC 1 2 P 为 AD 上任一点 求证 AB AC PB PC 证明 截长法 截长法 在 AB 上截取 AN AC 连结 PN 在 APN 和 APC 中 AN AC 1 2 AP AP APN APC PC PN BPN 中有 PB PC BN PB PC AB AC 补短法 补短法 延长 AC 至 M 使 AM AB 连结 PM 在 ABP 和 AMP 中 M A B CD E F 1 2 3 4 5 1 2 E DC B A P 12 N D C B A A B C D 2 1 P M 徐明宇 7 AB AM 1 2 AP AP ABP AMP PB PM 又 在 PCM 中有 CM PM PC AB AC PB PC 练习练习 1 已知 在 ABC 中 B 60o AD CE 是 ABC 的角平分线 并且它们交于点 O 求证 AC AE CD 2 已知 如图 AB CD 1 2 3 4 求证 BC AB CD 规律规律 25 证明两条线段相等的步骤 证明两条线段相等的步骤 观察要证线段在哪两个可能全等的三角形中 然后证这两个三角形全等 观察要证线段在哪两个可能全等的三角形中 然后证这两个三角形全等 若图中没有全等三角形 可以把求证线段用和它相等的线段代换 再证它们所在的三若图中没有全等三角形 可以把求证线段用和它相等的线段代换 再证它们所在的三 角形全等角形全等 如果没有相等的线段代换 可设法作辅助线构造全等三角形如果没有相等的线段代换 可设法作辅助线构造全等三角形 例 如图 已知 BE CD 相交于 F B C 1 2 求证 DF EF 证明 ADF B 3 AEF C 4 又 3 4 B C ADF AEF 在 ADF 和 AEF 中 ADF AEF 1 2 AF AF ADF AEF DF EF 规律规律 26 在一个图形中 有多个垂直关系时 常用同角 等角 的余角相等来证明两个角相等在一个图形中 有多个垂直关系时 常用同角 等角 的余角相等来证明两个角相等 例 已知 如图 Rt ABC 中 AB AC BAC 90o 过 A 作任一条直线 AN 作 BD AN 于 D CE AN 于 E 求证 DE BD CE 证明 BAC 90o BD AN 1 2 90o 1 3 90o 2 3 BD AN CE AN BDA AEC 90o 在 ABD 和 CAE 中 BDA AEC 2 3 AB AC ABD CAE BD AE 且 AD CE AE AD BD CE 43 21 F E D C B A 3 2 1 N E D CB A 4 32 1 E D CB A 徐明宇 8 DE BD CE 规律规律 27 三角形一边的两端点到这边的中线所在的直线的距离相等三角形一边的两端点到这边的中线所在的直线的距离相等 例 AD 为 ABC 的中线 且 CF AD 于 F BE AD 的延长线于 E 求证 BE CF 证明 略 规律规律 28 条件不足时延长已知边构造三角形条件不足时延长已知边构造三角形 例 已知 AC BD AD AC 于 A BCBD 于 B 求证 AD BC 证明 分别延长 DA CB 交于点 E AD AC BC BD CAE DBE 90o 在 DBE 和 CAE 中 DBE CAE BD AC E E DBE CAE ED EC EB EA ED EA EC EB AD BC 规律规律 29 连接四边形的对角线 把四边形问题转化成三角形来解决问题连接四边形的对角线 把四边形问题转化成三角形来解决问题 例 已知 如图 AB CD AD BC 求证 AB CD 证明 连结 AC 或 BD AB CD AD BC 1 2 在 ABC 和 CDA 中 1 2 AC CA 3 4 ABC CDA AB CD 练习练习 已知 如图 AB DC AD BC DE BF 求证 BE DF 规律规律 30 有和角平分线垂直的线段时 通常把这条线段延长 可归结为有和角平分线垂直的线段时 通常把这条线段延长 可归结为 角分垂等腰归角分垂等腰归 例 已知 如图 在 Rt ABC 中 AB AC BAC 90o 1 2 CE BD 的延长线于 E 求证 BD 2CE 证明 分别延长 BA CE 交于 F 2 1 D CB A F E O E DC B A 4 3 2 1 