云南师大附中2013届高考数学适应性月考卷（五）文（含解析）新人教A版

1 2012 20132012 2013 学年云南师大附中高考适应性月考数学试卷学年云南师大附中高考适应性月考数学试卷 5 5 文科 文科 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 1212 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 6060 分 在每小题给出的四个选项中 只分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的 有一项是符合题目要求的 1 5 分 已知集合 A x ax 1 0 b 3 4 且 A B A 则 a 的所有可能值组成的集 合是 A 0 B C D 0 考点 交集及其运算 专题 计算题 分析 直接利用集合的交集推出集合的包含关系 利用验证法找出选项即可 解答 解 由 A B A 知 A B 而 B 3 4 当 a 0 时 A 适合 A B A 当 a A 3 满足 A B A 当 a 时 A 4 满足 A B A 综上 a 0 故选 A 点评 本题考查集合的基本运算 交集与集合的包含关系的应用 基本知识的考查 2 5 分 设复数 z 1 其中 i 为虚数单位 则 z2为 A 1 iB 2iC 2 2iD 2i 考点 复数代数形式的乘除运算 专题 计算题 分析 利用复数的运算法则即可得出 解答 解 则 z2 1 i 2 1 i2 2i 2i 故选 B 点评 熟练掌握复数的运算法则是解题的关键 2 3 5 分 下列有关命题的说法正确的是 A 命题 x R 使得 x2 x 1 0 的否定是 x R 均有 x2 x 1 0 B 若 p q 为真命题 则 pV q 也为真命题 C 线性回归方程 x 对应的直线一定经过其样本数据点 x1 y1 x2 y2 xn yn 中的一个点 D x 1 是 x2 5x 6 0 成立的必要不充分条件 考点 命题的真假判断与应用 必要条件 充分条件与充要条件的判断 专题 规律型 分析 选项 A 原命题的否定应为 x R 均有 x2 x 1 0 选项 B 若 p q 为真 命题 则 p 真 q 假 可得 pV q 也为真命题 选项 C 回归方程 x 对应的直线一定经过样本点的中心 选项 D x 1 是 x2 5x 6 0 成 立的充分不必要条件 解答 解 选项 A 命题 x R 使得 x2 x 1 0 的否定是 x R 均有 x2 x 1 0 故 A 错误 选项 B 若 p q 为真命题 则 p q 同真 故 p 真 q 假 可得 pV q 也为真命题 故 B 正确 选项 C 线性回归方程 x 对应的直线一定经过样本点的中心 不一定经过其样本数据点中的任何一个点 故 C 错误 选项 D 因为方程 x2 5x 6 0 的解集为 1 6 且 1 是 1 6 的真子集 故 x 1 是 x2 5x 6 0 成立的充分不必要条件 故 D 错误 故选 B 点评 本题考查命题真假的判断 涉及充要条件的判断和复合命题的真假 属基础题 4 5 分 一个路口的红绿灯 红灯的时间为 30 秒 黄灯的时间为 5 秒 绿灯的时间为 40 秒 当某人到达路口时看见的是红灯的概率是 A B C D 考点 几何概型 等可能事件的概率 专题 计算题 3 分析 根据题意 该路口红绿灯亮的一个周期为 30 秒 5 秒 40 秒 75 秒 某人到达路口 时看见的是红灯的事件 对应的时间为 30 秒 用符合题意事件的时间长度 除以所 有事件的时间长度 即可得到正确选项 解答 解 设事件 A 某人到达路口时看见的是红灯 则事件 A 对应 30 秒的时间长度 而路口红绿灯亮的一个周期为 30 秒 5 秒 40 秒 75 秒的时间长度 根据几何概型的公式 可得事件 A 发生的概率为 P A 故选 B 点评 本题以一个路口看到红灯的事件概率的求法为例 着重考查了几何概率的知识 属 于基础题 5 5 