2011—2012学年高中数学 第1章 三角函数1.2 任意角的三角函数同步教学案 苏教版必修4

1 1 2 1 2 任意角的三角函数任意角的三角函数 1 1 2 12 1 任意角的三角函数任意角的三角函数 一一 课时目标 1 借助单位圆理解任意角的三角函数 正弦 余弦 正切 定义 2 熟记正弦 余弦 正 切函数值在各象限的符号 1 任意角三角函数的定义 设角 终边上任意一点的坐标为 x y 它与原点的距离为r 则 sin cos tan 2 正弦 余弦 正切函数值在各象限的符号 一 填空题 1 若角 的终边过点P 5 12 则 sin cos 2 点A x y 是 300 角终边上异于原点的一点 则 的值为 y x 3 若 sin 0 则 是第 象限角 4 角 的终边经过点P b 4 且 cos 则b的值为 3 5 5 已知x为终边不在坐标轴上的角 则函数f x 的值域 sin x sin x cos x cos x tan x tan x 是 6 是第一象限角 P x 为其终边上一点且 cos x 则x 5 2 4 7 已知 终边经过点 3a 9 a 2 且 sin 0 cos 0 则a的取值范围为 8 代数式 sin 2cos 3tan 4 的符号是 9 已知点P落在角 的终边上 且 0 2 则 的值为 sin 3 4 cos 3 4 10 若角 的终边与直线y 3x重合且 sin 0 又P m n 是 终边上一点 且 OP 则m n 10 二 解答题 11 确定下列各式的符号 1 tan 120 sin 273 2 tan 108 cos 305 3 sin cos tan 5 4 4 5 11 6 2 12 已知角 终边上一点P y 且 sin y 求 cos 和 tan 的值 3 3 4 能力提升 13 若 为第一象限角 则能确定为正值的是 sin cos tan cos 2 sin 2 2 2 2 14 已知角 的终边上一点P 15a 8a a R R 且a 0 求 的各三角函数值 3 1 三角函数值是比值 是一个实数 这个实数的大小和点P x y 在终边上的位置无关 只由角 的终边位置确定 即三角函数值的大小只与角有关 2 符号 sin cos tan 是一个整体 离开 sin cos tan 不 表示任何意义 更不能把 sin 当成 sin 与 的乘积 1 2 1 2 任意角的三角函数任意角的三角函数 1 1 2 12 1 任意角的三角函数任意角的三角函数 一一 知识梳理 1 y r x r y x 作业设计 1 2 7 133 3 三 解析 sin 0 是第一 三象限角 故 是第三象限角 4 3 解析 r cos b2 16 b r b b2 16 3 5 的终边经过点P cos 3 5 为第二象限角 b 0 b 3 5 1 3 解析 若x为第一象限角 则f x 3 若x为第二 三 四象限 则f x 1 函数f x 的值域为 1 3 6 3 解析 r cos x2 5 x x2 5 由 x 0 2x 4 x x2 5 解得x 3 7 20 cos 0 位于第二象限或y轴正半轴上 3a 9 0 a 2 0 2 a 3 8 负号 解析 20 2 3 cos 3 0 40 2 3 2 sin 2cos 3tan 40 cos 0 3 4 3 4 点P在第四象限 7 4 10 2 解析 y 3x sin 0 点P m n 位于y 3x在第三象限的图象上 且 m 0 n 0 n 3m OP m m m2 n2101010 m 1 n 3 m n 2 11 解 1 120 是第二象限角 tan 120 0 273 是第四象限角 sin 273 0 式子符号为正 2 108 是第二象限角 tan 108 0 从而 0 式子符号为负 tan 108 cos 305 3 是第三象限角 是第二象限角 是第四象限角 5 4 4 5 11 6 sin 0 cos 0 tan 0 5 4 4 5 11 6 从而 sin cos tan 0 5 4 4 5 11 6 式子符号为负 12 解 sin y y 3 y2 3 4 当y 0 时 sin 0 cos 1 tan 0 当y 0 时 由 解得y y 3 y2 3y 4 21 3 当y 时 P r 21 3 3 21 3 4 3 3 cos tan 3 4 7 3 当y 时 P r 21 33 21 3 4 3 3 cos tan 3 4 7 3 13 解析 为第一象限角 2k 2k k Z Z 2 k k k Z Z 2 4 4k 2 0 当k 2n n Z Z 时 2n 0 cos 0 tan 0 2 2 2 当k 2n 1 n Z Z 时 