勾股定理中四种重要的数学思想

1 勾股定理中四种重要的数学思想勾股定理中四种重要的数学思想 摘要摘要 本文主要针对勾股定理中的主要四种数学思想 方程思想 数形结合的思想 分类思想 转换思 想 进行讨论 介绍 关键字关键字 勾股定理 方程思想 数形结合思想 分类思想 转换思想 勾股定理又称毕达哥拉斯定理 它是几何学中几个最重要的定理之一 它揭示了直角三角形三边之间的 数量关系 如果在直角三角形三边的两直角边长分别为 a b 斜边为 c 那么 a b c 它可以解决许多 直角三角形中的计算问题 是解直角三角形的主要依据之一 它不仅在数学中 而且在其他自然科学 实际 的生产生活中也被广泛地使用 数学思想是数学的 灵魂 数学思想遍及数学学习的各个角落 总结概括数学思想有利于透彻地理解 所学的知识 有利于在数学学习中提高我们分析问题和解决问题的能力 形成用数学解决问题的意识 而在勾 股定理这一章节的学习过程中我们同样可以发现其中蕴含着多种的数学思想 本文主要介绍其中主要的四种 数学思想 1 1 方程思想方程思想 方程 历来是数学研究的重要内容之一 也是研究数学重要的工具 对于众多数学问题的求解 方程 常常可以充当由已知探索未知的桥梁而发挥巨大的作用 运用方程的观点去考察问题 运用方程的思想去分 析问题 能有效地沟通知识间的纵横联系 发现各种数量之间的关系 有助于解题思路的寻求与优化 勾股定理本身就是反应了直角三角形中三边的关系 所以在勾股定理的应用中最常见也是最基本的一类 问题就在直角三角形中已知两边求第三边的问题 或是关于此类问题的变形题 而方程思想在勾股定理关于 此类问题的求解过程中都得到了广泛的运用 1 1 求距离长度问题 例 有一个水池 水面是一个边长为 10 尺的正方形 在水池正中央有一根芦苇 它高出水面 1 尺 如 果把这根芦苇拉向水池一边的中点 它的顶端恰好到达池边的水面 水的深度与这根芦 苇的长度分别是多少 分析 在 Rt ABC 中 只有 BC 边的长度 利用勾股定理求一边的长度 还要知道 另一边的长度 因此可以通过设立未知量 建立方程求解 解 设 水的深度为 AB 为 x 尺 则芦苇的长度 AC AD 为 x 1 尺 依题意可以得到如图 1 所示的图形 在 Rt ABC 中 BC 5 尺 根据勾股定理可得方程 x 1 x 5 解得 x 12 x 1 13 则水的深度为 12 尺 芦苇的长度为 13 尺 图 1 1 2 折纸问题 例 2 如图所示 把一个长方形 四个角都是直角 对边相等 折叠 恰好点 D 落边 BC 上 交 BC 与点 F 已 知 AB 8cm BC 10cm 求 EC 的长 分析 Rt AEF 是 Rt AED 沿边 AE 边折叠的 所以就可以 通过折叠中对称的性质得到许多的等量 在矩形中的折叠可以得 到许多的直角三角形 要求 EC 边长 构造直角三角形 找出 EC 边所在的直角三角形 在根据勾股定理 找出所需的量以及各个 量之间的关系 在已知量与为质量之间建立方程关系 解 由题意 得 AF AD DE EF 在 Rt ABF 中 AB 8cm AF AD 10cm 图 2 E D A B C F B A C D 2 BF cm 22 108366 BC 10cm CF 10 6 4 cm 设 CE xcm 则 DE 8 x cm EF DE 8 x cm 在 Rt CEF 中 根据勾股定理可得方程 4 x 8 x 解得 x 3 故 EC 的长为 3cm 2 2 数形结合思想数形结合思想 数形结合是数学解题中常用的一种数学方法 它也是一种数学思想 使用数形结合的方法 很多问题都 能迎刃而解 且解法简捷 所谓数形结合就是根据数与形之间的对应关系 通过 数 与 形 之间相互结 合 相互渗透 相互转化 将反映问题的抽象数量关系与直观图形结合起来 也是将抽象思维与形象思维有机 的结合起来的一种解决数学问题的重要思想方法 数形结合思想通过 以形助数 以数解形 将数量关系和空间形式巧妙结合 使复杂问题简单化 抽 象问题具体化 有助于把握数学问题的本质 发现问题中所隐含的条件 它是数学的规律性与灵活性的有机 结合 勾股定理揭示了直角三角形三边之间的数量关系 如果在直角三角形三边的两直角边长分别为 a b 斜边为 c 那么 a b c 定理的本身实现了由 形 的特点与 数 特点的结合 因此不管是在定理 本身的证明还是在定理的应用都经常运用到数形结合的思想 