2011-2012学年高中数学 第1章 数列2等差数列同步教学案 北师大版必修5

1 2 12 1 等差数列等差数列 一一 课时目标 1 理解等差数列的概念 2 掌握等差数列的通项公式 1 如果一个数列从第 2 项起 每一项与它的前一项的差都等于同一个常数 那么这个 数列就叫做 数列 这个常数叫做等差数列的 公差通常用字母d表 示 2 若三个数a A b构成等差数列 则A叫做a与b的 并且A 3 若等差数列的首项为a1 公差为d 则其通项an 4 等差数列 an 中 若公差d 0 则数列 an 为 数列 若公差d 0 则数列 an 为 数列 一 选择题 1 已知等差数列 an 的通项公式an 3 2n 则它的公差d为 A 2 B 3 C 2 D 3 2 ABC中 三内角A B C成等差数列 则角B等于 A 30 B 60 C 90 D 120 3 在数列 an 中 a1 2 2an 1 2an 1 n N N 则a101的值为 A 49 B 50 C 51 D 52 4 一个等差数列的前 4 项是a x b 2x 则 等于 a b A B 1 4 1 2 C D 1 3 2 3 5 设 an 是递增等差数列 前三项的和为 12 前三项的积为 48 则它的首项是 A 1 B 2 C 4 D 6 6 等差数列 an 的公差d1 n N N 时 有 设 1 5 an 1 an 2an 1 1 1 2an bn n N N 1 an 1 求证 数列 bn 为等差数列 2 试问a1a2是否是数列 an 中的项 如果是 是第几项 如果不是 请说明理由 1 判断一个数列 an 是否是等差数列 关键是看an 1 an是否是一个与n无关的常数 2 由等差数列的通项公式an a1 n 1 d可以看出 只要知道首项a1和公差d 就可 以求出通项公式 反过来 在a1 d n an四个量中 只要知道其中任意三个 量 就可以求出另一个量 3 三个数成等差数列可设为 a d a a d或a a d a 2d 四个数成等差数列 可设为 a 3d a d a d a 3d或a a d a 2d a 3d 3 2 2 等差数列等差数列 2 2 1 1 等差数列等差数列 一一 答案答案 知识梳理 1 等差 公差 2 等差中项 3 a1 n 1 d 4 递增 递减 a b 2 作业设计 1 C 2 B 3 D 4 C Error a b x x 2 3 2 a b 1 3 5 B 设前三项分别为a d a a d 则a d a a d 12 且a a d a d 48 解得a 4 且d 2 又 an 递增 d 0 即d 2 a1 2 6 D 由Error Error Error 所以an a1 n 1 d 即an 8 n 1 2 得an 2n 10 7 3 8 an n 1 1 4 解析 a 3 a 2 2a 1 a 5 4 这个等差数列的前三项依次为 5 4 3 2 7 4 d an n 1 1 1 4 5 4 1 4 n 4 9 4 3 解析 n m 3d1 d1 n m 1 3 又n m 4d2 d2 n m 1 4 d1 d2 1 3 n m 1 4 n m 4 3 10 d 3 8 3 解析 设an 24 n 1 d 由Error 解得 1 n N N 时 2 2 an 1 an 2an 1 1 1 2an 1 2an an 2an 1 1 an 1 1 an 4 bn bn 1 4 且b1 5 bn 是等差数列 且公差为 4 首 1 an 1 1 an 1 an 1 1 a1 项为 5 2 解 由 1 知bn b1 n 1 d 5 4 n 1 4n 1 an n N N 1 bn 1 4n 1 a1 a2 a1a2 1 5 1 9 1 45 令an 1 4n 1 1 45 n 11 即a1a2 a11 a1a2是数列 an 中的项 是第 11 项 2 12 1 等差数列等差数列 二二 课时目标 1 进一步熟练掌握等差数列的通项公式 2 熟练运用等差数列的常用性质 1 等差数列的通项公式an a1 n 1 d 当d 0 时 an是关于n的常函数 当d 0 时 an是关于n的一次函数 点 n an 分布在以 为斜率的直线上 是这条直线上的 一列孤立的点 2 已知在公差为d的等差数列 an 中的第m项am和第n项an m n 则 am an m n 3 对于任意的正整数m n p q 若m n p q 则在等差数列 an 中 am an与 ap aq之间的关系为 一 选择题 1 