倒立摆系统自适应高阶微分反馈控制

倒立摆系统自适应高阶微分反馈控制倒立摆系统自适应高阶微分反馈控制 齐国元 陈增强 袁著祉 1 天津科技大学自动化系 天津 300222 2 南开大学自动化系 天津 300071 摘要摘要 利用提取的系统高阶微分信息 提出了自适应高阶微分反馈控制器 某种程度上该 控制器不依赖于单输入单输出 SISO 非线性仿射系统的模型 并且分析了闭环系统的稳定性 和鲁棒性 通过将摆角方程的位移加速度看作是控制输入 将倒立摆系统转化成相互影响的两 个 SISO 仿射系统 从而用两个串级高阶微分反馈控制器成功地实现了倒立摆系统的镇定与 调节 数字仿真表明 控制器对摆的基准模型实现了较为满意的控制 而且该控制方法对非线 性摩擦项 对摆长 摆质量 小车质量等参数变化以及外扰动具有强鲁棒性 关键词关键词 倒立摆系统 高阶微分器 自适应高阶微分反馈控制器 不依赖模型控制器 鲁棒性 1 引言引言 作为一个典型的不稳定非线性装置 倒立摆系统的镇定和调节的问题在不同的控制设 计技术中的演示和推动成为了一个基准的例子 例如 基于郑和约翰提出摆动能量的非线 性控制器的模型是使用小增益逼近和林提供了线性状态反馈控制器是摆平衡 咔哇他L 你线性化了并列的两个倒立摆系统的非线性数字模型 然后通过使用状态反馈增益载体和 全状态观测器设计了一个稳定性控制器 姚首先通过模糊法来识别动态线性化模型 然后 根据这个模型设计出极点分配控制器使系统稳定 这些文献中涉及到的控制器取决于非线 性基准模型或倒立摆的线性化模型 一些设计的方法考虑到了鲁棒控制器的摩擦项 但是 不确定性低于基准模型 实际上 基于标准控制器取决于控制装置的模型是现代控制理论 的重要特征 我们发现可测量的信息和它们的 n 阶微分方程在放射系统中具有重要的意义 微分 不仅是可变输出速率 而且也是系统的内部状态 翰利用高阶微分提出了自抗扰控制器 但是对控制器的闭环系统设有一个稳定性和收敛性的解决方法 在文献 6 中 我们设计了高阶微分器独立于控制装置 取决于信号本身 高阶微分 器可以接近实际信号和提取 n 阶微分 高阶微分器的稳定性和收敛性是已经证明了的 利用提取的微分信息 我们设计了自适应高阶微分反馈控制器 它不取决于系统的 模型 但是取决于 n 阶微分 理论分析方法表明自适应高阶微分反馈控制器使闭环系统 获得稳定性和收敛性 如果我们把加速度看作是摆角动态方程的控制输入 把小车加速度看作是小车的位 移动态方程的控制对象 然后倒立摆系统转换成双非线性 SISO 放射系统 因此 用两个高阶微分反馈控制器 我们能使倒立摆镇定和调节 当摆角变成零度 小车的位移可以通过控制器达到目标位移 因为某种程度上该控制器取决于倒立摆的模 型 高阶微分反馈控制器的扰动及参数变化具有强鲁棒性 仿真和展示了所提出理论的 有效性 而且 高阶微分反馈控制器不取决于位移和速度和角的速度 但是取决于摆位 和摆角 因此控制器是可适应的 本论文有以下几部分组成 第二部分是 根据高阶微分呈现了自适应高阶微分反馈 控制器的 SISO 放射系统 第三部分 把倒立摆系统转换成放射系统和用自适应高阶微 分反馈控制器使倒立摆镇定和调节 第四部分 通过数字演算证明倒立摆控制的有效性 2 自适应高阶微分反馈控制器自适应高阶微分反馈控制器 考虑扰动的 SISO 放射系统 自适应高阶微分反馈控制器的微分方程表示为 1 n yf X td tu 其中 u 是控制输入 y 是可测量的输出 表示 y 的 i 阶 i yX 1 2 T n X XX 表示输出微分向量 也是系统的状态向量 是未知稳定非 1 1 T nn y yyR f 线性有界时变函数 d t 是未知有界稳定扰动 起始条件 00 X tX 给定的对象的轨线出现阶微分 是连续的 如果不满足这些条件 我们使 r yn n r y r