D C B A E F D C BA 徐明宇 9 BE CF BEF BEC 90o 在 BEF 和 BEC 中 1 2 BE BE BEF BEC BEF BEC CE FE CF 1 2 BAC 90o BE CF BAC CAF 90o 1 BDA 90o 1 BFC 90o BDA BFC 在 ABD 和 ACF 中 BAC CAF BDA BFC AB AC ABD ACF BD CF BD 2CE 练习 已知 如图 ACB 3 B 1 2 CD AD 于 D 求证 AB AC 2CD 规律规律 31 当证题有困难时 可结合已知条件 把图形中的某两点连接起来构造全等三角形当证题有困难时 可结合已知条件 把图形中的某两点连接起来构造全等三角形 例 已知 如图 AC BD 相交于 O 且 AB DC AC BD 求证 A D 证明 连结 BC 过程略 规律规律 32 当证题缺少线段相等的条件时 可取某条线段中点 为证题提供条件当证题缺少线段相等的条件时 可取某条线段中点 为证题提供条件 例 已知 如图 AB DC A D 求证 ABC DCB 证明 分别取 AD BC 中点 N M 连结 NB NM NC 过程略 规律规律 33 有角平分线时 常过角平分线上的点向角两边做垂线 利用角平分线上的点到角两边距离有角平分线时 常过角平分线上的点向角两边做垂线 利用角平分线上的点到角两边距离 相等证题相等证题 例 已知 如图 1 2 P 为 BN 上一点 且 PD BC 于 D AB BC 2BD 求证 BAP BCP 180o 2 1 E F D C B A O A B D C B A D C 2 1 D C B A 徐明宇 10 证明 过 P 作 PE BA 于 E PD BC 1 2 PE PD 在 Rt BPE 和 Rt BPD 中 BP BP PE PD Rt BPE Rt BPD BE BD AB BC 2BD BC CD BD AB BE AE AE CD PE BE PD BC PEB PDC 90o 在 PEA 和 PDC 中 PE PD PEB PDC AE CD PEA PDC PCB EAP BAP EAP 180o BAP BCP 180o 练习 1 已知 如图 PA PC 分别是 ABC 外角 MAC 与 NCA 的平分线 它们交于 P PD BM 于 M PF BN 于 F 求证 BP 为 MBN 的平分线 2 已知 如图 在 ABC 中 ABC 100o ACB 20o CE 是 ACB 的平分线 D 是 AC 上一点 若 CBD 20o 求 CED 的度数 规律规律 34 有等腰三角形时常用的辅助线有等腰三角形时常用的辅助线 作顶角的平分线 底边中线 底边高线作顶角的平分线 底边中线 底边高线 例 已知 如图 AB AC BD AC 于 D 求证 BAC 2 DBC 证明 方法一 作 BAC 的平分线 AE 交 BC 于 E 则 1 2 BAC 1 2 又 AB AC AE BC 2 ACB 90o F M N P B A D C E D C B A 21 E D C B A N P E D C B A 2 1 徐明宇 11 BD AC DBC ACB 90o 2 DBC BAC 2 DBC 方法二 过 A 作 AE BC 于 E 过程略 方法三 取 BC 中点 E 连结 AE 过程略 有底边中点时 常作底边中线有底边中点时 常作底边中线 例 已知 如图 ABC 中 AB AC D 为 BC 中点 DE AB 于 E DF AC 于 F 求证 DE DF 证明 连结 AD D 为 BC 中点 BD CD 又 AB AC AD 平分 BAC DE AB DF AC DE DF 将腰延长一倍 构造直角三角形解题将腰延长一倍 构造直角三角形解题 例 已知 如图 ABC 中 AB AC 在 BA 延长线和 AC 上各取一点 E F 使 AE AF 求证 EF BC 证明 延长 BE 到 N 使 AN AB 连结 CN 则 AB AN AC B ACB ACN ANC B ACB ACN ANC 180o 2 BCA 2 ACN 180o BCA ACN 90o 即 BCN 90o NC BC AE AF AEF AFE 又 BAC AEF AFE