分 设向量 sin 的模为 则 cos2 A B C D 考点 二倍角的余弦 向量的模 专题 三角函数的求值 平面向量及应用 分析 由题意求得 sin2 再由二倍角公式可得 cos2 1 2sin2 运算求得结果 解答 解 由题意可得 sin2 cos2 1 2sin2 故选 B 点评 本题主要考查向量的模的定义 二倍角公式的应用 属于中档题 6 5 分 2013 日照二模 在同一个坐标系中画出函数 y ax y sinax 的部分图象 其 中 a 0 且 a 1 则下列所给图象中可能正确的是 A B C D 考点 指数函数的图像与性质 正弦函数的图象 专题 压轴题 数形结合 分析 本题是选择题 采用逐一排除法进行判定 再根据指对数函数和三角函数的图象的 4 特征进行判定 解答 解 正弦函数的周期公式 T y sinax 的最小正周期 T 对于 A T 2 故 a 1 因为 y ax的图象是增函数 故错 对于 B T 2 故 a 1 而函数 y ax是减函数 故错 对于 C T 2 故 a 1 y ax 1 故错 对于 D T 2 故 a 1 y ax是减函数 故对 故选 D 点评 本题主要考查了指数函数的图象 以及对三角函数的图象 属于基础题 7 5 分 一个几何体的三视图如图 2 所示 其中俯视图是菱形 则该几何体的侧面积为 A B C D 考点 由三视图求面积 体积 专题 空间位置关系与距离 分析 通过三视图判断几何体的特征 利用三视图的数据 求出几何体的侧面积即可 解答 解 该几何体是高为 1 底面对角线长为 2 的菱形构成的四棱锥 A BCDE 如图所示 在直角三角形 ABE 中 AB 1 BE AE 在三角形 AED 中 AE ED AD AE2 DE2 AD2 三角形 AED 是直角三角形 则该几何体的侧面积为 S 2 2 故选 C 5 点评 本题考查几何体的体积的求法 考查学生对三视图复原几何体的能力与计算能力 8 5 分 2013 东莞一模 图是某算法的程序框图 则程序运行后输出的 T 是 A 1B 2C 3D 4 考点 程序框图 专题 图表型 分析 直接计算循环后的结果 当 k 6 时不满足判断框的条件 推出循环输出结果即可 解答 解 第一次循环有 a 1 T 1 K 2 第二次循环有 a 0 T 1 k 3 第三次循环有 a 0 T 1 k 4 第四次循环有 a 1 T 2 k 5 第五次循环有 a 1 T 3 k 6 此时不满足条件 输出 T 3 故选 C 点评 本题考查循环结构的作用 循环中两次判断框 题目比较新 考查学生分析问题解 决问题的能力 9 5 分 函数 y sin x 在区间上单调递 减 且函数值从 1 减小到 1 那么此函数图象与 y 轴交点的纵坐标为 A B C D 考点 由 y Asin x 的部分图象确定其解析式 专题 计算题 三角函数的图像与性质 6 分析 依题意 利用正弦函数的单调性可求得 y sin x 的解析式 从而可求得此函 数图象与 y 轴交点的纵坐标 解答 解 函数 y sin x 在区间 上单调递减 且函数值从 1 减小到 1 T 又 T 2 又 sin 2 1 2k k Z 2k k Z y sin 2x 令 x 0 有 y sin 此函数图象与 y 轴交点的纵坐标为 故选 A 点评 本题考查由 y Asin x 的部分图象确定其解析式 求得 与 的值是关键 也是难点 考查分析与理解应用的能力 属于中档题 10 5 分 P 是抛物线 y2 4x 上任意一点 则点 P 到定点 A 0 的距离与到抛物线准 线的距离之和的最小值是 A B C 3D 考点 抛物线的简单性质 专题 圆锥曲线的定义 性质与方程 分析 由抛物线的定义可得 d PF PA AF 当 A P F 三点共线时 其和最小 再求 出 AF 的值即可 解答 解 由抛物线定义 点 P 到抛物线准线的距离等于它到焦点 F 的距离 7 所以当 A P F 三点共线时 其和最小 最小为 AF 故选 D 点评 本小题主要考查抛物线的简单性质 