5 2n 2n n Z Z 2 5 4 为第三象限角 2 sin 0 cos 0 2 2 2 从而 tan 0 而 4k 2 0 则r 17a 于是 sin cos tan 8 17 15 17 8 15 2 若a 0 则r 17a 于是 sin cos tan 8 17 15 17 8 15 1 1 2 12 1 任意角的三角函数任意角的三角函数 二二 课时目标 1 掌握正弦 余弦 正切函数的定义域 2 了解三角函数线的意义 能用三角函数线表 示一个角的正弦 余弦和正切 3 会用三角函数线比较三角函数值的大小 1 三角函数的定义域 正弦函数y sin x的定义域是 余弦函数y cos x的定义域是 正 切函数y tan x的定义域是 2 三角函数线 如图 设单位圆与x轴的正半轴交于点A 与角 的终边交于P点 过点P作x轴的垂 线PM 垂足为M 过A作单位圆的切线交OP的延长线 或反向延长线 于T点 单位圆 中的有向线段 分别叫做角 的正弦线 余弦线 正切 线 记作 sin cos tan 一 填空题 6 1 如图在单位圆中角 的正弦线 正切线完全正确的是 正弦线PM 正切线A T 正弦线MP 正切线A T 正弦线MP 正切线 AT 正弦线PM 正切线AT 2 角 0 连接 5 集合A 0 2 B sin cos 则A B 6 若 0 2 且 sin 则角 的取值范围是 3 2 1 2 7 如果 0 的解集是 3 3 9 已知 均为第二象限角 若 sin sin 则 tan 与 tan 的大小关系 是 tan tan 10 求函数f x lg 3 4sin2x 的定义域为 二 解答题 11 在单位圆中画出适合下列条件的角 终边的范围 并由此写出角 的集合 1 sin 2 cos 3 2 1 2 12 设 是第二象限角 试比较 sin cos tan 的大小 2 2 2 7 能力提升 13 求下列函数的定义域 f x ln 1 2cos x sin x 2 2 14 如何利用三角函数线证明下面的不等式 当 时 求证 sin sin 1 2 sin 1 解析 1 1 2 1 5 均在内 正弦线在内随 的增大而逐渐增大 0 2 0 2 sin 1 5 sin 1 2 sin 1 5 6 0 4 5 4 2 0 3 5 3 2 7 cos sin tan 解析 如图所示 在单位圆中分别作出 的正弦线MP 余弦线OM 正切线AT 很容易地观察 出OM MP AT 即 cos sin tan 8 k 6 k 2 k Z Z 解析 不等式的解集如图所示 阴影部分 k 6 解析 作出符合题意的正弦线后 再作出 的正切线得 tan tan 9 10 k Z Z k 3 k 3 解析 如图所示 3 4sin2x 0 sin2x sin x 3 4 3 2 3 2 x k Z Z 2k 3 2k 3 2k 2 3 2k 4 3 即x k Z Z k 3 k 3 11 解 1 图 1 作直线y 交单位圆于A B 连结OA OB 则OA与OB围成的区域 图 1 阴影部分 3 2 即为角 的终边的范围 故满足条件的角 的集合为 2k 2k k Z Z 3 2 3 2 图 2 作直线x 交单位圆于C D 连结OC OD 则OC与OD围成的区域 图 2 阴影部分 1 2 即为角 的终边的范围 故满足条件的角 的集合为 2k 2k k Z Z 2 3 4 3 12 解 是第二象限角 2k 2k k Z Z 2 故k k k Z Z 4 2 2 10 作出所在范围如图所示 2 当 2k 2k k Z Z 时 cos sin tan 4 2 2 2 2 2 当 2k 2k k Z Z 时 5 4 2 3 2 sin cos tan 2 2 2 13 解 由题意 自变量x应满足不等式组 Error 即Error 则不等式组的解的集合如图 阴影部分 所示 x 2k 3 x 2k 3 4 k Z Z 14 证明 如图所示 在直角坐标系中作出单位圆 的终边与单位圆交于P 的正弦线 正切 线为有向线段MP AT 则MP sin AT tan 因为S AOP OA MP 1 2 sin 1 2 S扇形AOP OA2 S AOT OA AT tan 1 2 1 2 1 2 1 2 又S AOP S扇形AOP S AOT 所以 sin tan 1 2 1 2 1 2 即 sin tan 1 1 2 22 2 同角三角函数关系同角三角函数关系 课时目标 1 理解同角三角函数的基本关系式 2 会运用平方关系和商的关系进行化简 求值和证 明 11 1 同角三角函数的基本关系式 1 平方关系 2 商数关系 k k Z Z 2 2 同角三角函数基本关系式的变形 