BAC ACN ANC BAC 2 AEF 2 ANC AEF ANC EF NC EF BC 常过一腰上的某一已知点做另一腰的平行线常过一腰上的某一已知点做另一腰的平行线 例 已知 如图 在 ABC 中 AB AC D 在 AB 上 E 在 AC 延长线上 且 BD CE 连结 DE 交 BC 于 F 求证 DF EF 证明 证法一 过 D 作 DN AE 交 BC 于 N 则 DNB ACB NDE E AB AC B ACB B DNB BD DN 又 BD CE DN EC FE D C B A N F E C B A 2 1 N F E D C B A 2 1 M F E D C B A 徐明宇 12 在 DNF 和 ECF 中 1 2 NDF E DN EC DNF ECF DF EF 证法二 过 E 作 EM AB 交 BC 延长线于 M 则 EMB B 过程略 常过一腰上的某一已知点做底的平行线常过一腰上的某一已知点做底的平行线 例 已知 如图 ABC 中 AB AC E 在 AC 上 D 在 BA 延长线上 且 AD AE 连结 DE 求证 DE BC 证明 证法一 过点 E 作 EF BC 交 AB 于 F 则 AFE B AEF C AB AC B C AFE AEF AD AE AED ADE 又 AFE AEF AED ADE 180o 2 AEF 2 AED 90o 即 FED 90o DE FE 又 EF BC DE BC 证法二 过点 D 作 DN BC 交 CA 的延长线于 N 过程略 证法三 过点 A 作 AM BC 交 DE 于 M 过程略 常将等腰三角形转化成特殊的等腰三角形常将等腰三角形转化成特殊的等腰三角形 等边三角形等边三角形 例 已知 如图 ABC 中 AB AC BAC 80o P 为形内一点 若 PBC 10o PCB 30o 求 PAB 的度数 解法一 以 AB 为一边作等边三角形 连结 CE 则 BAE ABE 60o AE AB BE AB AC AE AC ABC ACB AEC ACE EAC BAC BAE 80o 60o 20o ACE 180o EAC 80o 1 2 ACB 180o BAC 50o 1 2 BCE ACE ACB 80o 50o 30o PCB 30o PCB BCE N M FE D CB A P E C B A 徐明宇 13 ABC ACB 50o ABE 60o EBC ABE ABC 60o 50o 10o PBC 10o PBC EBC 在 PBC 和 EBC 中 PBC EBC BC BC PCB BCE PBC EBC BP BE AB BE AB BP BAP BPA ABP ABC PBC 50o 10o 40o PAB 180o ABP 70o 1 2 解法二 以 AC 为一边作等边三角形 证法同一 解法三 以 BC 为一边作等边三角形 BCE 连结 AE 则 EB EC BC BEC EBC 60o EB EC E 在 BC 的中垂线上 同理 A 在 BC 的中垂线上 EA 所在的直线是 BC 的中垂线 EA BC AEB BEC 30o PCB 1 2 由解法一知 ABC 50o ABE EBC ABC 10o PBC ABE PBC BE BC AEB PCB ABE PBC AB BP BAP BPA ABP ABC PBC 50o 10o 40o PAB 180o ABP 180o 40o 70o 1 2 1 2 规律规律 35 有二倍角时常用的辅助线有二倍角时常用的辅助线 构造等腰三角形使二倍角是等腰三角形的顶角的外角构造等腰三角形使二倍角是等腰三角形的顶角的外角 例 已知 如图 在 ABC 中 1 2 ABC 2 C 求证 AB BD AC 证明 延长 AB 到 E 使 BE BD 连结 DE 则 BED BDE ABD E BDE ABC 2 E ABC 2 C E C 21 E D C B A P E C B A 徐明宇 14 在 AED 和 ACD 中 E C 1 2 AD AD AED ACD AC AE AE AB BE AC AB BE 即 AB BD AC 平分二倍角平分二倍角 例 已知 如图 在 ABC 中 BD AC 于 D BAC 2 DBC 