解题的关键是抛物线的定义解题 11 5 分 2012 深圳二模 设 a b c d R 若 a 1 b 成等比数列 且 c 1 d 成 等差数列 则下列不等式恒成立的是 A a b 2cdB a b 2cdC a b 2cdD a b 2cd 考点 等比数列的性质 等差数列的性质 专题 计算题 等差数列与等比数列 分析 由题意可得 ab 1 c d 2 由于 a b c d 的正负不确定 选项 A B 不恒成立 由 于 ab 1 0 则 a b 同号 a b a b 2 当 cd 0 时 c d 0 2cd 当 cd 0 时 由 c d 2 可知 c 0 d 0 则可知 cd 1 从而可得 解答 解 由题意可得 ab 1 c d 2 由于 a b c d 的正负不确定 A 例如 a 2 b c 8 d 10 此时 a b 2cd 故 A 错误 B 例如 a 2 b c 1 d 1 此时 a b 2cd 故 B 错误 由于 ab 1 0 则 a b 同号 a b a b 2 当 cd 0 时 c d 0 2cd 当 cd 0 时 由 c d 2 可知 c 0 d 0 则可知 cd 1 a b 2cd 综上可得 a b 2cd 点评 本题主要考查了基本不等式的灵活应用 解题的关键是判断基本不等式的应用条件 解题中要注意对各种情况都要考虑 8 12 5 分 如图 已知 O A B 是平面上三点 向量 在平面 AOB 上 P 是 线段 AB 垂直平分线上任意一点 向量 且 3 2 则 的值是 A B C D 考点 平面向量数量积的运算 专题 计算题 压轴题 平面向量及应用 分析 因为 与向量垂直 得 0 因此将向量表示成 的和 从而 代入题中的数据即可得到 的值 解答 解 连接 OM 根据题意得 得 0 32 22 故选 D 点评 本题给出三角形的边 AB 的垂直平分线 求向量的数量积 着重考查了线段垂直平分 线的性质 向量的线性运算和数量积运算性质等知识 属于基础题 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 4 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 2020 分 把答案填在题中横线上 分 把答案填在题中横线上 9 13 5 分 在 ABC 中 角 A B C 所对的边分别为 a b c 且 cosA 则 sin A 的值为 考点 两角和与差的正弦函数 同角三角函数间的基本关系 专题 三角函数的求值 分析 在三角形 ABC 中 由 cosA 的值 利用同角三角函数间的基本关系求出 sinA 的值 所求式子利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简后 将各自的 值代入计算即可求出值 解答 解 在 ABC 中 cosA sinA 则sin A sinA cosA sinA cosA 故答案为 点评 此题考查了两角和与差的正弦函数公式 以及同角三角函数间的基本关系 熟练掌 握公式是解本题的关键 14 5 分 已知 a1 1 an n an 1 an n N 则数列 an 的前 60 项和为 1830 考点 数列递推式 数列的求和 专题 计算题 等差数列与等比数列 分析 累乘法 由 an n an 1 an 得 则 代 入数值即可求得 an 注意验证 a1是否满足 解答 解 由 an n an 1 an 得 所以 当 n 2 时 累积得 1 n 又 a1也满足上式 故 an n 所以数列 an 的前 60 项和为 10 故答案为 1830 点评 本题考查数列的递推式及数列求和 若数列 an 满足 则往往运用累 积法求 an 注意验证 a1 15 5 分 若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部 分 则 k 的值是 考点 二元一次不等式 组 与平面区域 直线的斜截式方程 分析 先由不等式组画出可行域 再根据直线把 