八年级数学第十八章 函数及其图象复习华东师大版

第十八章第十八章 函数及其图象复习第一节变量和函数函数及其图象复习第一节变量和函数 1 函数概念包含 函数概念包含 1 两个变量 两个变量 2 两个变量之间的对应关系 两个变量之间的对应关系 2 在某个变化过程中 可以取不同数值的量 叫做变量 数值始终保持不变的在某个变化过程中 可以取不同数值的量 叫做变量 数值始终保持不变的 量 叫做常量 例如量 叫做常量 例如 x 和和 y 对于 对于 x 的每一个值 的每一个值 y 都有都有惟一惟一的值与之对应 的值与之对应 我们就说我们就说 x 是自变量 是自变量 y 是因变量 是因变量 注意 注意 要理解到要理解到 唯一唯一 两字的含义两字的含义 练习练习 1 下面两个变量是函数关系的是 A 正方形的边长和它的面积 B 变量 x 增加 变量 y 也随之增加 C 矩形的一组对边的边长固定 它的周长和另一组对边的边长 D 圆的面积与它的半径 4 求函数自变量取值范围的两个依据 求函数自变量取值范围的两个依据 1 要使函数的解析式有意义 要使函数的解析式有意义 函数的解析式是整式时 自变量可取全体实数 函数的解析式是整式时 自变量可取全体实数 函数的解析式分母中含有字母时 自变量的取值应使分母函数的解析式分母中含有字母时 自变量的取值应使分母 0 函数的解析式是二次根式时 自变量的取值应使被开方数函数的解析式是二次根式时 自变量的取值应使被开方数 0 练习练习 1 求下列函数中自变量 x 的取值范围 1 y 2 y 3 y 1 x 2x 2x 2 1 x 2 2 在函数 y 中 自变量 x 的取值范围是 2 对于反映实际问题的函数关系 应使实际问题有意义对于反映实际问题的函数关系 应使实际问题有意义 练习练习 1 平行四边形相邻的边长为 x y 它的周长是 30 则 y 关于 x 的函数关系式是 自变量 x 的取值范围是 2 某水果批发市场规定 批发水果不少于 100 千克时 批发价为每千克 2 5 元 小于携带 现金 3000 元到市场采购苹果 并以批发价买进 如果购买的苹果为 x 千克 小王付款后的 剩余现金为 y 元 则 y 与 x 之间的函数关系式是 自变量 x 的取值范围是 5 求函数值的方法 把所给出的自变量的值代入函数解析式中 即可求出相应求函数值的方法 把所给出的自变量的值代入函数解析式中 即可求出相应 的函数值的函数值 第二节第二节 平面直角坐标系平面直角坐标系 1 x 轴 轴 y 轴上点的坐标的特点 平行于横轴的直线上的点的纵坐标相同 轴上点的坐标的特点 平行于横轴的直线上的点的纵坐标相同 平行于纵轴的直线上的点的横坐标相同 坐标轴的点至少有一个是 平行于纵轴的直线上的点的横坐标相同 坐标轴的点至少有一个是 x 轴上的点的纵坐标为轴上的点的纵坐标为 0 表示为 表示为 x 0 y 轴上的点的横坐标为轴上的点的横坐标为 0 表示为 表示为 0 y 2 关于对称关于对称 P a b 关于关于 X 轴对称 横坐标相同轴对称 横坐标相同 纵坐标互为相反数纵坐标互为相反数 即即 P a b P a b 关于关于 Y 轴对称 纵坐标相同轴对称 纵坐标相同 横坐标互为相反数横坐标互为相反数 即即 P a b P a b 关于原点对称 横坐标 纵坐标均互为相反数关于原点对称 横坐标 纵坐标均互为相反数 即即 P a a 3 距离问题距离问题 P a b 到到 X 轴的距离 等于纵坐标的绝对值即轴的距离 等于纵坐标的绝对值即 b P a b 到到 Y 轴的距离 等于横坐标的绝对值即轴的距离 等于横坐标的绝对值即 a P a b 到原点距离 等于二次根号下横坐标的平方与纵坐标的平方和 到原点距离 等于二次根号下横坐标的平方与纵坐标的平方和 即即 练习练习 1 3 4 关于 x 轴对称的点的坐标为 关于 y 轴对称的 点的坐标为 关于原点对称的坐标为 