求证 ABC ACB 证明 作 BAC 的平分线 AE 交 BC 于 E 则 BAE CAE DBC BD AC CBD C 90o CAE C 90o AEC 180o CAE C 90o AE BC ABC BAE 90o CAE C 90o BAE CAE ABC ACB 加倍小角加倍小角 例 已知 如图 在 ABC 中 BD AC 于 D BAC 2 DBC 求证 ABC ACB 证明 作 FBD DBC BF 交 AC 于 F 过程略 规律规律 36 有垂直平分线时常把垂直平分线上的点与线段两端点连结起来有垂直平分线时常把垂直平分线上的点与线段两端点连结起来 例 已知 如图 ABC 中 AB AC BAC 120o EF 为 AB 的垂直平分线 EF 交 BC 于 F 交 AB 于 E 求证 BF FC 1 2 证明 连结 AF 则 AF BF B FAB AB AC B C BAC 120o B C BAC 180o BAC 30o 1 2 D E CB A F D CB A F E C B A 徐明宇 15 FAB 30o FAC BAC FAB 120o 30o 90o 又 C 30o AF FC 1 2 BF FC 1 2 练习 已知 如图 在 ABC 中 CAB 的平分线 AD 与 BC 的垂直平分线 DE 交于点 D DM AB 于 M DN AC 延长线于 N 求证 BM CN 规律规律 37 有垂直时常构造垂直平分线有垂直时常构造垂直平分线 例 已知 如图 在 ABC 中 B 2 C AD BC 于 D 求证 CD AB BD 证明 一 在 CD 上截取 DE DB 连结 AE 则 AB AE B AEB B 2 C AEB 2 C 又 AEB C EAC C EAC AE CE 又 CD DE CE CD BD AB 二 延长 CB 到 F 使 DF DC 连结 AF 则 AF AC 过程略 规律规律 38 有中点时常构造垂直平分线有中点时常构造垂直平分线 例 已知 如图 在 ABC 中 BC 2AB ABC 2 C BD CD 求证 ABC 为直角三角形 证明 过 D 作 DE BC 交 AC 于 E 连结 BE 则 BE CE C EBC ABC 2 C ABE EBC BC 2AB BD CD BD AB 在 ABE 和 DBE 中 AB BD ABE EBC BE BE ABE DBE N M E D CB A ED C B A F D C B A E D C B A 徐明宇 16 BAE BDE BDE 90o BAE 90o 即 ABC 为直角三角形 规律规律 39 当涉及到线段平方的关系式时常构造直角三角形 利用勾股定理证题当涉及到线段平方的关系式时常构造直角三角形 利用勾股定理证题 例 已知 如图 在 ABC 中 A 90o DE 为 BC 的垂直平分线 求证 BE2 AE2 AC2 证明 连结 CE 则 BE CE A 90o AE2 AC2 EC2 AE2 AC2 BE2 BE2 AE2 AC2 练习 已知 如图 在 ABC 中 BAC 90o AB AC P 为 BC 上一点 求证 PB2 PC2 2PA2 规律规律 40 条件中出现特殊角时常作高把特殊角放在直角三角形中条件中出现特殊角时常作高把特殊角放在直角三角形中 例 已知 如图 在 ABC 中 B 45o C 30o AB 求 AC 的长 2 解 过 A 作 AD BC 于 D B BAD 90o B 45o B BAD 45o AD BD AB2 AD2 BD2 AB 2 AD 1 C 30o AD BC AC 2AD 2 E D C B A D C B A P CB A 徐明宇 17 四边形部分四边形部分 规律规律 41 平行四边形的两邻边之和等于平行四边形周长的一半平行四边形的两邻边之和等于平行四边形周长的一半 例 已知 ABCD 的周长为 60cm 对角线 AC BD 相交于点 O AOB 的周长比 BOC 的周长多 8cm 求这个四边形各边长 解 四边形 ABCD 为平行四边形 AB CD AD CB AO CO AB CD DA CB 60 AO AB OB OB BC OC 8 AB BC 30 AB BC 8 AB CD 19 BC AD 11 答 