2016全国一卷理科数学高考真题及答案

20162016 年普通高等学校招生全国统一考试 全国卷年普通高等学校招生全国统一考试 全国卷 理科数学理科数学 一一 选择题 本大题共选择题 本大题共 12 小题小题 每小题每小题 5 分分 在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求只有一项是符合题目要求 的的 1 设集合设集合 则则 2 430Ax xx 230 xx AB A B C D 3 3 2 3 3 2 3 1 2 3 3 2 2 设设 其中 其中是实数 则是实数 则yixi 1 1 yx yix A B C D 1232 3 已知等差数列已知等差数列前前 9 项的和为项的和为 27 则 则 n a 10 8a 100 a A 100 B 99 C 98 D 97 4 某公司的班车在某公司的班车在 7 00 8 00 8 30 发车 小明在发车 小明在 7 50 至至 8 30 之间到达发车站乘坐班车 且到之间到达发车站乘坐班车 且到 达发车站的时刻是随机的 则他等车时间不超过达发车站的时刻是随机的 则他等车时间不超过 10 分钟的概率是分钟的概率是 A B C D 1 3 1 2 2 3 3 4 5 已知方程已知方程表示双曲线 且该双曲线两焦点间的距离为表示双曲线 且该双曲线两焦点间的距离为 4 则则 n 的取值范围的取值范围 22 22 1 3 xy mnmn 是是 A B C D 1 3 1 3 0 3 0 3 6 如图如图 某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的 半径半径 若该几何体的体积是若该几何体的体积是 则它的表面积是则它的表面积是 28 3 A B C D 17 18 20 28 7 函数函数在在的图像大致为的图像大致为 2 2 x yxe 2 2 A B 1 y x 2 2O 1 y x 2 2O 1 y x 2 2O 1 y x 2 2O C D 8 若若 则则101abc A B C D cc ab cc abba loglog ba acbc loglog ab cc 9 执行右面的程序框图执行右面的程序框图 如果输入的如果输入的 则输出则输出 x y 的值满足的值满足011xyn A B C D 2yx 3yx 4yx 5yx 10 以抛物线以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交的顶点为圆心的圆交 C 于于 A B 两点 交两点 交 C 的准的准 线于线于 D E 两点两点 已知已知 AB DE 则则 C 的焦点到准线的的焦点到准线的4 22 5 距离为距离为 A 2 B 4 C 6 D 8 11 平面平面过正方体过正方体 ABCD A1B1C1D1的顶点的顶点 A 平面平面 CB1D1 平面平面 ABCD m 平面平面 AB B1A1 n 则则 m n 所成角的正弦所成角的正弦 I I 值为值为 A B C D 3 2 2 2 3 3 1 3 12 已知函数已知函数 为为的零点的零点 为为图像图像 sin 0 24 f xx x f x 4 x yf x 的对称轴 且的对称轴 且在在单调 则单调 则的最大值为的最大值为 f x 5 18 36 A 11 B 9 C 7 D 5 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 3 小题小题 每小题每小题 5 分分 13 设向量设向量 a m 1 b 1 2 且 且 a b 2 a 2 b 2 则 则 m 14 的展开式中 的展开式中 x3的系数是的系数是 用数字填写答案 用数字填写答案 5 2 xx 15 设等比数列设等比数列满足满足 a1 a3 10 a2 a4 5 则 则 a1a2 an的最大值为的最大值为 n a 16 某高科技企业生产产品某高科技企业生产产品 A 和产品和产品 B 需要甲 乙两种新型材料 生产一件产品需要甲 乙两种新型材料 生产一件产品 A 需要甲材料需要甲材料 1 5kg 乙材料 乙材料 1kg 用 用 5 个工时 生产一件产品个工时 生产一件产品 B 需要甲材料需要甲材料 0 5kg 乙材料 乙材料 0 3kg 用 用 3 个工个工 时 生产一件产品时 生产一件产品 A 的利润为的利润为 2100 元 生产一件产品元 生产一件产品 B 的利润为的利润为 900 元 该企业现有甲材料元 该企业现有甲材料 150kg 乙材料 乙材料 90kg 则在不超过 则在不超过 600 个工时的条件下 生产产品个工时的条件下 生产产品 A 产品 产品 B 的利润之和的最大的利润之和的最大 值为值为 元 元 n n 1 入 入 入 入 x y x2 y2 36入 x x n 1 2 入 y ny 入 入 