2 点 B 5 12 到 x 轴的距离是 到 y 轴的距离是 到原 点的距离是 3 点 M 6 8 到 x 轴的距离是 到 y 轴的距离是 到原点的距离是 4 以点 3 0 为圆心 半径为 5 的圆与 x 轴交点坐标为 与 y 轴交点坐标为 5 点 P a 3 5 a 在第一象限内 则 a 的取值范围是 第三节第三节 一次函数的性质一次函数的性质 1 一次函数定义 解析式都是自变量的一次整式一次函数定义 解析式都是自变量的一次整式 表示 表示 y kx b k b 是常量 是常量 k 0 注意 注意 x 的次数的次数 1 kx b 是整式 是整式 当当 b 0 时 一次函数时 一次函数 y kx 常数 常数 k 0 叫正比例函数 叫正比例函数 练习练习 1 下列函数中 是一次函数的是 y x y 2 5x y y 2x 1 2 2 y x 2 y 2 x 2 若 y m 2 x m2 4 是正比例函数 则 m 的取值是 A 2 B 2 C 2 D 任意实数 2 一次函数的图象的形状一次函数的图象的形状 一次函数一次函数 y kx b k 0 的图象是一条直线 又称直线的图象是一条直线 又称直线 y kx b k 0 特别地 正比例函数特别地 正比例函数 y kx k 0 的图象是经过原点 的图象是经过原点 0 0 的一条直线 的一条直线 注意 现在画一次函数的图象可以只取两个点注意 现在画一次函数的图象可以只取两个点 3 一次函数中一次函数中 k 与与 b 对图形位置的影响对图形位置的影响 1 当 当 k 相同相同 b 不相同时 不相同时 共同点 它们的函数图象 直线 是平行的 都是由共同点 它们的函数图象 直线 是平行的 都是由 y kx k 0 向上向上 加加 或向或向 下 减 移动得到 下 减 移动得到 不同点 它们与不同点 它们与 y 轴的交点不同轴的交点不同 练习练习 1 将直线 y 2x 1 沿 y 轴方向向上平移 3 个单位长 得到的直线解析式为 2 当 当 k 不同 不同 b 相同时 相同时 共同点 它们与共同点 它们与 y 轴交于同一点 轴交于同一点 0 b 不同点 函数图象 直线 不平行 不同点 函数图象 直线 不平行 4 画一次函数画一次函数 y kx b k 0 图象的规律 图象的规律 令令 x 0 可求出 可求出 y b 令令 y 0 可求出 可求出 x 即可列表即可列表 x0 y kx bb 0 所以直线所以直线 y kx b 与与 y 轴的交点坐标是 轴的交点坐标是 0 b 与 与 x 轴的交点坐标是 轴的交点坐标是 0 再连接这两点即可 再连接这两点即可 5 在画实际问题中的一次函数的图象时 要考虑自变量的取值范围 图象可能在画实际问题中的一次函数的图象时 要考虑自变量的取值范围 图象可能 只是一次函数图象的一部分 那就可能是一条线段或一条射线还可能是孤立的只是一次函数图象的一部分 那就可能是一条线段或一条射线还可能是孤立的 点或其他 点或其他 6 6 一次函数一次函数 y kx b 有下列性质 有下列性质 1 当当 k 0 时 时 y 随随 x 的增大而增大 这时函数的图象从左到右上升 的增大而增大 这时函数的图象从左到右上升 2 当当 k 0 时 时 y 随随 x 的增大而减小 这时函数的图象从左到右下降的增大而减小 这时函数的图象从左到右下降 特别地 当特别地 当 b 0 时 正比例函数也有上述性质时 正比例函数也有上述性质 当当 b 0 直线与直线与 y 轴交于正半轴 当轴交于正半轴 当 b 0 0 时 直线与时 直线与 y 轴交于正半轴轴交于正半轴 下面 我们把一次函数中下面 我们把一次函数中 k 与与 b 的正 负与它的图象经过的象限归纳列表为 的正 负与它的图象经过的象限归纳列表为 练习练习 1 若直线 y kx b 中 k 0 b 0 则直线不经过 