高中数学论文考前一个月必备手册0410. 排列组合二项定理 知识要点

定义 定理 公式 性质 高中数学手册 方法 技巧 思想 典例 第 1 页 共 13 页 2020 4 2 10 10 排列组合二项定理排列组合二项定理排列组合二项定理排列组合二项定理 知识要点知识要点知识要点知识要点 一 两个原理一 两个原理 1 乘法原理 加法原理 2 可以有重复元素的排列 从 m 个不同元素中 每次取出 n 个元素 元素可以重复出现 按照一定的顺序排成一排 那么第一 第二 第 n 位上选 取元素的方法都是 m 个 所以从 m 个不同元素中 每次取出 n 个元素可重复排列数 m m m mn 例如 n 件物品放入 m 个抽屉中 不限放法 共有多少种不同放法 解 n m种 二 排列二 排列 1 对排列定义的理解 定义 从n个不同的元素中任取m m n 个元素 按照一定顺序排成一列 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排 列 相同排列 如果 两个排列相同 不仅这两个排列的元素必须完全相同 而且排列的顺序也必须完全相同 排列数 从n个不同元素中取出m m n 个元素排成一列 称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 从n个不同元素中取 出m个元素的一个排列数 用符号 m n A表示 排列数公式 1 1 Nmnnm mn n mnnnAm 注意 1 nnnn 规定 0 1 11 1 m n m n m n m m m n m n mAACAAA 1 1 m n m n nAA 规定1 0 n nn CC 2 含有可重元素的排列问题 对含有相同元素求排列个数的方法是 设重集 S 有 k 个不同元素 a1 a2 an其中限重复数为 n1 n2 nk 且 n n1 n2 nk 则 S 的排列个数等于 21k nnn n n 例如 已知数字 3 2 2 求其排列个数 3 2 1 21 n 又例如 数字 5 5 5 求其排列个数 其排列个数 1 3 3 n 三 组合三 组合 1 组合 从n个不同的元素中任取m m n 个元素并成一组 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 组合数公式 1 1 mnm n C m mnnn A A C m n m m m nm n 两个公式 mn n m n CC m n m n m n CCC 1 1 从 n 个不同元素中取出 m 个元素后就剩下 n m 个元素 因此从 n 个不同元素中取出 n m 个元素的方法是一一对应的 因 此是一样多的就是说从 n 个不同元素中取出 n m 个元素的唯一的一个组合 或者从 n 1 个编号不同的小球中 n 个白球一个红球 任取 m 个不同小球其不同选法 分二类 一类是含红球选法有 1m n 1 1 1m n CCC 一类是不含红球的选法有 m n C 定义 定理 公式 性质 高中数学手册 方法 技巧 思想 典例 第 2 页 共 13 页 2020 4 2 根据组合定义与加法原理得 在确定 n 1 个不同元素中取 m 个元素方法时 对于某一元素 只存在取与不取两种可能 如果取这一元素 则需从剩下的 n 个元素中再取 m 1 个元素 所以有 C 1 m n 如果不取这一元素 则需从剩余 n 个元素中取 出 m 个元素 所以共有 C m n种 依分类原理有 m n m n m n CCC 1 1 排列与组合的联系与区别 联系 都是从n个不同元素中取出m个元素 区别 前者是 排成一排 后者是 并成一组 前者有顺序关系 后者无顺序关系 几个常用组合数公式 nn nnnn CCC2 210 1 1 1 1 1 121 1531420 1 1 1 1 2 k n k n k n k n m nm m nm m m m m m n n nnnnnn C n C k nCkC CCCCC CCCCCC 常用的证明组合等式方法例 i 裂项求和法 如 1 1 1 1 4 3 3 2 2 1 nn n 利用 1 1 1 1 nnn n ii 导数法 iii 数学归纳法 iv 倒序求和法 v 递推法 即用 m