ABC 面积等分可知该直线过线段 AB 的中点 然后求出 AB 中点的坐标 最后通过两点确定斜率公式求得 k 值 解答 解 画出可行域 ABC 如图所示 解得 A 1 1 B 0 4 C 0 又直线过点 C 且把 ABC 面积平分 所以点 D 为 AB 的中点 则 D 所以 k 故答案为 点评 本题主要考查二元一次不等式组对应的平面区域及直线的斜截式方程 11 16 5 分 如图 已知球 O 是棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1的内切球 则以球心 O 为 顶点 以球 O 被平面 ACD1所截得的圆为底面的圆锥的体积为 考点 棱柱 棱锥 棱台的体积 专题 压轴题 空间位置关系与距离 分析 根据正方体和球的结构特征 求得球 O 被平面 ACD1所截得的圆的半径 r 再通过利 用球的性质求出 O 到平面 ACD1的距离 h 即为圆锥的高 最后利用圆锥的体积求解即 可 解答 解 如图 O 为球心 也是正方体的中心 设球 O 被平面 ACD1所截得的圆的半径为 r AC 中点为 M 则 r D1M 球的半径 R 则 O 到平面 ACD1的距离 h 故圆锥的体积 V r2h 故答案为 点评 本题考查了正方体和它的内接球的结构特征 圆锥的体积 关键是想象出截面图的 形状 考查了空间想象能力 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 5 5 小题 共小题 共 7070 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 12 分 已知等比数列 an 满足 a2 2 且 2a3 a4 a5 an 0 1 求数列 an 的通项公式 2 设 bn 1 n3an 2n 1 数列 bn 的前项和为 Tn 求 Tn 考点 等比数列的前 n 项和 数列的求和 专题 计算题 等差数列与等比数列 分析 设等比数列 an 的首项为 a1 公比为 q 则 解方程 可求 a1 q 结合等比数列的通项公式即可求解 由 bn 1 n3an 2n 1 3 2 n 1 2n 1 利用分组求和 结合等比与 12 等差数列的求和公式即可求解 解答 本小题满分 12 分 解 设等比数列 an 的首项为 a1 公比为 q 则 2 分 整理得 q2 q 2 0 即 q 1 或 q 2 an 0 q 2 代入可得 a1 1 6 分 bn 1 n3an 2n 1 3 2 n 1 2n 1 9 分 Tn 3 1 2 4 8 2 n 1 3 5 2n 1 3 2 n n2 2n 1 12 分 点评 本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的应用 分组求和方法的应用 属 于数列知识的简单综合 18 12 分 2012 丹东模拟 为预防 H1N1病毒爆发 某生物技术公司研制出一种新流感 疫苗 为测试该疫苗的有效性 若疫苗有效的概率小于 90 则认为测试没有通过 公司 选定 2000 个流感样本分成三组 测试结果如下表 分组A 组B 组C 组 疫苗有效 673ab 疫苗无效 7790c 已知在全体样本中随机抽取 1 个 抽到 B 组疫苗有效的概率是 0 33 I 现用分层抽样的方法在全体样本中抽取 360 个测试结果 问应在 C 组抽取样本多少个 II 已知 b 465 c 30 求通过测试的概率 考点 列举法计算基本事件数及事件发生的概率 分层抽样方法 专题 计算题 分析 I 根据分层抽样的定义 按每层中的比例即可计算出 C 组抽取样本的个数 II 由 I b c 500 再结合题设条件 b 465 c 30 列举出所有可能的 b c 组合的个数及没有通过测试的 b c 组合的个数 再由概率公式及概率 的性质求出通过测试的概率 解答 解 I a 660 2 分 b c 2000 673 77 660 90 500 4 分 应在 C 组抽取样个数是 个 6 分 