这个四边形各边长分别为 19cm 11cm 19cm 11cm 规律规律 42 平行四边形被对角线分成四个小三角形 相邻两个三角形周长之差等于邻边之差平行四边形被对角线分成四个小三角形 相邻两个三角形周长之差等于邻边之差 例题如上 规律规律 43 有平行线时常作平行线构造平行四边形有平行线时常作平行线构造平行四边形 例 已知 如图 Rt ABC ACB 90o CD AB 于 D AE 平分 CAB 交 CD 于 F 过 F 作 FH AB 交 BC 于 H 求证 CE BH 证明 过 F 作 FP BC 交 AB 于 P 则四边形FPBH 为 平行四边形 B FPA BH FP ACB 90o CD AB 5 CAB 45o B CAB 90o 5 B 5 FPA 又 1 2 AF AF CAF PAF CF FP 4 1 5 3 2 B 3 4 CF CE CE BH 练习 已知 如图 AB EF GH BE GC 求证 AB EF GH 规律规律 44 有以平行四边形一边中点为端点的线段时常延长此线段有以平行四边形一边中点为端点的线段时常延长此线段 例 已知 如图 在 ABCD 中 AB 2BC M 为 AB 中点 5 4 3 2 1 P H F E D C B A G H F E B A C 徐明宇 18 求证 CM DM 证明 延长 DM CB 交于 N 四边形 ABCD 为平行四边形 AD BC AD BC A NBA ADN N 又 AM BM AMD BMN AD BN BN BC AB 2BC AM BM BM BC BN 1 2 3 N 1 2 3 N 180o 1 3 90o CM DM 规律规律 45 平行四边形对角线的交点到一组对边距离相等平行四边形对角线的交点到一组对边距离相等 如图 OE OF 规律规律 46 平行四边形一边 或这边所在的直线 上的任意一点与对边的两个端点的连线所构成的三平行四边形一边 或这边所在的直线 上的任意一点与对边的两个端点的连线所构成的三 角形的面积等于平行四边形面积的一半角形的面积等于平行四边形面积的一半 如图 S BEC S ABCD 1 2 规律规律 47 平行四边形内任意一点与四个顶点的连线所构成的四个三角形中 不相邻的两个三角形的平行四边形内任意一点与四个顶点的连线所构成的四个三角形中 不相邻的两个三角形的 面积之和等于平行四边形面积的一半面积之和等于平行四边形面积的一半 如图 S AOB S DOC S BOC S AOD S ABCD 1 2 规律规律 48 任意一点与同一平面内的矩形各点的连线中 不相邻的两条线段的平方和相等任意一点与同一平面内的矩形各点的连线中 不相邻的两条线段的平方和相等 如图 AO2 OC2 BO2 DO2 规律规律 49 平行四边形四个内角平分线所围成的四边形为矩形平行四边形四个内角平分线所围成的四边形为矩形 如图 四边形 GHMN 是矩形 3 2 1 N M B A D C F E O D C B A E D C B A O D C B A N M H G D C B A A D C B O O B C DA 徐明宇 19 规律 规律 45 规律 规律 49 请同学们自己证明 请同学们自己证明 规律规律 50 有垂直时可作垂线构造矩形或平行线有垂直时可作垂线构造矩形或平行线 例 已知 如图 E 为矩形 ABCD 的边 AD 上一点 且 BE ED P 为对角线 BD 上一点 PF BE 于 F PG AD 于 G 求证 PF PG AB 证明 证法一 过 P 作 PH AB 于 H 则四边形 AHPG 为矩形 AH GP PH AD ADB HPB BE DE EBD ADB HPB EBD 又 PFB BHP 90o PFB BHP HB FP AH HB PG PF 即 AB PG PF 证法二 延长 GP 交 BC 于 N 则四边形 ABNG 为矩形 证明略 规律规律 51 直角三角形常用辅助线方法 直角三角形常用辅助线方法 作斜边上的高作斜边上的高 例 已知 如图 若从矩形 ABCD 的顶点 C 作对角线 BD 的垂线与 BAD 的平分线交于点 E 求证 AC CE 证明 过 A 作 AF BD 垂足为 F 则 AF EG FAE AEG 四边形 ABCD 为矩形 BAD 