2012届高考数学专题练习 32立体几何 理

用心 爱心 专心 1 训练训练 3232 立体几何立体几何 推荐时间 75 分钟 1 如图所示 在直三棱柱ABC A1B1C1中 AB BB1 AC1 A1B D为AC的中点 1 求证 B1C 平面A1BD 2 求证 平面AB1C1 平面ABB1A1 2 如图所示 在四棱锥P ABCD中 PAB为正三角形 且面PAB 面ABCD 四边形ABCD是直角梯形 且AD BC BCD AD 1 BC 2 E为棱PC的中点 4 1 求证 DE 平面PAB 2 求证 平面PAB 平面PBC 3 求四棱锥P ABCD的体积 3 如图 在平行四边形ABCD中 AB 2BC ABC 120 E为线段AB的中点 将 ADE沿直线DE翻折成 A DE 使平面A DE 平面BCD F为线段A C的中点 1 求证 BF 平面A DE 2 设M为线段DE的中点 求直线FM与平面A DE所成角的余弦值 4 直棱柱ABCD A1B1C1D1中 底面ABCD是直角梯形 BAD ADC 90 AB 2AD 2CD 2 1 求证 AC 平面BB1C1C 2 在A1B1上是否存在一点P 使得DP与平面BCB1和 平面ACB1都平行 若存在 求出点P的位置 若不存在 说明理由 用心 爱心 专心 2 5 四棱锥P ABCD的底面与四个侧面的形状和大小如图所示 1 写出四棱锥P ABCD中四对线面垂直关系 不要求证明 2 在四棱锥P ABCD中 若E为PA的中点 求证 BE 平面PCD 3 在四棱锥P ABCD中 设面PAB与面PCD所在的角为 0 90 求 cos 的值 6 如图 侧棱垂直底面的三棱柱ABC A1B1C1的底面ABC 位于平 行四边形ACDE中 AE 2 AC AA1 4 AED 60 点B为 DE中点 1 求证 平面A1BC 平面A1ABB1 2 设二面角A1 BC A的大小为 直线AC与平面A1BC所成 的角为 求 sin 的值 答案 1 证明 1 设AB1 A1B O 连接OD 由于点O是AB1的中点 又D为AC的中点 所以OD B1C 而B1C平面A1BD OD 平面A1BD 所以B1C 平面A1BD 2 因为AB BB1 所以ABB1A1是正方形 则A1B AB1 又A1B AC1 且AC1 AB1 平面AB1C1 AC1 AB1 A 所以A1B 平面AB1C1 而A1B 平面ABB1A1 所以平面AB1C1 平面ABB1A1 2 1 证明 如图所示 取线段BC的中点F 连接 EF FD 在 PBC中 E F分别为PC CB的中点 用心 爱心 专心 3 EF PB 在直角梯形ABCD中 F为CB的中点 BF BC 1 1 2 又 AD BC 且AD 1 AD綊BF 四边形ABFD是平行四边形 FD AB 又 EF FD F PB BA B 平面EFD 平面PAB 又 DE 平面EFD DE 平面PAB 2 解 在直角梯形中 CB AB 又 平面PAB 平面ABCD 且平面PAB 平面ABCD AB CB 平面PAB 又 CB 平面PBC 平面PBC 平面PAB 3 解 取AB的中点H 连接PH 由 1 知四边形ABFD是平行四边形 AB綊DF 又AB BC DF FC 在 Rt DFC中 BCD CF BC 1 DF 1 4 1 2 AB 1 直角梯形ABCD的面积S AD BC AB 1 2 1 1 2 1 2 3 2 在正三角形PAB中 H为AB的中点 PH AB 且PH AB 3 2 3 2 又 平面PAB 平面ABCD 平面PAB 平面ABCD AB PH 平面ABCD 故四棱锥P ABCD的体积V S H 1 3 1 3 3 2 3 2 3 4 3 1 证明 取A D的中点G 连接GF GE 由条件易知 FG CD FG CD 1 2 BE CD