五年级下册奥数教程

让每一个学生成功让每一个学生成功 1 前前 言言 在琳琅满目的教辅类图书前 孩子的心声 奥数真难 大人们为什么总要我们学习奥数呢 家长的心声 太难的奥数 让孩子越来越没自信学习数学了 教师的心声 现行的奥数比课本难多了 若有一套配合课本进度 并能 提高学生抽象思维能力的奥数书 将能真正作为课堂教学的延伸 针对以上种种心声 将此作为课题来研究 在多所名校和社会信誉度较 高的办学单位试行的基础生 推出了这套 同步奥数培优 内容力求体现 配套现行教材配套现行教材 以新课标北师大版内容为知识体系 做到在已有知识基 础上的拓展 重视知识的螺旋上升 在和教材同步的同时 培养学生的抽象 思维能力 适当加入一些同学们感兴趣的内容 注重素质提高注重素质提高 学好数学的前提是要有兴趣 这是编写此套丛书的出发 点 为了更全面综合地提高学生的数学素质 此书适合大多数学生的学习与 使用 强化强化思维训练思维训练 数学的学习是思维的学习 此套丛书在章节安排上 重 视对学生系统思维的训练 能结合学生学习的特点 相对形成知识编排上的 系统性 即能以知识为章 以知识点为节 由浅入深 层层深入 使学生的 认知相对完整 本书将本着自学能会 教师能辅导 家长能参考的宗旨 全心全意为莘 莘学子 为酷爱奥数的同学们而编 望你们用心学习 对以后的学习有所帮 助 由于编写时间仓促 书中难免有些不妥之处 敬请广大同学们在使用过 让每一个学生成功让每一个学生成功 2 程中批评指正 以使本书更加完善 五年级奥数五年级奥数 编写组编写组 目目 录录 第一讲 分数乘法 乘法中的简算乘法中的简算 2 2 练习卷练习卷 5 5 第二讲 长方体和正方体 巧算表面积巧算表面积 6 6 练习卷练习卷 1010 第三讲 分数除法应用题 1111 练习卷练习卷 1515 第四讲 长方体和正方体 巧算体积巧算体积 1616 练习卷练习卷 2020 第五讲 较复杂的分数应用题 寻找不变量寻找不变量 2121 练习卷练习卷 2424 让每一个学生成功让每一个学生成功 3 第六讲 百分数 浓度问题浓度问题 2525 练习卷练习卷 2828 综合演习 1 2929 综合演习 2 3131 第一讲第一讲 分数乘法分数乘法 例题讲学例题讲学 例例 1 1 1 1 19 19 2 2 27 27 15 14 26 11 思路点拨 观察这两道题中数的特点 第 1 题中的比 1 少 可以把看作 15 14 15 1 15 14 1 然后和 19 相乘 利用乘法分配律使计算简便 同样 第 2 题中 27 与中的 15 1 26 11 分母 26 相差 1 可以把 27 看作 26 1 然后和相乘 再运用乘法分配律使计算简便 26 11 把哪个数拆分是解决问题的关键 或拆成与 1 有关的两数之差或和 或者 把一个数拆分成与分数分母相关的和或差 最后用乘法分配律使计算简便 同步精练同步精练 1 35 2 10 36 13 23 22 技巧技巧 让每一个学生成功让每一个学生成功 4 3 8 4 126 15 14 25 3 5 17 6 12 11 26 25 24 例例 2 2 120001999 199820001999 思路点拨 仔细观察分子 分母中各数的特点 我们就会发现 分子 1999 2000 1998 1999 2000 1999 1 1999 2000 1999 2000 2000 1999 1 这样 就把分子转化成与分母完全相同的式子 结果自然就好计算了 试试吧 解决稍复杂的分数乘法问题时 不要慌张 要仔细观察数的特点 根据数 的特点一般都能化成分子 分母能约分的情况 然后使计算简便 同步精练同步精练 1 1 186548362 361548362 技巧技巧 让每一个学生成功让每一个学生成功 5 2 2 120112010 200920112010 例例 3 3 65 1 54 1 43 1 32 1 21 1 思路点拨思路点拨 