n m n m n CCC 1 1 递推 如 4 1 33 5 3 4 3 3 nn CCCCC vi 构造二项式 如 n n n nnn CCCC 2 22120 证明 这里构造二项式 nnn xxx 2 1 1 1 其中 n x的系数 左边为 22120022110 n nnnn n n n nn n nn n nn CCCCCCCCCCC 而右边 n n C 2 四 排列 组合综合四 排列 组合综合 1 I 排列 组合问题几大解题方法及题型 直接法 排除法 捆绑法 在特定要求的条件下 将几个相关元素当作一个元素来考虑 待整体排好之后再考虑它们 局部 的排列 它主 要用于解决 元素相邻问题 例如 一般地 n 个不同元素排成一列 要求其中某 nmm 个元素必相邻的排列有 m m mn mn AA 1 1 个 其中 1 1 mn mn A是一个 整体排列 而 m m A则是 局部排列 又例如 有 n 个不同座位 A B 两个不能相邻 则有排列法种数为 2 n A 2 2 1 1 AAn 有 n 件不同商品 若其中 A B 排在一起有 2 2 1 1 AAn n 有 n 件不同商品 若其中有二件要排在一起有 1 1 2 n nn AA 注 区别在于 是确定的座位 有 2 2 A种 而 的商品地位相同 是从 n 件不同商品任取的 2 个 有不确定性 插空法 先把一般元素排列好 然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中 此法主要解决 元素不相邻问题 定义 定理 公式 性质 高中数学手册 方法 技巧 思想 典例 第 3 页 共 13 页 2020 4 2 例如 n 个元素全排列 其中 m 个元素互不相邻 不同的排法种数为多少 m mn mn mn AA 1 插空法 当 n m 1 m 即 m 2 1 n 时有意义 占位法 从元素的特殊性上讲 对问题中的特殊元素应优先排列 然后再排其他一般元素 从位置的特殊性上讲 对问 题中的特殊位置应优先考虑 然后再排其他剩余位置 即采用 先特殊后一般 的解题原则 调序法 当某些元素次序一定时 可用此法 解题方法是 先将 n 个元素进行全排列有 n n A种 nmm 个元素的全排 列有 m m A种 由于要求 m 个元素次序一定 因此只能取其中的某一种排法 可以利用除法起到去调序的作用 即若n个元 素排成一列 其中m个元素次序一定 共有 m m n n A A 种排列方法 例如 n 个元素全排列 其中 m 个元素顺序不变 共有多少种不同的排法 解法一 逐步插空法 m 1 m 2 n n m 解法二 比例分配法 m m n n AA 平均法 若把 kn 个不同元素平均分成 k 组 每组 n 个 共有 k k n n n nk n kn A CCC 1 例如 从 1 2 3 4 中任取 2 个元素将其平均分成 2 组有几种分法 有3 2 2 4 C 平均分组就用不着管组与组之间的顺序 问题了 又例如将 200 名运动员平均分成两组 其中两名种子选手必在一组的概率是多少 2 10 20 2 2 8 18 C CC P 注意 分组与插空综合 例如 n 个元素全排列 其中某 m 个元素互不相邻且顺序不变 共有多少种排法 有 m m m mn mn mn AAA 1 当 n m 1 m 即 m 2 1 n 时有意义 隔板法 常用于解正整数解组数的问题 例如 12 4321 xxxx 的正整数解的组数就可建立组合模型将 12 个完全相同的球排成一列 在它们之间形成 11 个空 隙中任选三个插入 3 块摸板 把球分成 4 个组 每一种方法所得球的数目依次为 4321 xxxx显然12 4321 xxxx 故 4321 xxxx 是方程的一组解 反之 方程的任何一组解 4321 yyyy 对应着惟一的一种在 12 个球之间插入隔板的 方式 如图所示 故方程的解和插板的方法一一对应 即方程的解的组数等于插隔板的方法数 3 11 C 注意 若为非负数解的 x 个数 即用 n aaa 21 中 i a等于 1 i x 有AaaaAxxxx nn 1 11 21321 进而转化为求 a 的正整数解的个数为 1 n nA C 定位问题 从 n 个不同元素中每次取出 