2012年湖北高考数学考试说明

1 20122012 年普通高等学校招生全国统一考试大纲湖北卷年普通高等学校招生全国统一考试大纲湖北卷数学学科考试说数学学科考试说 明明 考试性质 根据教育部考试中心 2012 普通高等学校招生全国统一考试大纲 课程标准实验版 结合我省高中基础教育的实际情况 制定了 2012 年普通高等学校招生全国统一考试湖北 卷考试说明 的数学科部分 考试性质 考试性质 普通高等学校招生全国统一考试是合格的高中毕业和具有同等学力的考生参加的选拔 性考试 高等学校根据考生成绩 按已确定的招生计划 德 智 体全面衡量 择优录取 高考应具有较高的信度 效度 必要的区分度和适当的难度 命题指导思想 命题指导思想 1 普通高等学校招生全国统一考试是为高校招生而进行的选拔性考试 命题遵循 有助 于高校选拔人才 有助于中学实施素质教育 有助于推动高中数学新课程改革 的 原则 确保安全 公平 公正 科学 规范 2 命题注重考查考生的数学基础知识 基本技能和数学思想方法 考查考生对数学本 质的理解水平 体现课程目标 知识与技能 过程与方法 情感态度与价值观 的 要求 3 命题遵循 普通高中数学课程标准 实验 和 2012 普通高等学校招生全国统一 考试大纲 课程标准实验版 试题在源于教材的同时又具有一定的创新性 探究 性和开放性 既考查考生的共同基础 又考查考生的学习潜能 以满足选拔不同层 次考生的需求 考核目标与要求 考核目标与要求 一 知识要求 对知识的要求由低到高分为了解 理解 掌握三个层次 分别用 A B C 表示 1 了解 A 要求对所列知识的含义有初步的 感性的认识 知道这一知识内容是什么 按照一定 的程序和步骤照样模仿 并能解决相关的简单问题 2 理解 B 要求对所列知识内容有较深刻的理性认识 知道知识的逻辑关系 能够对所列知识作 正确的描述说明并用数学语言表达 能够利用所学的知识内容对有关问题进行比较 判别 讨论 并加以解决 3 掌握 C 要求系统地掌握知识的内在联系 能够利用所学知识对具有一定综合性的问题进行分 析 研究 讨论 并加以解决 二 能力要求 能力是指空间想象能力 抽象概括能力 推理论证能力 运算求解能力 数据处理能 力以及应用意识和创新意识 1 空间想象能力 能根据条件作出正确的图形 根据图形想象出直观形象 能正确地分析出图形中的基 2 本元素及其相互关系 能对图形进行分解 组合 会运用图形与图表等手段形象地揭 示问题的本质 2 抽象概括能力 能在对具体的实例抽象概括的过程中 发现研究对象的本质 从足够的信息材料中 概括出一些合理的结论 3 推理论证能力 会根据已知的事实和已获得的正确数学命题来论证某一数学命题的正确性 4 运算求解能力 会根据法则 公式进行正确的运算 变形和数据处理 能根据问题的条件寻找和设计 合理 简捷的运算途径 能根据要求对数据进行估计和近似运算 5 数据处理能力 会收集 整理 分析数据 能从大量数据中抽取对研究问题有用的信息 并作出判断 数据处理能力主要依据统计方法对数据进行整理 分析 并解决给定的实际问题 6 应用意识 能够运用所学的数学知识 思想和方法 将一些简单的实际问题转化为数学问题 并 加以解决 7 创新意识 能够综合 灵活运用所学的数学知识和思想方法 创造性地解决问题 三 考查要求 1 对数学基础知识的考查 既全面又突出重点 注重学科的内在联系和知识的综合 2 数学思想和方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括 对数学思想和方法的考 查与数学知识的考查结合进行 考查时 从学科整体意义和思想含义上立意 注重通 性通法 淡化特殊技巧 3 对数学能力的考查 以抽象概括能力和推理论证能力为核心 全面考查各种能力 强调探究性 综合性 应用性 突出数学试题的能力立意 坚持素质教育导向 4 注重试题的基础性 综合性和层次性 合理调控综合程度 坚持多角度 多层次 的考查 考试范围与要求层次考试范围与要求层次 根据普通高等学校对新生文化素质的要求 依据教育部 2003 年颁布的 普通高中数学 课程标准 实验 结合我省高中基础教育的实际 确定文史类高考数学科的考试范围为 必修课程数学 1 数学 2 数学 3 数学 4 数学 5 的内容 选修课程系列 1 选修 1 1 选 修 1 2 的内容 选修课程系列 4 中的 不等式选讲 的部分内容 详见下表 确定理工类高考数学科必做题的考试范围为必修课程数学 1 数学 2 数学 3 数学 4 数学 5 的内容 选修课程系列 2 选修 2 1 选修 2 2 选修 2 3 的内容 选修课程系 列 4 中的 不等式选讲 的部分内容 选做题的考试范围为选修课程系列 4 中的 几何证 明选讲 和 坐标系与参数方程 的部分内容 具体内容及层次要求详见下表 知识要求知识要求 内容内容 了了 解解 A A 理解理解 B B 掌握掌握 C C 集合的含义 集 合与 集合 集合的表示 3 集合间的基本关系 集合的基本运算 若p 则q 形式的命 题及其逆命题 否命题与逆否 命题 及其相互关系 充分条件 必要条件 充 要条件 简单的逻辑联结词 全称量词与存在量词 常 用逻 辑 用语 常用 逻辑用语 对含一个量词的命题进行 否定 函数的概念与表示 映射 简单的分段函数及其应用 单调性与最大 小 值及 其几何意义 函数 奇偶性 有理指数幂的含义 实数指数幂的意义 幂的运算 指数 函数 指数函数的概念 图象及 