在这道题中 每个分数的分子都是 1 分母是两个连续的自然数 的乘积 看下面规律 1 21 1 2 1 32 1 2 1 3 1 43 1 3 1 4 1 1 11 1 1 nnnn 把每个分数都拆写成两个分数的差 使部分分数前后互相抵消 使计算简便 做这类题目的关键是把一个分数式子如何进行拆分 并把拆分的结果统一 前后抵消 从而使计算简便 同步精练同步精练 1 43 1 32 1 21 1 10099 1 2 2 1 6 1 12 1 20 1 30 1 技巧技巧 让每一个学生成功让每一个学生成功 6 3 20 1 2018 2 1816 2 1614 2 1412 2 练练 习习 卷卷 1 1 27 2 2 26 17 38 45 44 3 3 4 4 61 15 11 100 99 14 5 5 199619941995 119961995 6 6 7 6 999999 7 5 99999 7 4 9999 7 3 999 7 2 99 7 1 9 让每一个学生成功让每一个学生成功 7 7 7 1999 1 19991998 1 19981997 1 19971996 1 第二讲第二讲 长方体和正方体 巧算表面积 长方体和正方体 巧算表面积 例题讲学例题讲学 例例 1 1 两个棱长是 2 厘米的小正方体可以拼成一个长方体 这个长方体 的表面积是多少 思路点拨思路点拨 先根据题意画图 从图上可以清楚地看出 两个正方体原先各有 6 个正方形的面 当把它 们拼起来时就少了少了 2 个正方形的面 这时 求长方体的表面积只相当于求 12 2 10 个正方形的面积 还可以这样想 当两个正方体拼成一个长方 体时 求长方体的表面积 我们可以先分别求出这个长方体的长 宽 高 再求出它的表面积 1 当物体拼合时拼合时表面积之和少了 可以根据用原来的面去掉减 少了的面 从而求出拼合后物体的面积数量 然后求出表面积 2 还 可以求出拼成后大物体的长 宽 高 再根据物体形状直接求表面积 同步精练同步精练 1 把两个棱长是 3 厘米的小正方体拼成一个长方体 这个长方体的表面 积是多少 技巧技巧 让每一个学生成功让每一个学生成功 8 2 把底面积是 36 平方厘米的两个正方体木块拼成一个长方体 长方体 的表面积是多少 3 把三个完全相同的正方体拼成一个长方体 这个长方体的表面积是 350 平方厘米 每个正方体的表面积是多少平方厘米 例例 2 2 把一个长 宽 高分别是 7 厘米 6 厘米 5 厘米的长方体截成 两个长方体 使这两个长方体表面积之和最大 这时表面积之和是多少平 方厘米 思路点拨 把长方体截成两个长方体后 两个长方体表面积之和等于 原长方体表面积再加上两个截面的面积 这个长方体几个面中 上 下面的 面积最大 所以要看哪个面的面积最大 于是本题就按平行于上 下面的方 式去截 才使表面积之和最大 长方体截成两个长方体有三种截法 如图 每一种截法都会产生不同的面 所以判断怎么样截是解决问题的关键 同步精练 1 把一个长 10 厘米 宽 8 厘米 高 6 厘米的长方体木料截成两个完全一 样的长方体 怎样截才能使截成之后 得到两个长方体的表面积之和最 大 最大是多少 技巧技巧 让每一个学生成功让每一个学生成功 9 10 8 6 4 4 4 2 把两个长 3 厘米 宽 2 厘米 高 1 厘米的长方体拼成一个表面积最大的 长方体 这个长方体的表面积是多少平方厘米 3 把两个长 6 厘米 宽 4 厘米 高 3 厘米的长方体拼成一个大长方体 这个大长方体的表面积的最大值与最小值相差多少 例例 3 3 求出下面立体图形的表面积 单位 厘米 思路点拨 从图上看出 这个图形是由一个长方体和一个正方 体组成的 求它的表面积时 可以把正方体的右侧面平移到长方体上 这个 立体图形的表面积就可以用一个完整的长方体表面积加上一个正方体的上 下 前 后四个面的面积 同步精练 1 在一个棱长为 5 分米的正方体上放一个棱长为 4 