k 个不同元素作排列规定某 r 个元素都包含在内 并且都排在某 r 个指定位置则 有 rk rn r rA A 例如 从 n 个不同元素中 每次取出 m 个元素的排列 其中某个元素必须固定在 或不固定在 某一位置上 共有多少种 排法 x1x2x3x4 定义 定理 公式 性质 高中数学手册 方法 技巧 思想 典例 第 4 页 共 13 页 2020 4 2 固定在某一位置上 1 1 m n A 不在某一位置上 1 1 m n m n AA或 1 1 1 11 m nm m n AAA 一类是不取出特殊元素 a 有 m n A 1 一类是取特殊元素 a 有从 m 1 个位置取一个位置 然后再从 n 1 个元素中取 m 1 这与用插空法解决是一样的 指定元素排列组合问题 i 从 n 个不同元素中每次取出 k 个不同的元素作排列 或组合 规定某 r 个元素都包含在内 先 C 后 A 策略 排列 k k rk rn r r ACC 组合 rk rn r rC C ii 从 n 个不同元素中每次取出 k 个不同元素作排列 或组合 规定某 r 个元素都不包含在内 先 C 后 A 策略 排列 k k k rn AC 组合 k rn C iii 从 n 个不同元素中每次取出 k 个不同元素作排列 或组合 规定每个排列 或组合 都只包含某 r 个元素中的 s 个元 素 先 C 后 A 策略 排列 k k sk rn s r ACC 组合 sk rn s rC C II 排列组合常见解题策略 特殊元素优先安排策略 合理分类与准确分步策略 排列 组合混合问题先选后排的策略 处理排列组合综合性问 题一般是先选元素 后排列 正难则反 等价转化策略 相邻问题插空处理策略 不相邻问题插空处理策略 定序问题除法处理策略 分排问题直排处理的策略 小集团 排列问题中先整体后 局部的策略 构造模型的策略 2 组合问题中分组问题和分配问题 均匀不编号分组 将 n 个不同元素分成不编号的 m 组 假定其中 r 组元素个数相等 不管是否分尽 其分法种数为 r r AA 其中 A 为非均匀不编号分组中分法数 如果再有 K 组均匀分组应再除以 k k A 例 10 人分成三组 各组元素个数为 2 4 4 其分法种数为1575 2 2 4 4 4 8 2 10 ACCC 若分成六组 各组人数分别为 1 1 2 2 2 2 其分法种数为 4 4 2 2 2 2 2 4 2 6 2 8 1 9 1 10 AACCCCCC 非均匀编号分组 n 个不同元素分组 各组元素数目均不相等 且考虑各组间的顺序 其分法种数为 m m AA 例 10 人分成三组 各组人数分别为 2 3 5 去参加不同的劳动 其安排方法为 3 3 5 5 3 8 2 10 ACCC 种 若从 10 人中选 9 人分成三组 人数分别为 2 3 4 参加不同的劳动 则安排方法有 3 3 4 5 3 8 2 10 ACCC 种 均匀编号分组 n 个不同元素分成 m 组 其中 r 组元素个数相同且考虑各组间的顺序 其分法种数为 m m r r AAA 例 10 人分成三组 人数分别为 2 4 4 参加三种不同劳动 分法种数为 3 3 2 2 4 4 4 8 2 10 A A CCC 非均匀不编号分组 将 n 个不同元素分成不编号的 m 组 每组元素数目均不相同 且不考虑各组间顺序 不管是否分尽 其分法种数为 1 m n CA 2 1 m m n C k m m m m n 1 k21 C 例 10 人分成三组 每组人数分别为 2 3 5 其分法种数为 2520 5 5 3 8 2 10 CCC 若从 10 人中选出 6 人分成三组 各组人数分 别为 1 2 3 其分法种数为 12600 3 7 2 9 1 10 CCC 附录 排列组合问题的求解策略排列组合问题的求解策略 定义 定理 公式 性质 高中数学手册 方法 技巧 思想 典例 第 5 页 共 13 页 2020 4 2 解答排列组合问题 首先必须认真审题 明确是属于排列问题还是组合问题 或者属于排列与组合的混合问题 其次 要抓住问题的本质特征 灵活运用基本原理和公式进行分析解答 同时还要注意讲究一些策略和方法技巧 使一些看似复 杂的问题迎刃而解 