其性质 对数的概念 对数的运算性质 换底公式 对数函数的概念 图象及 其性质 对数 函数 指数函数 x ya 与对数函 数logayx 互为反函数 0a 且1 a 幂函数的概念 幂函 数 幂函数yx 2 yx 3 yx 1 y x 1 2 yx 的图 象及其变化情况 方程的根与函数的零点 二分法 函 数 概 念 与 基 本 初 等 函 数 指 数 函 数 对 数 函 数 幂 函 数 函数 的模型及 其应用函数模型的应用 任意角的概念 弧度制 任意角的正弦 余弦 正 切的定义 诱导公式 同角三角函数 的基本关系式 周期函数的定义 三角函 数的周期性 基 本初等 函 数 三角 函 数 三 角 三角 函数 三角函数sinyx cosyx tanyx 的图象和 性质 4 函数sin yAx 的 图象和性质 三角函数模型的简单应用 两角和与差的正弦 余弦 正切公式 二倍角的正弦 余弦 正 切公式 三角 恒等 变换 简单的三角恒等变换 正弦定理 余弦定理 恒 等 变 换 解 三 角 形 解三 角形解三角形及其简单应用 数列的概念 数列 的概念 数列的简单表示法 列表 图象 通项公式 递推公式 等差数列 等比数列的概 念 等差数列 等比数列的通 项公式与前n项和公式 数 列 等差 数列 等比 数列等差数列 等比数列的简 单应用 一元二次不等式解法及应 用 一元 二次 不等 式 一元二次不等式与相应的 二次函数 二次方程的联系 用二元一次不等式组表示 平面区域 简单 的 线性 规划 简单的线性规划问题 基本 不等式 不等式 0 2 ab ab a b 及其简单 应用 不等式的基本性质 绝对值不等式 不等式的证明 比较法 综合法 分析法 反证法 放 缩法 用数学归纳法证明一些简 单的不等式 仅限理科 不等式 3 0 3 abc abc a b c 及其简单应用 仅限理科 不 等式 含 4 5 不等式 选讲 不等 式 的性 质 证明 与解 法 柯西不等式及其简单应用 仅限理科 合情推理 合情 推理与 演绎 推理 演绎推理 推 理 与 证 明直接综合法 5 分析法 反证法 证明 与 间接 证明 数学归纳法 仅限理科 平面 向量 平面向量的相关概念 平面向量的线性运算及其 几何意义 向量 的 线性 运算 平面向量的线性运算的性 质及其几何意义 平面向量的基本定理 平面向量的正交分解及其 坐标表示 用坐标表示平面向量的加 法 减法与数乘运算 平面 向量的基 本定理及 坐标表示 用坐标表示平面向量共线 的条件 平面向量数量积的概念 数量积与向量投影的关系 数量积的坐标表示 用数量积表示两个向量的 夹角 平面 向量 的数 量积 用数量积判断两个平面向 量的垂直关系 平 面 向 量 向量 的应用 用向量方法解决简单问题 导数的概念 导数 概念 及其 几何意义 导数的几何意义 常见基本初等函数的导数 公式 常用的导数运算法则 导数 的 运算求简单复合函数的导数 仅限理科 利用导数研究函数的单调 性 其中多项式函数一般不超 过三次 函数的极值 最值 其中 多项式函数一般不超过三次 导数 在 研究 函数 中的 应用 利用导数解决某些实际问 题 定积分的概念 导 数 及 其应用 定积 分与微积 分基本定 理 仅限 理科 微积分基本定理 复数的基本概念 复数相 等的条件 数 系的 扩 复数 的概 念与复数的代数表示法及几何 6 意义 复数代数形式的四则运算 充 与 复数的 引入 运算 复数代数形式加 减法的 几何意义 柱 锥 台 球及其简单 组合体 简单空间图形的三视图 用斜二侧法画简单空间图 形的直观图 空间 几何 体 柱 锥 台 球的表面积 和体积 空间直线 平面的位置关 系 公理 1 公理 2 公理 3 公理 4 定理 空间直线 平面平行或垂 直的判定 空间直线 平面平行或垂 直的性质 立 体 几 何 初 步 点 直线 平面 间的 位置 关系 证明直线 平面位置关系 的简单命题 空间直角坐标系 空间 直角 坐标 系 空间两点间的距离公式 空间向量的概念 空间向量基本定理 空间向量的正交分解及其 坐标表示 空间向量的线性运算及其 坐标表示 空间向量的数量积及其坐 标表示 空间 向量 及其 运算 仅 限理科 运用向量的数量积判断向 量的共线与垂直 空间直线的方向向量 空间平面的法向量 用向量方法计算直线与直 线 直线与平面 平面与平面 的夹角 空 间 向 量 与 立 体 几 何 空间 向量 的应 用 仅限 理科 用向量方法证明直线 平 面位置关系的简单命题 直线的倾斜角和斜率 过两点的直线斜率的计算 公式 两条直线平行或垂直的判 定 直线方程的点斜式 斜截 式 截距式 两点式及一般式 平 面 解 析 几 何 初 步 直线 与方 程 两条相交直线的交点坐标 7 两点间的距离公式 点到 直线的距离公式 两条平行线间的距离 圆的标准方程与一般方程 直线与圆的位置关系 两圆的位置关系 圆与 方程 用直线和圆的方程解决一 些简单的问题 椭圆的定义及标准方程 椭圆的简单几何性质 抛物线的定义及标准方程 文科 理科 抛物线的简单几何性质 文科 理科 双曲线的定义及标准方程 双曲线的简单几何性质 圆锥 曲线 直线与圆锥曲线的位置关 系 圆 锥 曲 线与方 程 曲线 与 方程 曲线与方程的对应关系 仅限理科 算法的含义 算法 及其 程序 框图 程序框图的三种基本逻辑 结构 算 法 初 步 基本 算法 语句 输入语句 输出语句 赋 值语句 条件语句 循环语句 流程 图 流程图 框 图 仅 限文科 结构 