II b c 500 b 465 c 30 b c 的可能是 13 465 35 466 34 467 33 468 32 469 31 470 30 8 分 若测试没有通过 则 77 90 c 2000 1 90 200 c 33 b c 的可能性是 465 35 466 34 通过测试的概率是 12 分 点评 本题考查列举法计算基本事件及事件发生的概率 分层抽样的方法 属于概率中的 基本题型 19 12 分 如图 已知在四棱锥 P ABCD 中 底面 ABCD 是边长为 4 的正方形 PAD 是 正三角形 平面 PAD 平面 ABCD E F G 分别是 PD PC BC 的中点 1 求证 平面 EFG 平面 PAD 2 若 M 是线段 CD 上一点 求三棱锥 M EFG 的体积 考点 平面与平面垂直的判定 棱柱 棱锥 棱台的体积 专题 空间位置关系与距离 分析 1 由线面垂直的性质定理 证出 CD 平面 PAD 在 PCD 中根据中位线定理 证 出 EF CD 从而 EF 平面 PAD 结合面面垂直的判定定理 可得平面 EFG 平面 PAD 2 根据线面平行判定定理 得到 CD 平面 EFG 所以 CD 上的点 M 到平面 EFG 的 距离等于点 D 到平面 EFG 的距离 得到三棱锥 M EFG 的体积等于三棱锥 D EFG 的 体积 再由面面垂直的性质证出点 D 到平面 EFG 的距离等于正 EHD 的高 算出 EFG 的面积 利用锥体体积公式算出三棱锥 D EFG 的体积 即可得到三棱锥 M EFG 的体积 解答 解 1 平面 PAD 平面 ABCD 平面 PAD 平面 ABCD AD CD 平面 ABCD CD AD CD 平面 PAD 3 分 又 PCD 中 E F 分别是 PD PC 的中点 EF CD 可得 EF 平面 PAD EF 平面 EFG 平面 EFG 平面 PAD 6 分 2 EF CD EF 平面 EFG CD 平面 EFG CD 平面 EFG 因此 CD 上的点 M 到平面 EFG 的距离等于点 D 到平面 EFG 的距离 VM EFG VD EFG 取 AD 的中点 H 连接 GH EH 则 EF GH 14 EF 平面 PAD EH 平面 PAD EF EH 于是 S EFH EF EH 2 S EFG 平面 EFG 平面 PAD 平面 EFG 平面 PAD EH EHD 是正三角形 点 D 到平面 EFG 的距离等于正 EHD 的高 即为 10 分 因此 三棱锥 M EFG 的体积 VM EFG VD EFG S EFG 12 分 点评 本题给出底面为正方形的四棱锥 求三棱锥 M EFG 的体积并证明面面垂直 着重考 查了锥体体积的求法和空间线面平行 面面垂直等位置关系判定的知识 属于中档 题 20 12 分 已知椭圆 C 1 a b 0 的离心率为 连接椭圆的四个顶点得 到的菱形的面积为 2 1 求椭圆 C 的方程 2 若过点 2 0 的直线 l 的与椭圆 C 交于 A B 两点 O 为坐标原点 当 AOB 为锐角 时 求直线 l 的斜率 k 的取值范围 考点 直线与圆锥曲线的关系 椭圆的标准方程 椭圆的简单性质 专题 方程思想 圆锥曲线的定义 性质与方程 分析 1 由离心率为及 a2 b2 c2可得 a b 关系 由菱形面积得 2a 2b 联 立方程组即可求得 a b 2 设 l y k x 2 A x1 y1 B x2 y2 由 AOB 为锐角 得 即 x1x2 y1y2 k2 x1x2 2 x1 x2 4 0 联立直线方程与椭圆方程消去 y 得 x 的二 次方程 则 0 由韦达定理可把上式变为 k 的不等式 联立可得关于 k 的不等式 组 解出即可 解答 解 1 由 得 a2 2c2 2b2 依题意 2a 2b 即 ab 解方程组得 a b 1 15 所以椭圆 C 的方程为 2 设 l y k x 2 A x1 y1 B x2 y2 由 得 1 2k2 x2 8k2x 8k2 2 0 由 64k4 4 2k2 