反比例函数中面积问题

反比例函数中的面积问题反比例函数中的面积问题 一 以反比例函数图像上的点和过这点作坐标轴的垂线所得的垂足所围成的 图形面积 例 1 反比例函数 y 的图像如图 1 所示 点 M 是该函数图像上一点 MN 垂直于 x 轴 垂足是点 N 如果 S MON 2 则 k 的值为 分析 图中 MON 是以图像上一点和过这点作 x 轴或 y 轴的垂线所得的垂 足及坐标原点围成的 只需根据三角形面积公式就可以求出 k 的值 解 设 M 点的坐标为 x y 则 S MON xy k 2 得 k 4 k 4 k 4 不合题意 舍去 即 k 4 变式 1 如图 2 已知点 P 在函数 y x 0 的图像上 PA x 轴 PB y 轴 垂足分别为 A B 则矩形 OAPB 的面积为 分析 只是把图中的三角形变为矩形 所以 S矩形 OAPB xy 2 二 以反比例函数图像与正比例函数图像的交点和坐标平面上的一些特殊 点所围成的图形面积 例 2 如图 3 反比例函数 y 的图像与直线 y kx k 0 相交于 A B 两 点 AC y 轴 BC x 轴 则 ABC 的面积等于 个面积单位 分析 Rt ABC 的两个顶点是反比例函数图像与正比例函数图像的交点 分别在反比例函数图像的两个分支上 且知道反比例函数图像上的 A B 两点 关于原点成中心对称 S ABC 2x 2y 2 xy 10 变式 1 如图 4 直线 y mx 与双曲线 y 交于点 A B 过点 A 作 AM x 轴 垂足为点 M 连接 BM 若 S ABM 1 则 k 的值是 A 1 B m 1 C 2 D m 分析 图形变为反比例函数图像上的 A B 两点和其中一点与坐标轴的交点 所围成的 AMB 底为 y 高为 2x 则 S ABM y 2x xy k 1 得 k 1 根据图形知 k 0 所以 k 1 变式 2 如图 5 直线 y mx 与双曲线 y 交于点 A B 过点 A B 分别作 AM x 轴 BN x 轴 垂足分别为 M N 连接 BM AN 若 S AMBN 1 则 k 的值是 分析 图形变成AMBN 它的面积实际上就是 ABM 面积的 2 倍 则 S AMBN 2 xy 2 k 1 结合图像可知 k 三 以反比例函数图像与一次函数图像的交点和坐标原点所围成的图形面 积 例 3 如图 6 在直角坐标系 xOy 中 一次函数 y k1x b 的图像与反比例函 数 y 的图像交于 A 1 4 B 3 m 两点 1 求一次函数的解析式 2 求 AOB 的面积 分析 1 略 2 AOB 是以反比例函数图像与一次函数图像的交点和坐标原点所围 成的图形 AOB 面积直接比较难求 可看作 S COD S COA S BOD 先求出一 次函数的解析式 然后求出一次函数 y k1x 6 的图像与 x 轴和 y 轴的交点坐 标 就可求出 S COD S COA S BOD 即可求出 S AOB 4 1 4 变式 1 如图 7 一次函数 y kx b 的图像与反比例函数 y 的图像交于 A 2 1 B 1 n 两点 1 试确定上述反比例函数和一次函数的解析式 2 求 AOB 的面积 分析 1 略 2 AOB 也是以反比例函数图像与一次函数图像的交点和坐标原点所 围成的图形 只是把 AOB 的面积看作 S COD S COA S BOD 即可求得 S AOB 1 1 1 1 1 1 四 以反比例函数图像与其它图形的交点和坐标原点所围成的图形面积 例 4 如图 8 已知双曲线 y x 0 经过矩形 OABC 边 AB 的中点 F 交 BC 于点 E 且四边形 OEBF 的面积为 2 则 k 分析 这是以反比例函数图像与矩形的交点和坐标原点所围成的图形面积 四边形 OEBF 的面积可看作 S矩形 OABC S COE S AOF 设 F 点的坐标为 x y 则 E 点的坐标为 x 2y S矩形 OABC x 2y 2xy 2k S COE x 2y xy k S AOF xy k 所以 S四边形 OEBF k 2 五 以反比例函数图像上的点与坐标轴围成的图形及一次函数图像与坐标 轴围成的图形和面积 例 5 如图 9 D 是反比例函数 y k 0 的图像上一点 过 D 作 DE x 轴于 E DC y 轴于 C 一次函数 y x m 与 y x 2 的图像都经过 点 C 与 x 轴分别交于 A