初二下期末几何压轴题及解析

1 初二下期末几何及解析初二下期末几何及解析 1 1 以四边形 ABCD 的边 AB AD 为边分别向外侧作等边三角形 ABF 和 ADE 连接 EB FD 交点为 G 1 当四边形 ABCD 为正方形时 如图 1 EB 和 FD 的数量关系是 2 当四边形 ABCD 为矩形时 如图 2 EB 和 FD 具有怎样的数量关系 请加以证明 3 四边形 ABCD 由正方形到矩形到一般平行四边形的变化过程中 EGD 是否发生变化 如果改变 请说 明理由 如果不变 请在图 3 中求出 EGD 的度数 难度一般 证全等即可 第三问 图难度一般 证全等即可 第三问 图 1 1 中就能看出是中就能看出是 45 45 解 1 EB FD 2 EB FD 证 AFB 为等边三角形 AF AB FAB 60 ADE 为等边三角形 AD AE EAD 60 FAB BAD EAD BAD 即 FAD BAE FAD BAE EB FD 3 解 ADE 为等边三角形 AED EDA 60 FAD BAE AEB ADF 设 AEB 为 x 则 ADF 也为 x 于是有 BED 为 60 x EDF 为 60 x EGD 180 BED EDF 180 60 x 60 x 60 2 已知 如图 在 ABCD 中 点 E 是 BC 的中点 连接 AE 并延长交 DC 的延长线于点 F 连接 BF 1 求证 ABE FCE 2 若 AF AD 求证 四边形 ABFC 是矩形 简单题简单题 证明 1 如图 1 在 ABE 和 FCE 中 1 2 3 4 BE CE ABE FCE 2 ABE FCE AB FC AB FC 四边形 ABFC 是平行四边形 四边形 ABCD 是平行四边形 AD BC AF AD AF BC 四边形 ABFC 是矩形 F A B C D E 图 1 4 3 2 1 E D C B A F 2 3 已知 ABC 是一张等腰直角三角形纸板 B 90 AB BC 1 1 要在这张纸板上剪出一个正方形 使这个正方形的四个顶点都在 ABC 的边上 小林设计出了一种剪 法 如图 1 所示 请你再设计出一种不同于图 1 的剪法 并在图 2 中画出来 2 若按照小林设计的图 1 所示的剪法来进行裁剪 记图 1 为第一次裁剪 得到 1 个正方形 将它的面积 记为 则 余下的 2 个三角形中还按照小林设计的剪法进行第二次裁剪 如图 3 1 S 1 S 得到 2 个新的正方形 将此次所得 2 个正方形的面积的和记为 则 在余下的 4 个三角 2 S 2 S 形中再按照小林设计的的剪法进行第三次裁剪 如图 4 得到 4 个新的正方形 将此次所得 4 个正方形的 面积的和记为 按照同样的方法继续操作下去 第次裁剪得到 个新的正方形 它们的面 3 Sn 积的和 n S 题外题 把你剪出的正方形的面积与图 题外题 把你剪出的正方形的面积与图 1 中的正方形面积进行比较 中的正方形面积进行比较 本题相当于中考本题相当于中考 12 题的简单题题的简单题 解 1 如图 2 1 分 2 6 分 1 4 1 8 1 2n 1 1 2n 4 已知 如图 平面直角坐标系中 正方形 ABCD 的边长为 4 它的顶点 A 在轴的正半轴上运动 xOyx 顶点 D 在轴的正半轴上运动 点 A D 都不与原点重合 顶点 B C 都在第一象限 且对角线 AC BDy 相交于点 P 连接 OP 1 当 OA OD 时 点 D 的坐标为 POA 2 当 OA OD 时 求证 OP 平分 DOA 3 设点 P 到 y 轴的距离为 则在点 A D 运动的d 过程中 的取值范围是 d 第二问 如果点 第二问 如果点 P 到到 OP 所平分的角所平分的角 的两边的距离相等 即可 的两边的距离相等 即可 第二问的题外题 当 第二问的题外题 当 OA OD 时 时 求证 求证 OP 平分平分 DOA 图 1 E F A B C D 图 2 A BC 图 3 CB A F E D 图 4 A B C F E D 图 2 CB A A B C D P Ox y 3 解 1 0 2 245 证明 2 过点 P 作 PM 轴于点 M PN 轴于点 N 如图 3 xy 四边形 ABCD 是正方形 PD PA DPA 90 PM 