2011年高考数学二轮考点专题（五） 立体几何突破检测

用心 爱心 专心 1 专题达标检测五专题达标检测五 一 选择题 1 若 a b 表示互不重合的直线 表示不重合的平面 则 a 的一个充分条件是 A a B a C a b b D b a a b 解析 A B C 选项中 直线 a 都有可能在平面 内 不能满足充分性 故选 D 答案 D 2 2010 全国 正方体 ABCD A1B1C1D1中 BB1与平面 ACD1所成角的余弦值为 A B C D 2 3 3 3 2 3 6 3 解析 BB1 DD1 DD1与平面 ACD1所成的角即为 BB1与平面 ACD1所成的角 设其大小为 设正方体的棱长为 1 则点 D 到面 ACD1的距离为 所以 sin 3 3 3 3 得 cos 故选 D 6 3 答案 D 3 如图 已知 ABC 为直角三角形 其中 ACB 90 M 为 AB 的中点 PM 垂直于 ABC 所在平面 那么 A PA PB PC B PA PBh b a B 1 且 a bh a b D 1 且 a bSa 即 a a h a b a b 1 且 a b h V瓶 V酒 b a 答案 B 5 在正三棱锥 S ABC 中 M N 分别是棱 SC BC 的中点 且 MN AM 若侧棱 SA 2 则正棱锥 S ABC 外接球的表面积是 3 A 12 B 32 C 36 D 48 用心 爱心 专心 3 解析 由于 MN AM MN BS 则 BS AM 又根据正三棱锥的性质知 BS AC 则 BS 平面 SAC 于是有 ASB BSC CSA 90 SA SB SC 为三棱锥 S ABC 外接球的内接正方体的三条棱 设球半径为 R 则 4R2 3SA2 36 球表面积为 4 R2 36 答案 C 6 2010 北京 如图 正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 2 动点 E F 在棱 A1B1上 动 点 P Q 分别在棱 AD CD 上 若 EF 1 A1E x DQ y DP z x y z 大于零 则四面体 PEFQ 的体积 A 与 x y z 都有关 B 与 x 有关 与 y z 无关 C 与 y 有关 与 x z 无关 D 与 z 有关 与 x y 无关 解析 连结 EQ FQ A1D 作 PN A1D 垂足为 N A1B1 DC 且 EF 1 S EFQ是定值 A1B1 面 ADD1A1且 PN 面 ADD1A1 A1B1 PN PN 面 A1B1CD PD z A1DA 45 PN z VPEFQ S EFQ PN 与 x y 无关 与 z 有关 故选 D 2 2 1 3 答案 D 二 填空题 用心 爱心 专心 4 7 2010 湖南 13 下图中的三个直角三角形是一个体积为 20 cm3的几何体的三视图 则 h cm 解析 直观图如图 则三棱锥中 AD AB AD AC AB AC 体积 V AB AC h 20 1 3 1 2 h 4 答案 4 8 如图所示 在正方体 ABCD A1B1C1D1中 M N 分别为 A1B1 CC1的中点 P 为 AD 上一动点 记 为异面直线 PM 与 D1N 所成的角 则 的取值集合为 答案 2 9 已知一个凸多面体共有 9 个面 所有棱长均为 1 其平面展开图如图所示 则该凸多 面体的体积 V 用心 爱心 专心 5 解析 该几何体形状如图所示 是一个正方体与正四棱锥的组合体 正方体的体积 是 1 正四棱锥的体积是 故该凸多面体的体积为 1 2 6 2 6 答案 1 2 6 10 2010 四川 如图 二面角 l 的大小是 60 线段 AB B l AB 与 l 所成的角为 30 则 AB 与平面 所成的角的 正弦值是 解析 过 A 作 AC 平面 于 C C 为垂足 连结 CB 过 C 作 CD l 于 D 连结 AD 则 AD l ADC 为二面角 l 的平面角 即 ADC 60 AC ABC 为直线 AB 与平面 所成角 设 AB 1 则 AD AC 1 2 1 2 3 2 3 4 sin ABC AC AB 3 4 1 3 4 答案 3 4 三 解答题 11 2010 江苏无锡 如图 在三棱柱 ABC A1B1C1中 AB BC BC BC1 AB BC1 E F G 分别为线段 AC1 A1C1 BB1 的中点 