图 结构图 分类加法计数原理 分步 乘法计数原理 加法 原理 乘法 原理 用分类加法计数原理或分 步乘法计数原理解决一些简单 的实际问题 排列 组合的概念 排列数公式 组合数公式 排列 与组合用排列与组合解决一些简 单的实际问题 计 数 原 理 仅 限理科 二项 式定理 用二项式定理解决与二项 展开式有关的简单问题 简单随机抽样 随机 抽样分层抽样和系统抽样 频率分布表 直方图 折 线图 茎叶图 概 率与统 计 用样 本估计总 体 样本数据的基本数字特征 如平均数 标准差 及其意 义 8 用样本的频率分布估计总 体分布 用样本的基本数字特 征估计总体的基本数字特征 最小二乘法 变量 的 相关 性 线性回归方程 线性回归 方程系数公式不要求记忆 随机事件的关系与运算 随机事件的概率 事件 与 概率 两个互斥事件的概率加法 公式 古典概型 用列举法计算一些随机事 件所含的基本事件数及事件发 生的概率 文科 古典 概型 计算一些随机事件所含的 基本事件数及事件发生的概率 理科 几何 概型 几何概型 取有限个值的离散型随机 变量及其分布列 超几何分布 条件概率 事件的独立性 n次独立重复试验模型与 二项分布 取有限个值的离散型随机 变量的均值 方差 概率 仅限理 科 正态分布 用极坐标表示点的位置 极坐标和直角坐标的互化 极坐 标系 圆 直线的极坐标方程 直线的参数方程 圆的参数方程 坐 标系与 参数方 程 仅 限理科 参数 方程 椭圆的参数方程 相似三角形的定义与性质 平行截割定理 相似 三角形的 判定及有 关性质 直角三角形射影定理 圆周角定理 圆的切线判定定理与性质 定理 相交弦定理 圆内接四边形的性质定理 与判定定理 几 何证明 选讲 仅限 理科 直线 与圆的位 置关系 切割线定理 公理 1 如果一条直线上的两点在一个平面内 那么这条直线上所有的点都在此平面内 9 公理 2 过不在同一条直线上的三点 有且只有一个平面 公理 3 如果两个不重合的平面有一个公共点 那么它们有且只有一条过该点的公共直线 公理 4 平行于同一条直线的两条直线互相平行 定理 空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行 那么这两个角相等或互补 考试形式与试卷结构 考试形式与试卷结构 一 考试形式 考试采用闭卷 笔试形式 考试时间为 120 分钟 全卷满分为 150 分 湖北省 2012 年普 通高等学校招生全国统一考试仍不允许使用计算器 二 试题类型与试卷结构 全卷分选择题 填空题 解答题三种题型 选择题是四选一型的单项选择题 填空题只 要求直接填写结果 不必写出计算或推证过程 解答题包括计算题 证明题 解答题要写 出文字说明 演算步骤或推证过程 文 理科全卷题型 题量和赋分分别如下 文科卷 1 全卷 22 道试题均为必做题 2 试卷结构为选择题 10 道 每道 5 分 共 50 分 填空题 7 道 每道 5 分 共 35 分 解答题 5 道 每道分值不低于 10 分同时不高于 14 分 共 65 分 理科卷 1 全卷 22 道试题 分为必做题和选做题 其中 20 道试题为必做题 在填空题中设置 2 道选做题 需要考生在这 2 道选做题中选择一道作答 若两道都选 按前一道作答结 果计分 即考生共需作答 21 道试题 2 试卷结构为选择题 10 道 每道 5 分 共 50 分 填空题 6 道 每道 5 分 考生需作答 5 道 共 25 分 解答题 6 道 每道分值不低于 10 分同时不高于 14 分 共 75 分 试题按难度 难度 实测平均分 满分 分为容易题 中等题和难题 难度在 0 70 以上 的题为容易题 难度在 0 40 0 70 之间 包括 0 40 和 0 70 的题为中等题 难度在 0 40 以下的题为难题 控制三种难度的试题的合适分值比例 试卷总体难度适中 题型示例题型示例 为让考生对高考试题获得一定的认识 我们从近几年高考数学 湖北卷 和其他省市 的高考试题中选择了部分试题编制成题型示例 题型示例中的试题与 2012 年高考试卷的结 构 形式 测试内容 题目排序 题量 难度等均没有任何对应关系 理科题型示例 一 必考内容题型示例 一 选择题 在每小题列出的四个选项中 选出符合题目要求的一项 试题 1 2011 年湖北卷理科卷第 2 题 10 已知 2 log 1 Uy yxx 1 2 Py yx x 则 UP A 1 2 B 1 0 2 C 0 D 1 0 2 答案 A 说明 本题主要考查集合 对数函数和幂函数的基本概念和性质 本题属于容易题 试题 2 2008 年湖北卷理科第 1 题 设 1 2 a 3 4 b 3 2 c 则 2 abc A 15 12 B 0 C 3 D 11 答案 C 说明 本题考查向量的加法 实数与向量的积和平面向量的数量积等向量的有关概念 本 题属于容易题 试题 3 2011 年安徽卷理科第 7 题 命题 所有能被 2 整除的整数都是偶数 的否定是 A 所有不能被 2 整除的整数都是偶数 B 所有能被 2 整除的整数都不是偶数 C 存在一个不能被 2 整除的整数是偶数 D 存在一个能被 2 整除的整数不是偶数 答案 D 说明 本题考查正确地对含有一个量词的命题进行否定 本题属于容易题 试题 4 2009 年湖北卷理科第 8 题 在 家电下乡 活动中 某厂要将 100 台洗衣机运往邻近的乡镇 现有 4 辆甲型货车和 8 辆乙型货车可供使用 每辆甲型货车运输费用 