轴于点 M PN 轴于点 N xy PMO PNO PND 90 NOM 90 四边形 NOMP 中 NPM 90 DPA NPM 1 DPA NPA 2 NPM NPA 1 2 在 DPN 和 APM 中 PND PMA 1 2 PD PA DPN APM PN PM OP 平分 DOA 3 2d 2 2 5 已知 如图 平面直角坐标系中 矩形 OABC 的xOy 顶点 A C 的坐标分别为 4 0 0 3 将 OCA 沿直线 CA 翻折 得到 DCA 且 DA 交 CB 于点 E 1 求证 EC EA 2 求点 E 的坐标 3 连接 DB 请直接写出四边形 DCAB 的周长和面积 第二问 有坐标 用代数法勾股定理可得 第二问 有坐标 用代数法勾股定理可得 CE AE 的长 的长 第三问的证明 过 第三问的证明 过 D 做做 DM AC 于于 M 过 过 B 做做 BN CA 于于 N 则由相似可得 则由相似可得 DM BN 梯形的高 能梯形的高 能 求出具体数 求出具体数 CM AN 具体数 还看得 具体数 还看得 DB MN 具体数 这样即可求出周长 有可求出面积 具体数 这样即可求出周长 有可求出面积 证明 1 如图 1 OCA 沿直线 CA 翻折得到 DCA OCA DCA 1 2 四边形 OABC 是矩形 OA CB 1 3 2 3 EC EA 解 2 设 CE AE x 点 A C 的坐标分别为 4 0 0 3 OA 4 OC 3 四边形 OABC 是矩形 CB OA 4 AB OC 3 B 90 在 Rt EBA 中 222 EAEBBA 解得 点 E 的坐标为 222 4 3xx 25 8 x 25 3 8 3 62 5 192 25 6 已知 ABC 的两条高 BD CE 交于点 F 点 M N 分别是 AF BC 的中点 连接 ED MN 1 在图 1 中证明 MN 垂直平分 ED 2 若 EBD DCE 45 如图 2 判断以 M E N D 为顶点的四边形的形状 并证明你的结论 第一问 连接第一问 连接 图 3 1 2 M N y xO P D C B A N M A B C D E F N M F E D CB A 图 2 E B A D C y xO 4 EM EN DM DN 利用三角形斜边中线等于斜边一半得 利用三角形斜边中线等于斜边一半得 ME MD NE ND 所以点 所以点 M N 都在线段都在线段 ED 的垂直平分线上 的垂直平分线上 有 有 ADF BDC 得 得 AF BC 还得 还得 MDA NDB 证直角时用 证直角时用 进而得菱形 再证一直角得正方 进而得菱形 再证一直角得正方 形 形 1 证明 连接 EM EN DM DN 如图 2 BD CE 是 ABC 的高 BD AC CE AB BDA BDC CEB CEA 90 在 Rt AEF 中 M 是 AF 的中点 EM AF 1 2 同理 DM AF EN BC DN BC 1 2 1 2 1 2 EM DM EN DN 点 M N 在 ED 的垂直平分线上 MN 垂直平分 ED 2 判断 四边形 MEND 是正方形 证明 连接 EM EN DM DN 如图 3 EBD DCE 45 而 BDA CDF 90 BAD ABD 45 DFC DCF 45 AD BD DF DC 在 ADF 和 BDC 中 AD BD ADF BDC Rt DF DC ADF BDC AF BC 1 2 由 1 知 DM AF AM DN BC BN 1 2 1 2 DM DN 1 3 2 4 3 4 由 1 知 EM DM EN DN DM DN EM EN 四边形 MEND 是菱形 3 MDF ADF 90 4 MDF NDM 90 四边形 MEND 是正方形 7 6 分 如图 现有一张边长为 4 的正方形纸片 ABCD 点 P 为 AD 边上的一点 不与点 A 点 D 重合 将正方形纸片折叠 使点 B 落在 P 处 点 C 落在 G 处 PG 交 DC 于 H 折痕为 EF 联结 BP BH 1 求证 APB BPH 2 求证 AP HC PH 3 当 AP 1 时 求 PH 的长 4 3 1 2 A BC D E F M N 图 3 5 第一问 设第一问 设 EPB EBP m 则 