云南省大理州宾川县第四高级中学高中数学教学论文 空间向量角的求法

1 云南省大理州宾川县第四高级中学高中数学教学论文云南省大理州宾川县第四高级中学高中数学教学论文 空间向量角的求法空间向量角的求法 内容摘要 空间向量作为新加入的内容 在处理空间问题中具有相当的优越性 比原来处理空间问题的方法 更有灵活性 如把立体几何中的线面关系问题及求角求距离问题转化为用向量解决 如何取向量或建立空间坐 标系 找到所论证的平行垂直等关系 所求的角和距离用向量怎样来表达是问题的关键 关键词 空间角 向量 向量法求两条异面直线所成的角 夹角公式 1 1223 3 222222 123123 cos aba ba ba b a b ab aaabbb 模长公式 222 123 aa aaaa 2 aa aaa a 1 异面直线所成角 1 范围 0 90 2 向量法 设 分别为异面直线 的方向向量 则两异面直线所成角的余弦值为a b ab cos a b a b a b 则两异面直线所成的角 arccos a b a b 证明两条异面直线垂直 即所成角为 90 一般步骤 建立合适的空间直角坐标系 将各点 各线段所在向量标出 利用向量夹角公式计算 判断所得夹角是两条直线所成角还是补角 并得出结论 例 1 直三棱柱 A1B1C1 ABC BCA 90 点 D1 F1分别是 A1B1 A1C1的中点 BC CA CC1 则 BD1与 AF1 所成角的余弦值是 分析 用向量法求异面直线所成的角 是建立适当的空间直角坐标系 求出两条异面直线各自的方向向量 把异面直线所成角的求解转化为向量运算 解 向量法 建立如图所示的坐标系 设 BC 1 则 A 1 0 0 F1 0 1 B 0 1 0 D1 1 2 1 2 1 2 1 即 0 1 1 1 AF 2 1 1 BD 2 1 2 1 A B C A1 B1 C1 D1 E F1 x z y 2 cos 1 AF 1 BD 10 30 4 1 4 1 1 4 1 1 1 4 1 BD1与 AF1所成角的余弦值是 30 10 2 向量法求直线与平面所成的角 1 定义 课本 平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角 叫做这条直线和这个平面所 成的角 一条直线垂直于平面 我们说它们所成的角是直角 2 范围 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 0 90 向量法 设是斜线 的方向向量 是平面的法向量 则斜线 与平面所成的角的正弦值l ln l sin l n ln A 例 2 在正四面体 ABCD 中 E 为 AD 的中点 求直线 CE 与平面 BCD 成的角的正弦值 分析 求线面角的向量法是建立适当的空间直角坐标系 求出直线的一个方向向量和平面的一个法向量 把线面角的求解转化为向量运算 解 如图建立以三角形 BCD 的中心 O 为原点 OD OA 依次为 y 轴 z 轴 X 轴平行于 BC 设正四面体 ABCD 的棱长为 a 则 336 6233 aaaa OFFCODOA 336 0 0 0 0 0 2633 aaaa CDA E 为 AD 的中点 36 0 66 aa E 36 236 aaa CE 又因为平面 BCD 的法向量为 0 0 1 n 即 CE 与平面 BCD 成的角满足 2 sincos 3 CE n CE n CEn 直线 CE 与平面 BCD 成的角的正弦值 2 3 A B C D E F H o x z y 3 3 向量法求二面角 1 定义 平面内的一条直线把平面分为两部分 其中的每一部分叫做半平面 从一条直线出发的两个半 平面所组成的图形叫做二面角 这条直线叫做二面角的棱 每个半平面叫做二面角的面 二面角的平面角 以 二面角的棱上任一点为端点 在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线 这两条射线所成的角 叫做这个二 面角的平面角 规定 二面角的两个半平面重合时 二面角为 当两个半平面合成一个平面时 二面角为 0 因此 二面角的大小范围为 0 2 确定二面角的方法 向量法 在内作 在内作 其方向如左图 则二面角 的平面角的余弦值 a l b l l 其方向如右图 则二面角的平面角的余弦值为coscos a b a b ab A arccos a b ab A l 上面值的相反数 同等异补 arccos a b ab A 例 3 如图 在长方体 ABCD A1B1C1D1中 AB 2 BC BB1 1 E 为 D1C1的中点 求二面角 E BD C 的 正切值 分析 求二面角的向量法是建立适当的空间直角坐标系 分别求出两个平面的一个法向量 把二面角的求 解转化为向量运算 解 如图 建立坐标系 则 D 0 0 0 B 1 2 0 E 0 1 1 设平面 DBE 的方程为 过原点 D 0 0AxByCz 则 20 2 0 AB AB CB BC 平面 DBE 的一个法向量为 2 1 1 n 又因为平面 BCD 的一个法向量为 0 0 1 m 二面角 E BD C 的余弦值为 6 coscos 6 m n