2011届高三数学一轮巩固与练习 古典概型、几何概型

巩固巩固 1 袋中有红色 黄色 绿色球各一个 每次任取一个球 有放 回地抽取三次 所取球的颜色全相同的概率是 A B 1 9 1 8 C D 1 3 1 6 解析 选 A 记 所取球的颜色全相同 为事件 A 有放回地抽 取三次共有 27 个等可能事件 事件 A 包含其中的 3 个基本事件 P A 故选 A 3 27 1 9 2 2010 年北京海淀区高中质检 如图 四边形 ABCD 是一个边长为 1 的正方形 MPN 是正方形的一个内 接正三角形 且 MN AB 若向正方形内部随机投入一个质点 则 质点恰好落在 MPN 的概率为 A B 1 2 3 2 C D 3 3 3 4 解析 选 D 易知质点落在三角形 MNP 内的概率 P S MNP SABCD 3 4 1 3 4 3 2009 年高考山东卷 在区间 1 1 上随机取一个数 x cos 的值介于 0 到 之间的概率为 x 2 1 2 A B 1 3 2 C D 1 2 2 3 解析 选 A 在区间 1 1 上随机取一个实数 x cos的值位于 x 2 0 1 区间 若使 cos的值位于 0 区间 取到的实数 x 应在区间 x 2 1 2 1 1 内 根据几何概型的计算公式可知 P 2 3 2 3 2 1 3 2 1 3 4 在 5 个数字 1 2 3 4 5 中 若随机取出三个数字 则剩 下两个数字都是奇数的概率是 结果用数值表示 答案 3 10 5 已知函数 f x x2 ax b 若 a b 都是从区间 0 4 内任取 的一个数 则 f 1 0 成立的概率是 解析 f 1 1 a b 0 即 a b 1 如图 A 1 0 B 4 0 C 4 3 S ABC P 9 2 S ABC S正方形 9 2 4 4 9 32 答案 9 32 6 2009 年高考福建卷 袋中有大小 形状相同的红球 黑球各 一个 现依次有放回地随机摸取 3 次 每次摸取一个球 1 试问 一共有多少种不同的结果 请列出所有可能的结果 2 若摸到红球时得 2 分 摸到黑球时得 1 分 求 3 次摸球所得 总分为 5 的概率 解 1 一共有 8 种不同的结果 列举如下 红 红 红 红 红 黑 红 黑 红 红 黑 黑 黑 红 红 黑 红 黑 黑 黑 红 黑 黑 黑 2 记 3 次摸球所得总分为 5 为事件 A 事件 A 包含的基本事件为 红 红 黑 红 黑 红 黑 红 红 事件 A 包含的基本事件数为 3 由 1 可知 基本事件总数为 8 所以事件 A 的概率为 P A 3 8 练习 1 盒中有 10 个铁钉 其中 8 个是合格的 2 个是不合格的 从中任取一个恰为合格铁钉的概率是 A B 1 5 1 4 C D 4 5 1 10 解析 选 C 从盒中的 10 个铁钉中任取一个铁钉包含的基本事 件总数为 10 其中抽到合格铁钉 记为事件 A 包含 8 个基本事件 所以所求的概率为 P A 故选 C 8 10 4 5 2 如图 有一圆盘 其中阴影部分的圆心角为 45 向圆盘内投镖 如果某人每次都投入圆盘内 那 么他投中阴影部分的概率为 A B 1 8 1 4 C D 1 2 3 4 解析 选 A P 45 360 1 8 3 如图 三行三列的方阵中有 9 个数 aij i 1 2 3 j 1 2 3 从 中任取三个数 则至少有两个数位于同行或同列的概率是 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 A B 3 7 4 7 C D 1 14 13 14 解析 选 D 从 9 个数中任取 3 个数共有 C93 84 种取法 三个 数分别位于三行或三列的情况有 6 种 所求的概率为 84 6 84 13 14 5 在平面直角坐标系 xOy 中 设 M 是横坐标与纵坐标的绝对 值均不大于 4 的点构成的区域 N 是到原点的距离不大于 1 的点构 成的区域 向 M 中随机投一点 则落入 N 中的概率为 A B 64 32 C D 16 4 解析 选 A 根据题意可得点 M x y 满足 x 4 且 y 4 其构 成的区域是以原点为中心 边长为 8 的正方形 面积为 S1 64 N 点所表示的平面区域是以原点为圆心 以 1 为半径的圆及其内部 面积为 S2 故向 M 中投一点 落入 N 中的概率为 P S2 S1 64 6 一个坛子里有编号为 