下面介绍几种常用的解题方法和策略 一 合理分类与准确分步法一 合理分类与准确分步法 解含有约束条件的排列组合问题 应按元素性质进行分类 按事情发生的连续过程分步 保证每步独立 达到分类标准 明确 分步层次清楚 不重不漏 例 1 五个人排成一排 其中甲不在排头 乙不在排尾 不同的排法有 A 120 种 B 96 种 C 78 种 D 72 种 分析 由题意可先安排甲 并按其分类讨论 1 若甲在末尾 剩下四人可自由排 有 4 4 A种排法 2 若甲在第二 三 四位上 则有 1 3 1 3 3 3 AAA种排法 由分类计数原理 排法共有78 1 3 1 3 3 3 4 4 AAAA种 选 C 解排列与组合并存的问题时 一般采用先选 组合 后排 排列 的方法解答 例 2 4 个不同小球放入编号为 1 2 3 4 的四个盒中 恰有一空盒的方法有多少种 分析 因恰有一空盒 故必有一盒子放两球 1 选 从四个球中选 2 个有 2 4 C种 从 4 个盒中选 3 个盒有 3 4 C种 2 排 把选出的 2 个球看作一个元素与其余 2 球共 3 个元素 对选出的 3 盒作全排列有 3 3 A种 故所求放法有 144 3 3 3 4 2 4 ACC种 二 元素分析与位置分析法二 元素分析与位置分析法 对于有附加条件的排列组合问题 一般采用 先考虑满足特殊的元素和位置 再考虑其它元素和位置 例 3 用 0 2 3 4 5 五个数字 组成没有重复数字的三位数 其中偶数共有 A 24 个 B 30 个 C 40 个 D 60 个 分析 由于该三位数为偶数 故末尾数字必为偶数 又因为 0 不能排首位 故 0 就是其中的 特殊 元素 应该优先 安排 按 0 排在末尾和 0 不排在末尾分两类 1 0 排末尾时 有 2 4 A个 2 0 不排在末尾时 则有 1 3 1 3 1 2 AAA个 由分数计 数原理 共有偶数 1 3 1 3 1 2 2 4 AAAA 30 个 选 B 例 4 马路上有 8 只路灯 为节约用电又不影响正常的照明 可把其中的三只灯关掉 但不能同时关掉相邻的两只或 三只 也不能关掉两端的灯 那么满足条件的关灯方法共有多少种 分析 表面上看关掉第 1 只灯的方法有 6 种 关第二只 第三只时需分类讨论 十分复杂 若从反面入手考虑 每一 种关灯的方法对应着一种满足题设条件的亮灯与关灯的排列 于是问题转化为 在 5 只亮灯的 4 个空中插入 3 只暗灯 的 问题 故关灯方法种数为 3 4 C 三 插空法 捆绑法三 插空法 捆绑法 对于某几个元素不相邻的排列问题 可先将其他元素排好 再将不相邻元素在已排好的元素之间及两端空隙中插入即 可 例 5 7 人站成一排照相 若要求甲 乙 丙不相邻 则有多少种不同的排法 分析 先将其余四人排好有 4 4 A种排法 再在这人之间及两端的 5 个 空 中选三个位置让甲乙丙插入 则有 3 5 A种 方法 这样共有1400 3 5 4 4 AA种不同排法 对于局部 小整体 的排列问题 可先将局部元素捆绑在一起看作一个元 与其余元素一同排列 然后在进行局部排 定义 定理 公式 性质 高中数学手册 方法 技巧 思想 典例 第 6 页 共 13 页 2020 4 2 列 例 6 7 人站成一排照相 甲 乙 丙三人相邻 有多少种不同排法 分析 把甲 乙 丙三人看作一个 元 与其余 4 人共 5 个元作全排列 有 5 5 A种排法 而甲乙 丙 之间又有 3 3 A种 排法 故共有 5 5 A7200 3 3 A种排法 四 总体淘汰法四 总体淘汰法 对于含有否定字眼的问题 可以从总体中把不符合要求的除去 此时需注意不能多减 也不能少减 例如在例 3 中 也可用此法解答 五个数字组成三位数的全排列有 3 5 A个 排好后发现 0 不能排首位 而且数字 3 5 也不能排末位 这两种排法要除去 故有30 1 3 1 3 2 2 2 4 3 5 AAAAA个偶数 五 顺序固定问题用五 顺序固定问题用 除法除法 对于某几个元素顺序一定的排列问题 可先把这几个元素与其他元素一同排列 然后用总排列数除以这几个元素的全 排列数 例 7 6 个人排队 甲 乙 丙三人按 甲 乙 丙 顺序排的排队方法有多少种 分析 不考虑附加条件 排队方法有 6 6 A种 而其中甲 