400 元 可装洗衣机 20 台 每辆乙型货车运 输费用 300 元 可装洗衣机 10 台 若每辆车至多只运一次 则该厂所花的最少运输费用为 A 2000 元B 2200 元C 2400 元D 2800 元 答案 B 说明 本题考查简单的线性规划 本题属于容易题 试题 5 2011 年湖北卷理科第 7 题 如图 用 K 1 A 2 A三类不同的元件连接成一个系统 当 K 正常工作且 1 A 2 A至少有一 个正常工作时 系统正常工作 已知 K 1 A 2 A正常工作的概率依次为 0 9 0 8 0 8 则系统正常工作的概率为 A 0 960 B 0 864 C 0 720 D 0 576 答案 B 说明 本题主要考查相互独立事件和互斥事件的概率计算 本题属于容易题 1 A 2 A K 11 试题 6 2011 年湖北卷理科第 5 题 已知随机变量 服从正态分布 2 2 N 且 4 0 8P 则 02 P A 0 6 B 0 4 C 0 3 D 0 2 答案 C 说明 本题主要考查正态曲线的性质及正态分布相关概率的计算 本题属于容易题 试题 7 2010 年湖北卷理科第 8 题 现安排甲 乙 丙 丁 戊 5 名同学参加上海世博会志愿者服务活动 每人从事翻译 导 游 礼仪 司机四项工作之一 每项工作至少有一人参加 甲 乙不会开车但能从事其他 三项工作 丙 丁 戊都能胜任四项工作 则不同安排方案的种数是 A 54 B 90C 126 D 152 答案 C 说明 本题考查有限制条件下的排列组合问题 本题属于中等题 试题 8 2011 年全国卷理科第 11 题 设函数 sin cos 0 2 f xxx 的最小正周期为 且 fxf x 则 A f x在 0 2 单调递减 B f x在 3 44 单调递减 C f x在 0 2 单调递增 D f x在 3 44 单调递增 答案 A 说明 本题考查三角函数的性质 三角恒等变换以及图象 本题属于中等题 试题 9 2011 年江西卷理科第 6 题 变量X与Y相对应的一组数据为 10 1 11 3 2 11 8 3 12 5 4 13 5 变 量U与V相对应的一组数据为 10 5 11 3 4 11 8 3 12 5 2 13 1 1 r表示变量Y与X之间的线性相关系数 2 r表示变量V与U之间的线性相关系数 则 可参考两个变量的相关系数的计算公式 2 1 2 11 n ii i nn ii ii xx yy r xxyy A 2 r 1 r 0 B 0 2 r 1 r C 2 r 0 1 r D 2 r 1 r 答案 C 说明 本题考查两个变量的线性相关 本题属于中等题 试题 10 2011 年湖北卷理科第 4 题 将两个顶点在抛物线 2 2 0 ypxp 上 另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为 n 则 A 0n B 1n C 2n D 3n 答案 C 说明 本题考查直线与抛物线的位置关系 本题属于中等题 试题 11 2011 年山东卷理科第 8 题 已知双曲线 22 1 0 0 22 xy ab ab 的两条渐近线均和圆C 22 650 xyx 相切 且双 12 曲线的右焦点为圆C的圆心 则该双曲线的方程为 A 22 1 54 xy B 22 1 45 xy C 22 1 36 xy D 22 1 63 xy 答案 A 说明 本题考查双曲线 圆的方程和圆的切线的性质 本题属于中等题 试题 12 2007 年湖北卷理科第 6 题 若数列 n a满足 2 1 2 n n a p a p为正常数 n N 则称 n a为 等方比数列 甲 数列 n a是等方比数列 乙 数列 n a是等比数列 则 A 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C 甲是乙的充要条件 D 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 答案答案 B 说明说明 本题以新定义 等方比数列 为载体 考查充分条件与必要条件的判断 本题属 于中等题 试题 13 2005 年湖北卷理科第 4 题 函数 ln e1 x yx 的图象是 y o x 1 1 x y o 1 1 x y o 1 1 x y o 1 1 A B C D 答案 D 说明 本题考查绝对值的概念 对数运算 函数的图象与性质 同时考查分类讨论和数 形结合的思想 本题属于中等题 13 试题 14 2008 年湖北卷理科第 10 题 0810 如图所示 嫦娥一号 探月卫星沿地月转移轨道飞向月球 在月球附近一点P变 轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道 绕月飞行 之 后 卫星在P点第 二次变轨 进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道 绕月飞行 最 终 卫星在P点第三 次 变轨进入以F为圆心的圆形轨道 绕月飞行 若用 1 2c和 2 2c分别表示椭圆轨道 和 的焦距 用 1 2a和 2 2a分别表示椭圆轨道 和 的长轴的长 给出下列式子 1122 acac 1122 acac 121 2 c aa c 12 12 cc aa 其中正确的式子序号是 A B C D 答案答案 B 说明说明 本题考查椭圆的定义 几何图形及简单的几何性质 本题属于中等题 