则 BPH 90 m PBC 90 m 所以 所以 BPH PBC 又因为 又因为 APB PBC 所以 所以 APB BPH 第二问的题外题 将此题与北京第二问的题外题 将此题与北京 141 之东城之东城 22 和平谷和平谷 24 放在一起 旋转翻折共同学习 此题中用旋转把放在一起 旋转翻折共同学习 此题中用旋转把 ABP 绕点绕点 B 顺时针旋转顺时针旋转 90 不能到达目的 于是延不能到达目的 于是延 BP 翻折 翻折后的剩余部分翻折 翻折后的剩余部分 BQH 与与 BCH 也可也可 全等 即可到达目的 还有意外收获 证得全等 即可到达目的 还有意外收获 证得 PBH 45 第三问 代数方法的勾股定理 第三问 代数方法的勾股定理 1 证明 PE BE EPB EBP 又 EPH EBC 90 EPH EPB EBC EBP 即 BPH PBC 又 四边形 ABCD 为正方形 AD BC APB PBC APB BPH 2 分 2 证明 过 B 作 BQ PH 垂足为 Q 由 1 知 APB BPH 又 A BQP 90 BP BP ABP QBP AP QP BA BQ 又 AB BC BC BQ 又 C BQH 90 BH BH BCH BQH CH QH AP HC PH 4 分 3 由 2 知 AP PQ 1 PD 3 设 QH HC x 则 DH x 4 在 Rt PDH 中 222 PHDHPD 即 2 2 2 431xx 解得4 2 x PH 3 4 6 分 8 6 分 如图 在 ABC 中 AC AB D 点在 AC 上 AB CD E F 分别是 BC AD 的中点 连结 EF 并延长 与 BA 的延长线交于点 G 若 EFC 60 联结 GD 判断 AGD 的形状并证明 6 也可问 也可问 ADG 的度数 的度数 判断 AGD 是直角三角形 证明 如图联结 BD 取 BD 的中点 H 联结 HF HE F 是 AD 的中点 ABHFABHF 2 1 1 3 同理 HE CD HE CD 2 1 2 EFC AB CD HF HE 1 2 3 EFC EFC 60 3 EFC AFG 60 AGF 是等边三角形 AF FG AF FD GF FD FGD FDG 30 AGD 90 即 AGD 是 特殊特殊 直角三角形 7 GE BG BE GH 是直角三角形的斜边 这样证全等 是直角三角形的斜边 这样证全等 1010 阅读下列材料 小明遇到一个问题 AD 是 ABC 的中线 点 M 为 BC 边上任意一点 不与点 D 重合 过点 M 作一直线 使 其等分 ABC 的面积 他的做法是 如图 1 连结 AM 过点 D 作 DN AM 交 AC 于点 N 作直线 MN 直线 MN 即为所求直线 8 请你参考小明的做法 解决下列问题 1 如图 2 在四边形 ABCD 中 AE 平分 ABCD 的面积 M 为 CD 边上一点 过 M 作一直线 MN 使其等分四 边形 ABCD 的面积 要求 在图 2 中画出直线 MN 并保留作图痕迹 2 如图 3 求作过点 A 的直线 AE 使其等分四边形 ABCD 的面积 要求 在图 3 中画出直线 AE 并保留 作图痕迹 第二问 把 第二问 把 ABC ABC 的面积接到的面积接到 DCDC 的延长线上 的延长线上 1111 已知 四边形 ABCD 是正方形 点 E 在 CD 边上 点 F 在 AD 边上 且 AF DE 1 如图 1 判断 AE 与 BF 有怎样的位置关系 写出你的结果 并加以证明 2 如图 2 对角线 AC 与 BD 交于点 O BD AC 分别与 AE BF 交于点 G 点 H 求证 OG OH 连接 OP 若 AP 4 OP 2 求 AB 的长 第二问第二问 证 证 AOG BHO AOG BHO 第二问第二问 在 在 OBOB 上截取上截取 BQ APBQ AP 则 则 APO BQO APO BQO 得 得 OP OQOP OQ AP BQAP BQ 也可得 也可得 OPG OQP OPG OQP 又 又 EPB 90 EPB 90 最终得最终得 OPQ OPQ 是等腰直角三角形 可得是等腰直角三角形 可得 PQ 2PQ 2 从而求得 从而求得 PB 6PB 6 在 在 Rt APBRt APB 