乙 丙的 3 3 A种排法中只有一种符合条件 故符合条件的 排法有120 3 3 6 6 AA种 六 构造模型六 构造模型 隔板法隔板法 对于较复杂的排列问题 可通过设计另一情景 构造一个隔板模型来解决问题 例 8 方程 a b c d 12 有多少组正整数解 分析 建立隔板模型 将 12 个完全相同的球排成一列 在它们之间形成的 11 个间隙中任意插入 3 块隔板 把球分成 4 堆 每一种分法所得 4 堆球的各堆球的数目 对应为 a b c d 的一组正整解 故原方程的正整数解的组数共有 165 3 11 C 又如方程 a b c d 12 非负整数解的个数 三项式 10 cba 四项式 10 dcba 等展开式的项数 经过转 化后都可用此法解 七 分排问题七 分排问题 直排法直排法 把几个元素排成前后若干排的排列问题 若没有其它的特殊要求 可采取统一排成一排的方法来处理 例 9 7 个人坐两排座位 第一排 3 个人 第二排坐 4 个人 则不同的坐法有多少种 分析 7 个人可以在前两排随意就坐 再无其它条件 故两排可看作一排来处理 不同的坐法共有 7 7 A种 八 表格法八 表格法 有些较复杂的问题可以通过列图表使其直观化 例 10 9 人组成篮球队 其中 7 人善打前锋 3 人善打后卫 现从中选 5 人 两卫三锋 且锋分左 中 右 卫分左 右 组队出场 有多少种不同的组队方法 分析 由题设知 其中有 1 人既可打锋 又可打卫 则只会锋的有 6 人 只会卫的有 2 人 列表如下 人数6 人只会锋2 人只会卫1 人即锋又卫结果 不同 选法 32 2 2 3 6A A 定义 定理 公式 性质 高中数学手册 方法 技巧 思想 典例 第 7 页 共 13 页 2020 4 2 31 1 卫 2 2 1 2 3 6 ACA 22 1 锋 2 2 3 3 2 6 AAC 由表知 共有900 2 2 3 3 2 6 2 2 1 2 3 6 2 2 3 6 AACACAAA种方法 除了上述方法外 有时还可以通过设未知数 借助方程来解答 简单一些的问题可采用列举法等 解此类问题常用 的数学思想是 分类讨论的思想 转化思想和对称思想等三种 排列组合是高中数学的重点和难点之一 也是进一步学习 概率的基础 事实上 许多概率问题也可归结为排列组合问题 这一类问题不仅内容抽象 解法灵活 而且解题过程极易 出现 重复 和 遗漏 的错误 这些错误甚至不容易检查出来 所以解题时要注意不断积累经验 总结解题规律 掌握 若干技巧 最终达到能够灵活运用 五 二项式定理五 二项式定理 1 二项式定理 nn n rrnr n n n n n n baCbaCbaCbaCba 01100 展开式具有以下特点 项数 共有1 n项 系数 依次为组合数 210n n r nnnn CCCCC 每一项的次数是一样的 即为 n 次 展开式依 a 的降幕排列 b 的升幕排列展开 二项展开式的通项 n ba 展开式中的第1 r项为 0 1 ZrnrbaCT rrnr nr 二项式系数的性质 在二项展开式中与首未两项 等距离 的两项的二项式系数相等 二项展开式的中间项二项式系数最大 I 当n是偶数时 中间项是第1 2 n 项 它的二项式系数 2 n n C最大 II 当n是奇数时 中间项为两项 即第 2 1 n 项和第1 2 1 n 项 它们的二项式系数 2 1 2 1 n n n n CC最大 系数和 131420 10 2 2 n nnnnn nn nnn CCCCC CCC 附 一般来说babyax n 为常数 在求系数最大的项或最小的项时均可直接根据性质二求解 当11 ba或时 一 般采用解不等式组 1 1 1 1 1 kk kk kk kk kk TA AA AA AA AA 为或的系数或系数的绝对值 的办法来求解 如何来求 n cba 展开式中含 rqp cba的系数呢 其中 Nrqp 且nrqp 把 nn cbacba 视 为二项式 先找出含有 r C的项 rrnr n CbaC 另一方面在 rn ba 中含有 q b的项为 qpq rn qqrnq rn baCbaC 故在 n cba 中含 rqp cba的项为 rqpq rn r n cbaCC 其系数为 定义 