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 直线 y 3x 2 经过第 象限 y 随 x 的增大而 2 已知一次函数 y m 2 x 3 2m 的图象不经过第四象限 则 m 的范围是 3 当 时 一次函数 y m 1 x 6 的函数值随 x 的增大而减小 4 直线 y m 1 x m2 1 与 y 轴的交点坐标是 0 3 且直线经过第一 二 四象限 则 k x y 4 0 5 直线 y kx b 上有两点 A x1 y1 和点 B x2 y2 且 x1 x2 y1 y2 则常数 k 的取 值范围是 第四节第四节 求一次函数的关系式求一次函数的关系式 1 用待定系数法求一次函数解析式时 用待定系数法求一次函数解析式时 先设函数为先设函数为 y kx b k 0 再求再求 系数系数 k 与与 b 即根据题意列出未知数为 即根据题意列出未知数为 k 与与 b 的方程或方程组 求出这两个未的方程或方程组 求出这两个未 知系数 知系数 再将它们代入再将它们代入 y kx b 从而得到所求结果 从而得到所求结果 例例 1 1 已知一次函数 y kx b 的图象经过点 1 1 和点 1 5 求当 x 5 时 函数 y 的值 解解 由题意 得 5 1 bk bk 解这个方程组 得 2 3 b k 这个函数解析式为 y 3x 2 当 x 5 时 y 3 5 2 17 例例 2 2 已知一次函数的图象如下图 写出它的关系式 分析分析 从 形 看 图象经过 x 轴上横坐标为 2 的点 y 轴上纵坐标是 3 的点 从 数 看 坐标 2 0 0 3 满足解析式 解解 设 所求的一次函数的解析式为 y kx b k 0 直线经过点 2 0 0 3 把这两点坐标代入解析式 得 3 20 b bk 解得 3 2 3 b k 所以所求的一次函数的关系式是2 2 3 xy 例例 3 3 求直线 y 2x 和 y x 3 的交点坐标 分析分析 两个函数图象的交点处 自变量和对应的函数值同时满足两个函数关系式 而两个函 数关系式就是方程组中的两个方程 所以交点坐标就是方程组的解 解解 两个函数关系式组成的方程组为 3 2 xy xy 解这个方程组 得 6 3 y x 所以直线 y 2x 和 y x 3 的交点坐标为 3 6 例例 4 4 已知两条直线 y1 2x 3 和 y2 5 x 1 在同一坐标系内作出它们的图象 2 求出它们的交点 A 坐标 3 求出这两条直线与 x 轴围成的三角形 ABC 的面积 4 k 为何值时 直线 2k 1 5x 4y 与 k 2x 3y 的交点在每四象限 分析分析 1 这两个都是一次函数 所以它们的图象是直线 通过列表 取两点 即可画出这 两条直线 2 两条直线的交点坐标是两个解析式组成的方程组的解 3 求出这两条直线与 x 轴的交点坐标 B C 结合图形易求出三角形 ABC 的面积 4 先求出交点坐标 根据第四象限内的点的横坐标为正 纵坐标为负 可求出 k 的取值范 围 解解 1 2 5 32 2 1 xy xy 解得 3 7 3 8 y x 所以两条直线的交点坐标 A 为 3 7 3 8 3 当 y1 0 时 x 2 3 所以直线 y1 2x 3 与 x 轴的交点坐标为 B 2 3 0 当 y2 0 时 x 5 所以直线 y2 5 x 与 x 轴的交点坐标为 C 5 0 过点 A 作 AE x 轴于点 E 则 12 49 3 7 2 7 2 1 2 1 AEBCS ABC 4 两个解析式组成的方程组为 32 4512 yxk yxk 解这个关于 x y 的方程组 得 7 2 7 32 k y k x 由于交点在第四象限 所以 x 0 y 0 即 0 7 2 0 7 32 k k 解得2 2 3 k 练习 1 函数 y 2x 4 的图象经过 象限 它与两坐标轴围成的 三角形面积为 周长为 2 一次函数 y kx b 的图象经过点 