1 2 12 的 12 个大小相同的球 其中 1 到 6 号球是红球 其余的是黑球 若从中任取两个球 则取 到的都是红球 且至少有 1 个球的号码是偶数的概率为 A B 1 22 1 11 C D 3 22 2 11 7 两根相距 9 m 的电线杆扯一根电线 并在电线上挂一盏灯 则灯与两端距离都大于 3 m 的概率为 解析 灯挂在电线上的每一个位置都是一个基本事件 即整个 区域的几何度量为 9 m 记 灯与两端距离都大于 3 m 为事件 A 则把电线三等分 当灯挂在中间一段上时 事件 A 发生 即 A 3 m P A A 3 9 1 3 答案 1 3 8 任取一个三位正整数 n 则对数 log2n 是一个正整数的概率是 解析 26 64 27 128 28 256 29 512 210 1024 满足条件的正整数只有 27 28 29三个 所求的概率 P 3 900 1 300 答案 1 300 9 已知函数 f x 2ax2 bx 1 若 a 是 从区间 0 2 上任取的一个数 b 是从区间 0 2 上 任取的一个数 则此函数在 1 上递增 的概率为 解析 令 t ax2 bx 1 函数 f x 在 1 上递增 根据复合函数单调性的判 断方法 则 t ax2 bx 1 须在 1 上 递增 1 即 2a b b 2a 由题意得Error 画出图示得阴影部分面积 概率为 P 2 2 1 2 2 1 2 2 3 4 答案 3 4 10 将一颗骰子先后抛掷两次 得到的点数分别记为 a b 1 求点 P a b 落在区域Error 内的概率 2 求直线 ax by 5 0 与圆 x2 y2 1 不相切的概率 解 1 先后两次抛掷一枚骰子 将得到的点数分别记 a b 则 事件总数为 6 6 36 Error 表示的平面区域如图所示 当 a 1 时 b 1 2 3 4 a 2 时 b 1 2 3 a 3 时 b 1 2 a 4 时 b 1 共有 1 1 1 2 4 1 10 种情 况 P 10 36 5 18 2 直线 ax by 5 0 与圆 x2 y2 1 相切的充要条件是 1 即 a2 b2 25 5 a2 b2 a b 1 2 3 4 5 6 满足条件的情况只有 a 3 b 4 或 a 4 b 3 两种情况 直线与圆相切的概率 P 2 36 1 18 直线 ax by 5 0 与圆 x2 y2 1 不相切的概率为 P 1 1 18 17 18 11 设有关于 x 的一元二次方程 x2 2ax b2 0 1 若 a 是从 0 1 2 3 四个数中任取的一个数 b 是从 0 1 2 三个 数中任取的一个数 求上述方程有实根的概率 2 若 a 是从区间 0 3 任取的一个数 b 是从区间 0 2 任取的一 个数 求上述方程有实根的概率 解 设事件 A 为 方程 x2 2ax b2 0 有实根 当 a 0 b 0 时 方程 x2 2ax b2 0 有实根的充要条件为 a b 1 基本事件共有 12 个 0 0 0 1 0 2 1 0 1 1 1 2 2 0 2 1 2 2 3 0 3 1 3 2 其中第一个数表示 a 的取值 第二个数表示 b 的取值 事件 A 中包含 9 个基本事件 事件 A 发生的概率为 P A 9 12 3 4 2 试验的全部结果所构成的区域为 a b 0 a 3 0 b 2 构成事件 A 的区域为 a b 0 a 3 0 b 2 a b 所以所求的概率为 P A 3 2 1 2 22 3 2 2 3 12 有赤玉 2 块 青玉 3 块 白玉 5 块 将这 10 块玉装在一个 袋内 从中取出 4 块 取出的玉中同色的 2 块作为一组 赤色一组 得 5 点 青色一组得 3 点 白色一组得 1 点 得点合计数用 x 表 示 1 x 共有多少种值 其中最大值是什么 最小值是什么 2 x 取最大值的概率是多少 3 x 取最小值的概率是多少 x 取最小值时 取出 3 种不同颜色 的玉的概率是多少 解 1 满足条件的同色组有两组的情况为 赤 赤 青 青 8 点 赤 赤 白 白 6 点 青 青 白 白 4 点 白 白 白 白 2 点 同色组只有一组的情况为 赤 赤 5 点 为异色的玉 下同 青 青 3 点 白 白 1 点 由上可知 x 共有 7 种值 最大值为 8 最小值为 1 2 取出的不同方法总数为 C104 210 x 取最大值时 即赤玉 2 块 青玉 2 块的取法