2 1 方位问题 方位问题是勾股定理实际运用的重要体现 也是数形结合的典型列子 例 3 台风是一种自然灾害 它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴 有极强的破坏 性 如图所示 据气象部门观测 距沿海某城市 A 的正南方向 220km B 处有一台风中心 其中心最大风力为 12 级 每远离台风中心 20km 风力就会减弱一级 该台风中心现正以 15km h 的速度沿北偏东 30 方向往 C 处移动 且台风中心风力不变 若城市所受风力达到或超过 4 级 则称为受台风影响 分析 根据图形找出距离 A 点最近的台风中心的位置 求出距离就可以判断是否收到影响 影响的风力 根据题意可以在图形上直观得找到所受影响的范围 构造直角三角形 根据勾股定理就可以求出范围及影响的 时间 1 该城市是否会受到这次台风的影响 请说明理由 2 若会受到台风影响 则台风影响该城市持续时间有多长 3 该城市受到台风影响的最大风力为几级 解 1 作 AD BC 于 D AD 为城市 A 距台风中心的最短距离 在 Rt ABD 中 B 30 AB 220km AD AB 110km 1 2 由题意知 当点 A 距离台风 12 4 20 160 km 时 将会受到台风的影响 故该城市会受到台风 的影响 2 由题意知 当 A 点距台风中心不超过 160km 时 将会受到台风的影响 则以 A 点为圆心 以 160km 长为半径画弧 交 BC 于 E F 两点 此时 AE AF 160km 当台风中心从 E 移到 F 处时 该城市都会受 到台风影响 由勾股定理得 DE km 2222 16011030 15AEAD EF 2DE km 60 15 这次台风影响该城市的时间为 h 60 15 4 15 15 3 当台风中心位于 D 时 A 市受这次台风影响的风力最大 最大风力为 12 6 5 级 110 20 3 F E D C A B C A B 3 3 分类思想分类思想 分类的思想是自然科学乃至社会科学研究中经常用到的 又叫做逻辑划分 不论从宏观上还是从微观上 对研究对象进行分类 都是深化研究对象 发展科学必不可少的思想 因此分类思想既是一种逻辑方法 也 是一种数学思想 数学中的分类思想主要是依据数学研究对象本质属性的相同点和差异点 将数学对象分为不同种类的思 想 当解决数学问题时 由于研究问题过程中出现了不同情况 因而需对不同情况进行分类 然后对划分的每 一类分别进行研究和求解 运用分类的思想 通过正确的分类 可以使复杂的问题得到清晰 完整 严密的 解答 利于提高学生严密的逻辑推理能力和良好的思维品质 通过分类讨论 常能化繁为简 更清楚地暴露问题 的本质 应用分类讨论思想解决问题 必须保证分类科学 统一 不重复 不遗漏 并力求最简 在勾股定理中 主要应用分类思想来进行对三角形形状的分类讨论或对已知边或点所在的位置进行分类 讨论 完整地求解 例 4 在 ABC 中 AB 13 AC 15 高 AD 12 则 ABC 的周长为多少 分析 可以对三角形的形状进行分类 不同的形状高线的位置不同 锐角 三角形的高线在三角形的内部 钝角三角形的高线在三角形的外部 而 BC 求解随高线位置的不同而不同 所以必须分类来讨论三角形的形状 解 1 如图 4 如果该三角形是锐角三角形时当 BC 边上的高线在 ABC 内部时 如图所示 AD BC ADB ADC 90 ADB 与 ADC 为直角三角形 在 Rt ADB 中 AB 13 AD 12 根据勾股定理得 BD AB AD BD 5 2222 1312ABAD 在 Rt ADC 中 AC 13 AD 12 根据勾股定理得 DC AC AD DC 9 2222 1512ACAD BC BD DC 5 9 14 ABC 的周长 AB BC CA 13 15 14 42 2 如图 5 如果该三角形是钝角三角形时 BC 边上的高线在 ABC 外部时 同理可得 BC BD DC 9 5 4 ABC 的周长 AB BC CA 13 15 4 32 D A BC D A B C 图 3 图 4 图 5 4 例 5 有一个面积为 160m 的等腰三角形草地 测得它的一边长为 20m 现要给这块三角形草四周围上低 矮栅栏 则栅栏的长度为 m 分析 要完整的给出答案就要根据不同的情况进行分类 避免造成漏解 