中由勾股定理得的值 中由勾股定理得的值 2 2 倍根号倍根号 13 13 12 已知 如图 梯形 ABCD 中 AD BC B 90 AD BC ab DC 且 点 M 是 AB 边的中点 ba ab 1 求证 CM DM 2 求点 M 到 CD 边的距离 用含 的式子表示 ab D 图 1 MB A N C 图 3 图 2 M E D C B A 对 对 对 对 E D C B A AB CD E F P 图 1 AB CD O P E F 图 2 G H A BC D M 9 我认为答案的思路不是最好 我认为答案的思路不是最好 本题还有这样的思路 过本题还有这样的思路 过 M 做做 BC 的平行线 交的平行线 交 DC 于于 Q 则可证 则可证 MQ DQ CQ MD 平分平分 ADC MC 平分平分 BCD 及 及 DMC 90 M 到到 CD 的距离也就是的距离也就是 Rt DMC 斜边的高斜边的高 MN MN 的平方的平方 DN 乘以乘以 NC AD 乘以乘以 BC ab 证明 1 延长 DM CB 交于点 E 如图 3 梯形 ABCD 中 AD BC ADM BEM 点 M 是 AB 边的中点 AM BM 在 ADM 与 BEM 中 ADM BEM AMD BME AM BM ADM BEM AD BE DM EM CE CB BE aba CD CE CD CM DM ab 解 2 分别作 MN DC DF BC 垂足分别为点 N F 如图 4 CE CD DM EM CM 平分 ECD ABC 90 即 MB BC MN MB AD BC ABC 90 A 90 DFB 90 四边形 ABFD 为矩形 BF AD AB DF FC BC BF aba Rt DFC 中 DFC 90 222 DFDCFC 22 abba 4ab DF MN MB AB DF 2 ab 1 2 1 2 ab 即点 M 到 CD 边的距离为 ab 13 已知 如图 1 平面直角坐标系中 四边形 OABC 是矩形 点 A C 的坐标分别为 6 0 xOy 0 2 点 D 是线段 BC 上的一个动点 点 D 与点 B C 不重合 过点 D 作直线 交折线y 1 2 xb O A B 于点 E 1 在点 D 运动的过程中 若 ODE 的面积为 S 求 S 与的函数关系式 并写出自变量的取值范围 b 2 如图 2 当点 E 在线段 OA 上时 矩形 OABC 关于直线 DE 对称的图形为矩形 O A B C C B 分别交 CB OA 于点 D M O A 分别交 CB OA 于点 N E 探究四边形 DMEN 各边之间的数量关系 并对你的 结论加以证明 3 问题 2 中的四边形 DMEN 中 ME 的长为 图 1 y x O A B C 图 2 E D C B A Ox y O C B A M N F N EC B M DA 图 4 E AD M B C 图 3 10 本题难度对于初二学生相当于本题难度对于初二学生相当于 25 题 题 好好学习第一问的解题方法 第二问由两组平行可得平行四边形 好好学习第一问的解题方法 第二问由两组平行可得平行四边形 OED O1ED 对称性质 对称性质 得菱形 得菱形 第三问 第三问 E 在在 OA 上时 上时 DE 的长度不变 为的长度不变 为 2 倍根号倍根号 5 延 延 x 轴平移轴平移 DME 使使 D 与与 C 重合 设重合 设 DM EM x 代数法用勾股定理可求得 代数法用勾股定理可求得 ME 的值 的值 解 1 矩形 OABC 中 点 A C 的坐标分别为 点 B 的坐标为 6 0 0 2 6 2 若直线经过点 C 则 bxy 2 1 0 2 2 b 若直线经过点 A 则 bxy 2 1 6 0 3 b 若直线经过点 B 则 bxy 2 1 6 2 5 b 当点 E 在线段 OA 上时 即时 如图 6 32 b 点 E 在直线上 bxy 2 1 当时 0 ybx2 点 E 的坐标为 0 2 bS bb222 2 1 当点 E 在线段 BA 上时 即时 如图 7 53 b 点 D E 在直线上 bxy 2 1 当时 2 y42 bx 当时 6 x3 by 点 D 的坐标为 点 E 的坐标为 2 42 b 3 6 b DBEOAECODOABC