2011届高二数学 期末备考专题极坐标与参数方程 新人教A版选修2-3

20112011 届高二数学期末备考专题极坐标与参数方程届高二数学期末备考专题极坐标与参数方程 1 求点的极坐标 有序实数实数对 叫极径 叫极角 极坐标 M 是平面上一点 表示 OM 的长度 是MOx 则有序实数实数对 叫极径 叫极角 一般地 0 2 0 例 1 1 点M的直角坐标是 1 3 则点M的极坐标为 C A 2 3 B 2 3 C 2 2 3 D 2 2 3 kkZ 提示 2 2 2 3 kkZ 都是点M的极坐标 2 点M的直角坐标为 3 1 在0 02 的要求下 它的极坐标为 11 2 6 提示 点M的直角坐标为3 1xy 22 2xy 3 tan 3 y x 3 在直角坐标系中 点A的坐标为 1 3 则在相应的极坐标系中它的极坐标可以 是 C A 5 2 6 B 5 2 3 C 5 2 3 D 11 2 6 2 常见的曲线的极坐标方程 1 直线过点 M 00 倾斜角为 常见的等量关系 正弦定理 sinsin OPOM OMPOPM 0 OMP OPM 2 圆心 P 00 半径为 R 的极坐标方程的等量关系 勾股定理或余弦定理 3 圆锥曲线极坐标 1cos ep e 1 e 1 cos p 提醒 极点是焦点 一般不是直角坐标下的坐标原点 例 2 1 极坐标方程 3 24cos 表示的曲线是 双曲线 提示 3 24cos 等价于 3 2 1 2cos 2e 2 过抛物线 2 8yx 的焦点F作倾斜角为 4 的直线 交抛物线于 A B两点 求线段 AB的长度 解 对此抛物线有1 4ep 所以抛物线的极坐标方程为 4 1 cos A B两点的极坐标分别为 4 和 5 4 4 4 22 1 cos 4 FA 4 4 22 5 1 cos 4 FB 16ABFAFB 线段AB的长度为16 3 过抛物线 2 4yx 的焦点F作倾斜角为 的直线 交抛物线于 A B两点 求 11 FAFB 的值 解 抛物线 2 4yx 中 2p 在以抛物线的焦点F为极点 Ox轴为极轴的极坐标系中 抛物线的极坐标方程为 2 1 cos 设A点的极坐标为 则点B的极坐标为 则 111 cos1 cos 1 22FAFB 11 FAFB 的值为1 3 参数方程化为直角坐标 消去参数 1 圆 222 xaxbr 的参数方程 cos sinxarxbr 2 椭圆 22 22 1 xy ab 的参数方程 cos sinxaxb 3 直线过点 M 00 xy 倾斜角为倾斜角为 的参数方程 0 0 tan yy xx 即 00 cossin xxyy t 即 sin cos 0 0 是参数t tyy txx 注 0 cos xx t 0 sin yy t 根据锐角三角函数定义 T 的几何意义是有向线段MP 的数量 例 3 已知过点 9 3 P的直线l与x轴正半轴 y轴正半轴分别交于A B两点 则AB最 小值为 38 提示 设 sin3 cos9 ty tx 倾斜角为倾斜角为 则 则 12 ABtt 或AB 12 tt 12 93 cossin tt 则 93 cossin l 33 2222 9sin3cos9sin3cos cossincossin l 令 0l 3 3 31 tan 9 3 所以 1 tan 150 3 min 93 150 8 3 cos150sin150 ll 注意 本题可以取倾斜倾斜 角的补角为角的补角为 例 4 1 直线 1 2 2 1 1 2 xt t yt 为参数 被圆 22 4xy 截得的弦长为 14 提示 直线为10 xy 圆心到直线的距离 12 22 d 2 过点P 3 0 且倾斜角为 30 的直线和曲线 1 1 xt t t yt t 为参数相交于A B两 点 求线段AB的长 解 直线的参数方程为 3 3 2 1 2 xs s ys 为参数 3 分 曲线 1 1 xt t t yt t 为参数可以化为 22 4xy 5 分 将直线的参数方程代入上式 得 2 6 3100ss 设A B对应的参数分别为 12 ss 121 2 6 310sss s 8 分 AB 2 12121 2 4sssss s 2 17 10 分 3 已知直线l经过点 1 1 P 倾斜角 6 写出直线l的参数方程 