本题只给出了等腰三角形的一条 边长 结果随已知边位置的不同而不同 所以 可以先对已知的边长进行分类 该 边可以为等腰三角形的底 也可以为等腰三角形的腰 其次 对三角形的形状进 行分类 当已知边为等腰三角形的腰时 这边上的高既可以在形内 也可以在形 外 要完整的给出答案就要根据不同的情况进行分类 避免造成漏解 解 1 如图 6 当已知边为等腰三角形的底时 BC 20m 作 AD BC 于 D 160m ABC S 高 AD 16 m BD BC 10 m 在 Rt ADB 中 由勾股定理可求得 1 2 AB 因此栅栏的长度为 20 m 2 894 89 2 当已知边为等腰三角形的腰时 若腰上的高在形内 如图 7 AB AC 20 m 160m ABC S 高 BD 16m 在 Rt ABD 中 由勾股定理可求得 AD 12m CD 8m 在 Rt BCD 中 由勾股定理有 BC 8 5 从而栅栏的长为 40 m 8 5 若腰上的高在形外 如图 8 AB AC 20m 160m ABC S 高 BD 16m 在 Rt ABD 中 由勾股定理知 AD 12m 从而 DC 32m 在 Rt BCD 中 由勾股定理有 BC m 所以栅栏的长度为16 5 40 m 16 5 综上所述 答案应填入 20 或 40 十或 40 4 898 516 5 4 4 转换思想转换思想 转换也是数学中的一种常用重要思维方法 它是分析问题和解决问题的一种重要思想 它能将未知的问题 转化为已知的问题 把抽象的问题转化为具体的问题 把复杂的问题转化成简单的问题 勾股定理研究的是平面直角三角形中三边之间的关系 但在学习过程中时常会遇到立体图形上的问题 这时就要考虑到运用转换的思想 把立体图进行展开等变化 形成熟悉的平面图形 再利用平面几何的知识 进行求解 例 6 一长方体礼盒如图 9 所示 其中 AB CD 面为边长为 10 的正方形 BC 20 在底部 A 处有A B C D 壁虎 处有一蚊子 壁虎急于捕捉到坟子充饥 C l 试确定壁虎所走的最短路线 2 若立方体礼盒的棱长为 10cm 壁虎要在半分钟内捕捉到坟子 求壁虎的每分钟至少 爬行多少厘米 保留整数 分析 求长方体表面两点间的最短距离时 就可以应用转换的思想通将长方体表面展开 把立体图形转 换成平面图形 就可以利用平面几何的知识于进行求解 解 1 若把礼盒的上底面 A 竖立起来 如图 9 所示 使它与立方体的正面 ABB 在同一 B C D C 平面内 然后连结 A 根据 两点间线段最短 知 线段 A就是壁虎捕捉蚊子所走的最短路线 C C 2 由 1 得 AB是直角三角形 且 AB 10 B 15 根据勾股定理 得 C C A 26 93 cm C 22 AB BC 22 1025 壁虎要在半分钟内捕捉到蚊子 它至少每分钟爬行约 54 厘米 CD A B D B A C D B A C 图 6 图 7 图 8 5 B A A B D C D C C B A D D C A B C B A D D C B A 例 7 有一圆柱物体 如图所示 一只蚂蚁要从 A 点绕物体的 外壁爬行 正好到 A 的正上方相对的 B 点处 问蚂蚁爬行的最短 路径是多少 已知物体的地面半径是 2m 高是 4m 分析 解此题的关键是利用转换思想 把圆柱体的侧面展开 得到一个矩形 找出对应的 A B 点在展开图中的位置利用两点间 的线段最短与勾股定理知识作答 解 把圆柱体沿 AD 边展开 形成一个矩形 A B 点在矩形 中的位置如图所示 连接 AB 根据 两点间线段最短 则线段 AB 就是蚂蚁爬 行的最短路径 在 Rt DAB 中 AD 4m BC 2 根据勾股定理 AB AD BC 16 4 5 34m 以上四中数学思想是勾股定理解题中最重要的数学思想 它们不仅可以相互独立使用 而且在许多问题 解决中都是相互联系的 概括这些思想 有助于我们更好地使用这些数学思想去解决问题 提高解决问题能 力 参考文献参考文献 1 马全甫 勾股定理与数学思想的完美结合 J 成功 教育 武汉 湖北人民出版社 2008 年 06 期 2 魏华斌 数学中常用的 5 种转化思想 J 湖北职业技术学院学报 孝感 湖北职业技术学院 2008 年 01 期 第 11 卷 3 王勇刚 用分类思想解决数学问题 J 中学教与学 天津师范大学 2007 年 01 期 4 孟坤 勾股定理中的数学思想 J