y 改变直到满足条件 设置已知的微分输入向量 设置已知 r y 1 1 nn rrrr xyyyR 的广义微分输入向量 广义微分输出向量 1 1 T nn rrr ryyyrR 广义微分误差向量 1 1 T nn Zy yyR 其中 1 1 121 T T nn n erze eee eeR r eyy 一般输出量 y 和给定的输入量是已知的 但是广义微分输出向量 z 和给定的广义微 r y 分输入向量 r 是未知的 在文献 6 中提出一种高阶微分 这高阶微分为任一个具有 n 阶微 分的可测量信号提取了 n 阶微分 设置 用来表达 广义微分向量 z y 1 y n y T 的估计量 注表示的估计量 而不表示的 i 阶 1 T n Zy yy i y i y y 现在的高阶微分用组合表达式来表示 将 n 阶动态系统 2 和 n 1 阶代数方程表示 3 连起来 2 ix 1 ix 10 11 i a yxin 0 nx 0 1 n ayx y 1 x 3 i y 1 ix i ay 1 x 2 in 其中是系统的阶数 通常 设 是系统的状态 0 n 0 1 nn 1 x 2 x nx 是参数 问题是根据可测量的信号怎样能获得滤波信号 此外 怎样才能获 0 1 i a in 得估计信号 1 y n y 显然 高阶微分的稳定性相等于系统 对方程 2 拉氏变换 我们易获得从 y 到的转变函数 1 x 0 00 00 00 1 11 1 11 n nn nn nn a sasa s sa sasa 如果没有准确给出参数的话 通过高阶微分来提取的差距是不可能是理想的 0 1 i a in 甚至系统是不稳定的 在文献 6 中 我们根据轨迹分析系统的参数设计思想 参 数通过下列方程给出 00 0 111 100 0 1 2 30 1 2 nnii in aKCaKn an ain 4 注意高阶微分精简成了两个可调的参数和 a 0 n 通过参数公式 4 我们对高阶微分有下列讨论 看文献 6 1 高阶微分不取决于估算系统的模型 它是基于信号的附加系统 y t 2 高阶微分是一个渐进性稳定性系统 3 高阶微分支持较高的收敛性满足 lim 0 i a yin 5 其中表示 在数学上精确地 在实际中只取 高阶微分有较高的 0 y y a 2 30a 精确度 下面我们将学习基于 n 阶微分的控制问题 假设假设 1 输入量 z 的广义微分向量和相对输入量 r 的广义微分向量都已知 是连续 n y 定理定理 1 未知模型的时变非线性系统 1 和未知扰动的时变非线性系统 高阶微分反馈 控制器可表示为 ukeu 6 其中 多项式是一个赫维茨多项式 11 1 nn kk kk 1 1 n R 1 1 nn n sk sk 是控制量 u 的滤波值 它满足 u u u u 7 其中是一个较大的正数 高阶微分反馈控制器使闭环系统渐近稳定 对 00 0 0uu 参数系统的扰动的变化具有强鲁棒性 应付收敛性 limlim r t xx 8 证明证明 从方程 1 和 e 的定义中 我们有 nnnnnn nrrr eyyyf x td tuyyyf x td tu 此外 以下方式满足 12 23 nnn r ee ee eyyyf X td tu 9 设 1 2 T n rn xxe eeR 121 010001000 001000100 0 000100010 00001 n nnn n m nnn ARbRAR kkkk 从方程 9 中 我们有 nnn r nn mr n m Ab yyyf X td tu Ab Kyyf X td tu Ab Keyf X td tu 10 其中制定是一个赫维茨矩阵 它意味着存在矩阵 1 11 n nn kk kkR m A 对任意一个正定矩阵 Q 满足0 T pp T mm PAA