定理 公式 性质 高中数学手册 方法 技巧 思想 典例 第 8 页 共 13 页 2020 4 2 r r q pn p n q rn r n CCC pqr n qrnq rn rnr n CC 2 近似计算的处理方法 当 a 的绝对值与 1 相比很小且 n 不大时 常用近似公式naa n 1 1 因为这时展开式的后面部分 nn nnn aCaCaC 3322 很小 可以忽略不计 类似地 有naa n 1 1 但使用这两个公式时应注意 a 的条件 以及对 计算精确度的要求 3 典型例题典型例题 例 1 1 4 个同学 分配到 3 个课外小组中活动 共有几种分配方法 2 4 个同学争夺 3 项竞赛冠军 冠军获得者共有几种可能情况 解 1 因为每个同学都可分配到任何一个小组中 分法有三种 所以分配方法共有 4 3 3 3 3381N 种 2 因为每一项冠军都可被任何一同学获得 有四种可能 所以共有 3 4 4 4464N 种 注 首先应把题意分析清楚 判断出应以哪个为主来考虑分配 也就是说应该正确的判断出哪一个应作为底数 n 哪 一个应作为指数 m 这是解题的关键 例 2 有六本不同的书 1 甲 乙 丙每人两本 2 分成三堆 每堆两本 3 分给甲 乙 丙三人 一人 1 本 一人 2 本 一人 3 本 4 分三堆 有两堆各一本 另一堆四本 问各有多少种分配方法 解 1 从六本书中先取 2 本给甲 从剩下 4 本中取 2 本给乙 最后剩下 2 本给丙 共 22 64 90 C C 种 2 六本书均分为 3 堆 用上述方法则重复 3 3A 次 故有 22 64 3 3 15 C C A 种 3 从六本书中先取 1 本作一堆 从剩下 5 本中取 2 本作一堆 剩下 3 本作一堆 分好后 甲 乙 丙三人任取 一堆 有 123 365 360 C C A 种 4 平均分堆要除以堆数的全排列 故有 114 654 2 2 15 C C C A 种 注 本题是平均分堆与不平均分堆 平均分配与不平均分配的典型问题和解法模式 要注意它们之间的区别与联系 例 3 1 若 25109 10910 321 xxa xa xa xa 求 22 024681013579 aaaaaaaaaaa 2 求 7 23 xyz 展开式中含 42 x y z的项的系数 解 1 令 x 1 得 5 01210 2aaaa 令 x 1 得 5 024681013579 6aaaaaaaaaaa 定义 定理 公式 性质 高中数学手册 方法 技巧 思想 典例 第 9 页 共 13 页 2020 4 2 22555 024681013579 2612aaaaaaaaaaa 2 7 23 xyz 为可视为 7 个 23 xyz 相乘 展开式中含 42 x y z 项应取 4 个 x 2 个 y 1 个 z 由分步计数原理 知 42 x y z 系数为 421 2 731 2 3 1260 C CC 注 求展开式系数和 关键是赋值 求值时 要注意欲求结论与已知条件之间联系 求展开式某项系数 要注意分步计数 原理的运用以及符号的正确性 连接练习连接练习 1 三边均为整数 且最大边为 11 的三角形个数为 A 25 B 26 C 36 D 37 2 某赛季足球比赛的记分规则是 胜一场得 3 分 平一场得 1 分 负一场得 0 分 一球队打完 15 场 积 33 分 若不考虑 顺序 该队胜负平情况共有 A 3 种 B 4 种 C 5 种 D 6 种 3 有张卡片的正反面上分别写有 0 与 1 2 与 3 4 与 5 6 与 7 8 与 9 将其中任三张并放在一起组成三位数 共可以组 成多少个不同的的三位数 4 27 1 1 1 xxx 展开式中 3 x项的系数为 5 9 2 xyz 展开式中 423 x y z系数为 6 求 100 32 xyz 展开式的各项系数之和 7 若 5 5 2 210 5 2 xaxaxaax 则 420 531 aaa aaa 8 若 1 nx 23 1 n bxaxx nN 且 3a b 则 n 参考答案参考答案 1 另两边用 x y 表示 且不妨设111xy 要构成三角形须12xy 当 y 11 时 x 1 2 11 有 11 个 当 y 10 时 x 