上海市北郊高级中学2009届高三数学高考模拟试卷一 沪教版 新课标

用心 爱心 专心 上海市北郊高级中学上海市北郊高级中学 2009 届高三高考模拟试卷一届高三高考模拟试卷一 数学数学 班级 姓名 学号 一 填空题 1 复数 i ii 21 1 2 2 等于 2 不等式 2 log 1 0 x 的解集为 3 已知集合M 0 2 2xx Z x 且 1 2 3 4MN 则集合N的非空真 子集个数最少为 4 在ABCABBCABABC 则中 若 0 2 的形状是 5 若 是钝角 且 1 sin 3 则cos 6 的值为 6 设10 10 ba 则 n nn n ba ba lim 7 若二项式 2 2 n x x 的展开式共 7 项 则展开式中的常数项为 8 直线022 yxl过椭圆 22 22 1 xy ab 的左焦点 1 F和一个顶点B 则椭圆的方程为 9 函数 4 1 1 2 1 22 2 xfy xxx xx xf则函数的零点是 10 某市有 6 名教师志愿到四川地震灾区的甲 乙 丙三个镇去支教 每人只能去一个 镇 则恰好其中一镇去 4 名 另两镇各一名的概率为 11 若棱长为1的正方体 1111 ABCDABC D 的八个顶点都在球O的表面上 则A 1 A两 点之间的球面距离为 12 动点P在平面区域 2 22 1 yxyxC 内 动点Q在曲线 2 2 4 xC 1 4 2 y上 则平面区域 1 C的面积为 PQ的最小值为 二 选择题 二 选择题 1313 若 a b c为实数 则下列命题正确的是 A 若ab 则 22 acbc B 若0ab 则 22 aabb 用心 爱心 专心 C 若0ab 则 11 ab D 若0ab 则 ba ab 1414 已知方程 22 2 1 2 xy mm 表示焦点在x轴上的椭圆 则m的取值范围是 A 2m 或1m B 2m C 12m D 2m 或21m 1515 函数 cos 0 0 f xAxA 的部分 图象如图所示 则 1 2 2009 fff 的值 为 A 0 B 2 2 C 1 D 2 1616 三个实数 a b c成等比数列 若有1abc 成立 则 b 的取值范围是 A 1 1 3 B 1 0 3 C 1 1 0 0 3 D 1 00 1 3 三 解答题 三 解答题 17 已知函数 cos 0 0 f xx 是 R 上的奇函数 且最小正周期为 1 求 和的值 2 求 3 4 g xf xf x 取最小值时的x的集合 1818 如图 在四棱锥ABCDP 中 底面ABCD是矩形 已知 60 22 2 2 3 PABPDPAADAB 证明 AD平面PAB 文 求异面直线PC与AD所成的角的大小 理 求二面角ABDP 的大小 O y x 2 2 2 46 用心 爱心 专心 1919 设 1 2 1 log 1 ax f x x 为奇函数 a为常数 1 求a的值 2 判断 xf在区间 1 内单调单调性 并证明你的判断正确 3 若对于区间 3 4 上的每一个x的值 不等式 xf 1 2 x m 恒成立 求实数m的取 值范围 2020 已知两点M和N分别在直线ymx 和ymx 0 m 上运动 且 2MN 动 点P满足 2OPOMON O为坐标原点 点P的轨迹记为曲线C 求曲线C的方程 并讨论曲线C的类型 过点 0 1 作直线l与曲线C交于不同的两点A B 若对于任意1m 都有 AOB 为锐角 求直线l的斜率k的取值范围 用心 爱心 专心 2121 设数列 n a的前n项和为 n S 对一切 Nn 点 n S n n 都在函数 2 n a f xx x 的 图象上 1 求数列 n a的通项公式 2 将数列 n a依次按 1 项 2 项 3 项 4 项循环地分为 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a 10 a 11 a 12 a 13 a 14 a 15 a 16 a 17 a 18 a 19 a 20 a 21 a 分别计算各个括号内各数之和 设由这些和按原来括号的前后顺序构 成的数列为 n b 求 5100 bb 的值 3 设 n A为数列 1 n n a a 的前n项积 若不等式 3 1 2 n nn a Aaf a a 对一切 Nn 都成立 求a的取值范围 用心 爱心 专心 参考答案 参考答案 一 填空题 1 2 2 021 xxx 且 3 2 4 直角三角形 5 6 162 6 0 7 60 8 2 2 1 5 x y 9 2 52 8 9 10 10 81 11 31 arccos 23 12 48 122 二 选择题 二 选择题 1313 B B 1414 D D 1515 D D 1616 C C 三 解答题 三 解答题 1717 解 1 函数最小正周期为 且0 2 2 分 又 xf是奇函数 且 0 由 f 0 0 得 2 5 分 2 由 1 cos 2 sin2 2 f xxx 6 分 所以 sin23sin2 sin23cos22sin 2 43 g xxxxxx 10 分 当sin 2 1 3 x 时 g x 取得最小值 此时22 32 xk 解得 12 xkkZ 12 分 所以 xg取得最小值时x的集合为 12 x xkkZ 14 分 用心 爱心 专心 1818 解 证明 在PAD 中 由题设22 2 PDPA可得 222 PDADPA 于是PAAD 在矩形ABCD中 ABAD 