1 sin2 cos2 1 的变形公式 sin2 cos2 sin cos 2 sin cos 2 sin cos 2 sin cos 2 sin cos 2 tan 的变形公式 sin cos sin cos 一 填空题 1 化简 sin2 cos4 sin2 cos2 的结果是 2 已知 是第四象限角 tan 则 sin 5 12 3 若 sin sin2 1 则 cos2 cos4 4 若 sin 且 是第二象限角 则 tan 的值等于 4 5 5 已知 tan 则的值为 1 2 1 2sin cos sin2 cos2 6 已知 sin cos 则 tan 的值为 5 2 1 tan 7 已知 tan 2 则 sin2 sin cos 2cos2 8 已知 sin cos 且 则 cos sin 1 8 4 2 9 若 sin cos 且 的终边不落在坐标轴上 则 tan 的值为 k 1 k 3 k 1 k 3 10 若 cos 2sin 则 tan 5 二 解答题 11 化简 1 cos4 sin4 1 cos6 sin6 12 12 求证 1 2sin 2xcos 2x cos2 2x sin2 2x 1 tan 2x 1 tan 2x 能力提升 13 证明 1 sin cos 1 cos2 sin cos sin cos tan2 1 2 2 cos2 2 tan2 1 2tan2 2 sin2 14 已知 sin cos 是关于x的方程x2 ax a 0 的两个根 a R R 1 求 sin3 cos3 的值 2 求 tan 的值 1 tan 1 同角三角函数的基本关系式揭示了 同角不同名 的三角函数的运算规律 它的精 13 髓在 同角 二字上 如 sin22 cos22 1 tan 8 等都成立 理由是 sin 8 cos 8 式子中的角为 同角 2 已知角 的某一种三角函数值 求角 的其余三角函数值时 要注意公式的合理 选择 一般是先选用平方关系 再用商数关系 在应用平方关系求 sin 或 cos 时 其正负号是由角 所在象限来决定 切不可不加分析 凭想象乱写公式 3 在进行三角函数式的求值时 细心观察题目的特征 灵活 恰当的选用公式 统一 角 统一函数 降低次数是三角函数关系变形的出发点 1 1 2 22 2 同角三角函数关系同角三角函数关系 知识梳理 1 1 sin2 cos2 1 2 tan sin cos 2 1 1 cos2 1 sin2 1 2sin cos 1 2sin cos 2 sin cos 2 1 2 cos tan 1 sin cos 2 2 sin tan 作业设计 1 1 2 3 1 4 5 13 4 3 5 1 3 解析 1 2sin cos sin2 cos2 sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos tan 1 tan 1 1 2 1 1 2 1 1 3 6 8 解析 tan 1 tan sin cos cos sin 1 sin cos sin cos 1 sin cos 2 2 1 8 tan 8 1 tan 7 4 5 解析 sin2 sin cos 2cos2 sin2 sin cos 2cos2 sin2 cos2 tan2 tan 2 tan2 1 又 tan 2 故原式 4 2 2 4 1 4 5 8 3 2 解析 cos sin 2 1 2sin cos 3 4 14 cos sin cos sin 4 2 3 2 9 3 4 解析 sin2 cos2 2 2 1 k 1 k 3 k 1 k 3 k2 6k 7 0 k1 1 或k2 7 当k 1 时 cos 不符合 舍去 当k 7 时 sin cos tan 3 5 4 5 3 4 10 2 解析 方法一 由Error 联立消去 cos 后得 2sin 2 sin2 1 5 化简得 5sin2 4sin 4 0 5 sin 2 2 0 sin 5 2 5 5 cos 2sin 5 5 5 tan 2 sin cos 方法二 cos 2sin 5 cos2 4sin cos 4sin2 5 5 cos2 4sin cos 4sin2 cos2 sin2 5 1 4tan 4tan2 1 tan2 tan2 4tan 4 0 tan 2 2 0 tan 2 11 解 原式 1 cos4 sin4 1 cos6 sin6 1 cos2 1 cos2 sin4 1 cos2 1 cos2 cos4 sin6 sin2 1 cos2 sin4 sin2 1 cos2 cos4 sin6 1 cos2 