2 10 有 9 个 当 y 6 时 x 6 有 1 个 所以三角形个数 11 9 7 5 3 1 36 选 C 2 解 设胜 负 平场数为 x y z 则 3x y 33 x y z 15 当 y 0 时 x 11 则 z 4 当 y 3 时 x 10 则 z 2 当 y 6 时 x 9 则 z 0 当 y 9 时 x 8 则 z 0 当 y 12 时 x 7 则 z 0 故 x y z 取值有 3 种 选 A 3 解 依元素分类 满足条件三位数有以下三类 1 不要 0 与 1 的有 33 3 34 2 C A 2 要 1 不要 0 有 23 3 34 2 C A 3 要 0 不要 1 有 22 2 24 2 2C A 共有不同三位数 33 3 34 2 C A 23 3 34 2 C A 22 2 24 2432 2C A 个 4 解 3 x项系数为 3334 3478 70CCCC 5 解 由 9 2 2 2 2 xyzxyz xyzxyz 知 4 个括号取 x 余下 5 括号取 2y 再从余下 定义 定理 公式 性质 高中数学手册 方法 技巧 思想 典例 第 10 页 共 13 页 2020 4 2 3 个括号取 z 于是得 423 x y z系数为 42233 953 2 1 5040C CC 6 解 令 x y z 1 得 100 1 32 0 即展开式系数之和为 0 7 解 令 x 1 得 012345 1aaaaaa 令 x 1 得 5 012345 3243aaaaaa 由 联立 可得 024 122aaa 135 121aaa 135 024 121 122 aaa aaa 8 解 3 x系数 3 n a C 2 x系数 2 n b C 依题意 3a b 即 32 3 nnC C 11n 11 11 概率概率概率概率 知识要点知识要点知识要点知识要点 1 概率 随机事件 A 的概率是频率的稳定值 反之 频率是概率的近似值 2 等可能事件的概率 如果一次试验中可能出现的结果有年 n 个 且所有结果出现的可能性都相等 那么 每一个基本事 件的概率都是 n 1 如果某个事件 A 包含的结果有 m 个 那么事件 A 的概率 n m P A 3 互斥事件 不可能同时发生的两个事件叫互斥事件 如果事件 A B 互斥 那么事件 A B 发生 即 A B 中有一个发生 的概率 等于事件 A B 分别发生的概率和 即 P A B P A P B 推广 P A P A P A AAP A n21n21 对立事件 两个事件必有一个发生的互斥事件叫对立事件 例如 从 1 52 张扑克牌中任取一张抽到 红桃 与抽到 黑桃 互为互斥事件 因为其中一个不可能同时发生 但又不能保证其中一个必然发生 故不是对立事件 而抽到 红色 牌 与抽到黑色牌 互为对立事件 因为其中一个必发生 注意 i 对立事件的概率和等于 1 1 AP A AP P A ii 互为对立的两个事件一定互斥 但互斥不一定是对立事件 相互独立事件 事件 A 或 B 是否发生对事件 B 或 A 发生的概率没有影响 这样的两个事件叫做相互独立事件 如果两个 相互独立事件同时发生的概率 等于每个事件发生的概率的积 即 P A B P A P B 由此 当两个事件同时发生的概 率 P AB 等于这两个事件发生概率之和 这时我们也可称这两个事件为独立事件 例如 从一副扑克牌 52 张 中任抽一 张设 A 抽到老 K B 抽到红牌 则 A 应与 B 互为独立事件 看上去 A 与 B 有关系很有可能不是独立事件 但 26 1 P B P A 2 1 52 26 P B 13 1 52 4 P A 又事件 AB 表示 既抽到老 K 对抽到红牌 即 抽到红桃老 K 或方块老 K 有 26 1 52 2 B P A 因此有 BP AP B P A 推广 若事件 n21 A AA 相互独立 则 P A P A P A AAP A n21n21 注意 i 一般地 如果事件 A 与 B 相互独立 那么 A 与AB 与 B A与B也都相互独立 ii 必然事件与任何事件都是相互独立的 iii 独立事件是对任意多个事件来讲 而互斥事件是对同一实验来讲的多个事件 且这多个事件不能同时发生 故这些事 