又AABPA 所以 AD平面PAB 解 由题设 ADBC 所以PCB 或其补角 是异面直线PC与AD所成的 角 在PAB 中 由余弦定理得 由 知 AD平面PAB PB平面PAB 所以PBAD 因而PBBC 于是PBC 是直角三角 形 故 2 7 tan BC PB PCB 所以异面直线PC与AD所成的角的大小为 2 7 arctan 解 过点 P 做ABPH 于 H 过点 H 做BDHE 于 E 连结 PE 因为 AD平面PAB PH平面PAB 所以PHAD 又AABAD 因而 PH平面ABCD 故 HE 为 PE 再平面 ABCD 内的射影 由三垂线定理可知 PEBD 从而PEH 是二面角ABDP 的平面角 由题设可得 13 4 13 2 160cos 360sin 22 BH BD AD HE ADABBDAHABBH PAAHPAPH 于是再PHERT 中 4 39 tan PEH 所以二面角ABDP 的大小为 4 39 arctan 1919 解 解 1 1a 2 单调递增 3 m 9 8 2020 I 由2OPOMON 得P是MN的中点 2 分 设 2211 mxxNmxxMyxP 依题意得 7cos2 22 PABABPAABPAPB 用心 爱心 专心 12 12 222 1212 2 2 2 xxx mxmxy xxmxmx 消去 21 x x 整理得1 1 2 2 2 2 m y m x 4 分 当1 m时 方程表示焦点在y轴上的椭圆 当10 m时 方程表示焦点在x轴上的椭圆 当1 m时 方程表示圆 5 分 II 由1m 焦点在y轴上的椭圆 直线l与曲线C恒有两交点 因为直线斜率不存在时不符合题意 可设直线l的方程为1ykx 直线与椭圆的交点为 1122 A x yB xy 22 4222 2 2 1 210 1 1 ykx xy mkxkxm m m 7 分 2 1212 4242 21 km xxx x mkmk 222 1212 4242 1 2 1 1 1 kmk y ykxkx mkmk 要使AOB 为锐角 则有0 OA OB 9 分 422 1212 42 1 1 0 mkm x xy y mk 即 422 1 10mkm 可得 22 2 1 1mk m 对于任意1m 恒成立 而 2 2 1 2m m 2 1211 kk 所以满足条件的k的取值范围是 1 1 12 分 2121 解 1 因为点 n S n n 在函数 2 n a f xx x 的图象上 用心 爱心 专心 故 2 nn Sa n nn 所以 2 1 2 nn Sna 令1n 得 11 1 1 2 aa 所以 1 2a 令2n 得 122 1 4 2 aaa 所以 2 4a 令3n 得 1233 1 9 2 aaaa 所以 3 6a 由此猜想 2 n an 2 分 用数学归纳法证明如下 当1n 时 有上面的求解知 猜想成立 假设 1 nk kkN 时猜想成立 即2 k ak 成立 则当1nk 时 注意到 2 1 2 nn Sna N n 故 2 11 1 1 2 kk Ska 2 1 2 kk Ska 两式相减 得 11 11 21 22 kkk akaa 所以 1 42 kk aka 由归纳假设得 2 k ak 故 1 424222 1 kk akakkk 这说明1nk 时 猜想也成立 由 知 对一切 Nn 2 n an 成立 5 分 另解 因为点 n S n n 在函数 2 n a f xx x 的图象上 故 2 nn Sa n nn 所以 2 1 2 nn Sna 令1n 得 11 1 1 2 aa 所以 1 2a 1 分 2n 时 2 11 1 1 2 nn Sna 2n 时 得 1 42 nn aan 2 分 令 1 1 nn aA nBaAnB 即 1 22 nn aaAnAB 与 1 42 nn aan 比较可得 24 22AAB 解得2 2AB 因此 1 2 1 2 22 nn anan 又 1 2 1 1 20a 所以2 1 20 n an 从而2 n an 5 分 2 因为2 n an Nn 所以数列 n a依次按 1 项 2 项 3 项 4 项循环地 分为 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 每一次循环记为一组 由于每一个循 环含有 4 个括号 故 100 b是第 25 组中第 4 个括号内各数之和 由分组规律知 由各 组第 4 个括号中所有第 1 个数组成的数列是等差数列 且公差为 20 同理 由各组第 4 个括号中所有第 2 个数 所有第 3 个数 所有第 4 个数分别组成的数列也都是等差数列 且公差均为 20 故各组第 4 个括号中各数之和构成等差数列 且公差为 80 注意到第一 用心 爱心 专心 组中第 4 个括号内各数之和是 68 所以 100 6824 801988b 又 5 b 22 所以 5100 bb 2010 8 分 3 因为 11 1 n nn a aa 故 12 111 1 1 1 n n A aaa 所以 12 111 1 1 1 1 21 nn n Aan aaa 又 333 2222 nnn aaa f aaa aaaa 故 3 1 2 n nn a Aaf a a 对一切 Nn 都成立 就是 12 1113 1 1 1 21 2 n na aaaa 对一切 Nn 都成立 9 分 设 12