设l与圆 4 22 yx相交与两点 A B 求点P到 A B两点的距离之积 解解 1 直线的参数方程为 1cos 6 1sin 6 xt yt 即 3 1 2 1 1 2 xt yt 5 分 2 把直线 3 1 2 1 1 2 xt yt 代入4 22 yx 得 222 31 1 1 4 31 20 22 tttt 1 2 2t t 则点P到 A B两点的距离之积为2 10 分 4 极坐标和直角坐标互化公式 sin cos y x 或 0 tan 222 x x y yx 的象限由点 x y 所在象限确定 1 它们互化的条件则是 极点与原点重合 极轴与 x 轴正半轴重合 2 将点 变成直角坐标 cos sin 也可以根据几何意义和三角函数的定义获 得 例 5 已知抛物线 2 4yx 以焦点 F 为极点 x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 求抛物 线的极坐标方程 错解 设 sin cos y x 代入 2 4yx 得 22 sin4 cos 即 4 sintan 错因分析 运用互化公式 sin cos y x 必须满足 极点与原点重合 本题极点是焦点 1 0 不是坐标原点 因此所得到的极坐标方程 4 sintan 不是 我们要求的方程 正确解法 设抛物线上任意一点 M 过点 M 向 X 轴作垂线 MN Rt MNF 中 cosFN 根据抛物线定义得 2MHFN 2cos 即 2 1cos 例 6 已知曲线C的极坐标方程是4cos 以极点为平面直角坐标系的原点 极轴为 x轴的正半轴 建立平面直角坐标系 直线l的参数方程是 2 1 2 2 2 xt yt 求直线l与 曲线 C 相交所成的弦的弦长 解 曲线 C 的极坐标方程是4cos 化为直角坐标方程为x2 y2 4x 0 即 x 2 2 y2 4 2 分 直线l的参数方程 2 1 2 2 2 xt yt 化为普通方程为x y 1 0 4 分 曲线 C 的圆心 2 0 到直线l的距离为 12 22 6 分 所以直线l与曲线 C 相交所成的弦的弦长 1 2 4 2 14 10 分 例 7 已知椭圆C的极坐标方程为 2 22 12 3cos4sin 点 1 F 2 F为其左 右焦点 直线l的参数方程为 2 2 2 2 2 xt tt yt R为参数 求直线l和曲线C的普通方程 求点 1 F 2 F到直线l的距离之和 解 直线l普通方程为2yx 2 分 曲线C的普通方程为 22 1 43 xy 4 分 1 1 0 F 2 1 0 F 点 1 F到直线l的距离 1 1 023 2 22 d 6 分 点 2 F到直线l的距离 2 1 022 22 d 8 分 12 2 2 dd 10 分 5 曲线的极坐标方程 1 求曲线轨迹的方程步骤 1 建立坐标系 2 在曲线上取一点 P 3 写出等式 4 根据 几 何意义用 表示上述等式 并化简 注意 xy 5 验证 注意 常见的技巧 1 直接法 2 定义法 3 坐标转移法 利用 几何意义 2 求轨迹方程的常用方法 直接法 直接通过建立x y之间的关系 构成 0F x y 是求轨迹最基本的方法 待定系数法 可先根据条件设所求曲线的方程 再由条件确定其待定系数 代回方程 代入法 相关点法或转移法 定义法 如果能够确定动点轨迹满足某已知曲线定义 则可由曲线定义直接写出方程 交轨法 参数法 当动点 P x y坐标之间的关系不易直接找到 也没有相关动点可用时 可考虑将x y均用一中间变量 参数 表示 得参数方程 再消去参数得普通方程 例例 8 8 已知圆C的参数方程为 32cos 2sin x y 为参数 若P是圆C与 y 轴正半轴的 交点 以圆心C为极点 x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 求过点P的圆C的切线的极 坐标方程 错解 由 32cos 2sin x y 得 22 3 4xy 圆心 3 0 0 1 CP 6 PCO 因为 半径 CP 垂直切线 所以切线的倾斜角为 3 切线方程是31yx 设 M 是过P点的圆C的切线上的任一点 再设 sin cos y x 代入 31yx 得sin3 cos1 即 11 sin3cos 2sin 3 错因分析 