SSSSS 矩形 3 2 42 6 2 1 6 3 2 1 2 42 2 1 26 bbbbbb5 2 综上可得 2 223 535 bb S bbb 2 DM ME EN ND 证明 如图 8 四边形 OABC 和四边形 O A B C 是矩形 CB OA C B O A 即 DN ME DM NE 四边形 DMEN 是平行四边形 且 NDE DEM 矩形 OABC 关于直线 DE 对称的图形为矩形 O A B C DEM DEN NDE DEN ND NE 四边形 DMEN 是菱形 图 6 y x O A B C D E E D CB AOx y 图 7 图 8 E D C B A Ox y O C B A M N 11 DM ME EN ND 3 答 问题 2 中的四边形 DMEN 中 ME 的长为 2 5 14 探究探究 问题 1 已知 如图 1 三角形 ABC 中 点 D 是 AB 边的中点 AE BC BF AC 垂足分别为点 E F AE BF 交于点 M 连接 DE DF 若 DE DF 则的值为 kk 图 1 C F M E B D A 图 2 C E M F A D B 图 3 C E M F A D B 拓展拓展 问题 2 已知 如图 2 三角形 ABC 中 CB CA 点 D 是 AB 边的中点 点 M 在三角形 ABC 的内部 且 MAC MBC 过点 M 分别作 ME BC MF AC 垂足分别为点 E F 连接 DE DF 求证 DE DF 推广推广 问题 3 如图 3 若将上面问题 2 中的条件 CB CA 变为 CB CA 其他条件不变 试探究 DE 与 DF 之间的数量关系 并证明你的结论 第三问 取 第三问 取 BM 和和 AM 的中点 构造全等三角形 的中点 构造全等三角形 122 某区的模拟题与此高度相似 某区的模拟题与此高度相似 问题 1 的值为 1 k 问题 2 证明 如图 9 CB CA CAB CBA MAC MBC CAB MAC CBA MBC 即 MAB MBA MA MB ME BC MF AC 垂足分别为点 E F AFM BEM 90 在 AFM 与 BEM 中 AFM BEM MAF MBE MA MB AFM BEM AF BE 点 D 是 AB 边的中点 BD AD 在 BDE 与 ADF 中 BD AD DBE DAF BE AF BDE ADF DE DF 问题 3 解 DE DF 证明 分别取 AM BM 的中点 G H 连接 DG FG DH EH 如图 10 图 9 C E M F A D B 12 点 D G H 分别是 AB AM BM 的中点 DG BM DH AM 且 DG BM DH AM 1 2 1 2 四边形 DHMG 是平行四边形 DHM DGM ME BC MF AC 垂足分别为点 E F AFM BEM 90 FG AM AG EH BM BH FG DH DG EH 1 2 1 2 GAF GFA HBE HEB FGM 2 FAM EHM 2 EBM FAM EBM FGM EHM DGM FGM DHM EHM 即 DGF DHE 在 EHD 与 DGF 中 EH DG EHD DGF HD GF EHD DGF DE DF 16 如图 四边形 ABCD 是正方形 点 G 是 BC 上任意一点 DE AG 于点 E BF AG 于点 F 1 求证 DE BF EF 2 若点 G 为 CB 延长线上一点 其余条件不变 请你在图 中画出图形 写出此时 DE BF EF 之间的 数量关系 不需要证明 3 若 AB 2a 点 G 为 BC 边中点时 试探究线段 EF 与 GF 之间的数量关系 并通过计算来验证你的结 论 第一问 证全等即可得第一问 证全等即可得 AE BF AF DE 第三问 各三角形相似 两直角边的比是 第三问 各三角形相似 两直角边的比是 1 2 所以可得 所以可得 AE BF EF 2FG 图 10 G H B D A F M E C 13 解 1 证明 四边形 ABCD 是正方形 BF AG DE AG DA AB BAF DAE DAE ADE 90 BAF ADE ABF DAE BF AE AF DE DE BF AF AE EF 2 如图 