件相互之间必然影响 因此互斥事件一定不是独立事件 独立重复试验 若 n 次重复试验中 每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果 则称这 n 次试验是独立的 如果在一次试验中某事件发生的概率为 P 那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次的概率 互斥 对立 定义 定理 公式 性质 高中数学手册 方法 技巧 思想 典例 第 11 页 共 13 页 2020 4 2 knkk nn P 1PC k P 4 对任何两个事件都有 BAPBPAPBAP 附录一 互斥及对立事件概率问题求解方法互斥及对立事件概率问题求解方法 在求解稍复杂的事件的概率时 通常有两种方法 一是将所求事件的概率化成彼此互斥的事件的概率之和 二是先 求此事件的对立事件的概率 尤其在涉及 至多 或 至少 问题时 常先求此事件的对立事件的概率 再利用公式 1 P AP A 求出所求事件的概率 这种解法 称为逆向思考方法 采用这种方法有时可使问题的解答变得简便 下面就互斥及对立事件的概率问题举例分析如下 例 1 假设某城有 10000 辆家庭汽车 其牌照编号为 E00001 到 E10000 问 偶然遇到牌照号码中有数字 6 的汽车的概 率为多大 解 用 A 表示 牌照号码中有 6 的事件 用A 表示 牌照号码中不含 6 的事件 则 A 与 A是对立事件 则 4 4 9 10 P A 所求概率为 4 9 1 1 0 34 10 P AP A 点评 此题利用对立事件求概率 例 2 将一个骰子先后抛掷三次 求向上的点数和为 6 的倍数的概率 解 点数和为 6 的倍数的情况有三种 即和为 6 12 18 设和为 6 的事件为 1 A 和为 12 的事件为 2 A 和为 18 的事件 为 3 A 彼此互斥 1 和为 6 的点数组有 1 1 4 1 2 3 2 2 2 共 10 个 则 1 3 10 6 P A 2 和为 12 的点数组有 1 5 6 2 4 6 2 5 5 3 3 6 3 4 5 4 4 4 共有 3 3 32 3 125A 个 则 2 3 25 6 P A 3 和为 18 的点数组有 6 6 6 共一个 则 3 3 1 6 P A 故所求概率为 123123 P AAAP AP AP A 3 10 6 3 25 6 3 1 6 361 2166 点评 把所求事件概率化成一些彼此互斥事件的概率和 例 3 口袋里放有 12 个大小完全相同的球 其中 3 个红色的 4 个白色的 5 个蓝色的 从袋中取出 4 个球时 求 1 取出的球的颜色至少是两种的概率 2 取出的球的颜色是三种的概率 解 1 设 从 12 个球中取出 4 个球至少是两种颜色 的事件为 A A 的对立事件为A 且全为白色有 1 种 全为蓝色 有 5 种 则 44 1212 152 165 P A CC 2163 1 1 165165 P AP A 2 设取出 4 球中 1 红 1 白 2 蓝的事件 为 1 A 1 红 2 白 1 蓝的事件 为 2 A 2 红 1 白 1 蓝的事件 为 3 A 且事件 123 A A A彼此互斥 故所求概率为 123123 P AAAP AP AP A 12090606 49549549511 点评 问题 1 的解法是先求事件的对立事件的概率 问题 2 解法是将所求事件的概率化成一些彼此互斥事件的概率 定义 定理 公式 性质 高中数学手册 方法 技巧 思想 典例 第 12 页 共 13 页 2020 4 2 的和 例 4 某人把大小相同的 3 个黄色 3 个白色的乒乓球放到一个盒子里 让人摸球 规定 若摸得同色 3 个球 则送给 摸球者 5 元钱 若摸得非同色的 3 个球 摸球者付给自己 1 元钱 假定一天内有 100 人次摸球 试从概率角度估算一下 这个人一年 按 360 天计算 能赚多少钱 解 设 摸球一次 摸得同色 3 球 为事件 A 摸球一次 摸得非同色 3 球 为事件 B 则 A 是 B 的对立事件 则 3 6 21 10 P A C 9 1 10 P BP A 假定一有 100 人次摸球 360 天可赚钱 91 15 100 36