90o OA OD BDA CAD AF BD ABD ADB ABD BAF 90o BAF ADB CAD AE 为 BAD 的平分线 BAE DAE BAE BAF DAE DAC 即 FAE CAE CAE AEG AC EC 作斜边中线 当有下列情况时常作斜边中线 作斜边中线 当有下列情况时常作斜边中线 有斜边中点时有斜边中点时 例 已知 如图 AD BE 是 ABC 的高 F 是 DE 的中点 G 是 AB 的中点 求证 GF DE 证明 连结 GE GD AD BE 是 ABC 的高 G 是 AB 的中点 GE AB GD AB 1 2 1 2 N P H G F E D C B A G O F E D C B A G F E D CB A 徐明宇 20 GE GD F 是 DE 的中点 GF DE 有和斜边倍分关系的线段时有和斜边倍分关系的线段时 例 已知 如图 在 ABC 中 D 是 BC 延长线上一点 且 DA BA 于 A AC BD 1 2 求证 ACB 2 B 证明 取 BD 中点 E 连结 AE 则 AE BE BD 1 2 1 B AC BD 1 2 AC AE ACB 2 2 1 B 2 2 B ACB 2 B 规律规律 52 正方形一条对角线上一点到另一条对角线上的两端距离相等正方形一条对角线上一点到另一条对角线上的两端距离相等 例 已知 如图 过正方形 ABCD 对角线 BD 上一点 P 作 PE BC 于 E 作 PF CD 于 F 求证 AP EF 证明 连结 AC PC 四边形 ABCD 为正方形 BD 垂直平分 AC BCD 90o AP CP PE BC PF CD BCD 90o 四边形 PECF 为矩形 PC EF AP EF 规律规律 53 有正方形一边中点时常取另一边中点有正方形一边中点时常取另一边中点 例 已知 如图 正方形 ABCD 中 M 为 AB 的中点 MN MD BN 平分 CBE 并交 MN 于 N 求证 MD MN 证明 取 AD 的中点 P 连结 PM 则 DP PA AD 1 2 四边形 ABCD 为正方形 AD AB A ABC 90o 1 AMD 90o 又 DM MN 2 AMD 90o 1 2 M 为 AB 中点 AM MB AB 1 2 DP MB AP AM APM AMP 45o DPM 135o BN 平分 CBE 2 1 E D C B A PF E D C B A 2 1 PN ME D C B A 徐明宇 21 CBN 45o MBN MBC CBN 90o 45o 135o 即 DPM MBN DPM MBN DM MN 注意 注意 把 M 改为 AB 上任一点 其它条件不变 结论仍然成立 练习 已知 Q 为正方形 ABCD 的 CD 边的中点 P 为 CQ 上一点 且 AP PC BC 求证 BAP 2 QAD 规律规律 54 利用正方形进行旋转变换利用正方形进行旋转变换 旋转变换就是当图形具有邻边相等这一特征时 可以把图形的某部分绕相等邻边的公共端旋转变换就是当图形具有邻边相等这一特征时 可以把图形的某部分绕相等邻边的公共端 点旋转到另一位置的引辅助线方法点旋转到另一位置的引辅助线方法 旋转变换主要用途是把分散元素通过旋转集中起来 从而为证题创造必要的条件旋转变换主要用途是把分散元素通过旋转集中起来 从而为证题创造必要的条件 旋转变换经常用于等腰三角形 等边三角形及正方形中旋转变换经常用于等腰三角形 等边三角形及正方形中 例 已知 如图 在 ABC 中 AB AC BAC 90o D 为 BC 边上任一点 求证 2AD2 BD2 CD2 证明 把 ABD 绕点 A 逆时针旋转 90o得 ACE BD CE B ACE BAC 90o DAE 90o DE2 AD2 AE2 2AD2 B ACB 90o DCE 90o CD2 CE2 DE2 2AD2 BD2 CD2 注意 把 ADC 绕点 A 顺时针旋转 90o 也可 方法同上 练习 已知 如图 在正方形 ABCD 中 E 为 AD 上一点 BF 平分 CBE 交 CD 于 F 求证 BE CF AE 规律规律 55 有以正方形一边中点为端点的线段时 常把这条线段延长 构造全等三角形有以正方形一边中点为端点的线段时 常把这条线段延长 