分米的小正方体 如图 求这个立体图形的表面积 2 求下列组合图形的表面积 三个正方体的棱长从上往下 依次是 1 厘米 2 厘米 4 厘米 让每一个学生成功让每一个学生成功 10 3 18 个棱长为 2 厘米的小正方体堆成如下图的形状 求它的表面积 例例 4 4 如图 从右面这个图形的顶点处挖去一个小正方体 那么所得物 体的表面积现在是多少平方厘米 每个小正方体的棱长为 1 厘米 思路点拨 从顶点处挖掉一个小正方体后 原来的小正方体露在外 面的 3 个面就少了 但这时又有 3 个同样大小的面露了出来 所以表面积是没有大小变化的 同步精练 1 如上图 如果从小正方体的上面的中间挖去一个小正方体 那么此时 正方体的表面积是多少了呢 2 如下图 在一个棱长为 6 厘米的大正方体的 6 个面上分别挖去一个小 正方体 现在剩下图形的表面积是多少 让每一个学生成功让每一个学生成功 11 2 从一个长方体的上面往下挖通 求现在物体的表面积是多少 原长方体的长 宽 高分别是 10 厘米 8 厘米 12 厘米 挖去的图形为长 宽都 是 4 厘米的小长方体 练练 习习 卷卷 1 长方体的底面积是 12 平方厘米 宽 2 厘米 高和宽相等 表面积是 平方厘米 底面周长是 厘米 2 一个正方体的底面积是 25 平方分米 它的表面积是 平方分米 3 一个长方体的长 宽 高分别是 a 米 b 米 h 米 如果高增加 4 米后 新的长方体表面积比原来增加了 平方米 4 把一根长 2 4 米 宽 0 8 米 高 0 4 米的木料锯成大小相等的 2 段 它的 表面积最少增加多少平方米 5 将两本长 25 厘米 宽 20 厘米 厚 5 厘米的书包成一包 怎样才能节约包 装纸 请画图表示 并求出需要多少包装纸 6 求下面立体图形的表面积 单位 厘米 让每一个学生成功让每一个学生成功 12 总个数的 5 3 6 14 75 20 3 7 7 把一个棱长为 3 厘米的正方体外面全部涂上红色 再把它切成棱长为 1 厘米的小正方体 共切成多少块 在这些小正方体中 三面涂红的有多少块 两面涂红的有多少块 一涂红的有多少块 任何一面都没有涂红的有多少块 第三讲第三讲 分数除法应用题分数除法应用题 例题讲学例题讲学 例例 1 1 加工一批零件 第一天加工 210 个 第二天加工 240 个 这两天 共加工了这批零件的 这批零件共有多少个 5 3 思路点拨 根据题意 把这批零件的总数看作单位 1 两天共加工 210 240 450 个 450 正好占这批零件总数的 求单位 1 的量用除法 5 3 计算 求单位 1 时 用除法 可以用 具体的量 它所对应的分率 同步精练 1 超市运进水果 第一批运进 320 千克 第二批运进 400 千克 这两 3cm 3cm 3cm 个 210个 240个 技巧技巧 让每一个学生成功让每一个学生成功 13 页 全书的 10 3 全书的 5 2 批运进的水果重量占超市现在所有水果的 超市现在一共有水果多少千 3 2 克 2 一条铁路 修完 900 千米后 剩余部分比全长的少 300 千米 这 4 3 条铁路全长多少千米 3 修路队修一条路 第一天修了全长的 第二天修了 1000 米 这时 5 1 已修的米数占全长的 这条路全长多少千米 15 8 例 2 李添三天看完一本书 第一天看了这本书的 第二天看了 24 10 3 页 还剩下全书的未看 这本书共有多少页 5 2 思路点拨 根据题意画线段图 帮助理解题意 分析数量关系 这道题中有一个具体数量 第二天看了 24 页 所以这是解决问题的突 破口 要找出 24 页所对应的分率 即总页数 第一天看的 剩下的 1 10 3 5 2 用 24 除以它所对应的分率 即可求出全书页数 10 3 10 3 从具体数量出发 找出具体数量的对应分率 是解决问题的关 键之所在 同步精练 24页 技巧技巧 让每一个学生成功让每一个学生成功 14 1 电脑公司要修一批电脑 