试题 15 2009 年湖北卷理科第 9 题 设球的半径为时间t的函数 R t 若球的体积以均匀速度c 增长 则球的表面积的增长速 度与球半径 A 成正比 比例系数为cB 成正比 比例系数为 2c C 成反比 比例系数为cD 成反比 比例系数为 2c 答案 D 说明 本题考查导数概念 求导公式 球的体积和表面积公式 本题属于难题 试题 16 2011 年全国卷理科第 12 题 函数 1 1 y x 的图像与函数2sin 24 yxx 的图像所有交点的横坐标之和等于 A 2B 4 C 6 个D 8 个 答案 D 说明 本题考查函数的图象与性质 本题属于难题 二 填空题 把答案填在题中横线上 试题 17 2007 年湖北卷理科第 12 题 复数i zaba b R 且0b 若 2 4zbz 是实数 则有序实数对 a b可以是 写出 一个有序实数对即可 答案 2 1 或满足2ab 的任一个非零实数对 a b 说明 本题考查复数的概念和运算 本题属于容易题 试题 18 2010 年天津卷理科第 11 题 甲 乙两人在 10 天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如下图 中 间一列的数字表示零件个数的十位数 两边的数字表示零件个数的 个位数 则这 10 天甲 乙两人日加工零件的平均数分别为和 甲乙 981971 0132021424 1153020 答案 24 23 解析 本题主要考查茎叶图的应用 本题属于容易题 P F k 2 k k 1 4ka 4 bk 开始 ab 结束 输出 k 是 否 14 试题 19 2011 年湖北卷理科第 11 题 18 1 3 x x 的展开式中含 15 x的项的系数为 结果用数值表示 答案 17 说明 本题考查二项式定理 本题属于容易题 试题 20 2011 年浙江卷理科第 12 题 某程序框图如图所示 则该程序运行后输出的k的值是 答案 5 说明 本题考查算法的基本逻辑结构中的顺序结构 条件结构 循环结构 本题属于中 等题 试题 21 2008 年湖北卷理科第 13 题 已知函数 22 2 962f xxxa f bxxx 其中x R a b为常数 则方程 0f axb 的解集为 答案 说明 本题考查函数的概念 待定系数法以及二次方程的解集等内容 本题属于中等题 试题 22 2010 年陕西卷理科第 13 题 从如图所示的长方形区域内任取一个点M x y 则点M取自 阴影部分的概率为 答案 1 3 说明 本题与定积分结合 考查几何概型 本题属于容易题 试题 23 2009 年湖北卷理科第 14 题 已知函数 cossin 4 f xfxx 则 4 f的值为 答案 1 说明 本题主要考查函数导数的概念 求法和特殊的三角 函数的值和导数 本题属于中等题 试题 24 2011 年天津卷文科第 10 题 一个几何体的三视图如图所示 单位 m 则该几何体的体 积为 3 m 答案 6 说明 本题考查简单组合体的三视图及其体积 本题属于中等题 y 2 3yx 3 O 1 x 15 试题 25 2010 年湖北卷理科第 15 题 设0 0ab 称 2ab ab 为 a b的调和平均数 如图 C为线段 AB 上 的点 且 ACa CBb O为 AB 中点 以 AB 为直径作半圆 过 点C作 AB 的垂线交半圆于 D 连结OD AD BD 过点C作 OD的垂线 垂足为E 则图中线段OD的长度是 a b的算术平均数 线段的长度是 a b的几何平均数 线段的长度是 a b的调和平均数 答案 CD DE 说明 本题主要考查算术平均 几何平均的概念与即时定义的理解运用 本题属于中等 题 试题 26 2008 年湖北卷理科第 15 题 观察下列等式 2 1 11 22 n i inn 232 1 111 326 n i innn 3432 1 111 424 n i innn 4543 1 1111 52330 n i innnn 56542 1 1151 621212 n i innnn 67653 1 11111 722642 n i innnnn 112 11210 1 n kkkkk kkkk i iana nanana na 可以推测 当 2 kk N时 1 1 1 k a k 1 2 k a 1k a 2k a 答案 12 k 0 说明 本题考查学生的创新思维 通过观察 综合进而合情推理得到答案 本题属于难 题 A E D C B O 16 三 解答题 试题 27 2011 年全国卷理科第 17 题 等比数列 n a的各项均为正数 且 12 231aa 2 326 9 aa a 求数列 n a的通项公式 设 31323 logloglog nn baaa 求数列 1 n b 的前n项和 答案 设数列 n a的公比为q 由 2 326 9aa a 得 22 34 9aa 所以 2 1 9 q 由条件可知0q 故 1 3 q 由 12 231aa 得 11 231aa q 所以 1 1 3 a 故数列 n a的通项式为 1 3 n n a 31323 1 logloglog 12 2 nn n n baaan 故 1211 2 1 1 n bn nnn 12 111111112 2 1 22311 n n bbbnnn 所以数列 1 n b 的前n项和为 2 1 n n 说明 本题考查等比数列 等差数列的通项公式与前n项和公式 本题属于容易题 试题 28 2011 