DE BF EF 3 EF 2FG 过程 AB 2a 点 G 为 BC 边中点 BG a 由勾股定理可求aAG5 又 AB BC BF AC 由等积法可求aBF 5 52 由勾股定理可求 aFG 5 5 aAF 5 54 EF 2FG aBFAE 5 52 aEF 5 52 17 如图 在线段 AE 的同侧作正方形 ABCD 和正方形 BEFG BE AB 连接 EG 并延长交 DC 于点 M 作 MN AB 垂足为点 N MN 交 BD 于点 P 设正方形 ABCD 的边长为 1 1 证明 四边形 MPBG 是平行四边形 2 设 BE x 四边形 MNBG 的面积为 y 求 y 关于 x 的函数解析式 并写出自变量 x 的取值范围 3 如果按题设作出的四边形 MPBG 是菱形 求 BE 的长 图中的三角形多是等腰直角三角形 图中的三角形多是等腰直角三角形 证明 1 ABCD BEFG 是正方形 CBA FEB 90 ABD BEG 45 DB ME MN AB CB AB MN CB 四边形 MPBG 是平行四边形 2 正方形 BEFG BG BE x CMG BEG 45 CG CM BN 1 x y GB MN BN 1 x 1 x x 0 x 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3 由四边形 BGMP 是菱形 则有 BG MG 即 x 1 x 解得 x 2 BE 2 222 18 将一张直角三角形纸片 ABC 折叠 使点 A 与点 C 重合 这时 DE 为折痕 CBE 为等腰三角形 再 14 继续将纸片沿 CBE 的对称轴 EF 折叠 这时得到了两个完全重合的矩形 其中一个是原直角三角形的内接 矩形 另一个是拼合成的无缝隙 无重叠的矩形 我们称这样两个矩形为 叠加矩形 请完成下列问题 1 如图 正方形网格中的 ABC 能折叠成 叠加矩形 吗 如果能 请在图 中画出折痕 2 如图 在正方形网格中 以给定的 BC 为一边 画出一个斜 ABC 使其顶点 A 在格点上 且 ABC 折成的 叠加矩形 为正方形 3 如果一个三角形所折成的 叠加矩形 为正方形 那么它必须满足的条件是 解 1 2 分 说明 只需画出折痕 2 说明 只需画出满足条件的一个三角形 答案不惟一 所画三角形的一边长与该边上的高相等即可 3 三角形的一边长与该边上的高相等 19 考考你的推理与论证考考你的推理与论证 本题本题 6 分分 如图 在中 是边上的一点 是的中点 ABC DBCEAD 过点作的平行线交的延长线于 且 连结 ABCCEFAFBD BF 1 求证 是的中点 DBC 2 如果 试判断四边形的形状 并证明你的结论 ABAC AFBD 难度一般难度一般 解 1 证明 AF BC AFE DCE E 是 AD 的中点 AE DE AEF DEC AEF DEC AF DC AF BD BD CD D 是 BC 的中点 2 四边形 AFBD 是矩形 AB AC 是的中点 DBC AD BC 即 ADB 90 AF BD AF BC 四边形 AFBD 是矩形 A CB BC A A B D C E F A B D C E F 15 20 拓广与探索拓广与探索 本题本题 7 分分 如图 1 Rt ABC 中 ACB 90 中线 BE CD 相交于点 O 点 F G 分别是 OB OC 的中点 1 求证 四边形 DFGE 是平行四边形 2 如果把 Rt ABC 变为任意 ABC 如图 2 通过你的观察 第 1 问的结论是否仍然成立 不 用证明 3 在图 2 中 试想 如果拖动点A 通过你的观察和探究 在什么条件下 四边形 DFGE 是矩形 并 给出证明 4 在第 3 问中 试想 如果拖动点A 是否存在四边形 DFGE 是正方形或菱形 如果存在 画出相应 的图形 不用证明 图 图 1 图 图 2 第三问 第三问 AB AC 时 第四问 时 第四问 AB AC 且底边上的高是 且底边上的高是 BC 的的 3 2 倍时是正方形 保持这种高与边的比 倍时是正方形 保持这种高与边的比 但是 但是 AB AC 时是菱形 时是菱形 21 如图 点 A 0 4 点 B 3 0 点 P 为线段 AB 上的一个动点 作轴于点 M 作轴PMy PNx 于点 