x y n 入 入 否 是 三三 解答题 解答应写出文字说明解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤 17 本小题满分为 本小题满分为 12 分 分 的内角的内角 A B C 的对边分别为的对边分别为 a b c 已知 已知 ABC 2cos coscos C aB bAc I 求 求 C II 若 若 的面积为的面积为 求 求的周长 的周长 7 c ABC 3 3 2 ABC 18 本小题满分为 本小题满分为 12 分 如图 在以分 如图 在以 A B C D E F 为顶点的五面体中 面为顶点的五面体中 面 ABEF 为正为正 方形 方形 AF 2FD 且二面角 且二面角 D AF E 与二面角与二面角 C BE F 都是都是 90AFD 60 I 证明 平面 证明 平面 ABEF平面平面 EFDC II 求二面角 求二面角 E BC A 的余弦值 的余弦值 19 本小题满分 本小题满分 12 分 某公司计划购买分 某公司计划购买 2 台机器台机器 该种机器使用三年后即被淘汰该种机器使用三年后即被淘汰 机器有一易损零机器有一易损零 件件 在购进机器时在购进机器时 可以额外购买这种零件作为备件可以额外购买这种零件作为备件 每个每个 200 元元 在机器使用期间在机器使用期间 如果备件不足再购如果备件不足再购 买买 则每个则每个 500 元元 现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件 为此搜集并整理了为此搜集并整理了 100 台这种台这种 机器在三年使用期内更换的易损零件数机器在三年使用期内更换的易损零件数 得下面柱状图 得下面柱状图 以这以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器台机器 更换的易损零件数发生的概率更换的易损零件数发生的概率 记记表示表示 2 台机器三年台机器三年X 内共需更换的易损零件数内共需更换的易损零件数 表示购买表示购买 2 台机器的同时台机器的同时n 购买的易损零件数购买的易损零件数 I 求 求的分布列 的分布列 X II 若要求 若要求 确定确定的最小值 的最小值 0 5P Xn n III 以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据 以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据 在在与与之中选其一之中选其一 应选用哪个 应选用哪个 19n 20n 20 本小题满分 本小题满分 12 分 设圆分 设圆的圆心为的圆心为 A 直线直线 l 过点过点 B 1 0 且与 且与 x 轴不重轴不重 22 2150 xyx 合 合 l 交圆交圆 A 于于 C D 两点 过两点 过 B 作作 AC 的平行线交的平行线交 AD 于点于点 E C A D F 0891011 20 40 件件 件件件件件件件件 I 证明 证明为定值 并写出点为定值 并写出点 E 的轨迹方程 的轨迹方程 EAEB II 设点 设点 E 的轨迹为曲线的轨迹为曲线 C1 直线 直线 l 交交 C1于于 M N 两点 过两点 过 B 且与且与 l 垂直的直线与圆垂直的直线与圆 A 交于交于 P Q 两点 求四边形两点 求四边形 MPNQ 面积的取值范围面积的取值范围 21 本小题满分 本小题满分 12 分 已知函数分 已知函数有两个零点有两个零点 2 21 x f xxea x I 求求 a 的取值范围 的取值范围 II 设设 x1 x2是是的两个零点的两个零点 证明 证明 f x 12 2xx 请考生在请考生在 22 23 24 题中任选一题作答题中任选一题作答 如果多做如果多做 则按所做的第一题计则按所做的第一题计 分分 22 本小题满分 本小题满分 10 分 选修分 选修 4 1 几何证明选讲 几何证明选讲 如图 如图 OAB 是等腰三角形 是等腰三角形 AOB 120 以以 O 为圆心 为圆心 OA 为半径作圆为半径作圆 1 2 I 证明 直线证明 直线 AB 与与 O 相切 相切 II 点点 C D 在在 O 上 且上 且 A B C D 四点共圆 证明 四点共圆 证明 AB CD 23 本小题满分 本小题满分 10 分 选修分 选修 4 4 坐标系与参数方程 坐标系与参数方程 在直角坐标系在直角坐标系 xy 中 曲线中 曲线 C1的参数方程为的参数方程为 t 为参数 为参数 a 0 cos 1sin xat yat 在以坐标原点为极点 在以坐标原点为极点 x 轴正半轴为极轴的极坐标系中 曲线轴正半轴为极轴的极坐标系中 曲线 C2 4cos I 说明 说明 C1是哪一种曲线 并将是哪一种曲线 并将 C1的方程化为极坐标方程 的方程化为极坐标方程 