年湖北卷理科第 19 题 已知数列 n a的前n项和为 n S 且满足 1 0 aa a 1 1 nn arSnrr NR 求数列 n a的通项公式 若存在 k N 使得 1k S k S 2k S 成等差数列 试判断 对于任意的 m N 且 2m 1m a m a 2m a 是否成等差数列 并证明你的结论 答案 由已知 1nn arS 可得 21nn arS 两式相减可得 2111 nnnnn aar SSra 即 21 1 nn ara 又 21 arara 所以 当0r 时 数列 n a即为 a 0 0 当1 0r 时 由已知0a 所以 0 n an N 于是由 21 1 nn ara 可得 2 1 1 n n a rn a N 由定义知 2 a 3 a n a 成等比数列 17 所以当2n 时 2 1 n n ar ra 综上 可得数列 n a的通项公式为 2 1 1 2 n n an a r ran 对于任意的 m N 且2m 1m a m a 2m a 成等差数列 证明如下 当0r 时 由 知 1 0 2 n an a n n Sa 即数列 n S是等差数列 且对于任意 的 m N 且2m 1m a m a 2m a 成等差数列 当1 0r 时 212kkkk SSaa 11kkk SSa 若存在 k N 使得 1k S k S 2k S 成等差数列 则 12 2 kkk SSS 12 222 kkkk SaaS 即 21 2 kk aa 由 知 2 a 3 a n a 的公比12r 于是 对于任意的 m N 且2m 1 2 mm aa 从而 2 4 mm aa 12 2 mmm aaa 即 1m a m a 2m a 成等差数列 说明 本题考查等差数列 等比数列的基础知识 本题属于难题 试题29 2011年湖北卷理科第16题 设 ABC的内角A B C所对的边分别为a b c 已知1a 2b 1 cos 4 C 求 ABC的周长 求cos AC 的值 答案 222 1 2cos1444 4 cababC 2c ABC的周长为1225abc 1 cos 4 C 22 115 sin1cos1 44 CC 15 sin15 4 sin 28 aC A c ac AC 故A为锐角 22 157 cos1sin1 88 AA 71151511 cos coscossinsin 848416 ACACAC 说明说明 本题考查三角函数的基本知识 包括余弦定理 正弦定理 和角差角公式的综合 应用 本题属于容易题 试题 30 2008 年湖北卷理科第 16 题 18 已知函数 1 1 t f t t cos sin sin cos g xx fxx fx 12 x 将函数 g x化简成sin AxB 0 0 0 2 A 的形式 求函数 g x的值域 答案 解法解法 1 1 1 sin1 cos cossin 1 sin1 cos xx g xxx xx 22 22 1 sin 1 cos cossin cossin xx xx xx 1 sin1 cos cossin cossin xx xx xx 12 x coscosxx sinsinxx 1 sin1 cos cossin cossin xx g xxx xx sincos22sin 2 4 xxx 解法解法 1 1 由 17 12 x 得 5 5 443 x sint在 5 3 42 上为减函数 在 3 5 23 上为增函数 又 5 5 sinsin 34 所以当 17 12 x 时 恒有 3 5 sinsin sin 244 x 成立 即 2 1sin 42 x 222sin 23 4 x 故 g x 的值域为 22 3 解法解法 2 2 2sin 2 4 g xx 17 12 x 2cos 4 g xx x 5 4 5 4 5 4 17 12 fx 0 f x极小值 所以得到当 5 4 x 时 min 22g x 又 17112 sin sin 12442 故 1 2sin 23 4 因此函数 g x 的值域为 22 3 说明 本题主要考查三角函数的恒等变换 周期性 单调性和最值等基本知识和运算能 力 本题属于中等题 19 试题 31 2007 年湖北卷理科第 18 题 如图 在三棱锥VABC 中 VC 底面ABC ACBC D 是 AB 的中点 且 ACBCa 0 2 VDC 求证 平面VAB 平面VCD 当角 变化时 求直线BC与平面VAB所成的角的取值范围 答案答案 解法 1 ACBCa ACB 是等腰三角形 又 D 是 AB 的中点 CDAB 又VC 底面ABC VCAB 于是 AB 平面VCD 又AB 平面VAB 平面VAB 平面 VCD 过点C在平面VCD内作CHVD 于H 则由 知CH 平面 VAB 连接BH 于是CBH 就是直线BC与平面VAB所成的角 在CHD Rt中 2 sin 2 CHa 设CBH 在BHC Rt中 sinCHa 2 sinsin 2 0 2 0sin1 2 0sin 2 又 0 2 0 4 即直线BC与平面VAB所成角的取值范围为 0 4 解法 2 以CA CB CV所在的直线分别为x轴 y轴 z 轴 建立如图所示的空 间直角坐标系 则 0 0 0 C 0 0 A a 0 0 Ba 0 2 2 a a D 2 0 0 tan 2 Va 于是 2 tan 2 22 a a VDa 0 2 2 a a CD 0 ABa a 从而 22 