已经修了这批电脑的 再修 24 台就正 3 1 好修了这批电脑的一半 这批电脑有多少台 2 一筐萝卜卖掉 以后 又卖出 6 千克 这时卖出的正好是剩下的 5 1 这筐萝卜原有多少千克 2 1 3 筑路队三天修好一条马路 第一天修了全长的 第二天修了全 4 1 长的 第一天比第二天少修 90 米 这条马路全长多少米 5 2 例 3 一捆电线 第一次用去全长的 第二次用去余下的 这时还 4 1 5 1 剩下 108 米 这捆电线共长多少米 思路点拨 这道题中已知的具体数量是 还剩下 108 米 所以要 找出它所对应的分率 还剩下几分之几 第一次用去全长的 第二次用去余下的 而余下的 即是 1 4 1 5 1 5 1 4 1 的 108 米对应的分率是 1 所以用 108 除以 求出这 5 1 20 3 4 1 20 3 5 3 5 3 捆电线的总长度 问题的关键还是找题中具体数量所对应的分率 谨记 具体量 对应分率 单位 1 同步精练 技巧技巧 让每一个学生成功让每一个学生成功 15 1 工厂进了一批原料 第一个星期用去总数的 第二个星期用去总 5 2 数的 这时用去的比剩下的多 31 吨 这批原料共有多少吨 9 4 2 牛师傅计划做一批零件 第一天做了计划的 第二天又做了余下 7 4 的 这时还剩 42 个零件没做 牛师傅计划做多少个零件 5 3 3 一批木料 先用去总数的 又用去剩下的 这时用去的比剩下 7 2 5 2 的多 10 立方米 这批木料共有多少立方米 例 4 有一堆苹果 吃了后又买来 324 个 这时这堆苹果的个数比原来 4 1 多了 原来这堆苹果有多少个 5 1 思路点拨 这道题中仅有一个具体数量 又买来 324 个 所以解决 问题的关键即是找准 324 的对应分率 也就是找出 又买来的 324 个苹果占 几分之几 根据已知条件吃了 还剩下 而买来 324 个之后 比原来多 4 1 4 3 了 也就是占原来的 所以买来的 324 个苹果就占 所以 5 1 5 6 5 6 4 3 20 9 用 324 除以对应的分率就可以求出单位 1 即原来的苹果总数了 思路点拨 吃了后总数少了 而当买来 324 个苹果之后 却比原来 4 1 的总数还多了 这说明这 324 个苹果不但把吃了的补上了 而且还多出来 5 1 了 所以 324 个苹果就占 故而用 324 即可以求出单位 5 1 4 1 5 1 20 9 20 9 让每一个学生成功让每一个学生成功 16 1 了 同步精练 1 食堂原有一批大米 吃了后 有运进 170 千克 这时大米的总重量 5 2 比原来还多了 原来食堂有大米多少千克 6 1 2 玩具店开业当天卖出玩具 第二天又新进 150 件新玩具 这时玩具 9 4 总数比原来却少了 玩具店原来有玩具多少件 6 1 练练 习习 卷卷 1 某家具店要生产一批沙发 第一周生产了 64 套 第二周生产了 86 套 两周共生产了这批沙发总数的 家具厂还要生产多少套沙发 10 3 2 服装厂第一车间有工人 150 人 第二车间的工人数是第一车间的 5 2 两个车间的人数正好是全厂工人总数的 全厂有工人多少人 6 5 让每一个学生成功让每一个学生成功 17 3 一根钢筋截去 8 米后 所剩部分比原长的 还多 2 米 这根钢筋原长 5 3 多少米 4 学校植树 第一天完成了计划的 第二天完成了计划的 第三天 8 3 12 5 植树 55 棵 结果超过计划的 学校计划植树多少棵 4 1 5 欣欣原有一些糖果 吃了后 妈妈又给她买来 14 颗 这时的糖果总 4 3 数是原来的 欣欣原来有糖果多少颗 6 5 第四讲第四讲 长方体和正方体 巧算体积 长方体和正方体 巧算体积 例题讲学例题讲学 例 1 把一块棱长为 6 分米的正方体钢坯 熔铸成横截面是 9 平方分米 的长方体钢材 铸成的钢材有多长 思路点拨 把正方体钢坯熔铸成长方体后 虽说形状变了 可体积把正方体钢坯熔铸成长方体后 虽说形状变了 