在等差数列 an 中 若a2 a4 a6 a8 a10 80 则a7 a8的值为 1 2 5 A 4 B 6 C 8 D 10 2 已知数列 an 为等差数列且a1 a7 a13 4 则 tan a2 a12 的值为 A B 33 C D 3 33 3 已知等差数列 an 的公差为d d 0 且a3 a6 a10 a13 32 若am 8 则m为 A 12 B 8 C 6 D 4 4 如果等差数列 an 中 a3 a4 a5 12 那么a1 a2 a7等于 A 14 B 21 C 28 D 35 5 设公差为 2 的等差数列 an 如果a1 a4 a7 a97 50 那么 a3 a6 a9 a99等于 A 182 B 78 C 148 D 82 6 若数列 an 为等差数列 ap q aq p p q 则ap q为 A p q B 0 C p q D p q 2 二 填空题 7 若 an 是等差数列 a15 8 a60 20 则a75 8 已知 an 为等差数列 a1 a3 a5 105 a2 a4 a6 99 则a20 9 已知是等差数列 且a4 6 a6 4 则a10 1 an 10 已知方程 x2 2x m x2 2x n 0 的四个根组成一个首项为 的等差数列 则 1 4 m n 三 解答题 11 等差数列 an 的公差d 0 试比较a4a9与a6a7的大小 12 已知等差数列 an 中 a1 a4 a7 15 a2a4a6 45 求此数列的通项公式 6 能力提升 13 在 3 与 27 之间插入 7 个数 使这 9 个数成等差数列 则插入这 7 个数中的第 4 个 数值为 A 18 B 9 C 12 D 15 14 已知两个等差数列 an 5 8 11 bn 3 7 11 都有 100 项 试问它们 有多少个共同的项 1 在等差数列 an 中 当m n时 d 为公差公式 利用这个公式很容易求出公 am an m n 差 还可变形为am an m n d 2 等差数列 an 中 每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列 构成的新数列仍然 是等差数列 3 等差数列 an 中 若m n p q 则an am ap aq n m p q N N 特别地 若m n 2p 则an am 2ap 2 2 1 1 等差数列等差数列 二二 答案答案 知识梳理 1 d 2 d 3 am an ap aq 作业设计 1 C 由a2 a4 a6 a8 a10 5a6 80 a6 16 a7 a8 2a7 a8 a6 a8 a8 a6 8 1 2 1 2 1 2 1 2 2 D 由等差数列的性质得a1 a7 a13 3a7 4 a7 4 3 tan a2 a12 tan 2a7 tan tan 8 3 2 33 3 B 由等差数列性质a3 a6 a10 a13 a3 a13 a6 a10 2a8 2a8 4a8 32 a8 8 又d 0 m 8 4 C a3 a4 a5 3a4 12 a4 4 a1 a2 a3 a7 a1 a7 a2 a6 a3 a5 a4 7a4 28 5 D a3 a6 a9 a99 a1 2d a4 2d a7 2d a97 2d a1 a4 a97 2d 33 50 2 2 33 7 82 6 B d 1 ap q ap qd q q 1 0 ap aq p q q p p q 7 24 解析 a60 a15 45d d a75 a60 15d 20 4 24 4 15 8 1 解析 a1 a3 a5 105 3a3 105 a3 35 a2 a4 a6 3a4 99 a4 33 d a4 a3 2 a20 a4 16d 33 16 2 1 9 12 5 解析 2d 即d 1 a6 1 a4 1 4 1 6 1 24 所以 4d 所以a10 1 a10 1 a6 1 4 1 6 5 12 12 5 10 1 2 解析 由题意设这 4 个根为 d 2d 3d 1 4 1 4 1 4 1 4 则 2 d 1 4 1 4 3d 1 2 这 4 个根依次为 1 4 3 4 5 4 7 4 n 1 4 7 4 7 16 m 或n m 3 4 5 4 15 16 15 16 7 16 m n 1 2 11 解 设an a1 n 1 d 则a4a9 a6a7 a1 3d a1 8d a1 5d a1 6d a 11a1d 24d2 a 11a1d 30d2 2 12 1 6d2 0 