11 0 0 00 2 222 a a AB CDa aaa 即 ABCD 同理 22 211 0 tan 00 2 2222 a a AB VDa aaaa 即 ABVD 又CDVDD AB 平面VCD 又AB 平面VAB 平面VAB 平面 VCD 设直线BC与平面VAB所成的角为 平面VAB的一个法向量为 x y z n 则由 0 0 ABVD nn 得 0 2 tan0 222 axay aa xyaz 可取 1 1 2cot n 又 0 0 BCa 于是 2 2 sin sin 2 22cot BCa BC a n n 0 2 0sin1 2 0sin 2 又 0 2 0 4 x z y m V A C D B H V A C D B 20 即直线BC与平面VAB所成角的取值范围为 0 4 说明说明 本题考查线面关系 直线与平面所成角的有关知识 考查应用向量知识解决数学 问题的能力 本题属于容易题 试题32 2010年湖北卷理科第17题 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗 房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层 某 幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层 每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元 该建筑物每 年的能源消耗费用C 单位 万元 与隔热层厚度x 单位 cm 满足关系 010 35 k C xx x 若不建隔热层 每年能源消耗费用为 8 万元 设 f x为隔热层 建造费用与20 年的能源消耗费用之和 求k的值及 f x的表达式 隔热层修建多厚时 总费用 f x达到最小 并求最小值 解题思路与方法解题思路与方法 首先在 C x的表达式中 令0 x 求出常数k 得到每年的能源 消耗费用函数 C x 然后分别写出隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用的表达式 得 到 f x 再利用导数或均值不等式求出 f x的最小值点与最小值 解 解 设隔热层厚度为xcm 由题设 每年能源消耗费用为 35 k C x x 再由 0 8C 得40k 因此 40 35 C x x 而建造费用为 1 6C xx 最后得隔热层建造费用与20 年的能源消耗费用之和 为 1 40800 20 206 6 010 3535 f xC xC xxxx xx 由平均值不等式有 800800800 62 35 1022 35 1070 353535 f xxxx xxx 当且仅当 800 2 35 35 x x 即5x 时 等式成立 此时函数 f x取得最小值 最小值 为 800 5 6570 155 f 当隔热层修建5cm 厚时 总费用达到最小值70万元 说明说明 本题主要考查函数 导数及最值等基础知识 本题属于容易题 试题 33 2008 年湖北卷理科第 20 题 水库的蓄水量随时间而变化 现用t表示时间 以月为单位 年初为起点 根据历年 数据 某水库的蓄水量 单位 亿立方米 关于t的近似函数关系式为 1 2 4 1440 e50 010 4 10 341 50 1012 t ttt V t ttt 该水库的蓄水量小于 50 的时期称为枯水期 以1iti 表示第i月份 1 2 12 i 问一年内哪几个月份是枯水期 求一年内该水库的最大蓄水量 取e2 7 计算 答案 当010t 时 1 2 4 1440 e5050 t V ttt 21 化简得 2 14400tt 解得4t 或10t 又010t 故04t 当1012t 时 4 10 341 5050V ttt 化简得 10 341 0tt 解得 41 10 3 t 又1012t 故1012t 综上得04t 或1012t 故知枯水期为 1 月 2 月 3 月 4 月 11 月 12 月共 6 个月 由 知 V t的最大值只能在 4 10 内达到 由 11 2 44 131 e 4 e 2 8 424 tt V ttttt 令 0V t 解得8t 2t 舍去 当t变化时 V t 与 V t的变化情况如下表 t 4 8 8 8 10 V t 0 V t 极大值 由上表 V t在8t 时取得最大值 2 8 8e50108 32V 亿立方米 故知一年内该水库的最大蓄水量是108 32亿立方米 说明 本题主要考查函数的单调性 极值 最值等基本知识 考查运用导数知识分析和 解决实际问题的能力 本题属于难题 试题 34 2011 年安徽卷理科第 20 题 工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务 每次只派一个人进去 且每个人 只派一次 工作时间不超过 10 分钟 如果前一个人 10 分钟内不能完成任务则撤出 再派 下一个人 现在一共只有甲 乙 丙三个人可派 他们各自能完成任务的概率分别为 p1 p2 p3 假设p1 p2 p3 互不相等 且假定各人能否完成任务的事件相互独立 如果按甲最先 乙次之 丙最后的顺序派人 求任务能被完成的概率 若改变三个 人被派出的先后顺序 任务能被完成的概率是否发生变化 若按某指定顺序派人 这三个人各自能完成任务的概率依次为q1 q2 q3 其中 q1 q2 q3是p1 p2 