可体积 没有变 正方体钢坯的体积就是长方体钢材的体积 所以先求出正方体的体没有变 正方体钢坯的体积就是长方体钢材的体积 所以先求出正方体的体 积 也就是长方体的体积 用体积除以长方体钢材的横截面面积 就可以求积 也就是长方体的体积 用体积除以长方体钢材的横截面面积 就可以求 出长方体钢材的长度了 出长方体钢材的长度了 技巧技巧 让每一个学生成功让每一个学生成功 18 抓住体积不变这个隐藏的量 熔铸前体积等于熔铸后的体积 再根据 体积 横截面积 长 这个公式 从而轻松解决问题 同步精练 1 把一块棱长为 0 8 米的正方体钢坯 锻造成底面积是 0 16 平方米 的长方体钢材 锻造成的钢材有多高 2 把一个棱长 10 厘米的正方体橡皮泥 重新捏成一个高和宽都是 2 厘米的长方体 这个长方体的长是多少分米 3 棱长为 6 分米的正方体容器内有 4 分米高的水 把这些水全部倒入 一个长 4 分米 宽 3 分米 高 15 分米的长方体水箱内 这时水深多少 要 注满水箱还需要再倒入多少升水 例 2 一只长 15 分米 宽 12 分米的长方体玻璃钢中 有 10 分米深的 水 放入一块棱长为 3 分米的正方体铁块 铁块全部浸没在水中并且水未溢 出 这时 水面升高了几厘米 思路点拨思路点拨 将物体放入容器中 水面的高度肯定上升 上升的水的 体积其实就是物体的体积 本题可以先求出正方体铁块的体积 也就是增加 的水的体积 再用这个体积除以容器的底面积从而求出水面上升的高度了 要明白一点 当物体完全沉没在水中时 物体的体积 上升的 水的体积 同步精练 技巧技巧 让每一个学生成功让每一个学生成功 19 1 一个长方体容器 底面积是 200 平方厘米 高 10 厘米 里面盛有 5 厘米深的水 现将一块石头放入水中 水面升高到 8 厘米处 这块石头的体 积是多少立方厘米 2 一个长 60 厘米 宽 20 厘米的盛水容器 把 5 块体积相等的铁块投入 水中后 容器中的水面刚好上升了 4 厘米 求每块铁块的体积 3 在一只长 120 厘米 宽 60 厘米 深 70 厘米的浴缸中放入水 李明进 入浴缸后 水刚好没到李明颈部 已知水上升了 20 厘米 求出李明颈部 以下的体积是多少立方分米 例 3 如图 一个长方体 高截去 2cm 表面积就减少了 48 平方厘米 剩下部分成为一个正方体 求原长方体的体积 思路点拨 当高少了当高少了 2cm2cm 后 首先明白表面积少了后 首先明白表面积少了 哪些面 应该是前后左右四个小面 因为上面虽然也少了 哪些面 应该是前后左右四个小面 因为上面虽然也少了 但又多出来一个上面 所以少了但又多出来一个上面 所以少了 4 4 个小面 因为剩下的部分是一个正方体 个小面 因为剩下的部分是一个正方体 所以这四个小面是完全相等的 故用所以这四个小面是完全相等的 故用 4848 除以除以 4 4 从而得出一个小面的面积 从而得出一个小面的面积 再用一个小面的面积除以再用一个小面的面积除以 2 2 从而能求出正方体的棱长 也是原长方体的长 从而能求出正方体的棱长 也是原长方体的长 和宽 接着求出原长方体的高 最后求出体积 和宽 接着求出原长方体的高 最后求出体积 关键是看截去一个小长方体后 表面积是少了哪些面 一般会 技巧技巧 2cm 让每一个学生成功让每一个学生成功 20 认为少了 5 个小面 其实上面并没有少 只少了 4 个 而少的这 4 个面本题 是有关系的 因为剩下的为一个正方体 所以先求出一个面积 从而打开解 决问题的入口 同步精练同步精练 1 把一个长方体的高截去 3 厘米后 剩下的部分正好是一个正方体 而表面积却减少了 36 平方厘米 求原长方体的表面积 2 从一个长是 12 厘米 高 9 厘米的长方体上 平行于底截掉一个 4 厘 米高的小长方体 表面积减少了 80 平方厘米 求截掉的小长方体的体积是 多少立方厘米 例 4 一个长方体 前面和上面的面积之和是 209 平方厘米 