PQ 同样地 k 使成为了一个赫维茨多项式 在方程 10 中 使 1 1 nn n sk sk 0 n keyf X td tu 11 我们有控制规律 n ukeyf X td t 12 因为求和项是未知的 控制规律不能够实现 从系统 1 中 我们有 f X td t n yf X td tu 13 但是 u 是控制规律 它要求增值 因为它也不能够实现 我们考虑到 u 的滤波值能够实 u 现 因为从公式 7 中知滤波有延迟性 用代替 u 它意味着 u n uyf X td t 14 把 14 代入 12 我们获得控制器 6 再把 6 代入 10 我们对闭环系统有一个 重要表达式 m Ab uu 15 下面我们证明闭环系统 15 的稳定性 收敛性和鲁棒性 方程 7 是一个滤波表达式 滤波通过积分电路来实现 所以无论是否连续 滤波是必定连续的 它意味着只要是 u u u 是可积的滤波是连续性不取决于 u 此外 假设 1 中和是连续的 由于 u n y n r yin 因此和必定是连续的 因此 我们获得的 e 是连续的 因此从 6 i y 0 1 i r yin 中我们得到的控制规律 u 是一定连续的 再 7 我们得到 u u s 16 从 16 和 u 的连续性 我们获得 limuu 17 因为是一个赫维茨矩阵 闭环控制系统是渐近稳定 再从 5 和 17 中 我们获得 m A limlim0 t 18 因为我们用收敛性评论 8 因为控制器 6 不取决与系统的模型 只取决于给定的输入 和输出的信号和它们的差值和高阶微分 控制器对函数和扰动的的具有鲁棒性 f d t 说明说明 1 其中只是对数学上的意义较精确 因为控制规律 u 是连续的 取 5 100 滤波可以非常精确的接近 u 除了方程 7 滤波通过其它滤波方程可以完全地增 u u 值 2 高阶微分反馈系统不仅实现了闭环系统的输出 y 跟踪给定输入 还可以输出的 r y i y n 1 阶 它不同于闭环系统的输出跟踪给定输入的一般对象 3 高阶微分反馈控制有准确的物理意义 控制规律有两个条件 其中一个条件是可以 u 克服或阻碍求和项 另一个条件从方程 11 到 18 可以看出 ke 使 f X td t 闭环系统渐近稳定 我们交求和项看作是一般扰动 f X td t 4 从假设 1 高阶微分反馈控制器不适应于 z 和 r 从 1 知 输出量 y 具有 n 阶微分 它满足高阶微分的可测量输入信号的条件 因此基于输出量 y 和给定输出量我们通 r y 过高阶微分估算 z 和 r 来获得和 此外从 2 中 因此是连续的 z r 0 1nn n y 控制器 6 转变成下列方程 u Ke u 19 其中 因此我们使听从自适应高阶微分反馈控制器 e r z 3 倒立摆系统的分析 镇定性和调节性倒立摆系统的分析 镇定性和调节性 考虑到倒立摆系统的线性光滑摩擦项的基准模型 2 2 2 cos sin JmLmLymLg 20 1 2 1 2 2 cos sin 1 Mm ybymLmLu 20 2 其中表示关于垂直线的摆角 y 表示小车的位移 J 表示摆的惯性 L 表示摆质量的中心 和小车的顶端之间的距离 M 和 m 分别表示小车的质量和摆的质量 g 表示由于重量而产 生的加速度 b 表示小车的摩擦力的线性系数 u 表示应用在小车的外力 3 1 摆的真定性问题摆的真定性问题 设计了闭环系统反馈控制获得了下列两个对象 lim 0 r t t 21 1 lim 0 r t y ty 21 2 这是摆角和小车的位移的渐近镇定性 此外 如我们取 镇定性问题也就调节性问0 r y 题 因此 我们主要学习镇定性 从方程 20 1 和 20 2 中 摆系统是一个单输入双输出系统 因此 我们不可以直接 应用自适应高阶微分反馈控制来控制摆系统 但是我们可以吧系统转变成两个 