1 8k2 2 0 得 且 于是 k2 x1x2 2 x1 x2 4 AOB 为锐角 0 解得 又 解得 k 或 k 所以直线 l 的斜率 k 的取值范围是 点评 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系 椭圆方程的求解 判别式 韦达定理 弦长 公式是解决该类题目的基础 解决该类问题常运用方程思想 21 12 分 已知函数 f x lnx x 1 3 1 求 f x 的最大值与最小值 2 若 f x 4 at 于任意的 x 1 3 t 0 2 恒成立 求实数 a 的取值范围 考点 利用导数求闭区间上函数的最值 利用导数研究函数的单调性 专题 计算题 综合题 压轴题 分析 1 直接求出函数的导数 通过导数为 0 求出函数的极值点 判断函数的单调性 利用最值定理求出 f x 的最大值与最小值 2 利用 1 的结论 f x 4 at 于任意的 x 1 3 t 0 2 恒成立 转化为 4 at 对任意 t 0 2 恒成立 通过 求实数 a 的取值 16 范围 解答 解 1 因为函数 f x lnx 所以 f x 令 f x 0 得 x 2 因为 x 1 3 当 1 x 2 时 f x 0 当 2 x 3 时 f x 0 f x 在 1 2 上单调减函数 在 2 3 上单调增函数 f x 在 x 2 处取得极小值 f 2 ln2 又 f 1 f 3 ln3 1 f 1 f 3 x 1 时 f x 的最大值为 x 2 时函数取得最小值为 ln2 2 由 1 知当 x 1 3 时 f x 故对任意 x 1 3 f x 4 at 恒成立 只要 4 at 对任意 t 0 2 恒成立 即 at恒成立 记 g t at t 0 2 解得 a 实数 a 的取值范围是 点评 本题考查函数与导数的关系 函数的单调性的应用 考查函数的导数在闭区间上的 最值的求法 考查计算能力 恒成立问题的应用 考查转化思想 计算能力 四 请考生在第四 请考生在第 2222 2323 2424 三题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题记分 作三题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题记分 作 答时请写清题号 选修答时请写清题号 选修 4 14 1 几何选讲 几何选讲 22 10 分 选修 4 1 几何证明选讲 如图所示 PA 为 O 的切线 A 为切点 PBC 是过点 O 的割线 PA 10 PB 5 BAC 的平 分 线与 BC 和 O 分别交于点 D 和 E I 求证 II 求 AD AE 的值 17 考点 与圆有关的比例线段 相似三角形的性质 专题 计算题 证明题 压轴题 分析 I 直接根据 PAB ACP 以及 P 公用 得到 PAB PCA 进而求出结论 II 先根据切割线定理得到 PA2 PB PC 结合第一问的结论以及勾股定理求出 再结合条件得到 ACE ADB 进而求出结果 解答 解 I PA 为 O 的切线 PAB ACP 1 分 又 P 公用 PAB PCA 2 分 3 分 II PA 为 O 的切线 PBC 是过点 O 的割线 PA2 PB PC 5 分 又 PA 10 PB 5 PC 20 BC 15 6 分 由 I 知 BC 是 O 的直径 CAB 90 AC2 AB2 BC2 225 7 分 连接 CE 则 ABC E 8 分 又 CAE EAB ACE ADB 9 分 10 分 点评 本题主要考查与圆有关的比例线段 相似三角形的判定及切线性质的应用 解决本 题第一问的关键在于先由切线 PA 得到 PAB ACP 18 五 五 本小题满分 本小题满分 0 0 分 分 选修选修 4 44 4 坐标系与参数方程 坐标系与参数方程 23 2010 沈阳模拟 已知曲线 C 的极坐标方程是 1 以极点为原点 极轴为 x 轴的正 半轴建立平面直角坐标系 直线 l 的参数方程为为参