这个长方 体的长 宽 高以厘米为单位的数都是质数 这个长方体的体积是多少 思路点拨 要求长方体的体积 就要求出长方体的长 宽 高 因要求长方体的体积 就要求出长方体的长 宽 高 因 为这个长方体的前面和上面的面积之和是为这个长方体的前面和上面的面积之和是 209209 平方厘米 也就是长平方厘米 也就是长 宽宽 长长 高高 长长 宽 宽 高 高 209 209 根据 根据 长 宽 高以厘米为单位的数都是质数长 宽 高以厘米为单位的数都是质数 这个条件可知 这个条件可知 209 11 19209 11 19 而 而 1111 和和 1919 哪个数能写成两个质数的和呢 只哪个数能写成两个质数的和呢 只 有有 19 2 1719 2 17 所以长 宽 高就分别是 所以长 宽 高就分别是 1111 2 2 1717 从而能求出长方体的体 从而能求出长方体的体 积了 积了 解决此类题目的关键是在把面积之和如何分成两个数的积 技巧技巧 让每一个学生成功让每一个学生成功 21 并且这两个数中首先必须有一个是质数 再把另一个数分成两个质数的和 同步精练 1 一个长方体的前面和右面的面积之和是 54 平方厘米 且长方体的长 宽 高都是整数 求这个长方体的体积是多少 2 一个长方体的上面和右面的面积之和是 36 平方厘米 且长方体的长 宽 高都是整数 求这个长方体的体积和表面积分别是多少 练练 习习 卷卷 1 一个正方体玻璃缸棱长 2 分米 向容器中倒入 5 升水 再放入一块不 规则的石头 这时量得容器内的水深 15 厘米 石头的体积是多少立方厘米 让每一个学生成功让每一个学生成功 22 2 一个封闭的长方体容器的高是 25 厘米 长和宽都是 10 厘米 容器内 装着一些水 如果把该容器长 宽都是 10 厘米的面做底面放在桌面上 这 时水的高度是 15 厘米 如果把容器长 25 厘米 宽 10 厘米的面做底面放在 桌子上 这时水的高度是多少厘米 3 一只底面是正方形的长方体铁箱 如果把它的侧面展开 正好得到一 个边长是 40 厘米的正方形 求这只长方体铁箱的容积是多少升 4 一个长方体 如果高截去 2 厘米 表面积就减少了 32 平方厘米 剩 下的正好是一个正方体 原来长方体的体积是多立方厘米 第五讲第五讲 较复杂的分数应用题较复杂的分数应用题 寻找不变量 寻找不变量 例题讲学例题讲学 例 1 乙队原有的人数是甲队人数的 现在甲队派 30 人到乙队 则乙 7 3 队人数现在是甲队的 原来两队一共有多少人 3 2 思路点拨 当当 现在甲队派现在甲队派 3030 人到乙队人到乙队 后 甲 乙两队的人数都发生了改变 后 甲 乙两队的人数都发生了改变 所以单位所以单位 1 1 不好确定 但有一个未变的量 那就是两队的总人数 因此我们可以把两不好确定 但有一个未变的量 那就是两队的总人数 因此我们可以把两 队的总人数看作单位队的总人数看作单位 1 1 从从 乙队原有的人数是甲队人数的乙队原有的人数是甲队人数的 可以把乙队人数看作可以把乙队人数看作 7 3 让每一个学生成功让每一个学生成功 23 3 3 份 甲队人数看作份 甲队人数看作 7 7 份 总人数为份 总人数为 1010 份 则乙队人数占总人数的份 则乙队人数占总人数的 后来甲队 后来甲队 37 3 10 3 派派 3030 到乙队后 乙队占总人数的到乙队后 乙队占总人数的 那么乙队多了 那么乙队多了 而正是多了 而正是多了 3030 人所人所 32 2 5 2 5 2 10 3 致 求出致 求出 3030 人所对应的分率 再求出原来的总人数 人所对应的分率 再求出原来的总人数 此类题目的两个量都是变化的 所以单位 1 不能确定 一定 要找出不变的量 把它确定为单位 1 然后再看其中的一个量前后分别是 单位 1 的几分之几 最后再利用具体数量和分率从而求出单位 1 同步精练 1 甲 乙两个粮库 甲粮库存粮的吨数是乙粮库的 现在从乙粮库调 7 