SISO 放射 系统 用两个控制器去控制摆系统 为了控制一个系统 我们应当掌握它的给定对象 输出量控制量和控制的装置 从摆角 的方程中 输出量是角 给定的对象是表达式 21 1 驱动力是 方程 2 y 是两项 它可以转变成一般扰动 给定对象的表达式 2 2 cos sin 1 mLmL 21 2 根据以上的分析 方程 20 1 和方程 20 2 可以看作是两个 SISO 放射系统 对方程 20 1 为了获得对象方程 21 1 我们可以利用一个外环自适应高阶微分反馈控制来获得控制规律 对于方程 20 2 我们把 的第二积分 看作是给定的对象 它的广义微分 2 1r y 1r y 2 1r y 向量是 设计一个内环自适应高阶微分反馈控制器来获得控制规律 1 2 1111 T rrr ryyy u 然后 控制规律 u 可以获得控制对象 21 1 整个系统利用了一个并列的控制 注意的是控制规律 u 可能不会涉及到控制对象 21 2 为了获得控制对象 21 2 我们 在内环控制高阶微分反馈控制器设了另一个约束对象 它的广义给定的输入是 框图 2 里的虚线 为了结合 21 1 和 21 2 我们对内环 1 2 2222 0 0 0 T T rrr ryyy 控制高阶微分反馈控制器定义了一个称重量的给定的广义输出向量 1 12 2 rwrw r 22 其中和是称重量 下面 我们定义重量方案 1 w 2 w 如果控制只是镇定问题 由于 取或同时取 2 0 r y 2 0 0 0 T r 1 rr 1 1 1 1w 重量没有任何重要意义 如果控制是调节性问题 2 0 0 0w 0 r y 取 从以上地分析 我们在向量中了解到 1 2 2222 0 0 0 T T rrr ryyy 2 1 1 1w 1 r 最重要的控制对象的部分值是因为在外环高阶微分反馈控制中也是个控制规律 2 1r y 2 1r y 所以取 摆系统扰动的较严重 参数变化较大 w 取较大 1 0 0 wu 2 0 7 2w 为了统一镇定性和调节性问题 我们把镇定性问题看作是调节性问题 使公式简单化 它意味着我们在真定性和调节性问题上取 1 0 0 ww 0 7 2w 2 1 1 1w 从 6 和 7 中 对于外环高阶微分反馈控制器 控制规律表示为 2 1r y 2 1r y k e 2 1r y 2 1 r y 2 11 r y 2 11r y 23 微分误差向量表示为 e r z z 1 2 T 24 其中 0 0 0 T r z 对于内环高阶微分反馈控制器 控制规律 u 表示为 u yy k e u u 22 u u 25 其中 ye r yz r 1 12 wrw r 1 2 1111 T rrr ryyy 2 0 0 0 T r yz y 1 y 我们考虑到在方程 20 1 中控制项的系数是负的 因此在方程 25 n y T 2 y 不是 是反转作用 y K 1y k 3 2 摆位移的调节性问题摆位移的调节性问题 在的范围之间 为了满足 3 1 部分镇定性问题的要求设计了反馈控制器 0 d tt 其中是额外给定的时间 系统满足 d tt T 0 d Tt 0t 26 1 0 r y ty 26 2 其中是一个通过正定的给定对象的一个可变变量 看文献 7 r y d y 除了 调节性问题与镇定性问题一致 因此除了0 r y 控制方案与 3 1 部分控制一致 1 2 2222 0 0 0 T T rrr ryyy 注意 1 控制器高阶微分反馈控制器 1 和高阶微分反馈控制器 2 都是可自适应的 因为它们只 根据系统的输出变量和 y 而不是根据和的状态 基于和 y 利用高阶微分 1 1 y 我们获得了估计量 1 2 1 y 2 y 2 两个自适应高阶微分反馈控制器不取决于参数和模型 20 1 和 20 2 的函数关系 