sin2 1 cos2 cos4 sin4 2cos2 1 cos2 cos2 sin2 cos2 sin2 2cos2 1 cos2 cos2 sin2 2cos2 3cos2 2 3 12 证明 左边 cos2 2x sin2 2x 2sin 2xcos 2x cos22x sin22x cos 2x sin 2x 2 cos 2x sin 2x cos 2x sin 2x 右边 cos 2x sin 2x cos 2x sin 2x 1 tan 2x 1 tan 2x 原等式成立 13 证明 1 左边 sin2 sin cos sin cos sin2 cos2 1 15 sin2 sin cos sin cos sin2 cos2 cos2 sin2 sin cos cos2 sin cos sin2 cos2 sin2 sin cos cos2 sin cos sin2 cos2 sin cos sin cos 右边 原式成立 2 左边 4 2tan2 2cos2 sin2 2 2tan2 2sin2 sin2 2 2tan2 sin2 右边 1 2tan2 1 cos2 1 2tan2 cos2 2sin2 2 2tan2 sin2 左边 右边 原式成立 14 解 1 由韦达定理知 sin cos a sin cos a sin cos 2 1 2sin cos a2 1 2a 解得 a 1 或a 1 22 sin 1 cos 1 sin cos 1 即a 1 a 1 舍去 2 sin3 cos3 sin cos sin2 sin cos cos2 sin cos 1 sin cos a 1 a 2 2 2 tan 1 tan sin cos cos sin sin2 cos2 sin cos 1 1 sin cos 1 a 1 1 22 1 1 2 32 3 三角函数的诱导公式三角函数的诱导公式 一一 课时目标 1 借助单位圆及三角函数定义理解三组公式的推导过程 2 运用所学四组公式进行求值 化简与证明 1 设 为任意角 则 的终边与 的终边之间的对称关系 相关角终边之间的对称关系 与 关于 对称 与 关于 对称 与 关于 对称 2 诱导公式一 四 1 公式一 sin 2k cos 2k tan 2k 其中k Z Z 16 2 公式二 sin cos tan 3 公式三 sin cos tan 4 公式四 sin cos tan 一 填空题 1 sin 585 的值为 2 已知 cos 则 cos 6 3 3 5 6 3 若n为整数 则代数式的化简结果是 sin n cos n 4 三角函数式的化简结果是 cos sin2 3 tan cos3 5 若 cos 2 则 sin 2 1 2 3 2 6 tan 5 2 则的值为 sin 3 cos sin cos 7 记 cos 80 k 那么 tan 100 用k表示 8 代数式的化简结果是 1 2sin 290 cos 430 sin 250 cos 790 9 设f x asin x bcos x 2 其中a b 为非零常数 若 f 2 011 1 则f 2 012 10 若 sin log8 且 则 cos 的值为 1 4 2 0 二 解答题 11 若 cos 求的 2 3 sin 2 sin 3 cos 3 cos cos cos 4 值 12 已知 sin 1 求证 tan 2 tan 0 17 能力提升 13 化简 其中k Z Z sin k 1 cos k 1 sin k cos k 14 在 ABC中 若 sin 2 A sin B cos A cos B 求 232 ABC的三个内角 1 明确各诱导公式的作用 诱导公式作用 公式一将角转化为 0 2 求值 公式二将负角转化为正角求值 18 公式三 将角转化为 0 求值 2 公式四将 0 2 内的角转化为 0 之间的角求值 2 诱导公式的记忆 这组诱导公式的记忆口诀是 函数名不变 符号看象限 其含义是诱导公式两边的函 数名称一致 符号则是将 看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号 看成锐 角 只是公式记忆的方便 实际上 可以是任意角 1 1 2 32 3 三角函数的诱导公式三角函数的诱导公式 一一 知识梳理 1 原点 x轴 y轴 2 1 sin cos tan 2 sin cos tan 3 sin cos tan 4 sin cos tan 作业设计 1 2 3 tan 2 2 3 3 4 tan 解析 原式 cos sin2 tan cos3 cos sin2 tan cos3 tan cos