5 6 吨粮食到甲粮库 则甲粮库存粮的吨数是乙粮库的 原来两个粮库各存 5 4 粮多少吨 2 五 3 班在一次聚会中 请假人数是出席人数的 中途又有一人离 9 1 开 这样请假人数是出席人数的 五 3 班共有多少人 22 3 例 2 甲 乙 丙 丁四人向希望工程捐款 结果甲捐了另外三人的一 半 乙捐了另外三人的 丙捐了另外三人的 丁捐了 91 元 甲 乙 丙 3 1 4 1 丁四人共捐了多少元 思路点拨 根据题意可知 单位根据题意可知 单位 1 1 是另外三人的总和 但另外三人的总和是另外三人的总和 但另外三人的总和 是无论如何也不知道 且是变化的 所以行不通 但甲乙丙丁四人的总和是固定不变的 是无论如何也不知道 且是变化的 所以行不通 但甲乙丙丁四人的总和是固定不变的 所以可以把四人的钱数总和看作单位所以可以把四人的钱数总和看作单位 1 1 甲捐了另外三人的一半甲捐了另外三人的一半 可以看作甲捐的 可以看作甲捐的 钱是钱是 1 1 份 另外三人是份 另外三人是 2 2 份 共份 共 3 3 份 甲捐的是四人总数的份 甲捐的是四人总数的 同理 乙捐的是四人总数 同理 乙捐的是四人总数 3 1 的的 丙捐的是四人总数的 丙捐的是四人总数的 那么我们就可以求出剩下的丁捐的钱数占四人总数的几分 那么我们就可以求出剩下的丁捐的钱数占四人总数的几分 4 1 5 1 技巧技巧 让每一个学生成功让每一个学生成功 24 之几了 再用具体数量之几了 再用具体数量 9191 除以对应分率 从而求出总数 除以对应分率 从而求出总数 此类题目的难点就在于虽然单位 1 名字上统一 但却不是固 定的 所以要找出固定不变的量作为统一的单位 1 然后求出每个量占单 位 1 的几分之几 最后用对应的具体数量除以对应分率 从而求出单位 1 同步精练 1 三个小朋友合买一枚价值 24 元的 2008 年奥运会纪念章 第一个 小朋友付的钱是其他孩子付的钱的一半 第二个孩子付的钱是其他孩子付的 钱的 问 第三个孩子付了多少元钱 3 1 2 甲乙丙丁四个数 甲数是其它三个数之和的 乙数是其它三个数之 2 1 和的 丙数是其它三个数之和的 已知丁数是 260 求四个数的和是多少 3 1 4 1 甲数是多少 例 3 一堆糖果 其中奶糖占 再放入 16 块水果糖后 奶糖就只占 20 9 这一堆糖果原来一共有多少块 4 1 思路点拨 解答这道题时 应抓住奶糖不变这个条件 因为在总数 发生了变化 水果糖也发生了变化的时候 奶糖却是不变的 所以把变化的 量 水果糖 求出变化前后分别是奶糖的几分之几 再看变化前后的具体 数量 然后求出单位 1 奶糖 最后再求出总数来 技巧技巧 让每一个学生成功让每一个学生成功 25 具体解法 变化前 奶糖占总数的具体解法 变化前 奶糖占总数的 水果糖就占 水果糖就占 1 1 水果 水果 20 9 20 9 20 11 糖占糖占奶糖奶糖的 的 加入 加入 1616 块水果糖后 奶糖占总数的块水果糖后 奶糖占总数的 水果 水果 20 11 20 9 9 11 4 1 糖就占 糖就占 1 1 水果糖占 水果糖占奶糖奶糖的的 3 3 水果糖变化前后共增加了 水果糖变化前后共增加了 4 1 4 3 4 3 4 1 3 3 正是由于增加 正是由于增加 1616 块所致 所以用块所致 所以用 16 16 9 9 块块 奶糖奶糖 9 11 9 16 9 16 单位单位 1 1 那么原来的水果糖就有 那么原来的水果糖就有 9 9 11 11 块 总数为块 总数为 9 11 209 11 20 块 块 9 11 同步精练同步精练 1 袋里有若干个球 其中红球占 后来又往袋里放了 6 个红球 这 12 5 时红球占总数的 原来袋里共有多少个球 2 1 2 某科技发明兴趣小组中女生占 后来又转来了 15 名女生 这样 12 7 女生占总人数的 这个兴趣小组的男生有多少人 5 3 练练 习习 卷卷 1 某公司男职工比全公司总人数的 