N 连接 MN 当点 P 运动到什么位置时 MN 的值最小 最小值是多少 求出此时 PN 的长 A B M P Nx O y MN OP 所以 所以 OP AB 时 时 MN 也就是也就是 OP 最小 最小 OP 12 5 初三相似形初三相似形 22 如图 在梯形ABCD中 AD BC AB AD DC 4 于点60C AEBD E F 是CD的中点 连接EF 1 求证 四边形 AEFD 是平行四边形 2 点 G 是 BC 边上的一个动点 当点 G 在什么位置时 四边形 DEGF 是矩形 并求出这个矩形的周长 3 在 BC 边上能否找到另外一点 使四边形 DEF 的周长与 2 中矩形 DEGF 的周长相等 请简 G G 16 述你的理由 B A F C D E 第二问 点 第二问 点 G 为为 BC 中点时 也是中点时 也是 AE 的延长线与的延长线与 BC 的交点 第三问 能找到 以的交点 第三问 能找到 以 EF 为一边在为一边在 EF 的的 下方做下方做 G1EF GFE G1在在 BC 上 但是不与上 但是不与 G 重合 重合 23 9 分 在梯形中 且 对角线ABCDABCD o 90 BCD1AB 2BC 2CDAB 和相交于点 等腰直角三角板的直角顶点落在梯形的顶点上 使三角板绕点旋转 ACBDOCC 1 如图 9 1 当三角板旋转到点落在边上时 线段与的位置关系是 数量关EBCDEBF 系是 2 继续旋转三角板 旋转角为 请你在图 9 2 中画出图形 并判断 1 中结论还成立吗 如果 成立请加以证明 如果不成立 请说明理由 3 如图 9 3 当三角板的一边与梯形对角线重合时 与相交于点 P 若CFACEFCD 求的长 6 5 OFPE F O D C A B E O D C B A P F O D C A B E 图 9 1 图 9 2 图 9 3 第三问 证明两次相似 推导比例关系 第三问 证明两次相似 推导比例关系 多看看 多看看 解 1 垂直 相等 2 分 2 画图如图 答案不唯一 5 4 3 2 1 a M F O D C B A E 3 2 1 P F O D C B A E 1 中结论仍成立 证明如下 过 A 作于 M 则四边形 ABCM 为矩形 AM BC 2 MC AB 1 DCAM 17 DC BC 2CDAB 2 1 2 DM CEF 是等腰直角三角形 o 90 ECFCECF o 90 ECFBCD BCFDCE DCBC DCEBCF CECF BCFDCE 12DEBF 又 34 590BCD 线段和相等并且互相垂直 DEBF DEBF 3 AB CDAOB COD ABOAOB CDOCOD 1 2 ABCD 1 2 OAOB OCOD 22 145 Rt ABCACABBC 在中 同理可求得 3 5 OA 3 22 OB 3 2 1 P F O D C B A E 5 6 OF 5 22 AC AFOAOF 5 2 CECF o 90 BCCDBCD o 45OBC 由 2 知 BCFDCE 21 又 o 453 OBC CPE COB PECE OBBC 5 2 22 2 3 PE 10 6 PE 初三相似形初三相似形 24 9 分 将一矩形纸片放在平面直角坐标系中 动点OABC 0 0 O 6 0 A 0 3 C 从点出发以每秒 1 个单位长的速度沿向终点运动 运动秒时 动点从点出发以相等的速QOOCC 2 3 PA 度沿向终点运动 当其中一点到达终点时 另一点也停止运动 设点设点 P 的运动时间为的运动时间为 秒 秒 AOOt 1 用含 的代数式表示 tOPOQ 2 当时 如图 10 1 将沿翻折 点恰好落在边上的点处 求点的坐标 1t OPQ PQOCBDD 18 D FC A B E 3 连结 将沿翻折 得到 如图 10 2 问 与能否平行 与ACOPQ PQEPQ PQACPE 能否垂直 若能 求出相应的 值 若不能 说明理由 ACt 解 1 6OPt 2 3 OQt 2 当时 过点作 交于 如图 1 3 分1t D 1 DDOA OA 1 D 则 5 3 DQQO 4 3 QC 1CD 13 D 3 能与平行 PQAC 若 如图 2 则 即 PQAC OPOA OQOC 66 2 3 3 t t 而 14 9 t 7 