p3的一个排列 求所需派出人员数目X的分布列和均值 数字 期望 EX 22 假定 l p1 p2 p3 试分析以怎样的先后顺序派出人员 可使所需派出的人员数目 的均值 数字期望 达到最小 答案 无论以怎样的顺序派出人员 任务不能被完成的概率都是 123 1 1 1 ppp 所 以任务能被完成的概率与三个人被派出的先后顺序无关 并等于 123123122331123 1 1 1 1 ppppppp pp pp pp p p 当依次派出的三个人各自完成任务的概率分别为 123 q q q时 随机变量X的分布列为 X123 P1 q 12 1 q q 12 1 1 qq 所需派出的人员数目的均值 数学期望 EX是 112121212 2 1 3 1 1 32EXqq qqqqqq q 方法一 由 的结论知 当以甲最先 乙次之 丙最后的顺序派人时 1212 32EXppp p 根据常理 优先派出完成任务概率大的人 可减少所需派出的人员数目的均值 下面证明 对于 123 p pp的任意排列 123 q q q 都有 12121212 3232qqq qppp p 事实上 12121212 32 32 qqq qppp p 11221212 2 pqpqp pq q 1122112122 2 pqpqpq pq pq 211122 2 1 ppqqpq 11212 1 0qppqq 即 成立 方法二 可将 中所求的EX改写为 12121 3 qqq qq 若交换前两人 的派出顺序 则变为 12122 3 qqq qq 由此可见 当 21 qq 时 交换前两人的派出顺序可减小均值 也可将 中所求的EX改写为 112 32 1 qq q 若交换后两人的派出顺序 则 23 变为 113 32 1 qq q 由此可见 若保持第一个派出的人选不变 当 32 qq 时 交换后两人的派出顺序 也可减小均值 综合 可知 当 123123 q q qp pp 时 EX达到最小 即完成任务概率大的 人优先派出 可减小所需派出人员数目的均值 这一结论是合乎常理的 说明 本题考查相互独立事件的概率计算 离散型随机变量及其分布列 均值等基本知 识 本题属于难题 试题 36 2006 年湖北卷理科第 20 题 设A B分别为椭圆 22 22 1 0 xy a b ab 的左 右顶点 椭圆长半轴的长等于焦距 且4x 为它的右准线 求椭圆的方程 设P为右准线上不同于点 4 0 的任意一点 若直线AP BP分别与椭圆相交于 异于A B的点M N 证明点B在以MN为直径的圆内 答案 解 依题意得 2 2 4 ac a c 解得 2 1 a c 从而3b 故椭圆方程为 22 1 43 xy 由 得 2 0 2 0 AB 设 00 M xy M点在椭圆上 22 00 3 4 4 yx 又M点异于顶点A B 0 22 x 由P A M三点共线可得 0 0 6 4 2 y P x 从而 0 00 0 6 2 2 2 y BMxyBP x 2 22 0 000 00 62 2443 22 y BM BPxxy xx 24 将 式代入 式化简得BM BP 0 5 2 2 x 0 20 x 0BM BP 于是MBP 为锐角 从而MBN 为钝角 故点B在以MN为直径的圆内 说明 本题考查直线 圆和椭圆等平面解析几何的基础知识 考查综合运用数学知识进 行推理运算的能力和解决问题的能力 本题属于中等题 试题37 2007年湖北卷理科第19题 在平面直角坐标系xOy中 过定点 0 Cp作直线 与抛物线 2 2 0 xpy p 相交于A B两点 若点N是点C关于坐标原点O的对称点 求 ANB 面积的最小值 是否存在垂直于y轴的直线l 使得l被以 AC为直径的圆截得的弦长恒为定值 若存在 求出 l的方程 若不存在 说明理由 答案答案 依题意 点N的坐标为 0 Np 可设 1122 A x yB xy 直线AB的 方程为ykxp 与 2 2xpy 联立得 2 2 xpy ykxp 消去y得 22 220 xpkxp 由韦达定理得 12 2xxpk 2 12 2 x xp 由 式 得到三角形的面积函数表达式有以下途径 方法方法1 1 利用弦长公式和三角形面积公式利用弦长公式和三角形面积公式 222 121212 1 1 4ABkxxkxxx x 2222 148kp kp 22 212pkk 又由点到直线的距离公式得 2 2 1 p d k 从而 2222 2 112 21222 22 1 ABN p SdABpkkpk k 方法方法2 2 利用面积和的方式 利用面积和的方式 12 1 2 2 ABNBCNACN SSSp xx 2 121212 4p xxpxxx x 22222 4822pp kppk 方法方法3 3 利用向量形式的三角形面积公式 利用向量形式的三角形面积公式 x B A C O y N 25 12 12 22 ANBN kxpkxp kk xx 2 21 222 1212 2 22 tan 1 1 2 41 ANBN ANBN kkp xxk ANB kkkx xpk xxpk 而 2 2222 2 1122 tan 1 2 4 1 221 ABN k SAN BNANBkppk k 22 22pk 由此可见 当0k 时 2 min 2 2 ABN Sp 假设满足条件的直线l ya 存在 AC的中点为 O l与以AC为直径的圆 相交于点P Q PQ的中点为H 则O HPQ O 点的坐标为 11 2