sin2 sin cos2 sin cos 5 3 2 解析 由 cos 得 cos 1 2 1 2 sin 2 sin 1 cos2 为第四象限角 3 2 6 3 解析 原式 3 sin cos sin cos tan 1 tan 1 2 1 2 1 7 1 k2 k 解析 cos 80 k cos 80 k sin 80 tan 80 1 k2 1 k2 k tan 100 tan 80 1 k2 k 8 1 解析 原式 1 2sin 180 110 cos 360 70 sin 180 70 cos 720 70 1 2sin 110 cos 70 sin 70 cos 70 1 2sin 70 cos 70 cos 70 sin 70 1 sin 70 cos 70 cos 70 sin 70 sin 70 cos 70 cos 70 sin 70 9 3 解析 f 2 011 asin 2 011 bcos 2 011 2 asin bcos 2 19 2 asin bcos 1 asin bcos 1 f 2 012 asin 2 012 bcos 2 012 2 asin bcos 2 3 10 5 3 解析 sin sin 2 3 2 log 2 2 3 cos cos 1 sin2 1 4 9 5 3 11 解 原式 sin 2 sin 3 cos 3 cos cos cos sin sin cos cos cos2 sin 1 cos cos 1 cos tan cos cos cos 2 3 cos 为第一象限角或第四象限角 2 3 当 为第一象限角时 cos 2 3 sin 1 cos2 5 3 tan 原式 sin cos 5 2 5 2 当 为第四象限角时 cos 2 3 sin 1 cos2 5 3 tan 原式 sin cos 5 2 5 2 综上 原式 5 2 12 证明 sin 1 2k k Z Z 2 2k k Z Z 2 tan 2 tan tan tan 2 2k 2 tan 4k 2 tan tan 4k tan tan tan tan tan 0 原式成立 13 解 当k为偶数时 不妨设k 2n n Z Z 则 20 原式 sin 2n 1 cos 2n 1 sin 2n cos 2n sin cos sin cos sin cos sin cos 1 当k为奇数时 设k 2n 1 n Z Z 则 原式 sin 2n 2 cos 2n 2 sin 2n 1 cos 2n 1 sin 2 n 1 cos 2 n 1 sin cos 1 sin cos sin cos 原式的值为 1 14 解 由条件得 sin A sin B cos A cos B 232 平方相加得 2cos2A 1 cos A 2 2 又 A 0 A 或 4 3 4 当A 时 cos B 0 B 3 4 3 2 2 A B均为钝角 不合题意 舍去 A cos B B C 4 3 2 6 7 12 1 1 2 32 3 三角函数的诱导公式三角函数的诱导公式 二二 课时目标 1 借助单位圆及三角函数定义理解公式五 公式六的推导过程 2 运用公式五 公式六 进行有关计算与证明 1 诱导公式五 六 1 公式五 sin 2 cos 2 以 替代公式五中的 可得公式六 2 公式六 sin 2 cos 2 2 诱导公式五 六的记忆 的三角函数值 等于 的 三角函数 2 2 值 前面加上一个把 看成锐角时原函数值的 记忆口诀为 函数名改变 符号看象限 21 一 填空题 1 已知f sin x cos 3x 则f cos 10 的值为 2 若 sin 则 cos 12 1 3 7 12 3 若 sin 3 则 cos 1 2 7 2 4 已知 sin 则 cos的值等于 4 1 3 4 5 若 sin cos m 则 cos 2sin 2 的值为 2 3 2 6 代数式 sin2 A 15 sin2 A 45 的化简结果是 7 已知 cos 且 则 tan 2 3 2 2 8 已知 cos 75 则 sin 15 cos 105 的值是 1 3 9 sin21 sin22 sin288 sin289 10 已知 tan 3 2 则 sin 3 cos sin 2 2cos 2 sin cos 二 解答题 11 求证 tan tan 2 sin 2 cos 6 sin 3 2 cos 3 2 12 已知 sin cos 且 求 sin 与 cos 的 2 5 2 60 169 4 2 值 22 能力提升 13 化简 sin cos k Z Z 4k 1 4 4k 1 4 14 是否存在角 0 使等