所以a4a9 a6a7 12 解 a1 a7 2a4 a1 a4 a7 3a4 15 a4 5 又 a2a4a6 45 a2a6 9 即 a4 2d a4 2d 9 5 2d 5 2d 9 解得d 2 若d 2 an a4 n 4 d 2n 3 若d 2 an a4 n 4 d 13 2n 13 D 设这 7 个数分别为a1 a2 a7 公差为d 则 27 3 8d d 3 故a4 3 4 3 15 14 解 在数列 an 中 a1 5 公差d1 8 5 3 an a1 n 1 d1 3n 2 在数列 bn 中 b1 3 公差d2 7 3 4 bn b1 n 1 d2 4n 1 令an bm 则 3n 2 4m 1 n 1 4m 3 m n N N m 3k k N N 又Error 解得 0 m 75 0 3k 75 0 k 25 8 k 1 2 3 25 两个数列共有 25 个公共项 2 22 2 等差数列的前等差数列的前n n项和项和 一一 课时目标 1 掌握等差数列前n项和公式及其性质 2 掌握等差数列的五个量 a1 d n an Sn之间的关系 1 把a1 a2 an叫数列 an 的前n项和 记做 例如a1 a2 a16可以记作 a1 a2 a3 an 1 n 2 2 若 an 是等差数列 则Sn可以用首项a1和末项an表示为Sn 若首项为 a1 公差为d 则Sn可以表示为Sn 3 等差数列前n项和的性质 1 若数列 an 是公差为d的等差数列 则数列也是等差数列 且公差为 Sn n 2 Sm S2m S3m分别为 an 的前m项 前 2m项 前 3m项的和 则Sm S2m Sm S3m S2m 也成等差数列 3 设两个等差数列 an bn 的前n项和分别为Sn Tn 则 an bn S2n 1 T2n 1 一 选择题 1 设Sn是等差数列 an 的前n项和 已知a2 3 a6 11 则S7等于 A 13 B 35 C 49 D 63 2 等差数列 an 中 S10 4S5 则等于 a1 d A B 2 1 2 C D 4 1 4 3 已知等差数列 an 中 a a 2a3a8 9 且an 0 则S10为 2 32 8 A 9 B 11 C 13 D 15 4 设等差数列 an 的前n项和为Sn 若S3 9 S6 36 则a7 a8 a9等于 A 63 B 45 C 36 D 27 5 在小于 100 的自然数中 所有被 7 除余 2 的数之和为 A 765 B 665 C 763 D 663 6 一个等差数列的项数为 2n 若a1 a3 a2n 1 90 a2 a4 a2n 72 且 a1 a2n 33 则该数列的公差是 A 3 B 3 C 2 D 1 二 填空题 7 设Sn为等差数列 an 的前n项和 若S3 3 S6 24 则a9 8 两个等差数列 an bn 的前n项和分别为Sn和Tn 已知 则的值是 Sn Tn 7n 2 n 3 a5 b5 9 在项数为 2n 1 的等差数列中 所有奇数项的和为 165 所有偶数项的和为 150 则 n的值为 9 10 等差数列 an 的前m项和为 30 前 2m项和为 100 则数列 an 的前 3m项的和S3m的 值是 三 解答题 11 在等差数列 an 中 已知d 2 an 11 Sn 35 求a1和n 12 设 an 为等差数列 Sn为数列 an 的前n项和 已知S7 7 S15 75 Tn为数列 的前n项和 求Tn Sn n 能力提升 13 现有 200 根相同的钢管 把它们堆成正三角形垛 要使剩余的钢管尽可能少 那么 剩余钢管的根数为 A 9 B 10 C 19 D 29 14 已知两个等差数列 an 与 bn 的前n项和分别为An和Bn 且 则使得 An Bn 7n 45 n 3 为整数的正整数n的个数是 an bn A 2 B 3 C 4 D 5 1 等差数列的两个求和公式中 一共涉及a1 an Sn n d五个量 通常已知其中三 个量 可求另外两个量 在求等差数列的和时 一般地 若已知首项a1及末项an 用公式Sn 较好 n a1 an 2 若已知首项a1及公差d 用公式Sn na1 d较好 n n 1 2 2 等差数列的性质比较多 学习时 不必死记硬背 可以在结合推导过程中加强记忆 并在解题中熟练灵活地应用 10 2 2 2 2 等差数列的前等差数列的前n n项和项和 一一 答案答案 知识梳理 1 Sn S16 Sn 1 2 na1 n n 1 d n a1 an 2 1 