II 直线 直线 C3的极坐标方程为的极坐标方程为 其中 其中满足满足 tan 2 若曲线 若曲线 C1与与 C2的公共点都在的公共点都在 C3 0 0 0 上 求上 求 a 24 本小题满分 本小题满分 10 分 选修分 选修 4 5 不等式选讲 不等式选讲 已知函数已知函数 123f xxx I 画出 画出的图像 的图像 yf x II 求不等式 求不等式的解集 的解集 1f x O D C BA 20162016 年高考全国年高考全国 1 1 卷理科数学参考答案卷理科数学参考答案 题号题号123456789101112 答案答案DBCBAADCCBAB 1 1 2 43013Ax xxxx 3 230 2 Bxxx x 故故 3 3 2 ABxx 故选故选 D 2 2 由由 11i xyi 可知 可知 1xxiyi 故 故 1x xy 解得 解得 1 1 x y 所以 所以 22 2xyixy 故选故选 B 3 3 由等差数列性质可知 由等差数列性质可知 19 5 95 992 927 22 aaa Sa 故 故 5 3a 而而 10 8a 因此公差 因此公差 105 1 105 aa d 10010 9098aad 故选故选 C 4 4 如图所示 画出时间轴 如图所示 画出时间轴 8 208 107 507 408 308 007 30 BACD 小明到达的时间会随机的落在图中线段小明到达的时间会随机的落在图中线段 AB 中 而当他的到达时间落在线段中 而当他的到达时间落在线段AC或或 DB时 才时 才 能保证他等车的时间不超过能保证他等车的时间不超过 10 分钟分钟 根据几何概型 所求概率根据几何概型 所求概率 10101 402 P 故选故选 B 5 5 22 22 1 3 xy mnmn 表示双曲线 则表示双曲线 则 22 30mnmn 22 3mnm 由双曲线性质知 由双曲线性质知 2222 34cmnmnm 其中 其中c是半焦距是半焦距 焦距焦距22 24cm 解得 解得1m 13n 故选故选 A 6 6 原立体图如图所示 原立体图如图所示 是一个球被切掉左上角的是一个球被切掉左上角的 1 8 后的三视图后的三视图 表面积是表面积是 7 8 的球面面积和三个扇形面积之和的球面面积和三个扇形面积之和 22 71 42 32 17 84 S 故选故选 A 7 7 22 2882 80fe 排除 排除 A 22 2882 71fe 排除 排除 B 0 x 时 时 2 2 x f xxe 4 x fxxe 当 当 1 0 4 x 时 时 0 1 40 4 fxe 因此因此 f x在在 1 0 4 单调递减 排除单调递减 排除 C 故选故选 D 8 8 对对 A 由于 由于01c 函数函数 c yx 在在R 上单调递增 因此上单调递增 因此1 cc abab A 错误错误 对对 B 由于 由于110c 函数函数 1c yx 在在 1 上单调递减 上单调递减 11 1 cccc ababbaab B 错误错误 对对 C 要比较 要比较logbac和和logabc 只需比较 只需比较 ln ln ac b 和和 ln ln bc a 只需比较 只需比较 ln ln c bb 和和 ln ln c aa 只需 只需 lnbb和和lnaa 构造函数构造函数 ln1f xxx x 则 则 ln110fxx f x在在 1 上单调递增 上单调递增 因此因此 11 0lnln0 lnln f af baabb aabb 又由又由01c 得得ln0c lnln loglog lnln ab cc bcac aabb C 正确正确 对对 D 要比较要比较logac和和logbc 只需比较 只需比较 ln ln c a 和和 ln ln c b 而函数而函数lnyx 在在 1 上单调递增 故上单调递增 故 11 1lnln0 lnln abab ab 又由又由01c 得得ln0c lnln loglog lnln ab cc cc ab D 错误错误 故选故选 C 9 9 如下表 如下表 循环节运循环节运 行次数行次数 1 2 n x xx y yny 判断判断 22 36xy 是否是否 输出输出 1n nn 运行前运行前01 1 第一次第一次01否否否否2 第二次第二次 1 2 2否否否否3 第三次第三次 3 2 6是是是是 输出输出 3 2 x 6y 满足 满足4yx 故选故选 C 10 10 以开口向右的抛物线为例来解答 其他开口同理以开口向右的抛物线为例来解答 其他开口同理 设抛物线为设抛物线为 2 2ypx 0p 设圆的方程为 设圆的方程为 222 xyr 题目条件翻译如图 题目条件翻译如图 设设 0 2 2 A x 5 2 p D 点点 0 2 2 A x在抛物线在抛物线 2 2ypx 上 上 0 82px 点点 5 2 p D 在圆在圆 222 xyr 