1 5 交 y 轴于 3 则 k b 3 若点 m m 3 在函数 y x 2 的图象上 则 m 4 y 与 3x 成正比例 当 x 8 时 y 12 则 y 与 x 的函数解析式为 5 某市为节约用水 制定了分段收费的政策 下图是一个月 水费 y 元 和用水量 x 吨 的函数关系的图象 1 请写出这个函数关系的解析式及自变量 x 的取值范围 2 小明家与小敏家长期共用一只水表 五月份共用水 30 吨 应该付水费多少元 3 从六月份开始 两家各用一只水表 在两家总用水量不变 共用水 30 吨 两家用水量都超过了 10 吨 的情况下 六月份 共付的水费比五月份多些还是少些 请说明理由 6 一农民带上若干千克自产的土豆进城出售 为了方便 他带了一些 零钱备用 按市场价售出一些后 又降价出售 售出的土豆千克数与 他手中持有的钱数 含备用零钱 的关系 如图所示 结合图象回答下 列问题 1 农民自带的零钱是多少 2 试求降价前 y 与 x 之间的关系式 3 由表达式你能求出降价前每千克的土豆价格是多少 4 降价后他按每千克 0 4 元将剩余土豆售完 这时他手中的钱 含 备用零钱 是 26 元 试问他一共带了多少千克土豆 y x 21 15 12 10 0 第第 18 章函数及其图象章函数及其图象 复习指导复习指导 函数的性质及其图象函数的性质及其图象 定义定义 0 kbkbkxy为常数 1 自变量x的指数为1 2 自变量x的系数k不为0 函数图象与函数图象与函数图象与函数图象与y y y轴交点是轴交点是轴交点是轴交点是 0 0 0 b b b 与与与与x x x轴交点是轴交点是轴交点是轴交点是 0 0 0 k k k b b b符号符号符号符号图象图象 图象图象性质性质性质性质 当当当当k k k 0 b0 b0 b 0 0 0时时时时 函数图象过一 二 三象限 函数图象过一 二 三象限 函数图象过一 二 三象限 函数图象过一 二 三象限 y y y随随随随x x x的增大而增大的增大而增大的增大而增大的增大而增大 从左 至右图象上升 左低右高 与y轴的交点 0 b 在正半 轴 当当当当k k k 0 b0 b0 b 0 0 0时时时时 函数图象过一 三 四象限 函数图象过一 三 四象限 函数图象过一 三 四象限 函数图象过一 三 四象限 y y y随随随随x x x的增大而增大的增大而增大的增大而增大的增大而增大 从左至 右图象是上升的 左低右高 与y轴的交点 0 b 在负半轴 当当当当k k k 0 b0 b0 b 0 0 0时时时时 一三象限一三象限函数图象过一 三象限 函数图象过一 三象限 函数图象过一 三象限 函数图象过一 三象限 y y y 随随随随x x x的增大而增大的增大而增大的增大而增大的增大而增大 从左至右 图象是上升的 左低右高 图象是过原点 当当当当k k k 0 b0 b0 b 0 0 0时时时时 函数图象过一 二 四象限 函数图象过一 二 四象限 函数图象过一 二 四象限 函数图象过一 二 四象限 y y y随随随随x x x的增大而减小的增大而减小的增大而减小的增大而减小 从左至 右图象是下降的 左高右低 与y轴的交点 0 b 在正半 轴 当当当当k k k 0 b0 b0 b 0 0 0时时时时 函数图象过二 三 四象限 函数图象过二 三 四象限 函数图象过二 三 四象限 函数图象过二 三 四象限 y y y随随随随x x x的增大而减小的增大而减小的增大而减小的增大而减小 从左至 右图象是下降的 左高右低 与y轴的交点 0 b 在负半轴 当当当当k k k 0 b0 b0 b 0 0 0时时时时 二四象限二四象限函函函函数图象过二 四象限 数图象过二 四象限 数图象过二 四象限 数图象过二 四象限 y y y 随随随随x x x的增大而减小的增大而减小的增大而减小的增大而减小 从左至右 图象是下降的 左高右