BE CD 1 2 FG BE FG BE 故四边形BEGF为平行四边形 BF EG EG 平面A DE BF 平面A DE 用心 爱心 专心 4 BF 平面A DE 2 解 在平行四边形ABCD中 设BC a 则AB CD 2a AD AE EB a 连接CE ABC 120 在 BCE中 可得CE a 在 ADE中 可得DE a 3 在 CDE中 CD2 CE2 DE2 CE DE 在正三角形A DE中 M为DE中点 A M DE 由平面A DE 平面BCD 可知A M 平面BCD A M CE 取A E的中点N 连接NM NF NF DE NF A M DE交A M于M 所以NF 平面A DE 则 FMN为直线FM与平面A DE所成角 在 Rt FMN中 NF a MN a FM a 3 2 1 2 则 cos FMN 1 2 直线FM与平面A DE所成角的余弦值为 1 2 4 1 证明 直棱柱ABCD A1B1C1D1中 BB1 平面ABCD BB1 AC 又 BAD ADC 90 AB 2AD 2CD 2 AC CAB 45 2 BC BC2 AC2 AB2 BC AC 2 又BB1 BC B BB1 平面BB1C1C BC 平面BB1C1C AC 平面BB1C1C 2 解 存在点P P为A1B1的中点 由P为A1B1的中点 有PB1 AB 且PB1 AB 1 2 又 DC AB DC AB DC PB1 且DC PB1 1 2 DCB1P为平行四边形 从而CB1 DP 又CB1 平面ACB1 DP平面ACB1 DP 平面ACB1 同理 DP 平面BCB1 5 解 1 如图 在四棱锥P ABCD中 PA 平面ABCD 用心 爱心 专心 5 AD 平面PAB BC 平面PAB AB 平面PAD 2 依题意AB AD AP两两垂直 分别以直线AB AD AP为x y z轴 建立空间直 角坐标系 如图 则P 0 0 2 B 2 0 0 C 2 2 0 D 0 4 0 E是PA中点 点E的坐标为 0 0 1 2 0 1 2 2 2 0 4 2 BE PC PD 设n n1 x y z 是平面PCD的法向量 由Error 即Error 取y 1 得n n1 1 1 2 为平面PCD的一个法向量 n n1 2 1 0 1 1 2 0 BE n n1 平面PCD BE BE 又BE平面PCD BE 平面PCD 3 由 2 平面PCD的一个法向量为n n1 1 1 2 又 AD 平面PAB 平面PAB的一个法向量为n n2 0 1 0 cos n n1 n n2 n n1 n n2 1 6 6 6 6 1 证明 方法一 在平行四边形ACDE中 AE 2 AC 4 E 60 点B为DE中点 ABE 60 CBD 30 从而 ABC 90 即AB BC 又AA1 面ABC BC 面ABC AA1 BC 而AA1 AB A BC 平面A1ABB1 又 BC 平面A1BC 平面A1BC 平面A1ABB1 方法二 AE 2 AC 4 E 60 点B为DE中点 AB 2 BC 2 AB2 BC2 16 AC2 3 AB BC 又AA1 面ABC BC 面ABC AA1 BC 用心 爱心 专心 6 而AA1 AB A BC 平面A1ABB1 又 BC 平面A1BC 平面A1BC 平面A1ABB1 2 解 由 1 可知A1B BC AB BC A1BA为二面角A1 BC A的平面角 即 A1BA 在 Rt A1AB中 AB 2 AA1 4 A1B 2 5 sin sin A1BA AA1 A1B 2 5 5 cos AB A1B 5 5 以A为原点 建立空间直角坐标系A xyz如图所示 其中A1 0 0 4 B 1 0 C 0 4 0 0 4 0 1 4 3 AC A1B 3 3 0 BC 3 设n n x