上 上 2 2 5 2 p r 点点 0 2 2 A x在圆在圆 222 xyr 上 上 22 0 8xr 联立联立 解得 解得 4p 焦点到准线的距离为 焦点到准线的距离为4p 故选故选 B 11 11 如图所示 如图所示 11 CB D 平面 若设平面若设平面 11 CB D 平面平面 1 ABCDm 则则 1 mm 又又 平面平面ABCD 平面平面 1111 ABC D 结合平面 结合平面 11 B DC 平平 面面 111111 ABC DB D 111 B Dm 故 故 11 B Dm 同理可得 同理可得 1 CDn 故故m n的所成角的大小与的所成角的大小与 11 B D 1 CD所成角的大小相等 即所成角的大小相等 即 11 CD B 的大小 的大小 而而 1111 BCB DCD 均为面对交线 均为面对交线 因此 因此 11 3 CD B 即 即 11 3 sin 2 CD B 故选故选 A 12 12 由题意知 由题意知 1 2 4 42 k k 则则21k 其中 其中k Z f x 在在 5 18 36 单调 单调 5 12 3618122 T A A1 B B1 D C C1 D1 接下来用排除法接下来用排除法 若若 11 4 此时 此时 sin 11 4 f xx f x在在 3 18 44 递增 在递增 在 3 5 44 36 递减 不满递减 不满 足足 f x在在 5 18 36 单调单调 若若 9 4 此时 此时 sin 9 4 f xx 满足 满足 f x在在 5 18 36 单调递减单调递减 故选故选 B 13 213 2 14 1014 10 1515 6464 1616 13 13 由已知得 由已知得 1 3abm 222 2 22222 13112ababmm 解得 解得2m 1414 设展开式的第设展开式的第1k 项为项为 1k T 0 1 2 3 4 5k 5 5 5 2 155 C2C 2 k k k kkk k Txxx 当当53 2 k 时 时 4k 即 即 4 5 45 43 2 55 C 210Txx 故答案为故答案为 10 15 15 由于由于 n a是等比数列 设是等比数列 设 1 1 n n aa q 其中 其中 1 a是首项 是首项 q是公比 是公比 2 1311 3 24 11 1010 5 5 aaaa q aa a qa q 解得 解得 1 8 1 2 a q 故故 4 1 2 n n a 2 11749 32 47 2224 12 111 222 nn nn n aaa 当当3n 或或4时 时 2 1749 224 n 取到最小值取到最小值6 此时 此时 2 1749 224 1 2 n 取到最大值取到最大值 6 2 所以所以 12 n aaa 的最大值为的最大值为 64 1616 设生产设生产 A 产品产品x件 件 B 产品产品y件 根据所耗费的材料要求 工时要求等其他限制条件 构造件 根据所耗费的材料要求 工时要求等其他限制条件 构造 线性规则约束为线性规则约束为 目标函数目标函数2100900zxy 作出可行域为图中的四边形 包括边界 顶点为作出可行域为图中的四边形 包括边界 顶点为 60 100 0 200 0 0 90 0 在在 60 100 处取得最大值 处取得最大值 210060900 100216000z 17 17 解 解 2coscoscosC aBbAc 由正弦定理得 由正弦定理得 2cossincossincossinCABBAC 2cossinsinCABC ABC 0 ABC sinsin0ABC 2cos1C 1 cos 2 C 0 C 3 C 由余弦定理得 由余弦定理得 222 2coscababC 22 1 72 2 abab 2 37abab 133 3 sin 242 SabCab 6ab 2 187ab 5ab 周长为周长为ABC 57abc 1818 解 解 1 为正方形为正方形 ABEFAFEF 90AFD AFDF DFEF F 面面AF EFDC 面面AF ABEF 平面平面平面平面ABEF EFDC 由由 知知 60DFECEF ABEF 平面平面AB EFDC 平面平面EF EFDC 平面平面AB ABCD 平面平面AB ABCD 面面面面ABCD EFDCCD ABCD CDEF 四边形四边形为等腰梯形为等腰梯形EFDC 以以为原点 如图建立坐标系 设为原点 如图建立坐标系 设EFDa 000020EBa 3 0220 22 a CaAaa 020EBa 3 2 22 a BCaa 200ABa 设面设面法向量为法向量为 BEC mxyz 即 即 0 0 m EB m BC 1 111 20 3 20 22 a y a xaya z 111 301xyz 301m 设面设面法向量为法向量为ABC 222 nxyz 即即 0 0 n BC n