求证 1 平面 ABC 平面 ABC1 2 EF 平面 BCC1B1 3 GF 平面 AB1C1 证明 1 BC AB BC BC1 AB BC1 B BC 平面 ABC1 BC 平面 ABC 平面 ABC 平面 ABC1 2 AE EC1 A1F FC1 EF AA1 用心 爱心 专心 6 BB1 AA1 EF BB1 EF 平面 BCC1B1 EF 平面 BCC1B1 3 连结 EB 则四边形 EFGB 为平行四边形 EB AC1 FG AC1 BC 面 ABC1 B1C1 面 ABC1 B1C1 BE FG B1C1 B1C1 AC1 C1 GF 平面 AB1C1 12 已知侧棱垂直于底面的四棱柱 ABCD A1B1C1D1的底面是菱形 且 DAB 60 AD AA1 F 为棱 BB1的中点 点 M 为线段 AC1 的中点 1 求证 直线 MF 平面 ABCD 2 求证 平面 AFC1 平面 ACC1A1 3 求平面 AFC1与平面 ABCD 所成的锐二面角的大小 1 证明 延长 C1F 交 CB 的延长线于点 N 连结 AN 因为 F 是 BB1的中点 所以 F 为 C1N 的中点 B 为 CN 的中点 又 M 是线段 AC1的中点 故 MF AN 又 MF 平面 ABCD AN 平面 ABCD MF 平面 ABCD 2 证明 如上图 连结 BD 由直四棱柱 ABCD A1B1C1D1 可知 A1A 平面 ABCD 又 BD 平面 ABCD A1A BD 四边形 ABCD 为菱形 AC BD 又 AC A1A A AC A1A 平面 ACC1A1 BD 平面 ACC1A1 在四边形 DANB 中 DA BN 且 DA BN 所以四边形 DANB 为平行四边形 故 NA BD NA 平面 ACC1A1 又 NA 平面 AFC1 平面 AFC1 平面 ACC1A1 用心 爱心 专心 7 3 解 由 2 知 BD 平面 ACC1A1 又 AC1 平面 ACC1A1 BD AC1 BD NA AC1 NA 又因 BD AC 可知 NA AC C1AC 就是平面 AFC1与平面 ABCD 所成锐二面角的平面角 在 Rt C1AC 中 tan C1AC 故 C1AC 30 C1C CA 1 3 平面 AFC1与平面 ABCD 所成锐二面角的大小为 30 13 2010 湖北 18 如图 在四面体 ABOC 中 OC OA OC OB AOB 120 且 OA OB OC 1 1 设 P 为 AC 的中点 证明 在 AB 上存在一点 Q 使 PQ OA 并计算的值 AB AQ 2 求二面角 O AC B 的平面角的余弦值 解 解法一 1 在平面 OAB 内作 ON OA 交 AB 于 N 连结 NC 又 OA OC OA 平面 ONC NC 平面 ONC OA NC 取 Q 为 AN 的中点 则 PQ NC PQ OA 在等腰 AOB 中 AOB 120 OAB OBA 30 在 Rt AON 中 OAN 30 ON AN AQ 1 2 在 ONB 中 NOB 120 90 30 NBO NB ON AQ 3 AB AQ 用心 爱心 专心 8 2 连结 PN PO 由 OC OA OC OB 知 OC 平面 OAB 又 ON 平面 OAB OC ON 又由 ON OA 知 ON 平面 AOC OP 是 NP 在平面 AOC 内的射影 在等腰 Rt COA 中 P 为 AC 的中点 AC OP 根据三垂线定理 知 AC NP OPN 为二面角 O AC B 的平面角 在等腰 Rt COA 中 OC OA 1 OP 2 2 在 Rt AON 中 ON OAtan 30 3 3 在 Rt PON 中 PN OP2 ON2 30 6 cos OPN PO PN 2 2 30 6 15 5 解法二 1 取 O 为坐标原点 分别以 OA OC 所在的直线为 x 轴 z 轴 建立空间 直角坐标系 O xyz 如图所示 则 A 1 0 0 C 0 0 1 B 1 2 3 2 0 用心 爱心 专心 9 P 为 AC 中点 P 1 2 0 1 2 设 0 1 AQ AB AB 3 2 3 2 0 1 0 0 OQ OA AQ 3 2 3 2 0 1 3 2 3 2 0 PQ OQ OP 1 2 3 2 3 2 1 2 PQ OA 0 即 0 所以存在点 Q使得 PQ PQ OA 1