2 3 1 d 2 作业设计 1 C S7 49 7 a1 a7 2 7 a2 a6 2 2 A 由题意得 10a1 10 9d 4 5a1 5 4d 1 2 1 2 10a1 45d 20a1 40d 10a1 5d a1 d 1 2 3 D 由a a 2a3a8 9 得 2 32 8 a3 a8 2 9 an 0 a3 a8 3 S10 15 10 a1 a10 2 10 a3 a8 2 10 3 2 4 B 数列 an 为等差数列 则S3 S6 S3 S9 S6为等差数列 即 2 S6 S3 S3 S9 S6 S3 9 S6 S3 27 则S9 S6 45 a7 a8 a9 S9 S6 45 5 B 因a1 2 d 7 2 n 1 7 100 n200 n 19 时 剩余钢管根数最少 为 10 根 14 D 7 n 1 2 3 5 11 an bn A2n 1 B2n 1 14n 38 2n 2 7n 19 n 1 7 n 1 12 n 1 12 n 1 2 22 2 等差数列的前等差数列的前n n项和项和 二二 课时目标 1 熟练掌握等差数列前n项和的性质 并能灵活运用 2 掌握等差数列前n 项和的最值问题 3 理解an与Sn的关系 能根据Sn求an 1 前n项和Sn与an之间的关系 对任意数列 an Sn是前n项和 Sn与an的关系可以表示为 an Error 2 等差数列前n项和公式 Sn 3 等差数列前n项和的最值 1 在等差数列 an 中 当a1 0 d 0 时 Sn有 值 使Sn取到最值的n可由不等式组 确定 12 当a10 时 Sn有 值 使Sn取到最值的n可由不等式组 确 定 2 因为Sn n2 n 若d 0 则从二次函数的角度看 当d 0 时 Sn有 d 2 a1 d 2 值 当d 0 时 Sn有 值 且n取最接近对称轴的自然数时 Sn取到最 值 一个有用的结论 若Sn an2 bn 则数列 an 是等差数列 反之亦然 一 选择题 1 已知数列 an 的前n项和Sn n2 则an等于 A n B n2 C 2n 1 D 2n 1 2 数列 an 为等差数列 它的前n项和为Sn 若Sn n 1 2 则 的值是 A 2 B 1 C 0 D 1 3 已知数列 an 的前n项和Sn n2 9n 第k项满足 5 ak 8 则k为 A 9 B 8 C 7 D 6 4 设Sn是等差数列 an 的前n项和 若 则等于 S3 S6 1 3 S6 S12 A B C D 3 10 1 3 1 8 1 9 5 设Sn是等差数列 an 的前n项和 若 则等于 a5 a3 5 9 S9 S5 A 1 B 1 C 2 D 1 2 6 设 an 是等差数列 Sn是其前n项和 且S5S8 则下列结论错误的是 A dS5 D S6与S7均为Sn的最大值 二 填空题 7 数列 an 的前n项和为Sn 且Sn n2 n n N N 则通项an 8 在等差数列 an 中 a1 25 S9 S17 则前n项和Sn的最大值是 9 在等差数列 an 中 已知前三项和为 15 最后三项和为 78 所有项和为 155 则项 数n 10 等差数列 an 中 a1na1 nan B Sn nan na1 C na1 Sn nan D nan Sn na1 14 设等差数列 an 的前n项和为Sn 已知a3 12 且S12 0 S130 d 0 Error 时 Sn取得最大值 当a10 Error 时 Sn取得最 小值 3 求等差数列 an 前n项的绝对值之和 关键是找到数列 an 的正负项的分界点 2 2 2 2 等差数列的前等差数列的前n n项和项和 二二 答案答案 14 知识梳理 1 S1 Sn Sn 1 2 na1 d n a1 an 2 n n 1 2 3 1 最大 Error 最小 Error 2 最小 最大 作业设计 1 D 2 B 等差数列前n项和Sn的形式为 Sn an2 bn 1 3 B 由an Error an 2n 10 由 5 2k 10 8 得 7 5 k 9 k 8 4 A 方法一 a1 2d S3 S6 3a1 3d 6a1 15d 1 3 S6 S12 6a1 15d 12a1 66d 12d 15d 24d 66d 3 10 方法二 由 得S6 3S3 S3 S6 S3 S9 S6 S12 S9仍然是等差数列 公差为 S3 S6 1 3 S6 S3 S3 S3 从而 S9 S6 S3 2S3 3S3 S9 6S3 S12 S9 S3 3S3 4S