AB 222 2 3 20 22 20 a xayaz ax 222 034xyz 034n 设二面角设二面角的大小为的大小为 EBCA 42 19 cos 1931316 m n mn 二面角二面角的余弦值为的余弦值为 EBCA 2 19 19 1919 解 解 每台机器更换的易损零件数为每台机器更换的易损零件数为 8 9 10 11 记事件记事件为第一台机器为第一台机器 3 年内换掉年内换掉个零件个零件 i A7i 1 2 3 4i 记事件记事件为第二台机器为第二台机器 3 年内换掉年内换掉个零件个零件 i B7i 1 2 3 4i 由题知由题知 134134 0 2P AP AP AP BP BP B 22 0 4P AP B 设设 2 台机器共需更换的易损零件数的随机变量为台机器共需更换的易损零件数的随机变量为 则 则的可能的取值为的可能的取值为XX 16 17 18 19 20 21 22 11 160 20 20 04P XP A P B 1221 170 20 40 40 20 16P XP A P BP AP B 132231 180 20 20 20 20 40 40 24P XP A P BP AP BP AP B 14233241 190 20 20 20 20 40 2P XP A P BP AP BP AP BP AP B 0 20 40 24 243342 200 40 20 20 40 20 20 2P XP AP BP AP BP AP B 3443 210 20 20 20 20 08P xP AP BP AP B 44 220 20 20 04P xP AP B X16171819202122 P0 040 160 240 240 20 080 04 要令要令 0 5P xn 0 040 160 240 5 0 040 160 240 240 5 则则的最小值为的最小值为 19n 购买零件所需费用含两部分 一部分为购买机器时购买零件的费用 另一部分为备件不足购买零件所需费用含两部分 一部分为购买机器时购买零件的费用 另一部分为备件不足 时额外购买的费用时额外购买的费用 当当时 费用的期望为时 费用的期望为19n 192005000 210000 0815000 044040 当当时 费用的期望为时 费用的期望为20n 202005000 0810000 044080 所以应选用所以应选用19n 20 20 1 圆圆 A 整理为整理为 A 坐标坐标 如图 如图 2 2 116xy 1 0 则 则 由 由 BEAC CEBD ACADDC 则 则则EBDD EBED 4AEEBAEEDAD 所以所以 E 的轨迹为一个椭圆 方程为的轨迹为一个椭圆 方程为 22 1 43 xy 0y 设 设 22 1 1 43 xy C 1l xmy 因为因为 设 设 联立 联立PQl 1PQ ym x 1 lC与椭圆 得得 22 1 1 43 xmy xy 22 34690mymy 则则 22 2 22 22 3636 34121 1 1 3434 MN mmm MNmyym mm 圆心圆心到到距离距离 APQ 22 1 1 2 11 mm d mm 所以所以 22 22 2 2 44 34 2 2 16 1 1 mm PQAQd m m 2 22 2 22 2 121 114 342411 2412 8 3 1 2234 134 3 1 MPNQ m mm SMNPQ m mm m 21 1 2 1 1 2 xx fxxea xxea i 设 设 则 则 只有一个零点 只有一个零点 0a 2 x f xxe f x ii 设 设 则当 则当时 时 当 当时 时 所以 所以在在0a 1 x 0fx 1 x 0fx f x 上单调递减 在上单调递减 在上单调递增 上单调递增 1 1 又又 取 取满足满足且且 则 则 1 fe 2 fa b0b ln 2 a b 22 3 2 1 0 22 a f bba ba bb 故故存在两个零点 存在两个零点 f x iii 设 设 由 由得得或或 0a 0fx 1x ln 2 xa 若若 则 则 故当 故当时 时 因此 因此在在上单调递上单调递 2 e a ln 2 1a 1 x 0fx f x 1 增 又当增 又当时 时 所以 所以不存在两个零点 不存在两个零点 1x 0f x f x 5 4 3 2 1 1 2 3 4 y 141210864224 x E D A B C 5 4 3 2 1 1 2 3 4 y 1210864224 x Q P N M A B 若若 则 则 故当 故当时 时 当 当时 时 2 e a ln 2 1a 1 ln 2 xa 0fx ln 2 xa 因此 因此在在单调递减 在单调递减 在单调递增 又当单调递增 又当时 时 0fx f x 1 ln 2 a ln 2 a 1x 所以