0 3 t 14 9 t 不能与垂直 PEAC 若 延长交于 如图 3 PEAC QEOAF 则 3 3 2 53 t QF OC OQ AC QF2 5 3 QFt 7 分EFQFQEQFOQ 22 5 33 tt 2 51 51 3 t 又 RtRtEPFOCA PEOC EFOA 63 26 51 3 t t 3 45t 而 t 不存在 7 0 3 t 25 锐角 ABC 中 AB AC 点 D 在 AC 边上 DE AB 于 E 延长 ED 交 BC 的延长线于点 F 1 当 A 40 时 求 F 的度数 2 设 F 为 x 度 FDC 为 y 度 试确定 y 与 x 之间的函数关系式 19 D FC A B E 第二问 第二问 B x 90 x y B 所以 所以 y 90 2x 解 1 AB AC BACB A 40 70B DE AB 90BEF 20 F 2 BC 1802 AB AADEFDC 90 2180 90B 290B 在 BEF 中 90BEF90BF 901802902 FDCFF 290yx 26 如图 1 正方形 ABCD 的边 CD 在正方形 DEFG 的 边 DE 上 连接 AE GC 1 试猜想 AE 与 GC 有怎样的数量关系 2 将正方形 DEFG 绕点 D 按顺时针方向旋转 使 点 E 落在 BC 边上 如图 2 连接 AE 和 GC 你认为 1 中的结 论是否还成立 若成立 给出证明 若不成立 请说明理由 3 在 2 的条件下 求证 AE GC 友情提示 旋转后的几何图形与原图形全等 友情提示 旋转后的几何图形与原图形全等 延长相交可证得垂直 延长相交可证得垂直 解 1 猜想 AE GC 2 答 AE CG 成立 证明 四边形 ABCD 与 DEFG 都是正方形 AD DC DE DG ADC EDG 90 1 3 2 3 90 1 2 ADE CDG AE CG 3 延长 AE GC 相交于 H 由 2 可知 5 4 又 5 6 90 4 7 180 DCE 90 6 7 又 6 AEB 90 AEB CEH CEH 7 90 EHC 90 AE GC 2727 如图所示 在直角梯形 ABCD 中 AD BC A 90 AB 12 BC 21 AD 16 动点 P 从点 B 出发 沿射线 BC 的方向以每秒 2 个单位长的速度运动 动点 Q 同时从点 A 出发 在线段 AD 上以每秒 1 个单位长 的速度向点 D 运动 当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动 设运动的时间为 t 秒 1 当 为何值时 四边形的面积是梯形的面积的一半 tPQDCABCD 2 四边形能为平行四边形吗 如果能 求出 的值 如果不PQDCt 能 请说明理由 B C D E F G A 1 2 3 4 5 6 7 H 20 3 四边形能为等腰梯形吗 如果能 求出 的值 如果不能 请说明理由 PQDCt 第一问 第一问 t 37 6t 37 6 第二问 第二问 t 5t 5 第三问 不能 第三问 不能 QPC QPC 大于大于 90 90 不能等于 不能等于 DCP DCP 本题扩展 如果 本题扩展 如果 延延 DADA CBCB 方向移动 则可以出现等腰梯形 方向移动 则可以出现等腰梯形 2828 12 分 如图 等腰梯形ABCD中 AD BC M N 分别 是 AD BC 的中点 E F 分别是 BM CMCM 的中点 1 在不添加线段的前提下 图中有哪几对全等三角形 请直接写出结论 2 判断并证明四边形MENF是何种特殊的四边形 3 当等腰梯形ABCD的高h与底边BC满足怎样的数量关系 时 四边形MENF是正方形 直接写出结论 不需要证明 两对 菱形 一半 两对 菱形 一半 3939 E 是正方形 ABCD 的对角线 BD 上一点 EF BC EG CD 垂足分别是 F G 求证 FGAE 简单题 连接简单题 连接 CE 则 则 CE FG 再证全等即可 再证全等即可 证明 连接 CE 四边形 ABCD 为正方形 AB BC ABD CBD 45 C 90 EF BC EG CD 四边形 GEFC 为矩形 GF EC 在 ABE 和 CBE 中 ABBC ABDCBD BEBE