构造全等三角形 例 如图 在正方形 ABCD 中 E F 分别是 CD DA 的中点 BE 与 CF 交于 P 点 求证 AP AB 证明 延长 CF 交 BA 的延长线于 K 四边形 ABCD 为正方形 BC AB CD DA BCD D BAD 90o E F 分别是 CD DA 的中点 QP D C B A E D C B A F E D C B A 徐明宇 22 CE CD DF AF AD 1 2 1 2 CE DF BCE CDF CBE DCF BCF DCF 90o BCF CBE 90o BE CF 又 D DAK 90o DF AF 1 2 CDF KAF CD KA BA KA 又 BE CF AP AB 练习 如图 在正方形 ABCD 中 Q 在 CD 上 且 DQ QC P 在 BC 上 且 AP CD CP 求证 AQ 平分 DAP 规律规律 56 从梯形的一个顶点作一腰的平行线 把梯形分成一个平行四边形和一个三角形从梯形的一个顶点作一腰的平行线 把梯形分成一个平行四边形和一个三角形 例 已知 如图 等腰梯形 ABCD 中 AD BC AD 3 AB 4 BC 7 求 B 的度数 解 过 A 作 AE CD 交 BC 于 E 则四边形 AECD 为平行四边形 AD EC CD AE AB CD 4 AD 3 BC 7 BE AE AB 4 ABE 为等边三角形 B 60o 规律规律 57 从梯形同一底的两端作另一底所在直线的垂线 把梯形转化成一个矩形和两个三角形从梯形同一底的两端作另一底所在直线的垂线 把梯形转化成一个矩形和两个三角形 例 已知 如图 在梯形 ABCD 中 AD BC AB AC BAC 90o BD BC BD 交 AC 于 O 求证 CO CD 证明 过 A D 分别作 AE BC DF BC 垂足分别为 E F 则四边形 AEFD 为矩形 AE DF AB AC AE BC BAC 90o AE BE CE BC ACB 45o 1 2 BC BD AE DF BD 1 2 又 DF BC DBC 30o BD BC 2 1 K P F E D C B A D CB A E O D C B A FE Q P D C B A 徐明宇 23 BDC BCD 180o DBC 1 2 75o DOC DBC ACB 30o 45o 75o BDC DOC CO CD 规律规律 58 从梯形的一个顶点作一条对角线的平行线 把梯形转化成平行四边形和三角形从梯形的一个顶点作一条对角线的平行线 把梯形转化成平行四边形和三角形 例 已知 如图 等腰梯形 ABCD 中 AD BC AC BD AD BC 10 DE BC 于 E 求 DE 的长 解 过 D 作 DF AC 交 BC 的延长线于 F 则四边形 ACFD 为平行四边形 AC DF AD CF 四边形 ABCD 为等腰梯形 AC DB BD FD DE BC BE EF BF 1 2 BC CF BC AD 1 2 1 2 10 5 1 2 AC DF BD AC BD DF BE FE DE BE EF BF 5 1 2 答 DE 的长为 5 规律规律 59 延长梯形两腰使它们交于一点 把梯形转化成三角形延长梯形两腰使它们交于一点 把梯形转化成三角形 例 已知 如图 在四边形 ABCD 中 有 AB DC B C AD BC 求证 四边形 ABCD 等腰梯形 证明 延长 BA CD 它们交于点 E B C EB EC 又 AB DC AE DE EAD EDA E EAD EDA 180o B C E 180o EAD B AD BC AD BC B C 四边形 ABCD 等腰梯形 此题还可以过一顶点作 AB 或 CD 的平行线 也可以过 A D 作 BC 的垂线 规律规律 60 有梯形一腰中点时 常过此中点作另一腰的平行线 把梯形转化成平行四边形有梯形一腰中点时 常过此中点作另一腰的平行线 把梯形转化成平行四边形 F E D C B A E D C B A 徐明宇 24 例 已知 如图 梯形 ABCD 中 AD BC E 为 CD 中点 EF AB 于 F 求证 S梯形 ABCD EF AB 证明 过 E 作 MN AB 交 AD 的延长线于 M 交 BC 于 N 则四边