因此 控制器对参数和函数之间的变化具有强鲁棒性 4 摆系统的仿真和鲁棒性的证明 摆系统的仿真和鲁棒性的证明 4 1 镇定性问题镇定性问题 我们取 20 1 和 20 2 的基准参数 看文献 7 M 1 320kg L 0 25m m 0 109kg b 0 1 取起始值 1 Nm s 2 3JmL 2 9 8gm s 推动力 40 设计控制器的目的在于使闭环系 1 1 0 0 0 0 0yy t N 统满足下列要求 27 1 0 02trad 0 5ts 27 2 0 01y tm 0t 27 3 10u tv 给定的值为 6 2 0 Id 首先 我们研究了系统的镇定性 控制器是两个自适应高阶微分反馈控制器 方程 23 24 25 对高阶微分 1 和高阶微分 2 取相同的参数是 和取高阶 0 5n 5a 微分控制器的参数 正如在方程 23 高阶微分反 2 1 1 1w 16 8 1 T k 1 10 馈控制器 2 的参数 正如 25 25 10 1 y k 才有采样时间 图 3 a b c 分 2 6 1 0 0 0 75w 2 1 1 1w 0 005 别呈现摆角 小车的位移和驱动力 包含推动力 为了清楚地观察初 t y t u t t 始的瞬时作用 我们在之间划分了 显然 和分别满足 27 1 0 1t u t t y t u t 27 2 和 27 3 的要求 实际上 角满足 位移满足 0 02trad 0 1ts 因为起始推动力是 初始的瞬时出现 0 01y tm 0t 40 10 tt 10u tv 但只是在时满足 计算值为 0 0149 0 01ts 10u tv 6 2 0 Id 4 2 调控性问题调控性问题 控制器的摆系统的参数与 4 1 部分一致 设计一个控制器满足以上要求和达到新的要 求 它就是给定的对象的位移 后满足 和0 2 d ym 5 d ts 0 2y t 0t 28 1 0 02 6trad ts 0 01 7 d y tym ts 28 2 10u tv 28 3 值为 10 22 0 d Iyyd 控制器仍是两个自适应高阶微分反馈控制器 它的参数的取值与以上在镇定性问题里 的控制器取值一致 控制器曲线部分表示为 0 0 0 2 d td d tt y tt 2 2 16 816 rtd yy ss 图 4 a b 和 c 分别呈现了 和 角满足 28 1 位移 t y t u t t 5 525ts 28 2 满足 驱动力 28 3 值为 u t y t6 95ts u t 46 2761 10 22 0 d Iyyd 在上面的仿真中两个自适应高阶微分反馈控制器不取决于系统的参数和一些函数关系 4 3 在仿真中证明鲁棒性在仿真中证明鲁棒性 我们考虑了非线性光滑摩擦力或扰动和参变量或是时变量等复杂模型 4 3 1 摩擦项和参变量的鲁棒控制摩擦项和参变量的鲁棒控制 考虑了倒立摆系统的非线性光滑摩擦力和摆点和参变量 模型表示为 2 2 2 1 cos sinJmLmLyCmLg 29 1 2 1 2 2 cos sin 1 Mm yb ymLmLu 29 2 其中是摆点的摩擦项系数 增加了光滑非线性摩擦力的系数 基准模型0 12c 0 95b 中的 m 值放大了 4 倍多 取 注意 在文献 8 中三个参数的值超0 436m 0 625L 过了要求 其他参数和起始条件与在基准模型 20 1 20 2 一致 a 我们检查鲁棒的稳定性 除了重量控制器的参数完全与以上控制器一 1 0 0 1 15w 致 控制结果呈现在图 5 显然 和仍然分别满足 27 1 27 2 和 27 3 t y t u t 的要求 值为 0 0151 6 2 0 Id b 我们检查调节性问题 控制器的参数完全与以上鲁棒镇定性一致 控制结果呈现在图 6 中 角 位移和驱动力