多 60 人 女职工人数是男职工的 5 3 3 1 这个公司共有多少人 让每一个学生成功让每一个学生成功 26 2 某工厂有三个车间 第一车间的人数是另外两个车间人数的 第三 3 1 车间的人数是另外两个车间人数的 已知第二车间有 30 人 另两个车间各 5 3 有多少人 3 纺织厂女工占工人总数的 后来又调来 30 名女工 这时女工人数是 8 5 男工人数的 2 倍 问 现在厂里共有多少人 4 甲 乙两人共有邮票若干张 其中甲占 若乙给甲 12 张 则乙余 20 9 下的张数占总数的 两人共有邮票多少张 5 2 5 科技活动小组中 男生人数占 后来又转来 4 名男生参加 这时 8 3 男生人数占小组人数的 求这个科技活动小组女生有多少人 现在共有多 9 4 少人 第六讲第六讲 百分数 浓度问题 百分数 浓度问题 知识概述知识概述 把盐溶于水就得到盐水 其中盐叫做溶质 水叫溶剂 盐与水的混合 液叫做溶液 我们把盐占盐水的百分比叫做盐水的浓度 通常浓度用百分数 表示 又叫做百分比浓度 这一类问题叫做浓度问题 盐水的浓度也就是 让每一个学生成功让每一个学生成功 27 含盐率 糖水的浓度也叫做含糖率 例题讲学例题讲学 例 1 现有浓度为 25 的盐水 80 克 加入多少克水就能得到浓度为 10 的盐水 思路点拨 将浓度为 25 的盐水变为浓度为 10 的盐水 盐水中的 水的重量增加了 但是盐的重量却没有任何变化 可以根据已知条件先求出 不变的量 盐的重量 再求出现在盐水的重量 最后再用现在盐水的重量 减去原来盐水的重量 就是增加的水的重量 解 80 25 20 克 20 10 200 克 200 80 120 克 答 加入 120 克水就能得到浓度为 10 的盐水 同步精练同步精练 1 把碘溶在酒精里 配成碘酒 现在有含碘 15 的碘酒 50 千克 要把它 变成含碘 3 的碘酒 需要加入多少千克酒精 2 现有浓度为 20 的盐水 80 克 加入多少克水就能得到浓度为 16 的盐 水 例 2 现有浓度为 25 的盐水 80 克 要使盐水的浓度提高到 40 需 要加多少克盐 思路点拨 将浓度为 25 的盐水变为浓度为 40 的盐水 在盐水的 变化过程中 盐的重量增加了 但是水的重量并没有发生变化 也就是原来 盐水中的水的重量等于现在盐水中水的重量 让每一个学生成功让每一个学生成功 28 解 80 1 25 60 克 60 1 40 100 克 100 80 20 克 答 需要加 20 克盐 同步精练同步精练 1 现有浓度为 15 的盐水 20 千克 要使盐水浓度提高到 20 需要加多 少千克盐 2 浓度为 10 的糖水 300 克 要把它变成浓度为 25 的糖水 需要加糖 多少克 3 往 40 千克含盐 16 的盐水中加入 10 千克盐 求这时盐水的浓度 例 3 有浓度为 2 5 的盐水 700 克 为了制成浓度为 10 的盐水 从 中要蒸发掉多少克水 思路点拨 要使溶液的浓度变大 可以采取增加溶质 糖 盐 纯 酒精等 的方法 也可以用蒸发水的办法 让每一个学生成功让每一个学生成功 29 把盐水加热 一部分水变成水蒸气蒸发掉了 于是盐水中的水的重量减 少了 而在变化过程中盐的重量却没有变化 先根据条件求出原来盐水中盐 的重量 由于在变化过程中盐的重量没有变化 所以原来盐水中盐的重量也 是现在盐水中盐的重量 再求出现在盐水的重量 最后用原来盐水的重量减 去现在盐水的重量 就是要蒸发掉水的重量 解 700 2 5 17 5 克 17 5 10 175 克 700 175 525 克 答 从中要蒸发掉 525 克水 同步精练同步精练 1 现有浓度为 12 5 的盐水 40 千克 将它变成浓度为 20 的盐水 要蒸 发掉多少千克水 2 有浓度为 2 5 的盐水 700 克 为了制成浓度为 20 的盐水 从中要蒸 发掉多少克水 练练 习习 卷卷 1 一瓶盐水共重 200 克 其中盐有 20