上述解法是想先求出切线的直角方程 得到直角坐标方程之后 再将直角坐标 与极坐标的互化 想法是很好的 但是问题是它忽视了直角坐标与极坐标的互化的一个必 要条件 极点与原点重合 也就是说切线方程 1 2sin 3 是以原点 O 为极点 x轴的正半轴为极轴建立的极坐标系内的极坐标方程 这与题中要求 以圆心 C为极点 相悖 如右图在Rt PMC 中 有 5 cos 2 6 即为所求切线的 极坐标方程 例例 9 9 极点O作直线与另一直线 cos4l 相交于点M 在OM上取一点P 使 12OM OP 求点P的轨迹方程 设R为l上的任意一点 试求RP的最小值 解析 设动点 P 的坐标为 M 的坐标为 0 则 00 12 cos4 3cos 即为所求轨迹方程 由 知 P 的轨迹是以 0 2 3 为圆心 半径为 2 3 的圆 易得 RP 的最小值为 1 点评 求轨迹的极坐标方程首先要设坐标 然后要找等量关系 如12OM OP 从而建立极坐标方程 0 12 不过从12OM OP 到 0 12 显然需要对极径的 几何意义的足够认识 7 7 参数方程的应用参数方程的应用 例例 1010 在椭圆 22 1 1612 xy 上找一点 使这一点到直线2120 xy 的距离的最小值 解 设椭圆的参数方程为 4cos 2 3sin x y 4cos4 3sin12 5 d 4 54 5 cos3sin32cos 3 553 当cos 1 3 即 5 3 时 min 4 5 5 d 此时所求点为 2 3 例 11 某曲线的极坐标方程为 2 2 2 sin 20 4 1 将上述曲线方程华为普通方程 2 若点 P x y是该曲线上任意点 求xy 的取值范围 错解 1 2 2 2 sin 20 4 Q 2 2 2 sincossincos sin 20 44 因为 sin cos y x 且 222 xy 所以 22 2220 xyyx 2 点 P x y是圆 22 1 1 4xy 上任意点 设 sin2 cos2 y x xy 2 sincos 2 2sin 4 2 2sin 2 2 4 xy 的取值范围 2 2 2 2 错因分析 本题第二问中点 P x y是圆上的点 上述解法似乎是要将直角坐标改成极坐标 并且极点和坐标原点也重合 把直角坐标和极坐标转换公式 sin cos y x 直接错误地当成 参数方程使用 得到xy 2 2sin 4 从而转化成三角最值问题 这种方法实质上是 在直角坐标系内运用圆的参数方程进行三角换元 进而求最值的方法 但是圆上点 P x y到极点距离 是变量 不是圆的半径 2 因为圆心不在极点上 也就是说点 P x y的坐标既满足 sin cos y x 但没有用 又可以设为 12cos 12sin x y xy 2 2 sincos 22 2 sin 4 2 2sin 2 2 4 xy 的取值范围 22 2 22 2 例 12 已知椭圆的长轴长为 6 焦距24 21 FF 过椭圆左焦点 F1作一直线 交椭圆于两 点 M N 设 0 12 MFF 当 为何值时 MN 与椭圆短轴长相等 解法一 以椭圆的左焦点为极点长轴所在直线为极轴建立极坐标系 这里 a 3 c 3 22 4 2 1 22 2 ec c a pb 所以椭圆的极坐标方程为 cos223 1 cos1 e ep 设 M 点的极坐标为 1 N 点的极坐标为 2 解法二 设椭圆的方程为1 9 2 2 y x 其左焦点为 0 22 直线 MN 的参数方程为 为参数 l ty tx sin cos22 将此参数方程代人椭圆方程并整理得 01cos24 sin81 22 tt 设 M N 对应的参数分别为 21 tt 则 6 5 6 0 2 1 sin 4 1 sin 2 sin81 6 sin81 sin81 4cos32 2 22 22 21 或 ttMN 12 2 2 2 116 98cos32 2cos32 2cos 633 2cos cos 4298cos 5 0 66 MN MN 由得 又 所以或 点评 点P极坐标 中的极径 表示点 P 到极点的距离 解法一中焦径MN的长相当 于 12 参数方程中参数t实质上是动点 P 到定点的有向线段的数量 如解法二中 21 tt 应该是 M N两个点到定点 0 22 的向线段的