2011届高三数学一轮复习 空间几何体的表面积与体积巩固与练习

巩固巩固 1 如图是一个几何体的三视图 根据图中数据 可得该几何体的表面积为 A 32 B 16 C 12 D 8 解析 选 C 由三视图可知几何体是半径为 2 的半球 故其表面积应为半球的表面积与 底面圆的面积之和 即S 2 R2 R2 3 R2 12 2 已知A B为球面上的两点 O为球心 且AB 3 AOB 120 则球的体积为 A B 4 9 23 C 36 D 32 3 解析 选 B AOB为等腰三角形 AOB 120 AB 3 通过解三角形解出OA和 OB 即OA OB R 从而求出球的体积 4 故选 B 33 3 原创题 设计一个杯子 其三视图如图所示 现在向杯中匀速注水 杯中水面的高 度h随时间t变化的图象是 解析 选 B 由三视图可知杯子是圆柱形的 由于圆柱形的杯子上下大小相同 所以当 向杯中匀速注水时 其高度随时间的变化是相同的 反映在图象上 选项 B 符合题意 故 选 B 4 2009 年高考全国卷 已知OA为球O的半径 过OA的中点M且垂直于OA的平面 截球面得到圆M 若圆M的面积为 3 则球O的表面积等于 解析 由题意得圆M的半径r 设球的半径为R 又球心到圆M的距离为 由勾 3 R 2 股定理得R2 r2 2 R 2 则球的表面积为 4 22 16 故填 16 R 2 答案 16 5 四边形ABCD中 A 0 0 B 1 0 C 2 1 D 0 3 绕y轴旋转一周 则所得旋 转体的体积为 解析 V圆锥 r2h 22 2 1 3 1 3 8 3 V圆台 h r2 R2 Rr 1 3 1 22 12 2 1 1 3 7 3 V V圆锥 V圆台 5 答案 5 6 已知正方体AC1的棱长为a E F分别为棱AA1与CC1的中点 求四棱锥A1 EBFD1 的体积 解 因为EB BF FD1 D1E a 所以四棱锥A1 EBFD1的底面是 a2 f a 2 2 5 2 菱形 连结EF 则 EFB EFD1 由于三棱锥A1 EFB与三棱锥A1 EFD1等底同高 所以 VA1 EBFD1 2VA1 EFB 2VF EBA1 2 S EBA1 a a3 1 3 1 6 练习 1 圆台上 下底面面积分别是 4 侧面积是 6 这个圆台的体积是 A B 2 2 3 33 C D 7 3 6 7 3 3 解析 选 D S1 S2 4 r 1 R 2 S 6 r R l l 2 h 3 V 1 4 2 1 33 7 3 3 2 如图 已知一个多面体的平面展开图由一个边长为 1 的正方形和 4 个边长为 1 的正 三角形组成 则该多面体的体积是 A B 3 6 2 6 C D 1 2 2 3 解析 选 B 由题知该多面体为正四棱锥 底面边长为 1 侧棱长为 1 斜高为 连结顶点和底面中心即为高 可 3 2 得高为 所以体积为V 1 1 2 2 1 3 2 2 2 6 3 一个几何体的三视图如图所示 其中正视图与侧 视图都是边长为 2 的正三角形 则这个几何体的侧面积 为 A B 2 3 3 C 3 D 4 解析 选 B 由三视图可知几何体为一圆锥 其中圆 锥底面半径为 1 母线长为 2 故其侧面积S 2 1 2 2 其侧面展开图为一扇形 1 2 扇形半径为 2 弧长为圆锥底面圆周长 故选 B 4 三棱锥P ABC的四个顶点都在体积为的球的表面上 底面ABC所在的小圆面 500 3 积为 16 则该三棱锥的高的最大值为 A 7 B 7 5 C 8 D 9 解析 选 C 设球的半径为R R3 R 5 设小 4 3 500 3 圆半径为r r2 16 r 4 当三棱锥的高过球心O时 取得最大值 OO1 3 PO1 5 3 8 故选 C 52 42 5 2009 年高考陕西卷 若正方体的棱长为 则以该正方体各个面的中心为顶点的凸 2 多面体的体积为 A B 2 6 2 3 C D 3 3 2 3 解析 选 B 所求八面体体积是两个底面边长为 1 高为的四棱锥的体积和 一个四 2 2 棱锥体积V1 1 故八面体体积V 2V1 故选 B 1 3 2 2 2 6 2 3 6 把由曲线y x 和y 2 围成的图形绕x轴旋转 360 所得旋转体的体积为 A B 8 3 10 3 C D 6 3 32 3 解析 选 D 由题意 y x 和y 2 围成图中阴影 部分的图形 旋转体为一个圆柱挖去两个相同的共顶点 的圆锥 V圆柱 22 4 16 2V圆锥 2 22 2 1 3 16 3 所求几何体体积为 16 16 3 32 3 7 正三棱台高为 12 cm 上 下底面面积之比为 1 4 它的体积为 28 cm3 则下底面面积为 解析 设下底面面积为S cm2 则上底面面积为S cm2 1 4 S S 12 28 1 3 1 4 S 1 4S S 4 答案 4 cm2 8 已知一个圆锥的展开图如图所示 其中扇形的圆心 角为 120 底面圆的半径为 1 则该圆锥的体积为 解析 因为扇形弧长为 2 所以圆锥母线长为 3 高为 2 所求体积V 12 2 2 1 32 2 2 3 答案 2 2 3 9 如图 在正三棱柱ABC A1B1C1中 D为棱AA1的 中点 若截面 BC1D是面积为 6 的直角三角形 则此 三棱柱的体积为 解析 设AC a CC1 b 则由 a2 b2 2 a2 b2 1 4 得b2 2a2 又 a2 6 1 2 3 2 a2 8 V 8 4 8 3 43 答案 8 3 10 已知圆台的母线长为 4 cm 母线与轴的夹角为 30 上底面半径是下底面半径的 求这个圆台的侧面积 1 2 解 如图是将圆台还原为圆锥后的轴截面 由题意知AC 4 cm ASO 30 O1C OA 1 2 设O1C r 则OA 2r 又 sin30 O1C SC OA SA SC 2r SA 4r AC SA SC 2r 4 cm r 2 cm 所以圆台的侧面积为S r 2r 4 24 cm2 11 在底面直径和高均为 2R的圆锥内作一内接圆柱 当圆柱的底面半径和高分别为多 少时 它的体积最大 解 如图 作出圆锥的轴截面 设圆柱的高为h 底面半径为r 0 r R 体积为V 则 h 2R R r R h 2 R r V r2h 2 r2 R r 2 Rr2 2 r3 V 4 Rr 6 r2 由V 0 得r R 2 3 当r R时 圆柱的体积V取得最大值 2 3 此时圆柱的高h 2 R R R 2 3 2 3 12 一几何体按比例绘制的三视图如图所示 单位 m 1 试画出它的直观图 2 求它的表面积和体积 解 1 直观图如图所示 2 法一 由三视图可知该几何体是长方体被截去一个角 且该几何体的体积是以 A1A A1D1 A1B1为棱的长方体的体积的 3 4 在直角梯形AA1B1B中 作BE A1B1于E 则AA1EB是正方形 AA1 BE 1 在 Rt BEB1中 BE 1 EB1 1 BB1 2 几何体的表面积S S正方形AA1D1D 2S梯形AA1B1B S矩 形BB1C1C S正方形ABCD S矩形A1B1C1D1 1 2 1 2 1 1 1 1 2 1 22 7 m2 2 几何